Addition De Fraction Algébrique? The 154 Detailed Answer

Calculations with fractions:

I) Addition and subtraction :

Pour additioner (ou soustraire) des fractions qui ont le même dénominateur, on additione (ou on soustrait) les numérateurs et l’on garde le dénominateur commun.

Example: 5 sur 3+2 sur 3 = 5+2 sur 3, soit 7 sur 3

Pour additioner (ou soustraire) des fragments qui n’ont pas le même dénominateur, on les met d’abord au même dénominateur puis on additione( ou on soustrait) les numérateurs entre eux et on garde les dénominateurs.

Example: 3 on 4+ 5 on 8 =6 on 8+ 5 on 8= 6+5 on 8, soit 11 on 8

Les meilleurs professeurs de Maths available 4.9 (139 reviews) Nicolas /h 35€ 1 course offered! 5 (152 reviews) Greg /h 100€ 1 course offer! 5 (81 reviews) Moujib /h 75€ 1 course offer! 4.9 (66 reviews) Terence /h 60€ 1 course offer! 4.9 (120 reviews) Houssem /h 55€ 1 course offer! 4.9 (111 reviews) Antoine /h 60€ 1 course offer! 5 (80 avis) Sébastien /h 75€ 1 course offer ! 4.9 (96 reviews) Laurent /h 50€ 1 course offer! 4.9 (139 reviews) Nicolas /h 35€ 1 course offer! 5 (152 reviews) Greg /h 100€ 1 course offer! 5 (81 reviews) Moujib /h 75€ 1 course offer! 4.9 (66 reviews) Terence /h 60€ 1 course offer! 4.9 (120 reviews) Houssem /h 55€ 1 course offer! 4.9 (111 reviews) Antoine /h 60€ 1 course offer! 5 (80 avis) Sébastien /h 75€ 1 course offer ! 4.9 (96 reviews) Laurent /h 50€ 1 course offer! C’est parti

II) Multiplication :

Pour multiplier deux fractions on multiplie les numerateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Example: 6 sur 2 fois 5 sur 3= 6 fois 5 sur 2 fois 3, soit 30 sur 6 ou si l’on simplifie 5 sur 1

III) Department :

Divider is a fraction that becomes the multiplier par son inverse. Deux nombres relatif non nuls, dont lez produit est 1, sont appelés des nombres inverses (ex : l’inverse de best 1 sur b, l’inverse de a sur best b sur a)

Example: 3 sur 5/ 7 sur 4=3 sur 5 fois 4 sur 7= 3 fois 4 sur 5 fois 7, soit 12 sur 35

Mathematics course CM1

Fractions for all plus loin

Dans ce chapter nous essayons de compléter le cours sur les fragments. On verra principalement l’addition de deux fractions, mais also la comparison de deux nombres fragmentnaires.

Ajouter of factions

Pour adder of the fragment qui ont le meme dénominateur, on ajoute simplement les numérateurs.

Example:

Si les fragments ont des dénominateurs différents, on doit les mettre sous le même dénominateur.

Example:

On transforme les demis en quarts, en multipliant le dénominateur et le numerateur par 2.

Comparator les fractions

Quand des fragments ont le meme dénominateur, il est easy de les Comparer.

La Fraction la plus grande est celle qui a le plus grand numerator

Example:

1st plus petit que 3.

3 est plus petit que 5 and 7.

5 est plus petit que 7

Si les fragments ont des dénominateurs différents, il faut connaître les principales équivalences.

Souviens toi, nous savons que:

Comment savoir si est plus grand ou plus petit que

=

30 est plus petit que 50 donc :

Comparons les deux fractions suivantes: et

Le carré ci-dessous is divided into 100 small squares, chacun represent a centième.

La party orange represente:

Le carré representte mais aussi

Donc 10 dixièmes est plus grand que 10 centièmes

Pour reduire des fragments au meme dénominateur, il faut trouver le plus petit multiple commun aux dénominateurs.

On distinguish plusieurs ca :

multiple de l’autre.

Example : et ; 6 = 3 × 2.

6 is the common denominator.

On transforme et .

• L’un des nénominateurs estExemple :et; 6 = 3 × 2.6 is the common denominator

Completely.

Example: 4 etc.

5 is the common denominator.

On écrit : .

• L’un des nombres est unExemple : 4 et5 est le dénominateur commun.On écrit :

in the tables of multiplication.

Example: u.

8 × 3 = 24 and 6 × 4 = 24.

Le denominateur commun est donc 24.

On Transform:

en .

and in .

• Un multiple commun aux deux dénominateurs se trouveExemple :et8 × 3 = 24 et 6 × 4 = 24.Le dénominateur commun est donc 24.On transforme :eneten

• Les dénominateurs sont quelconques: le dénominateur commun is le produit des deux.

Introduction : L’objectif de ce cours est d’apprendre à simplifier des fragments, outil bien pratique pour en alléger ou en simplifier l’écriture. Pour cela, nous beginrons par rappeler la notion de fragment et faire apparaitre, à travers de nombreux exemples, la notion d’égalité de fragments que nous introduirons ensuite. Nous poursuivrons alors par la definition et la methodologie de simplifications de fragments.

fraction

A fraction is a faction font that is not the numerical value and denominator of the total. Elle peut expresser different notions.

Express une proportion

A fraction peut expresses a proportion, a partage dont le nombre de parts est donné par le numérateur et le nom de la part (sa taille) est donné par le dénominateur.

Example La Bruch 2 5 \frac\blue{2}\red{5} 52​ express 2 \blue{2} 2 parts d’une unité qui est partagée en 5 \red{5} 5 parts égales soit « deux cinquièmes » de cette unité.

A fragment peut être représentée sur la surface d’un disque (ou d’un rectangle).

Example La surface coloriée représente 3 4 \dfrac {\color{#57BAB5}{3}}{\color {#F096BF} {4}} 43​ de la surface du disque. La surface coloriée représente 6 8 \dfrac {\color{#57BAB5}{6}}{\color {#F096BF} {8}} 86​ de la surface du disque. On constate ici que deux fractions qui n’ont pas la même écriture peuvent represententer la même surface d’un disque.

A fragment peut être represented sur une droite graduée.

METHOD

Soient deux entiers a a a et b b b, avec b b b non nul.

Pour placer une fraction a b \frac ab ba​ sur une droite graduée, on partage l’unité en b b b parts égales et on reporte a a a fois une part à partir de 0 0 0.

Example Placer les points A A A and B B B d’abscissa respectively 2 5 \frac 25 5 2 ​ et 8 5 \frac 85 5 8 ​ . L’unité a été partagée en 5 5 5 parts égales.

À partir de 0 0 0, on a reporté 2 2 2 fois une part pour placer A = 2 5 A=\frac 25 A=52​ et 8 8 8 fois une part pour placer B = 8 5 B=\frac 85 B =58​. Placer les points C C C and D D D d’ abscissas respective 16 10 \frac{16}{10} 1 0 1 6 ​ and 23 10 \frac{23}{10} 1 0 2 3 ​ . L’unité a été partagée en 10 10 10 parts égales.

À partir de 0 0 0, on a reporté 16 16 16 fois a part pour placer C = 16 10 C=\frac{16}{10} C=1016​ and 23 23 23 fois a part pour placer D = 23 10 D =\frac{23}{10} D=1023​. On constate également ici que deux fractions qui n’ont pas la meme écriture peuvent avoir la meme position sur une droite graduée.

Astuce La representation sur une droite graduée est plus pour representative une fraction dont le numérateur est plus grand que le denominateur (fraction plus grande que l’unité).

Elle permet également de Comparer facilement des Fragments dont la valeur est relativement proche.

expresser and quotient

A fraction expresses a quotient (result of a division).

Definition quotient : Soient deux nombres a a a et b b b, avec b b b non nul.

Le quotient de a a a par b b best est le nombre qui, multiplié par b b b, donne a a a. Son écriture fractionnaire est a b \frac ab ba​.

À retenir Par definition on a a b × b = a \frac ab \times b = a ba​×b=a.

On a also a ÷ b = a b a \div b = \frac ab a÷b=ba​.

Si a a a et b b b sont entiers, alors le quotient a b \frac ab ba​ est bien une fraction.

APPLICATIONS

Valeur d’une faction

Example La Fraction 7 4 \frac 74 47​ is the quotient of 7 7 7 par 4 4 4.

Ici, le plus simple est de poser la division : 7 4 = 7 ÷ 4 = 1 .75 \frac 74 = 7 \div 4 = 1.75 47​=7÷4=1.75 La fraction 21 12 \frac { 21}{12} 1221​ is the quotient of 21 21 21 par 12 12 12.

Posons également la division : 21 12 = 21 ÷ 12 = 1 .75 \frac{21}{12} = 21 \div 12 = 1.75 1221​=21÷12=1.75 Nous constatons ici aussi que deux fractions qui n’ont pas la meme écriture peuvent avoir la meme valeur. La fraction 5 3 \frac 53 35​ is the quotient of 5 5 5 par 3 3 3.

On a 5 3 = 5 ÷ 3 = 1 .666666 … \frac 53 = 5 \div 3 = 1.666666… 35​=5÷3=1.666666… On remarque que cette fraction n’admet pas d’écriture décimale .

Expression d’un nombre entier ou d’un nombre decimal

Un nombre entier peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le numérateur est ce nombre entier lui-même et le dénominateur est 1 1 1.

Un nombre decimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction decimale.

Example 3 = 3 1 3 = \frac 31 3=13​ 0 , 7 = 7 10 0.7 = \frac {7}{10} 0.7=107​ 58 , 207 = 58207 1000 58.207 = \frac{58207 }{1000} 58.207=100058207​

À retenir Tout nombre entier ou décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction, mais toute fraction n’admet pas une écriture décimale.

Ces rappels étant faits, nous pouvons maintenant passer à la simplification de fragments.

Simplification of fractions

Nous avons vu que des fragments qui n’ont pas la meme écriture peuvent avoir la meme valeur ; via Parle de Fractions égales.

À retenir Simplifier a fraction, c’est justement trouver a fraction égale mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits que ceux de la fraction initiale pour «simplifier» l’écriture de la fragment.

Ainsi, pour pouvoir simplifier une fraction, il faut d’abord bien connaître la notion de quotients égaux.

quotient égaux

Propriété Deux quotients sont égaux quand leurs numerateurs et dénominateurs sont proportionnels. Autrement dit, la valeur d’un quotient ne change pas quand on multiplie ou divise le numerateur et le dénominateur par un meme nombre non nul. Ainsi, pour tous nombres a a a, b b b et k k k, avec b b b et k k k non nuls : a b = a × k b × k \frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} ba​=b×ka× k​ et a b = a ÷ k b ÷ k \frac ab = \frac{a \div k}{b \div k} ba​=b÷ka÷k​.

Example 44 24 = 44 ÷ 4 24 ÷ 4 = 11 6 \dfrac{44}{24}=\dfrac{44 \div 4}{24 \div 4}=\dfrac{11}{6} 2444​=24÷ 444÷4​=611​ 1 2 = 1 × 5 2 × 5 = 5 10 \dfrac 12=\dfrac{1 \times 5}{2 \times 5}=\dfrac{5}{10} 21​=2 ×51×5​=105​

Simplify and break

Definition simplification de fraction : Simplify a fraction, c’est lui trouver a fraction égale avec a numerator and a dénominateur plus petits.

Ainsi, the simplification of fragments is a direct application of the property of the quotients égaux, restraint ici aux fractions.

METHODOLOGY

Soient deux entiers a a a et b b b, avec b b b non nul.

Pour simplifier la fraction a b \frac ab ba​, il s’agira de trouver, si possible, un entier k k k différent de 0 0 0 et de 1 1 1 tel que a a a et b b b appartiennet tous deux à la table de k k k.

A simple fraction de a b \frac ab b a ​ sera alors a ÷ k b ÷ k \frac{a\div k}{b\div k} b ÷ k a ÷ k ​ .

On dira alors qu’on a “simplified la fraction park k k k”.

On pourra parfois also entender que “a a a et b b b sont divisibles park k k k “, ce qui revient à dire que “a a a et b b b appartiennent à la table de k k k “.

Example Simplifier la Fraction 18 15 \frac{18}{15} 1 5 1 8 ​ . 18 18 18 and 15 15 15 appartiennent à la table de 3 3 3. On peut écrire 18 15 = 18 ÷ 3 15 ÷ 3 = 6 5 \frac{18}{15} = \frac{18 \div 3}{15 \div 3}=\frac 65 1518​=15÷318÷3​=56​ donc 18 15 = 6 5 \frac {18}{15} = \frac 65 1518​=56​. On a simplified fraction par 3 3 3 .

Simplified le plus possible 60 90 \frac{60}{90} 9 0 6 0 ​ . 60 60 60 and 90 90 90 appartiennet à la table de 10 10 10. On peut écrire 60 90 = 60 ÷ 10 90 ÷ 10 = 6 9 \frac{60}{90} = \frac{60\div 10}{90 \div 10}=\frac 69 9060​=90÷1060÷10​=96​ donc 60 90 = 6 9 \frac{60}{90} = \frac 69 9060​=96​. 6 6 6 and 9 9 9 appartiennet à la table de 3 3 3. On peut écrire 6 9 = 6 ÷ 3 9 ÷ 3 = 2 3 \frac 69 = \frac{6\div 3}{9\div 3}= \frac 23 96​=9÷36÷3​=32​ donc 6 9 = 2 3 \frac 69 = \frac 23 96​=32​. 2 2 2 et 3 3 3 n’appartiennent à aucune table commune différente de celle de 1 1 1. On ne peut donc pas simplifier la fraction 2 3 \frac 23 32​. La forme la plus simplified de 60 90 \frac{60}{90} 9 0 6 0 ​ est donc 2 3 \frac 23 3 2 ​ : on a 60 90 = 2 3 \frac{60}{90} = \frac 23 9 0 6 0 ​= 3 2 ​ .

Astuce La forme la plus simplifiée d’une fraction est dite “irréductible”, mais cette notion ne sera réellement abbordée qu’en classe de 3e.

3

3x + 15 = 9x + 30 Vous pouvez voir que dans cet example 3 divided tous les coefficients de your équation. Factorisez vos deux membres par 3 (ce qui revient à diviser les deux membres de votre expression par 3) afin de simplifier votre équation.

3x/3 + 15/3 = 9x/3 + 30/3 =

x + 5 = 3x + 10

Si vous avez à résoudre une équation algébrique, ce qui veut dire qu’il y a un membre de chaque côté du signal égal, il est possible de factoriser les deux membres par un facteur commun aux deux membres. Observe les coefficients de tous les termes (les nombres devant les variables ou les constantes) et voyez si vous trouvez un facteur commun à tous ces coefficients (un nombre qui divise tous les coefficients de votre équation). Si vous pouvez faire cela (ou au contraire qu’il n’est pas possible de le faire), vous avez réussi à simplifier votre équation et vous êtes sur le bon chemin pour la résoudre. Voice and example :

En algèbre, l’anneau K[X] des polynomials à une indéterminée X et à coefficients dans un corps commutatif K, comme celui des nombres rationnels, réels ou complexes, dispose d’une division euclidienne, qui ssemble formulament à celle des nombres entiers . Si A et B sont deux polynomes de K[X], avec B non nul, il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de K[X] tel que :

A = B Q + R with degree R < degree B . {\displaystyle A=BQ+R\quad {\text{avec}}\quad {\text{deg}}R<{\text{deg}}B.} Ici l'expression deg S, si S designe un polynôme, signifie le degré de S. Cette division confère à l'ensemble des polynômes une arithmétique analog à celle des nombres entiers, avec pour conséquence, l'identité de Bézout, le lemme d 'Euclide ou encore un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique, où les nombres premiers sont remplacés par les polynômes unitaires irréductibles (cf. the article « Arithmétique des polynômes »). Il existe une deuxième division, dite selon les puissances croissantes. It is used for rational fragments and permanent decomposition in simple elements. En 1801, Carl Friedrich Gauss publishes son premier livre de mathématiques, intitulé Disquisitiones arithmeticae. Il demontre en particulier l'existence d'une nouvelle figure constructible à la règle et au compas, le polygone regel à 17 côtés[1]. The method qu'il use consiste à considerer un polynôme, non comme une fonction mais comme élément d'une structure, que l'on appeal maintenant anneau, doté d'une addition et d'une multiplication. Les éléments ne sont pas tous inversibles, rapprochant en cela cette structure de celle des nombres entiers. The analogy is rendue plus profonde si les coiffeurs of polynomials so choisis dans un corps, c'est-à-dire an anneau dans lequel tous les éléments différents de 0 possèdent un inverse. The structure dispose alors d'une division Euclidienne à l'image de celle des entiers. Sur un anneau commutatif, c'est-à-dire dont la multiplication est commutative, disposant d'une division euclidienne, on retrouve les résultats principaux de l'arithmétique élémentaire. Gauss s'exprime ainsi, en parlant de l'usage des technique de la théorie algébrique des nombres (qu'il appelle arithmétique transcendante) pour les polynômes: « La théorie de la division du cercle ou des polygones réguliers n'appartient pas par elle -même à l'Arithmétique, mais ses principes ne peuvent être tirés que de l'Arithmétique transcendante. The result is pourra sembler aux géomètres, also inattendu que les vérités nouvelles qui en dérivent, et qu'ils verront, j'espère, avec plaisir[2]. » Son objectif est de trouver les racines du polynôme cyclotomique, c'est-à-dire de la forme Xn - 1, où n est un entier strictement positif. Comme ℚ[X] possède a structure analogous to celle des entiers, on y retrouve l'equivalent des nombres first, appelés ici facts irréductibles. The result is demontre precisionement comme pour les names entiers. Ces facteurs portent le nom de polynômes cyclotomiques. La demonstration qu'il suggest (et qui se trouve dans l'article associé) use an autre anneau de polynômes, sur le corps ℤ/pℤ, où p désigne un nombre premier. Cette structure dispose encore d'une division euclidienne et donc d'une arithmétique analogous to celle des nombres entiers. Augustin Louis Cauchy étudie l'anneau ℂ[X] des Polynomen à Coefficients Complexes et Présente, en 1847[3], a demonstration de l'analog, pour cet anneau, du dernier théorème de Fermat. L'anneau ℂ[X] possède, par rapport à celui des nombres entiers, quelques propriétés supplémentaires (tout élément inversible possède n racines n-ièmes de l'unité), ce qui permet à Cauchy de conclude et d'ouvrir une porte à de nouvelles methods de demonstrations. Théorème et definitions [ Modifier | modifier code ] Dans le reste de l'article K designe a corps commutatif, qui peut par example être égal à ℚ celui des nombres rationnels, ℝ celui des réels ou ℂ celui des complexes. The result of the paragraphe decoule d'un théorème: Théorème de la division euclidienne des polynômes[4],[5] — Soient A et B deux polynômes à coefficients dans K, avec B non nul, il existe un unique couple (Q, R) tel que A est égal à BQ + R et le degré de Reststriction plus petit que celui de B. Quotient et reste — Dans la division euclidienne ci-dessus de A par B, le polynome Q est appellé le quotient et R reste. Ce Couple (Q, R) n'est unique que parce qu'on a imposé que le degré de R soit strictement plus petit que celui de B. Si A est égal à X3 – X2 + 1 et B à X2, dans les deux égalités suivantes, seule la première correspond to the division euclidienne de A par B car dans la deuxième, –2X2 + 1 est de même degré que B : X 3 − X 2 + 1 = X 2 ( X − 1 ) + 1 and X 3 − X 2 + 1 = X 2 ( X + 1 ) + ( − 2 X 2 + 1 ) {\displaystyle X^{3} -X^{2}+1=X^{2}(X-1)+1\quad {\text{et}}\quad X^{3}-X^{2}+1=X^{2 }(X+1)+(-2X^{2}+1)} Le degré, qui sert à définir la division euclidienne, est appelé un «stathme» (cf. the article «Anneau euclidien»). Example and algorithm [ modifier | modifier code ] The demonstration offered also a calculation algorithm, analogous to that of the division Euclidienne in the Entires. Illustrons-le sur l'exmple suivant[5] A = X 5 − X 4 − X 3 + 3 X 2 − 2 X and B = X 2 − X + 1 {\displaystyle A=X^{5}-X^{4}-X^{3}+3X ^{2}-2X\quad {\text{et}}\quad B=X^{2}-X+1} Dans un premier temps, on calcule the couple de polynômes (P 1 , R 1 ) de l'égalité (2). Le polynôme P 1 est un monôme égal à X3 (trouvé en divisant le membre de plus high degré de A (1.X5) par le le membre de plus high degré de B (1.X2)) et R 1 verifie l'égalité : R 1 = A − P 1 ⋅ B = X 5 − X 4 − X 3 + 3 X 2 − 2 X ⏟ A − X 3 ⏟ P 1 ( X 2 - - X + 1 ) ⏟ B = - - 2 X 3 + 3 X 2 − 2 X {\displaystyle R_{1}=A-P_{1}\cdot B=\underbrace {X^{ 5}-X^{4}-X^{3}+3X^{2}- 2X} _{A}-\underbrace {X^{3}} _{P_{1}}\underbrace {(X^ {2}-X+1)} _{B}=-2X^{3}+ 3X^{2}-2X} Ce que l'on écrit : A = X 5 − X 4 − X 3 + 3 X 2 − 2 X − P 1 . B = – X 5 + X 4 – X 3 R 1 = – 2 X 3 + 3 X 2 – 2 X | X 2 − X + 1 = B X 3 = P 1 {\displaystyle \left.{\begin{matrix}A&=&X^{5}&-X^{4}&-X^{3}&+3X^{ 2}&-2X\\-P_{1}.B&=&-X^{5}&+X^{4}&-X^{3}&&\\R_{1}&=&&&-2X^{ 3}&+3X^{2}&-2X\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}X^{2}&-X&+1&=&B\\X^{3}&&&= &P_{1}\\\\\end{Matrix}}} Le meme calcul est effectué sur R 1 for calculer le couple (P 2 , R 2 ) R 2 = R 1 − P 2 ⋅ B = − 2 X 3 + 3 X 2 − 2 X ⏟ R 1 − − 2 X ⏟ P 2 ( X 2 − X + 1 ) ⏟ B = X 2 {\displaystyle R_{2}=R_{1}-P_{2}\cdot B=\underbrace {-2X^{3}+3X^{2} -2X} _{R_{1}}-\underbrace {-2X} _{ P_{2}}\underbrace {(X^{2}-X+1)} _{B}=X^{2}} Ce qui permet de complete: A = X 5 − X 4 − X 3 + 3 X 2 − 2 X + 0 − P 1 . B = – X 5 + X 4 – X 3 R 1 = – 2 X 3 + 3 X 2 – 2 X – P 2 . B = + 2 X 3 − 2 X 2 + 2 X R 2 = + X 2 | X 2 − X + 1 = B X 3 − 2 X = P 1 + P 2 {\displaystyle \left.{\begin{matrix}A&=&X^{5}&-X^{4}&-X^{3 }&+3X^{2}&-2X&+0\\-P_{1}.B&=&-X^{5}&+X^{4}&-X^{3}&&&\\R_{1 }&=&&&-2X^{3}&+3X^{2}&-2X&\\-P_{2}.B&=&&&+2X^{3}&-2X^{2}&+2X&\\R_ {2}&=&&&&+X^{2}&&\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}X^{2}&-X&+1&=&B\\X^{3}& -2X&&=&P_{1}+P_{2}\\\\\\\\\end{matrix}}} A dernière étape permet de conclusion : A = X 5 − X 4 − X 3 + 3 X 2 − 2 X + 0 − X 5 + X 4 − X 3 − 2 X 3 + 3 X 2 − 2 X + 2 X 3 − 2 X 2 + 2 X + X 2 - X 2 + X - 1 R = + X - 1 | X 2 − X + 1 = B X 3 − 2 X + 1 = Q {\displaystyle \left.{\begin{matrix}A=&X^{5}&-X^{4}&-X^{3}& +3X^{2}&-2X&+0\\&-X^{5}&+X^{4}&-X^{3}&&&\\&&&-2X^{3}&+3X^{2 }&-2X&\\&&&+2X^{3}&-2X^{2}&+2X&\\&&&&+X^{2}&&\\&&&&-X^{2}&+X&-1\\R =&&&&&+X&-1\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}X^{2}&-X&+1&=&B\\X^{3}&-2X&+1&=&Q\ \\\\\\\\\\\\end{matrix}}} The identity of the division Euclidienne est maintenant établie : X 5 - - X 4 - - X 3 + 3 X 2 - - 2 X ⏟ A = ( X 2 - - X + 1 ) ⏟ B ( X 3 - - 2 X + 1 ) ⏟ Q + ( X - - 1 ) ⏟ R {\displaystyle \underbrace {X^{5}-X^{4}-X^{3}+3X^{2}-2X} _{A}=\underbrace {(X^{2}- X+1)} _{B}\underbrace {(X^{3}-2X+1)} _{Q}+\underbrace {(X-1)} _{R}} A presentation plus compacte et efficace de ces calculs est donnée dans l'article Division synthétique. Division selon les puissances croissantes [ Modifier | modifier code ] Théorème et définition [ Modifier | modifier code ] The analysis also uses an other division, which means that the puissances croissantes. Elle joue un double rôle, pour les fonctions rationales et les developments limits. Intégrer a function rationale est aisé une fois qu'elle est decomposée en éléments simples. L'algorithme de décomposition fait appel à la division selon les puissances croissantes. Pour calculator le development limité d'une function, s'exprimant sous forme de fragment, la method la plus simple est parfois de calculer le development limité du numerateur et du dénominateur. La division selon les puissances croissantes offer a development limité de la fragment. Le théorème établissant l'existence et l'unicité de cette division est un peu analogous au précédent, sur la division euclidienne : Théorème de la division selon les puissances croissantes[6] – Soient A et B deux polynômes à coefficients dans K. Suppose que le terme constant de B n'est pas nul et on note p un entier supérieur ou égal à 0. Il existe a unique pair of polynomials (Q, R) tel que A soit égal à BQ + Xp + 1R et tel que le degré de Q soit inférieur ou égal à p. Le vocabulaire est le meme que celui de la division euclidienne, on parle encore d'identité de la division selon les puissances croissantes, de quotient et de reste. Demonstration [ 7 ] La demonstration est analogous to la précédente : Le couple (Q, R), s'il existe, est unique : On assumed l'existence de deux couples (Q 1 , R 1 ), (Q 2 , R 2 ) result of the division alone les puissances croissantes de A par B ; on va montrer qu'ils sont égaux. On dispose des égalités : A = B Q 1 + X p + 1 R 1 , A = B Q 2 + X p + 1 R 2 donc ( 1 ) B ( Q 1 − Q 2 ) + X p + 1 ( R 1 − R 2 ) = 0 {\displaystyle A=BQ_{1}+X^{p+1}R_{1},\quad A=BQ_{2}+X^{p+1}R_{2}\quad {\ text{donc}}\quad (1)\quad B(Q_{1}-Q_{2})+X^{p+1}(R_{1}-R_{2})=0} Le polynomial Xp+ 1 (R 1 - R 2 ) ne contient aucun terme de degré strictement inférieur à p + 1. Comme Q 1 et Q 2 sont de degrés inférieurs ou égaux à p leur différence est un polynôme de degré inférieur ou égal à p. Comme B contient un terme constant, si Q 1 - Q 2 n'est pas nul, B(Q 1 - Q 2 ) est un polynomial content au moins un monôme non nul de degré inférieur ou égal à p. Ce monôme ne peut être annulé par le polynôme Xp+1(R 1 + R 2 ) car tous ses monômes sont au moins de degré p + 1. On en déduit que Q 1 est égal à Q 2 et, par conséquent que R 1 est equal to R 2 . Il existe un couple (Q, R) satisfied l'identité de la division selon les puissances croissantes : Cette fois ci, il est plus simple de voir les polynômes A et B dans l'autre sens, avec n designant le maximum des degrés de A et de B : A = a 0 + ⋯ + a n − 1 X n − 1 + a n X n and B = b 0 + ⋯ + b n − 1 X n − 1 + b n X n avec b 0 ≠ 0 { \displaystyle A=a_{0}+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}+a_{n}X^{n}\quad {\text{et}}\quad B=b_{ 0} +\cdots +b_{n-1}X^{n-1}+b_{n}X^{n}\quad {\text{avec}}\quad b_{0} eq 0\;} On raisonne encore une fois par récurrence sur p. Si p est égal à 0 : A = a 0 b 0 B + X R 0 avec R 0 = ( a 1 − a 0 b 1 b 0 ) + ( a 2 − a 0 b 2 b 0 ) X + ⋯ + ( a n − a 0 b n b 0 ) X n − 1 {\displaystyle A={\frac {a_{0}}{b_{0}}}B+XR_{0}\quad {\text{avec}}\quad R_ { 0}=\left(a_{1}-{\frac {a_{0}b_{1}}{b_{0}}}\right)+\left(a_{2}-{\frac {a_{ 0 }b_{2}}{b_{0}}}\right)X+\cdots +\left(a_{n}-{\frac {a_{0}b_{n}}{b_{0}}}\ right )X^{n-1}\;} Le degré de Q is moins l'infini si a 0 est nul, soit nul sinon. Il est toujours inférieur ou equal to 0, the value of p. Suppose maintenant le résultat vrai pour toute valeur inférieure ou égale à p et montrons-le à l'ordre p + 1. L'hypothèse de récurrence montre l'existence d'un polynôme R p tel que : ( 2 ) A = Q p B + X p + 1 R p with degree ⁡ Q p ≤ p {\displaystyle (2)\quad A=Q_{p}B+X^{p+1}R_{p}\quad {\text{avec }}\quad \deg Q_{p}\leq p} Il est encore possible d'appliquer la division selon les puissances croissantes à l'ordre 0 sur R p : ∃ λ p ∈ K , ∃ R p + 1 ∈ K [ X ] ( 3 ) R p = λ p B + X R p + 1 {\displaystyle \exists \lambda _{p}\in \mathbb {K} ,\;\exists R_{p+1}\in \mathbb { K} [X]\quad (3)\quad R_{p}=\lambda_{p}B+XR_{p+1}} En reflecting the value of R p in l'égalité (2), on obtient : A = Q p B + X p + 1 ( λ p B + X S p ) = Q p + 1 B + X p + 2 R p + 1 {\displaystyle A=Q_{p}B+X^{p+1 } (\lambda _{p}B+XS_{p})=Q_{p+1}B+X^{p+2}R_{p+1}~} en ayant posé Q p + 1 = Q p + λ p X p + 1 si bien que degrees ⁡ Q p + 1 ≤ p + 1 , {\displaystyle Q_{p+1}=Q_{p}+\lambda _{p}X^{p+1}\quad { \text{si bien que}}\quad \deg Q_{p+ 1}\leq p+1~,} ce qui établit la proposition. Example and algorithm [ modifier | modifier code ] La method de calcul est Exactement la Même que celle du paragraphe précédent, il suffit d'ordonner le polynome dans le sens inverse. Illustrons-le avec les polynômes suivants : A = 1 + 3X + 2X2 − 7X3 , B = 1 + X − 2X2 . {\displaystyle A=1+3X+2X^{2}-7X^{3},\quad B=1+X-2X^{2}.} On obtient, si p est égal à 3 : 1 + 3X + 2X 2 − 7X 3 + 2X + 4X 2 − 7X 3 + 2X 2 − 3X 3 − 5X 3 + 4X 4 + 9X 4 − 10X 5 | 1 + X − 2 X 2 1 + 2 X + 2 X 2 − 5 X 3 {\displaystyle \left.{\begin{matrix}1&+3X&+2X^{2}&-7X^{3}&&\\ &+2X&+4X^{2}&-7X^{3}&&\\&&+2X^{2}&-3X^{3}&&\\&&&-5X^{3}&+4X^{4} &\\&&&&+9X^{4}&-10X^{5}\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}1&+X&-2X^{2}&\\1&+2X&+2X^ {2}&-5X^{3}\\\\\\\\\end{matrix}}} Ce qui s'écrit: 1 + 3 X + 2 X 2 − 7 X 3 ⏟ A = ( 1 + X − 2 X 2 ) ⏟ B ( 1 + 2 X + 2 X 2 − 5 X 3 ) ⏟ Q + X 4 ( 9 − 10 X ) ⏟ R {\displaystyle \underbrace {1+3X+2X^{2}-7X^{3}} _{A}=\underbrace {(1+X-2X^{2})} _{B}\ underbrace {(1+2X+2X^{2}-5X^{3})} _{Q}+X^{4}\underbrace {(9-10X)} _{R}} Développement limité de quotient [ modifier | modifier code ] Pour obtenir le développement limité à l'ordre n en 0 d'un quotient dont le dénominateur n'est pas nul en 0, il suffit d'effectuer la division selon les puissances croissantes des parties régulières à l'ordre n des développements limités des numerator et dénominateur respectively ; le quotient est la partie régulière du development limité cherché, et l'on peut s'abstenir de calculer les terms de degres strictement supérieurs à n dans la colonne des restes. For example, pour calculer le development limité à l'ordre 5 en 0 de la fonction tangente, on considering les régulières respectively parties du sinus et du cosinus: A = X − ( 1 / 6 ) X 3 + ( 1 / 120 ) X 5 , B = 1 − ( 1 / 2 ) X 2 + ( 1 / 24 ) X 4 {\displaystyle A=X-(1/6 )X^{3}+(1/120)X^{5},\quad B=1-(1/2)X^{2}+(1/24)X^{4}} puis on effectue la division selon les puissances croissantes à l'ordre 5, en tronquant les restes partiels successifs: X − ( 1 / 6 ) X 3 + ( 1 / 120 ) X 5 ( 1 / 3 ) X 3 − ( 1 / 30 ) X 5 ⋯ ( 2 / 15 ) X 5 ⋯ ⋯ | 1 − ( 1 / 2 ) X 2 + ( 1 / 24 ) X 4 X + ( 1 / 3 ) X 3 + ( 2 / 15 ) X 5 {\displaystyle \left. {\ begin {array} {rrrrr} X & -(1/6)X^{3}&+(1/120)X^{5}&\\&(1/3)X^{3}&- (1/30)X^{5}& \cdots \\&&(2/15)X^{5}&\cdots \\&&&\cdots \end{array}}\right|{\begin{array}{ rrr}1&-(1/2)X^{2}&+(1/24)X^{4}\\X&+(1/3)X^{3}&+(2/15)X^{ 5}\\\\\\\end{ array}}} d'où le résultat cherché (la partie régulière étant en fait valable à l'ordre 6 par un argument de parité) : tan ⁡ ( x ) = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + o ( x 5 ) . {\displaystyle \tan(x)=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+o(x^{5}) .} Décomposition en éléments simples [ Modifier | modifier code ] La division selon les puissances croissantes permet, after a changement de variable affine pour se ramener à un pole en 0, de determiner les éléments simples correspondant à un pole d'ordre quelconque. Anneau commutatif unitaire intègre [ modifier | modifier code ] Absence de division euclidienne [ modifier | modifier code ] The demonstration de l'existence d'une division euclidienne d'ein polynome par un polynome non nul use le fait que le diviseur est non seulement non nul mais de coefficient dominant inversible. Une question naturelle est celle de l'existence d'une division euclidienne pour l'anneau A[X] des polynômes à coefficients dans un anneau (commutatif unitaire) intègre A, comme l'anneau ℤ des entiers (dans ce cas A[X ] désigne l'anneau des polynômes à coefficients entiers) ou l'anneau ℝ[Y] des polynômes en une indéterminée Y à réels (dans ce cas, A[X] désigne l'anneau ℝ[X,Y] des polynômes en two indefinite) . Cas d'un anneau (commutatif unitaire) intègre — Soit A un anneau intègre. Si A n'est pas un corps, when l'anneau des polynômes à coefficients dans A ne dispose d'aucune division euclidienne[8]. En effet, cet anneau n'est pas euclidien ni meme seulement principal, car il n'est meme pas de Bézout, c'est-à-dire qu'il ne vérifie pas la propriété de Bézout : A content au moins un élément a non nul et non inversible, et le polynome constant 1, PGCD des deux polynomes X et a, ne s'écrit pas sous la forme XU + aV. The analysis of the demonstration of the existence of a division of Euclidienne Montre que : Proposition — Soient N et M deux polynômes àkoeff. dans A, avec M non nul. Si le dominant coefficient of M is inversible or, if there is a unique pair (Q, R) that satisfies the Euclidean division of N par M: N = M Q + R avec deg ⁡ R < deg ⁡ M . {\displaystyle N=MQ+R\quad {\text{avec}}\quad \deg R<\deg M.} In general, there is a result that is applied: Proposition — Soient N et M deux polynômes àkoeff. dans A, avec M non nul. Il existe un élément non nul λ de A et un unique couple (Q, R) satisfied à l'identité de la division euclidienne de λN par M : λ N = M Q + R avec deg ⁡ R < deg ⁡ M {\displaystyle \ Lambda N=MQ+R\quad {\text{avec}}\quad \deg R<\deg M} Pour le démontrer, on construit K le corps des fragments de A, precision comme on construit le corps des rationnels nombres sur l'anneau des entiers ou le corps des fragments rationnelles sur les polynômes. Les polynômes M et N peuvent also être vus comme des polynômes à coefficients dans K, de la même manière qu'un polynôme à coefficients entiers peut être aussi vu comme un polynôme à coefficient rationnels. Dans K[X], the division euclidienne est possible et il existe a pair Q 1 et R 1 de polynomials à coefficients dans K satisfied à l'identité de la division euclidienne de N par M et : N = M Q 1 + R 1 with degree ⁡ R 1 < degree ⁡ M {\displaystyle N=MQ_{1}+R_{1}\quad {\text{avec}}\quad \deg R_{1}<\deg M} Soit λ is a multiple of the denominator of the coefficients of Q 1 and R 1 , la Multiplication de l'égalité précédente par λ montre que : λ N = M Q + R avec deg ⁡ R < deg ⁡ M , Q = λ Q 1 , R = λ R 1 {\displaystyle \lambda N=MQ+R\quad {\text{avec))\quad \deg R <\deg M,\quad Q=\lambda Q_{1},\;R=\lambda R_{1}} Comme λ is a multiple of the denominator of the coefficients of Q 1 and R 1 , par definition de Q et R, ce sont bien des polynômes à coefficients dans A. L'unicité est une conséquence de celle de la division euclidienne dans an anneau de polynômes à coefficients in a corps. L'égalité de la division peut être vue comme l'identité de la division euclidienne de λN par M dans K, l'unicité de cette identité montre celle recherchée. Note 1: Attention, ce n'est pas λ qui est unique, ce sont les polynômes Q et R, une fois λ choisi. Remark 2: Si A n'est pas commutatif, il existe encore Certains résultats ; ils sont décrits dans l'article "Anneau non commutatif de polynômes". Notes and references [ modifier | modifier code ]

If you see this message, we’re having trouble loading external resources on our site.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org and *. kasandbox.org is authorized.

The common denominator (3) is the product of 2 denominators (3 x 1).

Pour adder of the fragment, leur dénominateur doit être identique.

Begin by placing the fragments à additionner sur un dénominateur commun.

L’Addition des 2 Fractions s’Effectue ensuite de manière classique.

Tu te retrouves ainsi face à an addition of 2 fractions.

The effect of this transformation is to be de l’addition.

L’Addition d’une Fraction avec a number that is part of the effect in a transformant le number that is part of a Fraction.

Exercise de Synthesis

Verify si ta puissance mathématique a augmenté !

Add cette fraction avec ce nombre entier, puis compare ta réponse avec la correction.

Exercise: Add a fraction avec un nombre entier.

Retretet l’espace membre pour accéder à la correctio, c’est gratuit !

Transcription of the video

dans cette vidéo je vais te montrer un autre example de division deux fractions on va diviser 3/5 3/5 / 1/2 on a vu dans la vidéo precédente que pour diviser deux fractions il faut multiplier la première par l’ inverse de la deuxième donc trois cinquièmes / 1/2 c’est la meme choose que trois cinquièmes x n’inverse d’un demi l’inversé d’un demi c’est 2 / 1 et ça ça similiar aux multiplications de fractions qu’on a déjà fait dans les modules précédent donc 3 fois 2 ça fait 6 5 x 1 ça fait 5 je trouve comme résultat 6/5 3/5 / 1/2 c’est égal à 6/5 maintenant ce qu’on aimerait bien c’ est comprendre pourquoi ça marche pourquoi pour diviser deux fractions il faut multiplier la première parle inverse de la deuxième je vais te montrer un petit exemple qui devrait éclaircir un peu les chooses on va prendre quatre objets identiques par exemple quatre seront donc un premier rond ici un deuxième un troisième et un quatrième voilà imaginons qu’on cherche à faire des groups de deux roues c’est qu a ttron lajemmerais les partager les mettre dans des groupes de devront donc ici ça fait par example un premier groupe avec deux ronds à l’intérieur ici ça fait un deuxième groupe avec ses 4 on je peux faire deux groupes devront donc 4 / 2 parce que je fais des groupes avec deux ronds à l’intérieur ça fait combien de groupes ça fait deux groupes imaginons qu’on reprenne exactement les mêmes quatre objets donc les mêmes quatre ont un premier et un deuxième ronde un troisième ronde et un quatrième ronde maintenant au lieu de faire des groupes de deux j’aimerais faire des groupes de de miron j’aimerais que dans chacun des groupes il y ait un demi rond donc on val les faire ici ça fait un premier groupe d’un demi rompt donc avec ce premier on je peux faire un deuxième groupe d’un demi roue encore ici un troisième groupe un quatrième un cinquième un sixième un septième groupe d’inde miron et enfin un huitième groupe du coup avec mes quatre ont si je les divisant groupe d’inde miron donc 4/1/ 2 combien j’obtiens de groupe j en obtiens 1 2 3 4 5 6 7 et 8 4 / 1/2 ça fait huit groups il y a une autre façon de compter les coups le nombre de groupes qu’on a cette façon là c ‘ est de se dire combien de groupes je peux faire avec chacun des ronds chacun des ronds si je fais des groupes d’un demi auront eh bien je vais emmener obtenir deux groupes chaque rond donne deux groupes donc chaque rond chacun des quatre on va donner deux groupes deux groupes d’un demi rond et du coup ça fait combien de groupes ça si chacun donne deux groupes comme j’ai 4 euros ça fait 4 x 2 et 4 x 2 ça fait 8 donc tu vois il ya deux façons de compter le nombre de groupes ici et ces deux façons c’est ça revient en fait à à dire que 4 / 1/2 et bien c’est la meme choose que 4 x linverse d’un demi et l’ inverse d’un demi c ‘ est 2 / 1 et ses deux façons de compter les groups donnent bien le même résultat 8