Cuanto Es X Por X? The 118 Detailed Answer

El valor de X sera el resultado obtenido luego de despejar todas las incógnitas de una ecuacion. La X en una ecuacion significa que es una incógnita y su valor es variable (depending on cada ecuacion).

Una ecuacion es una igualdad entre dos expressiones matemáticas que contiene al menos una incógnita o variable (una X).

Algo ha fallado. Espera un momento e inténtalo de nuevo.

Intentarlo de nuevo

Algo ha fallado. Espera un momento e inténtalo de nuevo.

Intentarlo de nuevo

Elevar un número al cuadrado it multiplicarlo por sí mismo. Por ejemplo, 7 elevado al cuadrado es 7 x 7, es decir 49. El número que obtenemos de esa multiplicación partial, en este caso el 49, decimos que es el cuadrado de 7.

A esos números que son el resultado de multiplicar un número entero (es decir, sin decimales) por sí mismo también se llaman “números cuadrados”. The 49th is a numero cuadrado, porque it el resultado obtenido de multiplicar a numero entero por sí mismo.

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Este artículo trata sobre la constante matemática. Para el código de additives alimentarios, véase Número E

e {\displaystyle {\text{e}}} Diez mil primeras cifras decimales del númeroen formato cartel

En matemáticas, la constante e {\displaystyle {\text{e}}\,} es uno de los números irracionales y los números trascendentes más importantes.[1]​ Es aproximadamente 2.71828 [2]​y aparece en diversas ramas de las matemáticas, as ser la base de los logaritmos naturales y form parte de las ecuaciones del interés compuesto y otros muchos problemas.

El número e {\displaystyle {\text{e}}\,} , conocido en ocasiones como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el calculo matemático.

Juega un papel importante en el cálculo y en el análisis matemático, en la definición de la función más importante de la matemática, ​ la función exponencial, así como π {\displaystyle \pi \,} lo es de la geometria y el número i {\displaystyle i\,} del análisis complejo y del álgebra.

El número e {\displaystyle {\text{e}}\,} , al igual que el número π {\displaystyle \pi \,} y el número áureo (φ), es un número irracional, no expresable mediante una razón de dos numeros enteros; o bien, no puede ser representado por un digit decimal exacto o un decimal period. Además, también como π {\displaystyle \pi \,} , es un número trascendente, es decir, que no puede ser raíz de ecuación algebraica alguna con coeficientes racionales.​ El valor de e {\displaystyle {\text{e}} \,} truncado a sus primeras cifras decimales es el siguiente:

e = 2 .718 281 828 459 045 235 360 … {\displaystyle {\text{e}}\ =2.718\;281\;828\;459\;045\;235\;360…}

history [edit]

and to represent the constant; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella. Leonhard Euler popularizó el uso de la lettrapara representar la constante; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella.

A diferencia de π {\displaystyle \pi \,} , la introducción del número e {\displaystyle {\text{e}}} en la matemática es relativamente reciente, lo cual tiene sentido si se considera que este último tuvo un origen analítico and no geometry, like the primer. En las palabras de Eli Maor:[5]​

π {\displaystyle \pi \,} A history of Pi, a model of the popular but clear and precise representation. The number e did less well. Not only is it more modern, but its history is closely linked to calculus, the field traditionally seen as the gateway to “higher” mathematics. The history of has been told at length, no doubt because its history dates back to ancient times, but also because much of it can be grasped without knowledge of advanced mathematics. Perhaps no book fared better than Petr Beckmann’s, a model of popular but clear and concise exposition. The number e did less well. Not only is it more modern, but its history is closely linked to calculus, the field traditionally seen as the gateway to “higher” mathematics. π {\displaystyle \pi\,} Historia de Pi by Petr Beckmann, a model of the popular exposition that is clear and concise. Al número e no le fue tan bien. No alone it de una época más moderna, sino también que su historia está cercanamente asociada con el calculo, el thema que es tradicionalmente visto como la puerta hacia matemáticas “más elevadas”. La historia deha sido extensivamente contada, sin duda no solo porque su historia se trae desde tiempos antiguos, sino también porque mucho de él puede ser entendido sin un conocimiento avanzado de las matemáticas. Quizá ningún libro fue mejor quede Petr Beckmann, un modelo de exposición popular pero también claro y preciso. Al númerono le fue tan bien. No alone it de una época más moderna, sino también que su historia está cercanamente asociada con el calculo, el thema que es tradicionalmente visto como la puerta hacia matemáticas “más elevadas”.

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier.[6] No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de esta. See what the Tabla for Escrita by William Oughtred is like. Unos años más tarde, en 1624, e {\displaystyle {\text{e}}} se ve nuevamente involucrado en la literatura matemática, aunque no del todo. Ese año, Briggs dio una proximación numérica a los logaritmos en base 10, pero no mencionó al número e {\displaystyle {\text{e}}} explicitamente en su trabajo.

La siguiente aparición de e {\displaystyle {\text{e}}} es algo dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo la hipérbola rectangular. Si reconoció la conexión con los logaritmos es una cuestión abierta a discussion, e incluso si lo hizo, no hubo razón para que tratara con e {\displaystyle {\text{e}}} explícitamente. Quien sí comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo fue Huygens allá por 1661, al estudiar el problema del área bajo la curva y x = 1 {\displaystyle yx=1} . El número e {\displaystyle {\text{e}}} es aquel valor de abscisa a tomar para que el área bajo esta curva a partir de 1 sea igual a 1. Esta es la propiedad que hace que e {\displaystyle {\ text{e}}} sea la base de los logaritmos naturales, y si bien no era comprendida del todo por los matemáticos de aquel entonces, de a poco iban acercándose a su comprensión.

Sin embargo, y tal vez inesperadamente, no es a través de los logaritmos que e {\displaystyle {\text{e}}} it descubierto, sino del estudio del interés compuesto, problema abordado por Jacob Bernoulli en 1683. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, divide the interests between 2, la cantidad obtenidas es 1 UM multiplicado por 1.5 dos veces, it decir 1 UM x 1.502 = 2.25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1.254 = 2.4414… En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x ( 1 + 1 12 ) 12 { \displaystyle (1+\textstyle {1 \over 12})^{12}} = 2.61303…UM. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin limite) y se Reduce la tasa de interés en el período, en un factor de 1 n {\displaystyle \textstyle { 1 \over n}} , the total de unidades monetarias obtenidas estará dado por la siguiente expression:

lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty}\left(1+{1 \over n}\right)^{n}.}

Bernoulli used the teorema del binomio para mostrar que dicho limite se encontraba between 2 and 3. Se puede Considerar esta la primera aproximación encontrada para e {\displaystyle {\text{e}}} . Incluso si acceptamos esta como una definition de e {\displaystyle {\text{e}}} , serie la primera vez que un número se define como un processo de límite. Con seguridad, Bernoulli no reconoció ninguna conexión entre su trabajo y los logaritmos. De aquí proviene la definition que se da de e {\displaystyle {\text{e}}} en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% annual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará C e R {\displaystyle Ce^{R}} UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e {\displaystyle {\text{e}}} en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e {\displaystyle {\text{e}}} fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminology common. Euler realizó varios aportes en relación a e {\displaystyle {\text{e}}} en los años siguientes, pero no fue hasta 1748 cuando publicó su Introductio in analysin infinitorum que dio un tratamiento definitivo a las ideas sobre e {\displaystyle {\ text{e}}} . Allí mostró que

e = 1 + 1 1 + 1 1 ⋅ 2 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + ⋯ {\displaystyle {\text{e}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1} {1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }

y dio una aproximación para e {\displaystyle {\text{e}}} de 18 cifras decimales, sin mostrar cómo la obtuvo. También dio su expresión como fracción continua reconociendo el patron que sigue dicha expresión. Fue esta caracterización la que le sirvió de base para concluir que e {\displaystyle {\text{e}}} es un número irracional, y la mayor parte de la comunidad acepta que Euler fue el primero en probar esta propiedad.

La pasión que guió a mucha gente a calcular más y más cifras decimales de π {\displaystyle \pi \,} nunca pareció replicarse de la misma manera para e {\displaystyle {\text{e}}} . Sin embargo, algunos se embarcaron en la tarea de calcular su expansión decimal y el primero en contribuir con esto fue William Shanks en 1854. Vale la pena destacar que Shanks fue un entusiasta aún mayor del cálculo de los decimales de π {\displaystyle \pi } . James Whitbread Lee Glaisher calculated the first 137 words of Shanks para el e {\displaystyle {\text{e}}} Eran corrected when he found an error, translated Korregido von Shanks, arrojó cifras decimales de e hasta el lugar 205 .De hecho, se necesita alrededor de 120 terms de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … for 200 decimal places.

Expansiones decimales aún mayores siguieron con los trabajos de Boorman en 1884, quien calculó 346 lugares y halló que su cómputo coincidía con el de Shanks hasta el lugar 187, pero luego divergían. En 1887 Adams estimó el logaritmo de e {\displaystyle {\text{e}}} en base 10 con 272 cifras precisionas.

En 1873, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar que e {\displaystyle {\text{e}}} es trascendente. A dicho logro llego usando un polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas empleadas, anteriormente, por Lambert. David Hilbert (también Karl Weierstraß y otros), propuso posteriormente variations y modificaciones de las primeras demostraciones.[7]​

definition [edit]

x y la gráfica y = 1/x, entre x = 1 y x = e es 1. El área entre el ejey la gráfica= 1/, entre= 1 ja 1.

La definition más común de e {\displaystyle {\text{e}}} es como el valor limite de la sucesión ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle (1+{\tfrac {1}{n}}))^ {n}} .[8]​ En simbolos,

e := lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle {\text{e}}:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{1 \over n}\right) ^{n}}

A veces se toma también como punto de partida, resultado de aplicar el teorema del binomio, la serie siguiente:

e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}

que se expande como

e = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ {\displaystyle {\text{e}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{ \frac {1}{3!}}+\cdots }

Otra definition habitual[9]​ dada a través del calculo integral es como solution de la ecuacion

∫ 1 x d t t = 1 , {\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=1,}

es decir que se define e {\displaystyle {\text{e}}} como el número para el que

∫ 1 e d t t = 1. {\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dt}{t}}=1.}

Propiedades matemáticas and applications [ edit ]

Análisis matemático [ edit ]

Exponential function [ edit ]

Main article: Función exponencial

Para cualquier x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } , la sucesión ( 1 + x n ) n {\displaystyle \left(1+{\tfrac {x}{n}}\right)^{n } } converge. Podemos denotar dicho limite con e x {\displaystyle {\text{e}}^{x}} :

e x := lim n → ∞ ( 1 + x n ) n . {\displaystyle {\text{e}}^{x}:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}

Se llama función exponencial a la función real cuya variable independent recorre el conjunto R {\displaystyle \mathbb {R} } de los números reales, y se definition como

f : R → R + x ↦ e x {\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} &\to \mathbb {R^{+}} \\x&\mapsto {\text{e}} ^{x}\end{aligned}}}

El rasgo más relevante de la función exponencial es que su función derivada (que existe en todo punto) agree con la propia función, es decir,

d d x e x = e x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}

Además, it la única función no idénticamente nula (a menos de multiplicación por constantes) con esta propiedad. Esto hace de la exponencial la función más importante del análisis matemático, y en particular para las ecuaciones diferenciales.

El desarrollo en serie de la función f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)={\text{e}}^{x}} se realiza mediante la fórmula de Maclaurin. Puesto que

f ( x ) = f ‘ ( x ) = f ″ ( x ) = . . . = f n + 1 ( x ) = e x , {\displaystyle f(x)=f^{‘}(x)=f^{”}(x)=…=f^{n+1}(x )={\text{e}}^{x},} f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = f ″ ( 0 ) = . . . = f n + 1 ( 0 ) = 1 , {\displaystyle f(0)=f^{‘}(0)=f^{”}(0)=…=f^{n+1}(0 )=1,}

The formula de Maclaurin is described as follows:

e x = ∑ k = 0 n f ( k ) ( 0 ) k ! x k + R k ( x ) = 1 + x 1 ! +×2 2 ! +×3 3 ! + . . . + x n n ! + O ( x n + 1 ) {\displaystyle {\text{e}}^{x}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(0)}{ k!}}\,x^{k}+R_{k}(x)=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+ {\frac {x^{3}}{3!}}+…+{\frac {x^{n}}{n!}}+O(x^{n+1})}

Suponiendo x=1, it is required the value aproximado del número

e ≈ 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + . . . + 1n ! {\displaystyle {\text{e}}\approx 1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+ …+{\frac {1}{n!}}}

Donde ≈ se entiende como un valor aproximado.[10]​

Problema de Steiner[edit]

x x {\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}} x = e {\displaystyle x={\text{e}}} El máximo global deocurre en

Este problema plantea encountered the maximum absolute de la funcion

f ( x ) = x 1 / x . {\displaystyle f(x)=x^{1/x}.}

Este máximo se da precisamente en e {\displaystyle {\text{e}}} .[11]​

Asimismo, 1 / e {\displaystyle 1/{\text{e}}} es el minimo absoluto de la función

f ( x ) = x x {\displaystyle f(x)=x^{x}\,}

definitely para x > 0 {\displaystyle x>0} . Más en general, la funcion

f ( x ) = x x n {\displaystyle \!\ f(x)=x^{x^{n}}}

alcanza su máximo global en 1 / e {\displaystyle 1/{\text{e}}} para n < 0 {\displaystyle n<0} ; y el minimo global se encuentra en e − 1 / n {\displaystyle {\text{e}}^{-1/n}} para n > 0 {\displaystyle n>0} .

La tetracion infinita

x x x ⋅ ⋅ ⋅ {\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}} ∞ x {\displaystyle {^{\infty }}x}

converge si y solo si e − e ≤ x ≤ e 1 / e {\displaystyle {\text{e}}^{-{\text{e}}}\leq x\leq {\text{e}}}^{ 1/{\text{e}}}} , for a teorema de Leonhard Euler.[12]​[13]​

Numbers complejos[edit]

El número e {\displaystyle {\text{e}}} presents an important paper in Euler’s formula related to the complete numbers:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x , {\displaystyle {\text{e}}^{ix}=\cos x+i\sin x,\,\!}

El caso especial con x = π {\displaystyle x=\pi } it conocido como identidad de Euler o fórmula mística de Euler

e i π + 1 = 0. {\displaystyle {\text{e}}^{i\pi }+1=0.\,\!}

de lo que se deduce que:

log e ⁡ ( − 1 ) = i π . {\displaystyle \log _{e}(-1)=i\pi .\,\!}

Además, using the leyes de la exponenciación, be required:

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = ( e i x ) n = e i n x = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{ n} = \ left({\text{e}}^{ix}\right)^{n}={\text{e}}^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)}

que es la formula de Moivre.

Esta formula llegó como una revelación a Benjamin Peirce, Professor de Harvard, quien la expuso ante sus alumnos, y manifestó su reconocimiento ante la maravillosa conexión de los cinco números más famosos de toda la matemática.[14]​

Probabilidad y estadística [ edit ]

El número e también aparece en applications a la teoría de probabilidades. Un ejemplo es el problema de los desarreglos, explored en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Raymond de Montmort, también conocido como el problema de los sombreros:[15]​ los n invitados a una fiesta dejan a la entrada sus sombreros con el mayordomo , quien los coloca luego en n compartmentos, cada uno con el nombre de uno de los invitados. Pero el mayordomo no conoce la identidad de los invitados, y entonces coloca los sombreros en los compartmentmentos al azar. The problem of De Montmort is related to the probabilities of entering the sea in the correct compartment. La respuesta es:

P ( n ) = 1 − 1 1 ! + 1 2 ! − 1 3 ! + ⋯ + ( – 1 ) n n ! = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k k ! . {\displaystyle P(n)=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{ \frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}

A medida que el número n de invitados tiende a infinito, P(n) se aproxima a 1/e. Más aún, el número de maneras en que se pueden colocar los sombreros en los compartmentmentos de forma que ninguno corresponda a su dueño es n!/e redondeado al entero más cercano, para cada positiveo n.[16] The resultado anterior puede reformse de la siguiente manera: sea P ( n ) {\displaystyle P(n)} la probabilidad de que una función aleatoria del conjunto 1, 2, …, n en sí mismo tenga al menos un punto fijo . Entons

lim n → ∞ P ( n ) = 1 − 1 e = 0.6321205588… {\displaystyle \lim _{n\to \infty}P(n)=1-{\frac {1}{e}} =0.6321205588 …}

Other aparición de e {\displaystyle {\text{e}}} en la probabilidad es en el siguiente problema: se tiene una secuencia infinita of variables aleatorias X 1 , X 2 …, with distribution uniforme en [0,1]. Sea V el menor entero n tal que la suma de las primaras n observaciones es mayor que 1:

N = min { n ∣ X 1 + X 2 + ⋯ + X n > 1} . {\displaystyle N=\min {\left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}}.}

Luego, E ( N ) = e {\displaystyle E(N)={\text{e))) .[17]

Sin embargo, el papel más relevante que juega el número e {\displaystyle {\text{e}}} en esta rama de la matemática viene dado a través de la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, que dependent on the integral Gaussiana:[19]​

ϕ ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 / 2 σ 2 . {\displaystyle \phi (x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,{\text{e}}^{-(x-\mu )^{2}/2\ Sigma ^{2}}.}

El role de esta distribution es central en la theory y la práctica.

Teoría de Números[edit]

Las siguientes dos relaciones son corolarios directos del teorema de los números primos[20]​

e = lim n → ∞ ( p n # ) p n {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}}\ #)}}}

donde p n {\displaystyle p_{n}} es n-esimo primo y p n # {\displaystyle p_{n}\#} es el primorial del n-esimo primo.

e = lim n → ∞ n π ( n ) / n {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}

donde π ( n ) {\displaystyle \pi (n)} la función contadora de primos.

Geometry [ edit ]

Spiral equiangular de ángulo α

Al igual que π {\displaystyle \pi } , e {\displaystyle {\text{e}}} puede interpretarse como un cociente entre cantidades ligadas a cierta curva del plano. Consideremos una curva con la propiedad de que cualquier semirrecta que nace en el origen corta a esta formando un ángulo de π / 4 {\displaystyle \pi /4} radianes (existen instrumentos que allowen trazar curvas con esta característica).[21]​ [22]​ Si tomamos dos puntos cualesquiera de la curva P 1 , P 2 {\displaystyle P_{1},P_{2}} con una separación angle de 1 radián, y r i = dist ⁡ ( P i , O ) , r 1 < r 2 , {\displaystyle r_{i}=\operatorname {dist} (P_{i},O),r_{1} 0. {\displaystyle r(\theta )=Ae^{\theta },\qquad \theta \in \mathbb {R} ,A>0.}

Más generalmente, si la curva es cortada formando un ángulo 0 < α ≤ π / 2 {\displaystyle 0<\alpha \leq \pi /2} , entonces su expresión en coordenadas polares es r ( θ ) = A e cot ⁡ ( α ) ⋅ θ . {\displaystyle r(\theta )=Ae^{\cot(\alpha )\cdot \theta }.} Other relevant manifestación de e en la geometry se da con la catenaria. La catenaria es la curva cuya forma es adoptedada por una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la gravedad. Queda determinada por la posición de sus extremos y su longitud. Irracionalidad and trascendencia [ edit ] Artículo principal: Demostración de que e es irracional El número real e {\displaystyle {\text{e}}} es irracional,[23]​ lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Euler en 1737. En su demostración, Euler se valió de la representación de e como fracción continua, que al ser infinita, no puede corresponder a un número racional. Sin embargo, la demostración más conocida fue dada por Fourier, y se basa en el desarrollo en serie del número. J. H. Lambert probó en 1768 que e p / q {\displaystyle {\text{e}}^{p/q}} es irracional si p q {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}} es un racional positivo. También es un trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros (ver Teorema de Lindemann-Weierstrass). Fue el Primer número trascendente que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (compare with el número de Liouville). La demostración de esto fue dada by Charles Hermite in 1873.[24] Se cree que e además es un número normal. Formulas que contienen al número e [edit] A continuation, se exhiben varias formas que involucran de diversas formas a e {\displaystyle {\text{e}}} : 1 e = ∑ k = 0 ∞ 1 − 2 k ( 2 k ) ! . {\displaystyle {\frac {1}{\text{e}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}.} [ 25 ] e = ∑ k = 0 ∞ 4 k + 3 2 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! . {\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1 )!}}.} e + 1 e − 1 = 2 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 18 + ⋱ . {\displaystyle {\frac {{\text{e}}+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1} {14+{\cfrac {1}{18+{\ddots }}}}}}}}}}.} e − 1 = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 5 + 1 1 + 1 1 + 1 9 + 1 1 + 1 1 + ⋱ . {\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}-1={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}} {5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\ ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}.} 2 = e 1 e 1 / 2 ⋅ e 1 / 3 e 1 / 4 ⋅ e 1 / 5 e 1 / 6 ⋅ e 1 / 7 e 1 / 8 ⋯ , {\displaystyle 2={\frac {{\text{ e}}^{1}}{{\text{e}}^{1/2}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/3}}{{\text{z }}^{1/4}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/5}}{{\text{e}}^{1/6}}}\cdot {\ frac {{\text{e}}^{1/7}}{{\text{e}}^{1/8}}}\cdots ,} la cual se obtiene de la identidad ln ⁡ 2 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 ⋯ {\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3 }}-{\frac {1}{4}}\cdots } e − 1 e = 2 ∏ k = 1 ∞ ( 1 + 1 k 2 π 2 ) . {\displaystyle {\text{e}}-{\frac {1}{\text{e}}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1 {k^{2}\pi ^{2}}}\right).} e + 1 e = 2 ∏ k = 1 ∞ ( 1 + 4 ( 2 k − 1 ) 2 π 2 ) . {\displaystyle {\text{e}}+{\frac {1}{\text{e}}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4 }{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right).} Identidad de Euler or formula mística de Euler e i π + 1 = 0. {\displaystyle {\text{e}}^{i\pi }+1=0.\,\!} Stirling formula: n! ≈ 2πn(ne)n. {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\text{e}}}\right)^{n}.} Gosper formula: − π 2 12 e 3 = ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 cos ⁡ ( 9 k π + k 2 π 2 − 9 ) . {\displaystyle -{\frac {\pi ^{2}}{12{\text{e}}^{3}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1} {k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right). } Representaciones de e [edit] El número e {\displaystyle {\text{e}}} puede ser representado como un número real en varias formas: como serie infinita, como producto infinito, como fracción continua o como limite de una sucesión. Como limit [edit] The Principal de Estas Representaciones, Particularmente en Los Cursos Básicos de Cálculo, es la Propia Definition de e {\displaystyle {\text{e}}} , es decir, el límite: e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.} En 1975, el suizo Felix A. Keller obtuvo el limite simétrico:[26]​[27]​ e = lim n → ∞ [ ( n + 1 ) n + 1 n n − n n ( n − 1 ) n − 1 ] . {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{ \frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right].} De la formula de Stirling se received e = lim n → ∞ n ⋅ ( 2 π n n ! ) 1 / n {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}} e = lim n → ∞ n n ! n {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}} [ 28 ] ​ Se mostró también que e = lim n → ∞ ( p n # ) p n {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}}\ #)}}} donde p n {\displaystyle p_{n}} es enésimo primo y p n # {\displaystyle p_{n}\#} es el primorial del enésimo primo. e = lim n → ∞ n π ( n ) / n {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}} donde π ( n ) {\displaystyle \pi (n)} la función contadora de primos. Como serie o suma infinita[edit] e = 1 2 ∑ k = 0 ∞ k + 1 k ! {\displaystyle {\text{e}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}} e = 2 ∑ k = 0 ∞ k + 1 ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle {\text{e}}=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}} e = ∑ k = 0 ∞ 3 − 4 k 2 ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}} e = ∑ k = 0 ∞ ( 3 k ) 2 + 1 ( 3 k ) ! {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}} e = ∑ k = 1 ∞ k n B n ( k ! ) {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}}{B_ {n}(k!)}}} B n {\displaystyle B_{n}} n {\displaystyle n} número de Bell. Algunos ejemplos de this ultimate characterization: e = ∑ k = 1 ∞ k 2 2 ( k ! ) {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}}{2 (k!)}}} e = ∑ k = 1 ∞ k 3 5 ( k ! ) {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k ^{3}}{5(k!)}}} e = ∑ k = 1 ∞ k 4 15 ( k ! ) {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\ infty }{\frac {k^{4}}{15(k!)}}} e = ∑ k = 1 ∞ k 5 52 ( k ! ) {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{ k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}}{52(k!)}}} e = ∑ k = 1 ∞ k 6 203 ( k ! ) {\displaystyle {\text{e }}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{6}}{203(k!)}}} e = ∑ k = 1 ∞ k 7 877 ( k ! ) { \displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{7}}{877(k!)}}} Como producto infinito[edit] El número e {\displaystyle {\text{e}}} puede expresarse también mediante productos infinitos "del tipo Wallis" de diversas formas,[29]​ incluyendo el producto de Pippenger[30]​[31]​ e = 2 ( 2 1 ) 1 / 2 ( 2 3 4 3 ) 1 / 4 ( 4 5 6 5 6 7 8 7 ) 1 / 8 ( 8 9 10 9 10 11 12 11 12 13 14 13 14 15 16 15 ) 1 / 16 ⋯ , {\displaystyle {\text{e}}=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3 }}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\; {\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\left({\frac {8}{9}}\;{\frac { 10}{9}}\;{\frac {10}{11}}\;{\frac {12}{11}}\;{\frac {12}{13}}\;{\frac {14} {13}}\;{\frac {14}{15}}\;{\frac {16}{15}}\right)^{1/16}\cdots ,} el producto de Catalan e = ( 2 1 ) 1 / 1 ( 4 1 3 ) 1 / 2 ( 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 ) 1 / 4 ( 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 ) 1 / 8 ⋯ , {\displaystyle {\text{e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {4}{1\cdot 3}}\ right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14 \cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots ,} and the product of Guillera[32]​[33]​ e = ( 2 1 ) 1 / 1 ( 2 2 1 ⋅ 3 ) 1 / 2 ( 2 3 ⋅ 4 1 ⋅ 3 3 ) 1 / 3 ( 2 4 ⋅ 4 4 1 ⋅ 3 6 ⋅ 5 ) 1 / 4 ⋯ , {\displaystyle {\text{e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left ({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,} donde el n-ésimo factor es la n-ésima raíz del producto ∏ k = 0 n ( k + 1 ) ( − 1 ) k + 1 ( n k ) , {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k +1}{n \choose k}},} como también el producto infinito e = 2 ⋅ 2 ( ln ⁡ ( 2 ) -- 1 ) 2 ⋯ 2 ln ⁡ ( 2 ) -- 1 ⋅ 2 ( ln ⁡ ( 2 ) -- 1 ) 3 ⋯ . {\displaystyle {\text{e}}={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1} \cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.} Como fracción continua [edit] El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada: e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + ⋯ , {\displaystyle {\text{e}}=2+{\cfrac { 1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{ \cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}}}}} }}}}}}}}},} lo que se describe e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , … , 2n , 1 , 1 , … ] {\displaystyle {\text{e}}=[2; 1,{\mathrm{2}},1,1,{\mathrm{4}},1,1,{\mathrm{6}},1,1,{\mathrm{8}},1,1, \ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ]} , developed by Leonhard Euler[34]​ (A003417 en OEIS). En fracción continua no normalizada se tiene e = 2 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + 7 7 + ⋯ {\displaystyle {\text{e}}=2+{\frac {2}{2+{\cfrac {3 }{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+{\cfrac {7}{7+\cdots }}}}}}}}} }}}}} En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas. Digitos conocidos[edit] El numero de digitos conocidos de e ha aumentado enormousmente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.[35]​[36]​ En 1949, J. von Neumann y su grupo utilizaron el ENIAC para obtener 2010 decimales. D. Shanks and J.W. Wrench Hallaron hasta 100.265 and 1961 with the Euler formula with an IBM 7090. It is recommended for 2.5 hours. Ya para 1994, R. Nemiroff and J. Bonnell lost 10,000,000 decimals. En las últimas décadas, los ordenadores fueron capaces de obtener números que poseen una immense cantidad de decimales. Así, por ejemplo, in el año 2000, using the program de calculo PiFast33 in an order Pentium III 800, is obtuvieron 12 884 901 000 cifras decimales, para lo que se necesitaron 167 horas. En la época computacional del calculo de e las cifras se han disparado, no solo debido a la potencia de calculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los records. Primeras cien cifras decimales [ edit ] Las cien primeras cifras de e {\displaystyle {\text{e}}} Son: e ≈ 2 , 7182818284 {\displaystyle {\text{e}}\approx 2,7182818284} 5904523536 {\displaystyle 5904523536} 0287471352 {\displaystyle 0287471352} 6624977572 {\displaystyle 6624977572} 4709369995 {\displaystyle 4709369995} 9574966967 {\displaystyle 9574966967 } 6277240766 {\displaystyle 6277240766} 3035354759 {\displaystyle 3035354759} 4571382178 {\displaystyle 4571382178} 5251664274 {\displaystyle 5251664274} e {\displaystyle {\text{e}}} Cuestiones abiertas sobre [ editar ] No se sabe si e {\displaystyle {\text{e}}} No se sabe si e e {\displaystyle {\text{e}}^{e}} No se sabe si π + e {\displaystyle \pi +e} π ⋅ e {\displaystyle \pi \cdot e} irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a nueve y con coeficientes enteros del orden 109. [ 47 ] ​ [ 48 ] ​ Véase también [edit] References[edit] The content of this article incorporates material from an entry in the Enciclopedia Libre Universal published in Spanish under the Creative Commons Compartir-Igual 3.0 license. bibliography [edit] Enlaces externos[edit]

Una formula general, en la definition más amplia del término, es aquella que, en el ámbito de las matemáticas, allowe obtener el valor de una incógnita en distinct casos specifices.

It decir, una formula general es una expression que puede aplicarse para calcular el valor de una variable a partir de determinados datos.

Usualmente, con fórmula general se hace referencia a aquella que permissione resolver ecuaciones cuadráticas, es decir, ecuaciones de segundo grado. Estas son aquellas donde el maximum exponente al que está elevada la incógnita es 2 y que tiene la siguiente forma:

ax2+bx+c=0

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Tomando como referencia esta estructura, la formula general para resolver la ecuacion es la siguiente

Como podemos observar, este tipo de ecuaciones tiene dos raíces o dos posibles soluciones, cada una de las cuales se puede calcular a partir de la misma fórmula, solo que cambiando un signo de suma por el de resta o viceversa en el numerador, entre – from la raíz cuadrada de b2-4ac.

Ejemplo de formula general

Veamos mejor, con un ejemplo, la application de la formula general de ecuaciones cuadráticas.

Si tenemos:

6×2-19x+7=0

Tomando como referencia la formula mostrada previamente, a=6, b=-19 and c=7.

Entonces, resolveremos de la siguiente manera:

Fórmula general en geometria

El concepto de fórmula general también puede ser aplicado en geometria, por ejemplo, para aquellas ecuaciones que permissionen hallar valores específicos, como el perímetro o el área de una figura geométrica.

Por ejemplo, el perímetro (P) de un cuadrado se halla multiplicando el lado (L) por 4, es decir, P=4L. Asimismo, el área(A) de un cuadrado es igual al lado elevado al cuadrado, es decir, la fórmula general del área de esta figura geométrica es A=L2. Esto se cumple para todos los cuadrados, que son paralelogramos con cuatro lados de igual longitud y paralelos entre sí.

De igual modo, the formula general del area de un triangulo es A=1/2*b*h. It decir, el area it igual a 1/2 por la base y por la altura de la figura.

Este tipo de fórmulas nos allowen hallar ciertas medidas o datos de la figura, y también las encontramos en el caso de las figuras tridimensionales. Por ejemplo, the volume (V) de un cubo es igual a la arista (a) al cubo. Es decir, V=a3.

Debemos recordar en este punto que la arista es aquel segmento que une dos caras de la figura y que el cubo es un poliedro regular con seis caras todas iguales, cada una de las cuales es un cuadrado.

Hay un new reto aritmético en Internet que pregunta el resultado de la operación 8/2(2+2).

Realmente parece fácil pero tiene cierto truco, o al menos eso es lo que pretende que parezca. Veamos as resolverlo:

Una expression ambigua

En primera instantia hay unos paréntesis, lo que significa que debemos hacer la operación dentro del paréntesis primero. En este caso, tenemos (2+2). Facil, la respuesta es 4.

Entonces, lo que obtendremos es la expression 8/2(4): ¿Qué debemos hacer primero, multiplicar 2 por 4, o bien, la division de 8 entre 2?

Antes de responder a esto, hay que clarar que la expression es ambigua.

Los lenguajes de programación defines algo llamado “precedencia de operadores”, que indica cómo la máquina va a realizar las operaciones.

Normally the first thing to do is to have multiplicaciones and divisions, and you want sums and retas. Si -como en este casolas operaciones tienen la misma precedencia, se hacen de izquierda a derecha.

Tomando en cuenta eso, entonces tendríamos que hacer 8/2 = 4 y entonces después multiplicar por el 4 que está en el paréntesis, lo que daría como resultado final de 16.

Sponemos esta operación en el buscador de Googl, dará este resultado y además mostrará la expression como (8/2) * (2+2).

The result is calculated by Google

alternative solution

Aun así, hay quien dice que hay que hacer primero 2(4), que es 2 por 4, que da 8. Entonces, finalizamos la operación con 8/8 que da como resultado final 1.

Si consideramos la precedencia de operadores, este resultado estaría equivocado pero… ¿lo está? Veamos:

La precence de operadores es an inventory of the lengths of the programación, porque en matemáticas podemos cambiar esta precence usando paréntesis.

Si queremos que una expressión no sea ambigua, como en el caso que nos ocupa, entonces pondremos (8/2) * (2+2) (como precisamente pone Google) o bien, 8 / (2*(2+2)) ,dependiendo qué queremos expresar.

Curiosamente, en matemáticas muchas veces tenemos expressiones como ésta: 8/2c, donde c=4.

Y aquí cualquier matemático podría decir: «sustituyo la c por el 4 y multiplico por 2 y entonces hago la división. Y por end, el resultado final es 1».

Si pongo 2c, it claro que es equale a 2 por c (que se escribe en lenguaje de las computadoras «2 * c», donde el «*» es el símbolo de multiplicación (para evitar confundirlo con la letra «x»).

Entonces, la precedencia «la cambiamos» porque asumimos que 2c es multiplicar «2 * c» primero y luego hacer la division.

Cabe decir que en matemáticas no existe la prevencia de operadores. Esto, repito, se inventó para definir con precisión las operaciones matemáticas y su orden en un lenguaje de programación.

Pero podrían existir lenguajes de programación que decided other jerarquía.

El resultado correcto

¿Qué queremos decir con todo esto? Que el lector puede dar la respuesta que quiera, 16 o 1. Ambas son correctas porque la expresión es simplemente ambigua.

Desde luego que esta ambigüedad es lo que provoca la discusión de qué resultado es el correcto.

La realidad en matemáticas es que si queremos saber el resultado correcto, hay que poner los paréntesis adecuados para saber en qué orden hay que hacer las operaciones.

¿Qué it’s going viral “Mi Vecino de número” in WhatsApp y por qué it’s a problem for the privacy?