Equação Com Duas Incognitas? The 127 Latest Answer

Na Matemática, a equação é uma igualdade que envolve uma ou mais incógnitas. Quem determina o “grey” dessa equação é o expoente dessa incógnita, ou seja, se o expoente for 1, temos a equação do 1º gray. Se o expoente for 2, a equação será do 2º gray; se o expoente for 3, a equação será de 3º gray.

Example:

4x + 2 = 16 (equação do 1º gray)

x² + 2x + 4 = 0 (equação do 2º gray)

x³ + 2x² + 5x – 2 = 0 (equação do 3º gray)

A equação do 1º Grau é presented da seguinte forma:

ax + b = 0

É importante dizer que a e b representam qualquer número real e a é diferente de zero (a 0). A incógnita x pode ser representada por qualquer letra, contudo, usualmente, utilizamos x ou y como valor a ser encontrado para o resultado final da equação. O primeiro membro da equação são os números do lado esquerdo da igualdade, e o segundo membro, o que estão do lado direito da igualdade.

Veja também: Método prático para resolver equações

Como resolver uma equação do primeiro grey

Para resolvermos umaa equação do primeiro grau, devemos achar o valor da incógnita (que vamos chamar de x) e, para que isso seja possível, é só isolar o valor do x na igualdade, ou seja, o x deve ficar sozinho em um dos membros da equação.

O próximo passo é analisar qual operação está sendo feita no mesmo membro em que se encontra x e “jogar” para o outro lado da igualdade fazendo a operação oposta e isolando x.

Primeiro example:

x + 4 = 12

Nesse caso, o número que aparece do mesmo lado de x é o 4 e ele está somando. Para isolar a incógnita, ele vai para o outro lado da igualdade fazendo a operação inversa (subtração):

x = 12 – 4

x = 8

Segundo example:

x – 12 = 20

O número que está do mesmo lado de x é o 12 e ele está subtraindo. Nesse example, ele vai para o outro lado da igualdade com a operação inversa, que é a soma:

x = 20 + 12

x = 32

Terceiro example:

4x + 2 = 10

Vamos analyzes os números que estão no mesmo lado da incógnita, o 4 e o 2. O número 2 está somando e vai para o outro lado da igualdade subtraindo e o número 4, que está multiplicando, passa para o outro lado dividindo.

4x = 10 – 2

x = 10 – 2

4

x = 8

4

x = 2

fourth example:

-3x = -9

Esse exemplo envolve números negativos e, antes de passar o número para o outro lado, devemos semper deixar o lado da incógnita positivo, por isso vamos multiplicar toda a equação por -1.

-3x = -9 .(-1)

3x = 9

Passando o number 3, que está multiplicando x, para o outro lado, teremos:

x = 9

3

x = 3

Quinto example:

2x + 4 = 7

3 5 8

Nesse caso, devemos fazer o MMC dos denominadores para que eles sejam igualados e, posteriormente, cancelados (semper na intenção de isolar a incógnita x):

O proximo passo é igualar os denominadores com o resultado do MMC. Os numeradores são encontrados pela divisão do MMC pelo denominador and a multiplicação pelo numerador:

(120 ÷ 3.2x) + (120 ÷ 5.4) = (120 ÷ 8.7)

120 120 120

80x + 96 = 105

120 120 120

Depois de igualados os denominadores, ele podem ser cancelados, resto a equação:

80x + 96 = 105

O 96 is somando e vai para o outro lado da igualdade subtraindo:

80x = 105 – 96

80x = 9

Para finalizar, o 80 que está multiplicando x vai para o outro lado da igualdade dividindo:

x = 9

80

x = 0.1125

Obs.: Semper que a incógnita x estiver entre parênteses e houver algum número de fora que esteja multiplicando esses parênteses, devemos distribuir a multiplicação do número para todos os components que estiverem dentro dos parêntes (esse processo é chamado de propriedade distributiva). Example:

5(3x – 9 + 5) = 0

Nesse caso, o 5 deve multiplicar todos os components de dentro dos parênteses para deposits isolar a incógnita x:

15x – 45 + 25 = 0

15x – 20 = 0

15x = 20

x = 20

fifteen

x = 4 or x = 1.33333…

3

Saiba também: Equações que possuem expoente 2 na incógnita

Propriedade fundamental the equações

A propriedade fundamental das equações é também chamada de regra da balança. Não é muito utilizada no Brasil, mas tem a vantagem de seruma única regra. A idea é que tudo que for feito no primeiro membro da equação deve também ser feito no segundo membro com o objetivo de isolar a incógnita para se obter o resultado final. Veja a demonstração nesse example:

3x + 12 = 27

Começaremos com a eliminação do number 12. Como ele está somando, vamos subtrair o número 12 nos dois membros da equação:

3x + 12 – 12 = 27 – 12

3x = 15

Para finalizar, o number 3 que está multiplicando a incógnita sera dividido por 3 nos dois membros da equação:

3x = 15

3 3

x = 5

Exercises resolvidos

Exercise 1

Resolva as seguintes equações:

A x + 4 = 15

Resolution:

x = 15 – 4

x = 11

e.g. 2x – 5 = x + 10

Resolution:

2x – x = 10 + 5

x = 15

C. 5x – 3x – 8 = – 29 + 9x

Resolution:

2x – 9x = – 29 + 8

– 7x = – 21 .( –1) multiplier todos por -1

7x = 21

x = 21

7

x = 3

exercise 2

Encontre o valor da incógnita na equação a seguir:

5 – (4x + 2) = 8 + 2(x – 1)

5 – 4x – 2 = 8 + 2x – 2

– 4x + 3 = 6 + 2x

– 4x – 2x = 6 – 3

– 6x = 3 .( –1)

6x = – 3

x = – 3 ÷ 3 (simplification)

6 3

O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira:

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

O teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, tendo influenciado outros grandes resultados matemáticos. Veja também uma das demonstrações do teorema e parte da biografia de seu criador.

Saiba Também: 4 more mistakes Kometidos na trigonometria básica

Topicos deste artigo

Formula do teorema de Pitagoras

Para aplicação do teorema de Pitágoras, é necessário compreender as nomenclaturas dos lados de um triângulo retângulo. O maior lado do triângulo fica semper oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse lado recebe o name de hipotenusa e sera representado aqui pela letra a.

Os demais lados do triângulo são chamados de catetos e serão aqui representados pelas letras b e c.

O teorema de Pitágoras afirma que é valida a relação a seguir:

Assim, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

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Demonstração do teorema de Pitagoras

Vamos ver a seguir uma das maneiras de mostrar a veracidade do teorema de Pitágoras. Para isso, think about quadrado ABCD com lado medindo (b + c), como mostra a figura:

O primeiro passo existe em determinar a area do quadrado ABCD.

A ABCD = (b + c)2 = b2 + 2bc + c2

O segundo passo existe em determinar a area do quadrado EFGH.

A EFGH = a2

Podemos perceber que existem quatro triângulos congruentes:

O terceiro passo é calcular a area desses triângulos:

A triângulo = b c

2

O quarto passo e ultimo requer o calculo da area do quadrado EFGH utilizando a area do quadrado ABCD. Veja que, se considerarmos a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos, que são as mesmas, sobra somente o quadrado EFGH, então:

An EFGH = An ABCD – 4 · A Triângulo

Substituindo os valores encontrados no primeiro, segundo e terceiro passo, vamos obter:

a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 * bc

2

a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc

a2 = b2 + c2

Mapa Mental: Teorema de Pitagoras

*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui!

Triângulo pitagorico

Um triângulo retângulo qualquer é chamado de triângulo pitagórico caso a medida de seus lados satisfaça o teorema de Pitágoras.

Examples:

O triângulo acima é pitagórico, pois:

52 = 32 + 42

Já o triângulo a seguir não é pitagórico. veja

262 ≠ 242 +72

Leia também: Aplicações das leis trigonométricas de um triângulo: seno e cosseno

Teorema de Pitágoras e os números irracionais

O teorema de Pitágoras trouxe consigo uma nova descoberta. Ao construir um triângulo retângulo em que os catetos são iguais a 1, os matemáticos, na época, depararam-se com um grande desafio, pois, ao encontrar o valor da hipotenusa, um número desconhecido apareceu. Veya:

Applicando o teorema de Pitagoras, temos que:

O número encontrado pelos matemáticos da época hoje é chamado de irracional.

Leia também: Relação entre os lados e os angulos de um triângulo

Exercises resolvidos

Questão 1. Determine o valor de x no triângulo a seguir.

Resolution:

Applicando o Teorema de Pitagoras, temos o seguinte:

132 = 122 + x2

Solvendo as potências e isolando a incógnita x, temos:

x2 = 25

x=5

Questão 2. Determine a Medida c dos catetos de um triângulo retângulo isósceles em que a hipotenusa mede 30 cm.

Resolution:

Sabemos que o triângulo isósceles possui dois lados iguais. Entao:

Expressões Algebricas

Rosimar Gouveia Professora de Matemática e Física

Expressões algébricas são expressões matemáticas que presentam números, letras e operações.

As expressões desse tipo são usadas com frequência em fórmulas e equações.

As letras que aparecem em uma expressão algébrica são chamadas de variáveis ​​e representam um valor desconhecido.

Os números escritos na frente das letras são chamados de coeficientes e deverão ser multiplicados pelos valores atribuídos as letras.

examples

a) x + 5

b) b2 – 4ac

Calculo de uma Expressão Algebrica

O valor de uma expressão algébricadepende do valor que sera atribuído às letras.

Para calcular o valor de uma expressão algébrica devemos substituir os valores das letras e efetuar as operações indicadas. Lembrando que entre o coeficiente e a letras, a operação é de multiplicação.

example

O perímetro de um retângulo é calculated usando a formula:

P = 2b + 2h

Substituindo as letras com os valores indicados, encontre o perímetro dos seguintes retângulos

Para saber mais sobre perímetro leia também Perimetro de figuras planas.

Simplificação de Expressões Algébricas

Podemos escrever as expressões algébricas de forma mais simples somando seus termos semelhantes (mesma parte literal).

Para simplificar iremos somar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e repeat a parte literal.

examples

a) 3xy + 7xy4 – 6x3y + 2xy – 10xy4 = (3xy + 2xy) + (7xy4 – 10xy4) – 6x3y = 5xy – 3xy4 – 6x3y

b) ab – 3cd + 2ab – ab + 3cd + 5ab = (ab + 2ab – ab + 5ab) + (- 3cd + 3cd) = 7ab

Fatoração de Expressões Algébricas

Fatorar significa escrever uma expressão como produto de termos.

Transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação de termos, frequentemente nos permissione simplificar a expressão.

Para fatorar uma expressão algébrica podemos usar os seguintes casos:

Factor comum em evidência: ax + bx = x . (a + b)

Theorem: ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b)

Trinômio Quadrado Perfeito (Adição): a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença): a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Diferença de dois quadrados: (a + b) . (a – b) = a2 – b2

Cubo Perfeito (Soma): a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Cubo Perfeito (Diferença): a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Para saber mais sobre fatoração, leia tambem:

Monomios

Quando uma expressão algébrica apresenta apenas multiplicações entre o coeficiente e as letras (parte literal), ela é chamada de monômio.

examples

a) 3ab

b) 10xy2z3

c) bra (quando não aparece nenhum número no coeficiente, seu valor é igual a 1)

Os monômios semelhantes são os que apresentam a mesma parte literally (mesmas letras com mesmos expoentes).

Os monomios 4xy and 30xy são semelhantes. Já os monômios 4xy e 30x2y3 não são semelhantes, pois as letras correspondentes não possuem o mesmo expoente.

Polinomios

Quando uma expressão algébrica possui somas e subtrações de monômios não semelhantes é chamada de polinômio.

examples

a) 2xy + 3x2y – xy3

b) a+b

c) 3abc + ab + ac + 5 bc

Operações Algebricas

Soma e subtração

A soma ou a subtração algébrica é feita somando-se ou subtraindo-se os coeficientes dos termos semelhantes e repetindo a parte literal.

example

a) Somar (2×2 + 3xy + y2) com (7×2 – 5xy – y2)

(2×2 + 3xy + y2) + (7×2 – 5xy – y2) = (2 + 7)x2 + (3 – 5)xy + (1 – 1)y2 = 9×2 – 2xy

b) Subtract (5ab – 3bc + a2) de (ab + 9bc – a3)

É importante observar que o sinal de menos na frente dos parênteses inverte todos os sinais de dentro dos parênteses.

(5ab – 3bc + a2) – (ab + 9bc – a3) = 5ab – 3bc + a2 – ab – 9bc + a3 =

(5 – 1)ab + (- 3 – 9)bc + a2 + a3 = 4ab -12bc + a2 + a3

Multiplicação

A multiplicação algébrica é feita multiplicando-se termo a termo.

Para multiplicar a parte literal, usamos a propriedade da potenciação para multiplicação de mesma base: “repete-se a base e soma-se os expoentes”.

example

Multiplier (3×2 + 4xy) com (2x + 3)

(3×2 + 4xy) . (2x + 3) = 3×2 . 2x + 3×2 . 3 + 4xy . 2x + 4xy . 3 = 6×3 + 9×2 + 8x2y + 12xy

Divisão de um polinômio por um monômio

A divisão de um polinômio por um monômio é feita dividindo os coeficientes do polinômio pelo coeficiente do monômio. Na parte literally, usa-se a propriedade da divisão de potência de mesma base (repete-se a base e subtrai os expoentes).

example

Para saber mais, leia também:

exercises

1) Send a = 4 e b = – 6, encontre o valor numérico das seguintes expressões algébricas:

a) 3a + 5b

b) a2 – b

c) 10ab + 5a2 – 3b

Ver Resposta a) 3.4 + 5.(-6) = 12 – 30 = – 18

b) 42-(-6)=16+6=22

c) 10.4. (-6) + 5.(4)2 – 3.(-6) = – 240 +80 + 18 = – 240 + 98 = – 142

2) Escreva uma expressão algébrica para expressar o perímetro da figura abaixo:

Responsible for P = 4x + 6y

3) Simplifique os polinomios:

a) 8xy + 3xyz – 4xyz + 2xy

b) a + b + ab + 5b + 3ab + 9a – 5c

c) x3 + 10×2 + 5x – 8×2 – x3

Resposta a) 10xy – xyz

b) 10a + 6b – 5c + 4ab

c) 2×2 + 5x

4) send,

A = x – 2y

B = 2x + y

C = y + 3

Calculation:

a) A+B

b) B-C

c) A.C

Responsible for a) 3x -y

b) 2x – 3

c) xy + 3x – 2y2 – 6y

5) Qual o resultado da divisão do polinômio 18×4 + 24×3 – 6×2 + 9x Pelo Monomio 3x?

Resposta 6×3 +8×2 – 2x + 3

Confira mais questões, com resolução commentada, em Exercícios sobre Expressões Algebricas.

O calculate de porcentagens é um dos temas que mais gera duvidas quando se trata de matemática. Muito cobrado no Enem e em vestibulares de grandes instituições nacionais, esses cálculos também são bastante comuns no dia a dia, já que ajudam a calcular descontos de produtos, taxas de juros em financiamentos e até os lucros em uma negociação importante, por exemplo.

Mas, a final, o que é porcentagem?

De uma maneira muito simples, a portionagem é uma forma matemática de demonstrar uma proporção entre o todo e uma de suas partes.

Por example: Imagine um concurso culturelle com 160 inscritos. O todo, neste caso, é representado por todos os involved da iniciativa, ou seja, correspond 100% to the inscrições.

Agora, imagine that 25% of the fichas de inscrição foi preenchida incorretamente. Como é possible descobrir o total exato de inscrições com problemas?

A porcentagem é uma representação de um valor dividido por 100. Então, mencionar o valor 25% é o mesmo que dizer 25 of 100 inscrições -25/100 – ou seja, 25 dividido por 100.

No caso do nosso example, para descobrir o valor exato, basta multiplicar o todo pela porcentagem. Veya:

160 x 25% = 160 x (25/100) = 160 x 0.25 = 40

Portanto, são 40 inscrições que precisam ser refeitas.

Porcentagem e suas representações

Entender valores de porcentagens envolve também compreender e reconhecer seus diversos formatos. Elas podem ser representadas pelo símbolo %, por uma fração ou mesmo por um número decimal.

25% = 25/100 = 0.25

55% = 55/100 = 0.55

7% = 7/100 = 0.07

Entendendo os calculos

Agora que você já entendeu o raciocínio que envolve as porcentagens, vamos ver alguns exemplos específicos de calculos.

Calculated descontos

Uma calça no valor from R$ 120 is with 30% discount. Então qual é o valor da peça?

Primeiro, precisamos saber qual o valor do desconto. Para isso, basta multiplicar o valor original pela porcentagem.

120 x 30% = 120 x (30/100) = 120 x 0.3 = 36

Neste caso, como se trata de um desconto, precisamos subtrair o valor percentual do valor total. Portanto, a Calça Custa 84 Reais with a 30% discount.

Vale res altar que nesta situação também podemos calcular o novo valor por outro caminho. Se a peça está com 30% de desconto, significa que iremos pagar apenas 70% do seu valor. Veya:

120 x 70% = 120 x (70/100) = 120 x 0.7 = 84

Calculando acrescimos

Você recebeu uma promoção, e agora seu salário terá um aumento de 15%. Considerando que seu salário, atualmente, é R$ 1400, qual será o valor que você vai começar a receber?

Mais uma vez, precisamos entender primeiramente quantos reais correspond to a 15% do valor total.

1400 x 15% = 1400 x (15/100) = 1400 x 0.15 = 210

Como se trata de um acréscimo, somamos o primeiro valor ao da porcentagem de aumento. Neste caso, o salário sera de R$ 1610.

A opção por um outro caminho também vale nesta situação. Se você vai receber 15% de aumento, significa que o novo salário será 115% do seu valor original. Accompaniment:

1400 x 115% = 1400 x (115/100) = 1400 x 1.15 = 1610

Procentagens úteis

Alguns valores percentuais são muito comuns e extremamente simples de serem calculados, por isso é semper bom tê-los em mente para facilitar os calculos e economomizar tempo. De uma olhada:

Para calcular 10% de um valor, é necessário dividir seu total por 10, porque 10% = 10/100.

Neste caso, para descobrir quanto é 10% de 200, basta divider o total. Por isso, 200/10 = 20.

Esse raciocínio tem orige na simplificação das frações e também vale para outras porcentagens.

20% represent 20/100, ou seja, ?. Neste caso, 20% of 85 é 85/5 = 17

25% represents 25/100, or seja, ¼. Neste caso, 25% of 8 é 8/4 = 2

50% represents 50/100, ou seja, ½. Neste caso, 50% of 64 and 64/2 = 32

Dica prática: calculation 1%

Outra opção prática para calcular porcentagens é encontrar o coriente a 1% do valor total, dividindo o todo por 100. Confira mais um exemplo.

Como charges 27% de 1300?

Primeiro, vamos encontrar o valor correspondente a 1%.

1300/100 = 13

Agora, basta multiplicar o valor de 1% pela porcentagem que deseja descobrir, porque 27% é 27 vezes 1%.

27 x 13 = 351

Portanto, 27% of 1300 corresponds to a 351.

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Number Romano XX

O número romano XX corresponds to ao número 20 (vinte).

XX

=

20

O Século XX corresponde aos anos de 1901 a 2000.

O number XX é construído da seguinte forma: 10 + 10

digit

Decimal 2 0 0 1 M C X I 2 MM CC XX II 3 MMM CCC XXX III 4 CD XL IV 5 D L V 6 DC LX VI 7 DCC LXX VII 8 DCCC LXXX VIII 9 CM XC IX

Number anterior: XIX = 19

Número seguinte: XXI = 21

Conversor de números romanos Romano: XX Converter Decimal: Converter

Os algarismos romanos

Sistemas lineares são conjuntos de equações em que as incógnitas possuem o mesmo valor independentemente da equação onde elas estão. O método da substituição é uma das opções existentes para resolver esse tipo de problema.

Para que um conjunto de equações seja Considerado um sistema, é necessário que incógnitas iguais representem números iguais. Nesse caso, usamos “abre chave” (o símbolo { é abre chave) para representar essa relação entre as equações. Assim, about an example of the system:

Observando as equações separately, x = 2 and y = 1 and the resultado possível. Verifique is so colocando 2 no lugar de x e 1 no lugar de y e fazendo os cálculos. Para o sistema, esse é o único resultado possível.

Resolver to sistema, portanto, é encontrar os valores de x e y que o tornam verdadeiro.

Metodo da substituição

Esse metodo existe basicamente em três etapas:

Encontrar o valor algébrico de uma das incógnitas usando uma das equações;

Substituir esse valor na outra equação. Com isso, encontra-se o valor numérico de uma das incógnitas;

Substituir o valor numérico já encontrado em uma das equações para descobrir o valor da incógnita ainda desconhecida.

Como example, note a seguinte solução de um sistema:

Para o primeiro passo, podemos escolher qualquer uma das equações. Sugerimos semper a escolha daquela que possui pelo menos uma incógnita com coeficiente 1 e essa deve ser a incógnita que terá seu valor algébrico encontrado. Escolheremos, portanto, a segunda e encontraremos o valor algébrico de x. Esse procedure também é conhecido como “isolar a incógnita”, assim, também podemos dizer que isolaremos x:

x + y = 20

x = 20 – y

Note que, para esse processo, apenas usamos as regras de solução de equações.

O segundo passo é substituir o valor dessa incógnita na outra equação. Note que não é permissionido substituir o valor de x na mesma equação já usada. Assim, Terme:

5x + 2y = 70

5 * (20 – y) + 2y = 70

Applicando a propriedade distributiva:

100 – 5 years + 2 years = 70

– 5 years + 2 years = 70 – 100

– 3 years = – 30

3 years = 30

y = 30

3

y = 10

Para cumprir o terceiro passo, basta substituir o valor da incógnita encontrada em qualquer uma das equações. Escolheremos a segunda por possuir os coeficientes menores.

x + y = 20

x + 10 = 20

x = 20 – 10

x = 10

A solution to the sistema acima é x = 10 and y = 10, que também pode ser escrita da seguinte maneira: S = {10, 10}. See essa última for usada, certifique-se de colocar primeiro o valor de x e, em seguida, o de y: S = {x, y}.

By Luis Paulo Moreira

Graduado em Matematica

Aproveite para conferir our video hall sobre o assunto:

Situations-problema que envolvem uma equação do 2º grau são bastante comuns na Matemática, Física e Química. Definimos como equação do 2º gray a equação ax² +bx +c = 0, em que a, b e c são números reais e a ≠0.

De modo generally, there existem equações do 2º completas e incompletas, que são resolvidas pela fórmula de Bhaskara ou por soma e produto. Vale dizer que as equações do 2º grau incompletas possuem métodos específicos de resolução, que, algumas vezes, são mais comfortablees do que utilizar Bhaskara ou soma e produto.

Leia também: Quais as diferenças between função e equação?

Equação do 2º gray

O que são equações do segundo grau?

Definimos como equação do 2º grau ou equações quadráticas qualquer equação do tipo ax² + bx + c = 0 em que a, b e c são números reais e a ≠ 0. Ela recebe esse nome porque, no primeiro membro da igualdade, há um polinômio de grau dois com uma única incógnita. Note que, dos coeficientes a, b e c, somente o a é diferente de zero, pois, caso ele fosse igual a zero, o termo ax² seria igual a zero, logo a equação se tornaria uma equação do primeiro gray: bx + c = 0.

Independentemente da ordem da equação, o coeficiente a semper acompanha o termo x², o coeficiente b semper acompanha o termo x, e o coeficiente c é semper o termo independente.

Confira alguns examples de equações do 2º gray:

a) 2x² – 3x + 4 = 0 → a = 2; b= – 3; c = 4

b) – x² + 5x – 1 = 0 → a = -1; b = 5; c = -1

c) 5x² = 0 → a = 5; b = 0; c = 0

d) x² – 2 = 0 → a = 1 b = 0; c = -2

e) -3x² + 0.2x = 0 → a= – 3; b= 0.2; c = 0

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Tipos de equações do 2º gray

Existem dois tipos de equações do 2º gray: as que são completas e as que são incompletas. Uma equação é conhecida como completa quando ela possui todos os seus coeficientes diferentes de zero, como os exemplos (a) e (b) apresentados anteriormente. Quando pelo menos um de seus coeficientes é igual a zero, a equação é conhecida como incompleta, como nos exemplos (c), (d) e (e).

Examples:

2x² + 3x – 4 = 0 → complete

9x² – 2 = 0 → Incomplete

Veja também: Como resolver problems as envolvendo equações?

Como Resolver Equações do 2º gray?

Conhecemos como soluções ou raízes da equação ax² + bx + c = 0 os valores de x que fazem com que essa equação seja verdadeira. Uma equação do 2º Grau pode ter no máximo dois números reais que sejam raízes dela. Para resolver equações do 2º gray completes, existem dois métodos mais comuns:

Formula de Bhaskara;

soma e produto.

O primeiro método é bastante mecânico, o que faz com que muitos o prefiram. Já para utilizar o segundo, é necessário o conhecimento de múltiplos e divisores. Além disso, quando as soluções da equação são números quebrados, soma e produto não é uma alternative boa.

Formula of Bhaskara

Para encontrar a solução de uma equação do 2º grau utilizando a fórmula de Bhaskara, precisamos conhecer duas fórmulas: uma delas é a do delta (Δ), conhecido também como discriminant, e a outra é a fórmula de Bhaskara.

Nem semper a equação possui solução real. O valor do Δ é que nos indica isso, existindo três possibilidades.

Se Δ > 0, então a equação possui duas soluções reais.

Se Δ = 0, então a equação possui uma única solução real.

Se Δ < 0, então a equação não possui solução real. Example: Encontre as raízes da equação x² + 2x – 3 = 0. 1º passo: encontrar os valores dos coeficientes a, b e c. a = 1 b= 2 c= –3 2º passo: calcular o delta por meio da substituição do valor dos coeficientes na formula. Δ = b² - 4ac Δ = 2² - 4 * 1 * (- 3) Δ = 2² - 4 * 1 * (- 3) Δ = 4 - 4 * (- 3) Δ = 4 + 12 = 16 Como Δ > 0, então essa equação terá duas soluções reais.

3º passo: usar a fórmula de Bhaskara, substituindo as letras pelos valores da equação dos coeficientes e de delta.

Nesse momento, é necessário dividir as duas soluções: uma sera a soma e a outra sera a diferença.

Então as possíveis soluções para essa equação são x = 1 or x = – 3.

Access também: Bhaskara: resolvendo uma equação completa do 2° gray

Soma e produto

Nesse método é importante conhecer os divisores de um número. Ele se torna interesting quando as raízes da equação são números inteiros, porém, quando são um número decimal, esse método fica bastante complicado.

A soma e o produto é uma relação entre as raízes x 1 e x 2 da equação do segundo grau, logo devemos buscar quais são os possíveis valores para as raízes que satisfazem a seguinte relação:

Example:

Encontre as soluções para a equação x² – 5x + 6 = 0.

1º passo: encontrar a, b e c.

a = 1

b = -5

c = 6

2º passo: substituir os valores de a, b ec na formula.

3º passo: encontrar o valor de x 1 e x 2 analisando a equação.

Nesse caso, estamos procurando dois números cujo produto seja igual a 6 e a soma seja igual a 5.

Os números cuja multiplicação é igual a 6 são:

I. 6 x 1 = 6

II. 3 x 2 = 6

III. (-6) x (-1) = 6

IV. (-3) x (-2) = 6

Dos possíveis resultados, vamos buscar aquele em que a soma seja igual a 5. Note que somente a II possui soma igual a 5, logo as raízes da equação são x 1 =3 e x 2 =2.

Leia também: Soma e produto das raízes de uma equação do 2º gray

Equações incompleteas

Existem três possibilidades de equação incompletea. Para cada uma delas, é possible realizar a resolution por soma e produto ou também pela formula de Bhaskara, porém cada uma delas possui uma terceira forma, geralmente com resolution mais rápida.

Equações incompletas do tipo ax² = 0

Nesse caso não há muito o que ser feito, já que b = 0 e c = 0. Aplicar qualquer um dos métodos anteriores seria bastante demorado. Então, basta isolarmos o x.

Logo, para qualquer valor de a — lembrando que, por definição, a é diferente de zero —, o valor de x semper será 0.

Equações incompletas do tipo ax² + bx =0

Nesse caso, quando somente c = 0, é possível colocar o x em evidência na equação, gerando o seguinte produto:

x(ax+b) = 0

Para que uma multiplicação seja igual a zero, um dos seus termos precisa ser zero, logo as possibilidades são:

x= 0 or ax+b = 0

Uma das soluções é x = 0, e a outra é uma equação do primeiro grau, que podemos resolver isolando o x.

Example:

2x² + 3x = 0

Encontramos uma solução x 1 = 0. Isolando x na segunda equação, temos que:

Equações incompletas do tipo ax² + c =0

Nesse caso é possível resolver isolando a incógnita, ja que o termo c é independente, ou seja, não acompanha nenhuma incógnita. É necessário o domínio de equação do 1º gray nesse caso.

Example:

3x² – 12 = 0

System de equações do segundo gray

Resolver sistemas de equação do segundo grau exige que você tenha domínio da resolução de um sistema de equações do primeiro grau. Nesse caso, é essential o domínio do método da adição e do método de substituição.

Example:

1º passo: isolar uma das incógnitas na equação do primeiro gray.

Notice que a equação II é do primeiro gray, logo reescreveremos isolando o y.

y = 1 – x

2º passo: substituir y na primeira equação.

x² + y² = 5

x² + (1 – x)² = 5

x² + 1 – 2x + x² = 5

2x² – 2x + 1 =5

Note que estamos encontrando uma equação do 2º gray, então vamos igualar a equação a zero.

2x² – 2x + 1 – 5 = 0

2x² – 2x – 4 = 0

Tendo a equação do 2º gray, vamos resolver utilizando soma e produto, mas Bhaskara também seria eficiente nesse caso.

a = 2

b = -2

c = -4

The possible numbers that are produced are the same as -2 são:

A. 1 x (-2) = – 2

e.g. (-1) x 2 = – 2

The resultados possíveis, queremos aquele que a soma seja igual a 1, logo o resultado B é a solução da equação.

x1 = -1 and x2 = 2

3º passo: conhecendo o valor de x, vamos encontrar os possíveis valores para y substituindo cada um deles na equação x + y = 1.

x + y = 1

x = -1

-1 + y = 1

y = 1 + 1 = 2

O par (-1, 2) and a solution to the sistema de equação.

Agora faremos o seguinte:

x + y = 1

x = 2

2 + y = 1

y = 1 – 2

y = -1

O par (2, -1) também é solução do sistema.

As possíveis soluções do sistema são S { (2, -1); (-1, 2)}.

Veja também: Equações biquadradas – equações de quarto grau que possuem resolução específica

Exercises resolvidos

Questão 1 – (Fuvest – adaptada) Se m e n são raízes de x² -6x +10 = 0, então a soma do inverso de m com o inverso de n é igual a?

a) 6

b) 2

c) 1

D) 3/5

E) 1/6

resolution

Alternate D

Primeiro vamos encontrar o valor de m e n. Para isso, temos a equação x² – 6x + 10 = 0.

a = 1

b = -6

c = 10

Utilizando soma e produto, temos que:

Logo, soma do inverso de m e de n pode ser resolvida por:

Como é conhecido o valor do numerador e do denominador, temos que:

Questão 2 – O valor de c que faça com que a equação x² +6x + c =0 tenha somente uma solução real é:

A)-9

b) 3

c) 2

D)-3

E) 9

resolution

Alternate E

Para que a equação tenha somente uma solução, o Δ precisa ser igual a zero.

a = 1

b = 6

Δ = b² – 4ac

Δ = 6² – 4 x 1c

Δ = 36 – 4c

36 – 4c = 0

36 = 4c

c = 36/4

c = 9