Equation A Deux Inconnus? The 224 Detailed Answer

Systems d’equations linéaires

1 Système de deux équations linéaires à deux inconnues

Definition 1 :

Soit a, b et c trois nombres donnés. Toute équation de la forme ax + by = c est une équation linéaire à deux inconnues.

Remark : the solution of the pair de cette équation is the pair (x0 ; y0) tel que ax0 + bx0 = c.

Definition 2:

Soit a, b, c, a’, b’ and c’ des réels donnés. A system de deux équations linéaires à deux x et y est de la forme :

Remark : soit le couple (x0 ; y0). Ce couple est solution du système si et seulement si (x0 ; y0) est solution de chacune des deux équations du système.

Interpretation graphic

Soit (d) et (d’) deux droites d’équations respectively : ax + by – c = 0 and a’x + b’y – c’ = 0.

Soit M = (u;v) un point du plan. Dire que M is the solution du système deux équations à deux inconnues (S) revient à dire que le point M appartient à la fois à (d) et (d’).

On the distinction of three cas :

Si (d) et (d’) sont paralleles et apartes, le système (S) n’admet aucun pair solution.

Si (d) and (d’) sont secantes, the system (S) admet a unique solution.

Si (d) and (d’) sont confondues, so that the system (S) admet an infinite de couples solutions.

Conclusion : Résoudre (S) revient à étudier la position relative des droites (d) et (d’)

2 Le determinant du système

Theorème: soit

so on a

ab’ – a’b différent de 0 <-> (S) admet a unique pair solution

ab’ – a’b = 0 <-> soit (S) n’admet aucun pair solution

soit (S) admet an infinite de couples solutions

Definition : le réel (ab’- a’b) est appelé le determinant du système (S)

As a note:

3 methods of resolving a system

3.1 Case or le determinant est non nul

Method par substitution :

There are three tapes in the method by substitution:

dans l’une des deux équations, on expressed x (ou y ) en fonction de y ( ou relativement de x) dans la seconde équation, on substitue à x l’expression obtenue en 1. On obtient alors une équation où il n’ ya plus qu’une seule inconnue. On résout asor cette équation à une inconnue et trouve la valeur de l’inconnue. Dans la première équation, on remplace y par sa valeur. On se retrouve de nouveau avec une équation à une seule inconnue et on résout cette équation. On ainsi trouvé le pair unique solution du système.

Example : On this you suggest de résoudre dans R² le système suivant :

Le determinant est : 1 x (-1) – 3 x 2 = -7. -7 est bien different de 0 donc le système admet un pair solution unique

1ère étape : dans la première équation, on express x en fonction de y. Celadon: x = 2 – 3y

dans la première équation, on express x en fonction de y. Cela donne : x = 2 – 3y 2ème étape : dans la seconde équation, on substitue x par l’expression (2 – 3y). Cela donne : 2(2 – 3y) – y = 1. On obtient donc une équation à une seule inconnue qui ici est y. On résout alors l’équation ce qui nous donne : 4 – 7y = 1 <-> 7y = 3 <-> y = 3/7

dans la seconde équation, on substitue x par l’expression (2 – 3y). Cela donne : 2(2 – 3y) – y = 1. On obtient donc une équation à une seule inconnue qui ici est y. On résout then l’équation ce qui nous donne : 4 – 7y = 1 <-> 7y = 3 <-> y = 3/7 3ème étape : on replace y par sa valeur dans la première équation ce qui nous donne : x + 3 (3/7) = 2 <-> x = 14/7 – 9/7 <-> x = 5/7.

Le couple solution du système (S) est donc (5/7 ; 3/7)

Method by combinaison lineaire:

On each distinguishing 3 tapes for this method:

On multiplie l’une des deux équation par un réel quelconque (positif ou négatif) afin que la valeur absolutely du the coefficient de x (ou de y) soit égale dans les deux équations. On additionne ( or on soustrait ) membre à membre les deux équations afin que l’une des deux inconnues disparaissent. On se retrouve alors avec a équation à une seule inconnue que l’on résout. On trouve ainsi l’une des deux inconnues. On replacement in the première équation la valeur de l’inconnue trouvée précédemment. Il reste à résoudre une équation à une seule inconnue et on obtient ainsi le couple solution du système.

Example : On se you suggest de résoudre dans R² le système (S’) suivant :

The determinant of the system is : 3 x (-2) – 1 x (-9) = 3. The determinant is different from 0.

1ère étape : on multiplie la première équation par 3 ce qui nous donne 9x + 3y = 30. La valeur absolute du the coefficient de x est bien égale dans les two équations

on multiplie la première équation par 3 ce qui nous donne 9x + 3y = 30. La valeur absolutely due coefficient de x est bien égale dans les deux équations 2ème étape : on ajoute membre à membre les deux équations ce qui nous donne : y = 34 On constate que le facteur multiplicatif 3 a été choisi pour que, en ajoutant membre à membre, les x disparaissent.

on ajoute membre à membre les deux équations ce qui nous donne : y = 34. On constate que le facteur multiplicatif 3 a été choisi pour que, en ajoutant membre à membre, les x disparaissent. 3ème étape : on replacing y ( y = 34 ) par sa valeur dans la première équation ce qui nous donne 3x = 10 – 34 <-> x = -8 Le couple solution du système est donc (-8 ; 34)

3.2 Case or le determinant est nul

Remarque préliminaire : lorsque le determinant d’un système de deux équations à deux inconnues est nul, il n’y a que deux possibilités :

soit le système n’admet aucune solution

soit the system admet a infinite de solutions

Propriété: lorsque le determinant d’un système est nul, on peut toujours ramener ce système à un système dont les deux équations ont le même premier member.

Système n’admettant aucune solution

A système sans solution est un système dont les deux équations ont le même premier membre et dont le deuxième membre est different

Example: On se you suggest de résoudre dans R² le système suivant

The determinant of the system is : 3 x (-6) – (-2) x 9 = 0

En multipliant par 3 the première équation on obtient 9x – 6y = 30

Or pour all couple (x ; y), le réel (9x – 6y) ne peut être égale à la fois à 24 et à 30.

Le système (S) n’admet donc aucune solution.

Systems admettant and infinite solutions

A system admettant une infinite de solutions est un système que l’on peut transformer afin d’obtenir un système dont les deux équations ont le meme premier membre et le meme deuxième membre.

Example: On se you suggest de résoudre dans R² le système suivant

the determinant of the system is: 2 x ( 4/3 ) – 1/3 x 8 = 0

En multiplied by 4 the first equation, if required : 8x + 4/3y = 28

Ce système se réduit alors à une équation à deux inconnues qui est : ( 8x + 4/3y = 28 )

On donne allors à l’une des deux inconnues une value Arbitaire, par example, à x. On prend donc x = b, b appartenant à R.

On en déduit about the value of y : y = 21 – 6b Le système admet donc pour solutions les couples de la forme (b;21-6b), b étant un réel quelconque. The system admet donc une infinite de solutions.

Note: graphiquement, tous les couples solutions de ce système sont les points situés sur la droite d’équation y = -6x + 21

En mathématiques, une combinaison linéaire est one expression construite à partir d’un ensemble de termes en multipliant chaque terme par une constante et en ajoutant le résultat. Par example, une combinaison linéaire de x et y serait une expression de la forme ax + by, où a et b sont des constantes.

Le concept de combinaison linéaire est central en algèbre linéaire et dans of domaines connexes of mathématiques. The majeure partie de cet article traite des combinaisons linéaires dans le contexte d’espace vectoriel sur un corps commutatif, et indique quelques généralisations à la fin de l’article.

Soient K un corps commutatif et E un space vectoriel sur K. Les éléments de E sont appelés les vecteurs et les éléments de K les scalaires. Si v 1 , …, v n sont des vecteurs et a 1 , …, a n des scalaires, alors la combinaison linéaire de ces vecteurs ayant comme coefficients ces scalaires est le vecteur a 1 v 1 + … + a n v n .

Pour parler de combinaison linéaire d’une famille (vi) i∈I de vecteurs de E indexée par un ensemble I éventuellement infini, il est nécessaire de adopter que la famille (a i ) i∈I de scalaires est à support fini, c’ est-à-dire[1] qu’il n’y a qu’un ensemble fini d’indices i pour lesquels a i est non nul. La combinaison linéaire[1] des v i de coefficients les a i est alors[2] la somme ∑ i∈I a i v i (en particulier, une combinaison linéaire ne portant sur aucun vecteur est la somme vide, égale au vecteur nul).

A “relationship of the dependent line” is a combinaison line equal to the vector nul. A family of vectors est liée si elle possède au moins une relation de dépendance linéaire «non triviale», c’est-à-dire à coefficients non tous nuls.

Une partie non vide F de E est un sous-espace vectoriel si et seulement si F est « stable par combinaisons linéaires », c’est-à-dire si toute combinaison linéaire de vecteurs de F est encore un vecteur de F.

Soient K le corps ℝ des nombres réels et E l’espace vectoriel euclidien ℝ 3 .

Consider the vectors e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) and e 3 = (0, 0, 1).

Alors, tout vector ( a 1 , a 2 , a 3 ) de ℝ 3 est une combinaison linéaire de e 1 , e 2 et e 3 . En effet, ( a 1 , a 2 , a 3 ) = a 1 (1, 0, 0) + a 2 (0, 1, 0) + a 3 (0, 0, 1) = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 .

le corps ℝ des nombres réels et l’espace vectoriel euclidien ℝ . Considérons les vecteurs = (1, 0, 0), = (0, 1, 0) and = (0, 0, 1). Alors, tout vector ( , , ) de ℝ est a combinaison linéaire de , et . En effet, ( , , ) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, 1) = + + . Soient K le corps ℂ des nombres complexes et E l’espace des fonctions de ℝ dans ℂ. Les formules d’Euler experiment les fonctions f : x ↦ eix et g : x ↦ e–ix comme combinaisons linéaires des fonctions cosinus et sinus : f = cos + i sin, g = cos – i sin et inversion : cos = (1 /2) f + (1/2)g, sin = (-i/2)f + (i/2)g . Par contre, les fonctions constantes non nulles ne sont pas combinaisons linéaires de f et g , autrement dit : les fonctions 1 , f et g sont linéairement indépendantes [ 3 ] .

Considérons à nouveau un corps commutatif K, un K-espace vectoriel E et v 1 , …, v n des vecteurs de E. L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs s’appelle le « sous-espace vectoriel engendré » (ou juste « sous-espace engendré ») par ces vecteurs et se note Vect(v 1 , …, v n ) :

V e c t ( v 1 , … , v n ) = { a 1 v 1 + ⋯ + a n v n ∣ a 1 , … , a n ∈ K } . {\displaystyle \mathrm {Vect} (v_{1},\ldots ,v_{n})=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{1 },\ldots,a_{n}\in K\}.}

You E est un space vectoriel topologique, so il est possible de donner un sens à une combinaison linéaire infinie, en utilisant la topologie de E. Par exemple, nous pourrions parler de la somme infinie a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 against 3 + … .

De tells combinaisons linéaires infinies n’ont pas toujours un sens ; nous les qualifions de convertes lorsqu’elles en ont un. Le fait de pouvoir consider davantage de combinaisons dans ce cas peut également mener à des concepts plus larges de sous-espace vectoriel engdré, d’indépendance linéaire, et de bases.

Si K est un anneau commutatif au lieu d’être un corps, alors tout ce qui a été dit au-dessus sur les combinaisons linéaires se généralise sans aucun changement. La seule difference est que nous appelons ces espaces E des modules au lieu d’espaces vectoriels.

Si K est un anneau non commutatif, alors la notion de combinaison linéaire se généralise encore, nependant avec a reduction : puisque les modules sur les anneaux non commutatifs peuvent être des modules à droite ou à gauche, nos combinaisons linéaires peuvent également être écrites à droite ou à gauche, c’est-à-dire avec des scalaires places à droite ou à gauche, selon la nature du module.

An adaptation plus compliquée survient lorsque E est un bimodule sur deux anneaux, K G et K D . Dans ce cas, la combinaison linéaire la plus générale resemble à a 1 v 1 b 1 + … + a n v n b n , où a 1 , …, a n apppartiennent à K G , b 1 , …, b n appartiennent à K D et v 1 , …, v n Apartment at E

Notes and references [ modifier | modifier code ]

symbols

For the comparison of the mathematical objects selon a relation d’ordre, on use habituellement les symbols <, >, =, ≤ et ≥.