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대한수학회 ‘대학생 수학 경시대회’, 박선우∙구본수∙박주하 수상 | 아주대학교
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2018년 제 37회 대학생 수학경시대회(대수경) 제 1분야 풀이 : 네이버 블로그
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대한수학회 ‘대학생 수학 경시대회’, 박선우∙구본수∙박주하 수상
대한수학회 주최 ‘제40회 대학생 수학 경시대회’에서 우리 학교 학생 3명이 수상했다.
이번 대회는 지난 12월18일 비대면 온라인 시험으로 진행됐다. 수학 및 수학 관련 학과 대학생이 응시하는 제1분야와 그 이외의 학과에 재학 중인 대학생이 응시하는 제2분야로 나뉘어 실시됐다. 문제는 미적분학, 고등미적분학, 정수론, 선형대수학, 미분방정식, 기하학개론과 같은 대학교 수학과 1~2학년 교과과정에서 출제된다.
우리 학교에서는 수학과 박선우(16학번) 학생과 구본수(19학번) 학생이 제1분야에, 전자공학과 박주하(18학번) 학생이 제2분야에 응시해 동상을 수상했다.
박선우 학생은 “평소 공부해 온 것을 바탕으로 시험해 응시했는데 수상하게 되어 기쁘다”며 “다음 대회가 대학생으로서 마지막으로 응시할 수 있는 기회인데, 꼭 금상을 수상하고 싶다”고 소감을 전했다.
구본수 학생은 “군 복무 중에도 열심히 공부해 대회에 참가했는데, 목표했던 바를 달성하지는 못했다”며 “다음 대회에는 더욱 좋은 성적을 거두고 싶다”고 말했다.
제2분야에 응시한 박주하 학생은 “재미있는 경험으로 생각하고 응시했는데 좋은 결과로 이어졌다”며 “앞으로 더욱 열심히 공부하겠다”고 전했다.
대한수학회는 매년 대학생들을 대상으로 ‘대학생 수학 경시대회’를 개최해 대상, 금상, 은상, 동상 수상자에게 시상하고 있다.
2018년 제 37회 대학생 수학경시대회(대수경) 제 1분야 풀이
어쩌다보니 대수경에 나가는 학생들을 도와주게 되었는데 시험이 끝난 후 문제를 받아 풀어보았다. 공부하다가 머리도 식힐 겸해서 풀어봤는데 생각보다 흥미로운 문제들이 많아서 하나씩 퀘스트 깨듯이 푸는 재미가 쏠쏠했다. 머리가 뜨거워졌다. (그래서 결국 풀이까지 작성하게되었다..) 공식 풀이가 곧 올라오긴 하겠지만 누군가 보고 참고할 수 있지 않을까 싶어 미완성 블로그에도 올리게 되었다. 사실 일기에 더 가깝다.
1번 문제
쉬웠다.
2번 문제
무난했다. 사실 rank(A)=1이면 A=uv^t로 쓸 수 있다는 것은 어디선가 봤던 사실인데 예전 대수경에서도 나왔던 것 같다.
3번 문제
이차형식의 대각화와 치환적분 공식들을 잘 알고 있다면 무난히 풀 수 있는 문제였다. 공학수학 지식테스트 같아서 오히려 2분야에 더 어울리는 문제가 아니었나 싶다.
4번 문제
행렬곱이 바로 보이지 않아 당황했다. 이항전개를 한 후 바로 elementary row operation과 cofactor expansion을 해보았는데 잘 되지 않아 애를 먹었다. 2X2, 3X3일 때도 해봤는데 별 다른 규칙을 찾기 어려웠다(a.k.a. 삽질). 행렬곱이 보인 후에는 무릎(!)을 탁 쳤다. 적당히 곱의 형태로 마무리하려고 했는데 답이 계속 간단해져서 신기했다.
Vandermonde 행렬은 대수경의 단골 손님인 것 같다. 이 행렬의 행렬식이 잘 알려져 있으므로 필수로 알아두어야 한다.
5번 문제
고유벡터의 최대성분 찾아서 해결하는 아이디어는 작년 2분야에서도 나왔어서 최댓값은 금방 찾을 수 있었다. 최솟값은 2017*2018일 거라고 짐작은 했지만 제대로 증명하는데는 시간이 조금 걸렸다. 1^t A1이 A의 모든 성분의 합과 같다는데 착안했다. 이제 대칭행렬의 직교대각화도 필수 스킬인 것 같다.
6번 문제
이런 형태의 문제가 어려우면 진짜 많이 어려운데 6번에 있어서 조금 긴장했다. 다행히 귀류법 한 방으로 무난히 끝나버렸다. 잘못 푼 것 아닌가 싶어 몇 번을 다시 봤는데 맞게 푼 것 같다.
7번 문제
각 잡고 풀었다. (1)번과 (2)번 첫 파트가 너무 쉬워서 나머지 유일성 파트도 비슷한 아이디어겠거니 싶었는데 아니었다. 3차 함수 그래프 개형으로 더 이상 우겨볼 수 있는 각이 나오지 않았다. 그래서 귀류법으로 도전했는데 처음에는 x+y가 D의 fixed point인 경우에만 집착해서 자꾸 핀트가 맞지 않는 부분이 생겼다. 문제를 너무 만만하게 본 것이다. 그래서 모든 ax+by로 접근하여 이차형식의 판별식을 썼더니 A에 관한 것이 없어져서 잠시 행복감을 느꼈다. 그런데 여기서도 모순을 얻기가 쉽지 않았다. 결국 3차원 공간의 기하학(x^t Dx<0인 것은 벡터 x를 yz평면에 대칭시키면 x와 둔각을 이룬다는 뜻이다. 또 이렇게 되려면 x^2 > y^2 + z^2인 cone 안에 있어야 한다. 그리고 이 cone안에 있는 두 벡터는 절대 수직일 수 없다.)과 약간의 얻어걸림(성분을 써서 판별식을 노가다로 전개했더니 외적이 튀어나왔다..)을 이용해서 풀 수 있었다. 여기서 왜 외적이 등장하는지에 대한 약간의 찝찝함이 남아있다. 풀이가 지저분해보이는 감이 없지않아 있는데 더 좋은 방법이 있는지 궁금하다.
7-(2)를 풀고 나니 이걸 푸는데에만 전체 시험시간만큼이나 썼다는 사실을 알게되었다. (시험장이었으면 아마 빠르게 포기했을 것이다.) 푸는 과정에서 2차원일 때도 성립한다는 것을 알게되었기 때문에 이것이 일반적인 n차원에 대해서도 성립하는지가 문득 궁금해졌다. 그리고 앞서 성분을 써서 문제를 해결한 것에 대한 약간의 오기도 작용했다. 특히 4차원 이상에서는 외적으로 해결하지 못할텐데 뭐가 더 있는지도 궁금했다. 그래서 다음 문제에 이르게 되었다.
여기부터는 컴퓨터의 도움이 컸다. 먼저 maple 프로그램으로 4차원인 경우 행렬 X가 양의 준정부호(positive semi-definite)임을 확인하였다. 그러면 X가 0 또는 양의 고유치 4개를 가져야하는데 이 역시 갓 maple이 다 구해줬다. 이제 미약한 인간은 이것을 보고 이유를 만들면 되는데 다행히 수학공부 몇 년 더 한 짬밥으로 해결할 수 있었다. 이것의 기하학적 의미나 3차원에서 외적과의 관계는 아직도 잘 모르겠다. 이보다 더 좋은 증명도 있을지 모르겠지만 이미 시간을 너무 많이써서 접기로 했다. 그래도 이걸 하고나니 잠은 편하게 잘 수 있겠다 싶어 안도감이 들었다.
8번 문제
역시 8번이기도 하고 쉬워보이지는 않아서 살짝 쫄았으나, 뜯어보니 풀만한 수준이었다. 7번에서 지친 마음을 힐링할 수 있는 정도의 난이도였다. 그나저나 a_100 < 1인 조건은 필요없는 것 같은데 왜 줬는지 잘 모르겠다. 어디서 나온 문제인지도 궁금하지만 알 수 없으니 pass. 이상으로 1분야 풀이 및 소감을 모두 마친다. 다행히 현역 때보다 아는게 더 많아서인지 보이는 것도 더 많았다. 7번에서 조금 고생하긴했지만 symmetric이 아닌 positive definite 행렬에 대해서 처음으로 생각해보게되었다. 유익한 경험이었다. 뭐라고 마무리해야할 지 잘 모르겠다. 끝. p.s. 혹시 풀이에 궁금한 점이 있거나 좋은 제안이 있다면 댓글로 알려주시면 감사하겠습니다. 또는 [email protected]로 메일 보내주세요.
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