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(재료역학) 제8강 허용응력과 안전율

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허용 응력과 허용 하중

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1 안전계수

2 허용응력

3 허용 하중

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허용 응력과 허용 하중

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공학은 생활의 공통 목적에 대한 과학의 응용이라고 적절하게 기술되어 왔다. 이러한 임무를 완수하기 위하여, 공학인은 사회의 기본 요구에 부응하도록 보기에는 끝없이 많은 여러 대상들을 설계한다. 이러한 요구에는 주택, 농업, 교통, 통신 및 많은 현대 생활의 방편들이 포함된다. 설계에 고려해야 할 인자에는 가능성, 강도, 외관, 경제 및 환경보호가 포함된다. 그러나 재료 역학을 공부할 때, 설계의 주요한 관심사는 강도, 즉 물체의 하중지지 또는 전달 능력이다. 하중을 지탱해야 하는 물체에는 빌딩, 기계, 컨테이너, 트럭, 항공기 및 선박 등이 있다. 간단하게, 이러한 물체들을 구조물(structure)이라 하는데, 구조물이란 하중을 지지하거나 전달시키는 물체를 말한다.

1. 안전계수

구조물의 파단을 방지하려면 구조물이 지지할 수 있는 하중이 사용 중 작용될 하중보다 커야만 한다. 구조물의 하중을 견디는 능력을 강도(strength)라고 부르며 앞에서 언급한 개념을 다시 설명하면 다음과 같다 : 구조물의 실제 강도는 필요 강도보다 커야 한다. 실제 강도의 필요 강도에 대한 비를 안전계수(factor of safety) n이라 한다:

물론, 파단을 방지하기 위해서는 안전계수는 1.0보다 커야 한다. 경우에 따라서, 1.0보다 약간 크거나 크게는 10까지의 안전계수 값이 사용된다.

강도와 파단은 서로 다른 의미를 가지고 있기 때문에, 안전계수를 설계에 고려하는 것은 그리 간단한 일은 아니다. 강도는 구조물의 부하 능력으로 측정되거나 재료의 응력으로 측정된다. 파단은 구조물의 부하 능력으로 측정되거나 재료의 응력으로 측정된다. 파단은 구조물의 균열과 완전 붕괴를 의미하거나, 또는 변형이 너무 커서 구조물이 자기의 기능을 더 이상 수행할 수 없음을 의미한다. 후자와 같은 의미의 파단은 실제 붕괴를 일으키는 파단보다 작은 하중에서 발생하기도 한다.

안전계수를 결정하는 데에는 다음과 같은 사항들을 고려하여야 한다 : 구조물이 설계하중을 초과하는 우발적인 과하중을 받을 확률 ; 하중의 형태(정하중 또는 동하중) ; 하중이 1회 작용하는가 또는 반복하여 작용하는가 하는 문제 ; 하중 값의 정확성 ; 피로파괴의 가능성 ; 구조의 부정확성 세공기술의 다양성 ; 재료 성질의 차이 ; 부식이나 환경 영향에 의한 악화 ; 해석 방법의 정확성 ; 파단이 점진적으로 일어나는가(충분한 경고) 또는 갑자기 일어나는가(경고 없음) 하는 문제 ; 파단의 결과(소규모의 손상 또는 대규모의 재해) 및 다른 고려 사항들.

안전계수가 너무 작으면, 파단될 확률이 높기 때문에 구조물은 부적합하며, 안전계수가 너무 크면, 구조물의 재료가 낭비되고 기능발휘에 부적합할 것이다(예를 들면, 너무 무거워진다).

이러한 복합적인 이유 때문에, 안전계수는 확률을 근거로 하여 정해야 한다. 안전계수는 통상 다른 설계자들이 사용하는 코드나 시방서를 작성하는 경험이 있는 공학자 그룹에 의해 결정되며, 때로는 법으로 정해지기도 한다. 코드나 시방서를 준비하는 것은 비합리적인 경비를 들이지 않고 합리적 수준의 안전을 보장하기 위한 것이다.

항공기 설계에서는 안전계수보다 안전 경계 계수(margin of safety)를 따지는 것이 보통이다. 안전 경계 계수는 안전계수에서 1을 뺀 값으로 정의된다.

안전 경계 계수는 때로는 퍼센트로 표시한다. 따라서 요구 강도보다 1.75배의 극한강도 값을 갖는 구조물은 안전계수가 1.75이며 안전 경계 계수는 0.75(또는 75%)이다. 안전 경계 계수가 0이나 또는 그 이하로 떨어지는 경우 구조물은 파단될 것으로 추정된다.

2. 허용응력

안전계수는 여러 가지 방법으로 정의되고 정해진다. 많은 구조물에 대해서, 하중 제거 시 영구 변형이 일어나지 않도록 재료가 선형 탄성 영역에 머물게 하는 것이 중요하다. 이러한 조건하에서, 안전계수는 구조물의 항복에 관련해서 정해진다. 구조물 내에서 항복 응력이 어느 점에 도달할 때 항복이 시작된다. 따라서, 안전계수를 항복 응력(또는 항복강도)에 관련시켜, 구조물의 어느 부분에서나 초과해서는 안 되는 허용응력(allowable stress)(또는 사용 응력)을 얻는다.

인장과 전단에 대한 허용응력은 각각 다음과 같다.

여기서, σ Y 와 τ Y 는 항복 응력을, n 1 과 n 2 는 안전계수를 나타낸다. 빌딩 설계에 있어서, 인장 시 항복에 관한 전형적인 안전계수는 1.67이므로 36 ksi의 항복 응력을 받는 연강은 21.6 ksi의 허용응력을 갖는다.

때로는 안전계수를 항복 응력 대신에 극한 응력(ultimate stress)에 적용시킨다. 이 방법은 콘크리트나 플라스틱과 같은 취성재료 및 목재나 고강도 강과 같은 항복 응력이 확실히 정의되지 않는 재료에 적합하다. 이러한 경우 인장과 전단을 받는 경우의 허용응력은 다음과 같다.

여기서, σ U 와 τ U 는 극한 응력(또는 극한강도)이다. 일반적으로 재료의 극한강도에 관련된 안전계수는 항복강도에 관련된 안전계수보다 크다. 연강의 경우에는 항복 응력에 관련된 안전계수가 1.67인데 비하여, 극한강도에 관련된 안전계수가 약 2.8이 된다.

3. 허용 하중

특정 재료와 구조물에 대하여 허용응력이 결정된 후에 구조물에 대한 허용 하중(allowable load)이 결정된다. 허용 하중과 허용 응력 간의 관계는 구조물의 형태에 따른다. 이러한 구조물에서 응력들은 전 면적에 걸쳐 등분포 된다(또는 적어도 등분포 되었다고 가정한다). 예를 들면, 인장을 받는 봉의 경우에서, 결과적인 축하중이 단면의 도심(centroid)을 지나면 응력은 단면적에 걸쳐 등분포 된다. 봉이 좌굴을 받지 않는 한, 압축을 받는 봉에도 똑같이 적용된다. 전단을 받는 핀의 경우에, 단면에 작용하는 평균 전단응력만을 고려하며, 이는 전단응력이 등분포 되었다고 가정하는 것을 의미한다. 이와 비슷하게, 핀의 투영 면적에 작용하는 지압 응력의 평균값만을 고려한다.

따라서, 앞의 네 가지 경우에 대해서 허용 하중(또는 안전 하중)은 허용응력과 면적의 곱과 같다.

허용 하중 = (허용응력)(면적)

직접 인장과 압축을 받는 봉(좌굴이 없음)에 대해서, 이 방정식은 다음과 같다.

여기서, σ allow 는 허용 수직 응력이고, A는 봉의 단면적이다. 봉에 구멍이 있는 경우에는, 봉이 인장을 받을 때, 순 단면적이 사용된다. 순 단면적은 전체 단면적에서 구멍에 의해 떨어져 나간 면적을 뺀 것이다. 압축을 받는 경우에는, 구멍이 압축 응력을 전달하는 볼트나 핀에 의해 메워져 있으면, 전체 단면적을 사용할 수 있다.

직접 전단을 받는 핀에 대해

이 되고, 여기서, τallow는 허용 전단응력이고, A는 전단응력이 작용하는 면적이다. 핀이 단일 전단을 받는 경우, 면적은 핀의 단면적이고 ; 이중 전단을 받는 경우, 면적은 핀의 단면적의 두 배이다.

마지막으로, 지압을 고려한 허용 하중은

이 되고, 여기서, σ b 는 허용 지압 응력이며, A b 는 지압 응력이 작용하는 핀이나 다른 표면의 투영 면적이다.

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일반기계기사 : 허용응력 및 안전율 정리

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Day 15

15. 허용응력 및 안전율 정리

15.1 허용응력, 극한강도, 안전율

탄성한도 σE > 허용응력 σa ≥ 사용응력 σw

허용응력 σa 는 허용되는 인장응력이나, 압축응력이라는 문구로 문제가 출제되므로 문제파악이 우선

여기서 허용응력 σa 를 수식으로 나타내면

Pa = 허용 하중을 나타냅니다.

15.2 응력분포

: 환봉의 응력분포를 보면 중앙으로 갈수록 포물선 형식으로 응력이 감소됩니다.

15.3 허용응력과 사용응력의 관계

허용응력 σa ≥ 사용응력 σw

사용응력과 허용응력은 같다고 볼 수 있기때문에,

사용응력을 계산할 때, 허용응력을 계산하는 방식과 동일하게 사용할 수 있다.

15.3.1 사용응력을 허용응력의 퍼센트로 나타내는 식

( 사용응력 / 허용응력 ) × 100 = ??? ％

15.4 지면의 반력 계산

: 그림 1에서 사이각이 60˚ 인 콘크리트 구조면에 무게가 2,000 N 인 강구체가 지지되어 걸려있다고 가정합니다.

: A 점과 B점에는 하중을 저항하는 반력이 생기는데, 이 반력값을 구하는 방식입니다.

: 반력 Ra 와 Rb는 벽면에 대해 ” 직각 ” 으로 작용하게 됩니다.

: 강구체 무게 2,000N 은 아래 방향으로 하중이 전달해지고 있습니다.

: 그림 2와 같이 강구체의 중심 = Ce가 기준 시작점으로써 합성 그래프를 그려볼 수 있습니다.

15.4.1 Y 방향

15.4.2 X 방향

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안전율(Safety factor)에 대한 모든 정보

안전율(안전계수, Safety factor)란?

안전하다는 것은 위험한 상태에 처하지 않았다는 뜻으로 사용된다. 여기서 위험한 상태란 정상적인 활동 혹은 기능을 하지 못하는 상태를 의미합니다. 그런데 이 위험한 상태란 대부분 그 원인과 심각성을 예측하기가 어렵기 때문에 지금까지의 경험을 바탕으로 추측할 뿐입니다. 예를 들어 고층 건물을 설계하는 경우 위험한 상태는 이 건물이 무너지는 것이고, 그 원인은 작게는 자체 무게를 지탱하지 못하는 것에서부터 예상치 못한 지진, 강풍 혹은 폭격이 될 수 있습니다.

그리고 각각의 원인이 미치게 될 영향의 정확한 평가는 그리 쉽지 않습니다. 따라서, 이러한 불확실성 때문에 안전성을 확보하기 위해서는 예상되는 원인에 따른 심각성보다 한층 더 심각한 상태를 기준으로 구조물을 설계 혹은 예방해야 합니다. 안전계수란 어떠한 대상이 위험한 상황에 대처할 수 있는 능력을 가장 위험한 상황에서 이 대상이 견딜 수 있는 능력으로 나눈 상대적인 비율로 정의된다.

가장 단순한 예를 들면, 자동차의 한 부품이 파괴되는 파단 응력을 a라고 하고 자동차가 가장 위험한 상태에 처할 때 이 부품에 작용하는 응력을 b라고 가정해보겠습니다. 그렇다면 이 부품은 a/b라는 안전계수로 설계되어 있다고 말할 수 있습니다. 안전계수는 우리 생활 주위 모든 제품이나 시설물을 설계할 때 필수적인 요구 사항입니다. 그리고 일반적으로 안전계수는 1보다 큰 값을 가지며 위험한 상태에 대한 불확실성이 높을수록 큰 값을 가지게 됩니다.

정리하자면 위 그림에서 보여지는 안전율 계산 방식에서 ‘최대응력’이라는 분모는 구조물에 하중이 가해졌을 때 작용하는 응력 또는 그 하중을 의미하고, ‘허용응력’이라는 분자는 구조물이 견딜 수 있는 응력 또는 그때의 하중을 의미합니다. 일반적인 상황에서 안전율은 1보다 클 때 구조물이 안전한 상황이라고 하며 1보다 작은 값을 가질 때 위험한 상황이라고 분석할 수 있습니다.

일반적으로 사용되는 안전율의 범위

일반적으로 안전율을 단순히 계산하여 1을 넘는다고 해서 무조건 안전하다고 할 수는 없습니다. 해석을 수행하는 엔지니어의 경험이 부족하여 해석 결과의 신뢰도가 떨어지거나 재료의 물성치가 가지는 오차 또는 구조물에 하중이 가해지는 환경이 변할 가능성이 있기 때문입니다. 연성 재료를 사용한 구조물의 안전율 분석에 대해서는 아래에서 보여주는 안전율의 범위를 참고용으로 사용해보는 것도 좋은 방법입니다.

n = 1.25 ~ 1.50

하중 조건과 응력이 정확히 계산되고, 소재의 품질에 대한 신뢰도가 높고 무게를 특별히 줄이고자 하는 경우

n = 1.50 ~ 2.00

하중을 받고 있는 환경이 변하지 않고, 응력이 쉽게 계산되며 잘 알려진 소재의 경우

n = 2.00 ~ 2.50

보통의 환경 조건에서 하중을 받고 응력 계산이 가능하며 보통 소재인 경우

n = 2.50 ~ 4.00

환경, 하중, 응력 계산이 일반적이나 보통 사용되지 않느 소재의 경우

n = 3.00 ~ 4.00

환경의 변동이 심하고 응력이 불확실하나 잘 알려진 소재를 사용한 경우

일반적으로 유리, 콘크리트, 세라믹, 무쇠와 같은 취성(Brittle) 재료의 경우에는 인장, 압축 상태에 따른 허용 응력이 크게 차이가 있으므로 안전율을 약 2배 정도로 높게 설정하는 경우가 많습니다.

안전율 정의 방법

일반적으로 사용되는 연성(Ductile) 금속 재료의 경우 재료의 항복 강도(Yield stress)와 하중을 받은 구조물의 von-Mises 응력(Stress)를 비교하여 안전율을 계산합니다. 하지만 모든 경우에 같은 계산식을 적용하지는 않습니다. 재료의 성질에 따라 서로 다른 파손 이론을 적용하여 von-Mises응력 외에 주응력(Principal stress), 최대 전단 응력(Maximum shear stress) 등을 이용하여 분모(최대응력)로 계산할 수 있고, 항복 강도(Yield stress)가 아닌 최대 인장 강도(Tensile stress), 파단 강도(Fracture stress) 등을 분자(허용응력)로 적용해 계산할 수 있습니다. 이때는 구조물을 구성하는 재료의 파손을 비교적 정확하게 예상할 수 있는 파손 이론에 따라 적용해야만 한다. 일반적인 재료의 파손 이론은 아래와 같습니다.

최대 수직 응력 파괴 이론

인장 또는 압축상태에서 제1 주응력 또는 제3 주응력이 파괴 강도에 도달할 때 파괴가 발생합니다. 항복에 의한 파괴는 항복 강도에 도달할 때 발생하고, 취성 파괴에 의한 파손은 극한 강도에 도달할 때 발생합니다. 최대수직 응력은 주응력과 같은 표현입니다.

전단 응력이 0이 되는 단면 방향을 주축(principal axes)이라고 부르며, 2차원인 경우에는 서로 직각을 이루는 두 주축이 존재합니다. 두 주축과 수직한 단면에서의 응력을 주응력(principal stress)이라고 부릅니다.

최대 전단 응력(Tresca) 이론

최대 전단응력이 항복강도의 1/2과 같을 때 항복이 시작되며, 인장하중이 작용하는 방향과 45도를 이루는 면에서 파괴가 발생합니다. 열처리한 연성재료는 이 이론에 따라 파괴되는 경향이 있다. 이 이론은 항 복파괴만 예측하므로 연성재료일 경우에만 유효합니다. 최대 전단응력은 (최대주응력-최소주응력)/2로 계산되며, 최대주응력과 최소주응력이 이루는 평면에 대하여 45도 회전한 평면에서 발생한다. 이 이론은 항복이 재료의 원자 수준에서 전단 미끄러짐(shear slip)과 관련된다는 사실로부터 유추되었습니다.

최대 비틀림 에너지(von-Mises) 이론

가장 광범위하게 사용되는 이론으로, von-Mises 또는 유효응력이 재료의 항복강도에 도달할 때 항복에 의한 파괴가 발생합니다.

이 유효응력(effective stress) 혹은 등가응력(equivalent stress)은 변형률 에너지 가설에 기초하여 유도되었으며 다음 식으로 표현됩니다.

다양한 재료의 허용 응력

이름 인장허용응력

(N/mm^2) 압축허용응력

(N/mm^2) 전단허용응력

(N/mm^2) 17-4PH, H1100 943 960 AISI 1020 420.51 AISI 1060 1105 780 AISI 304 SS Annealed 565 257 AISI_310_SS 517 AISI_410_SS 667.8 AISI_Steel_1005 321 AISI_Steel_1008-HR 331 AISI 4340 Annealed 670 420 AISI_Steel_Maraging 1690 1550 Alloy Steel 723.83 Cast Alloy Steel 448.08 Cast Carbon Steel 482.55 Cast Stainless Steel Chrome Stainless Steel 413.61 FC250 245 Galvanized Steel 356.9 Inconel_718_Aged 1170 Plain Carbon Steel 399.83 S/Steel_PH15-5 1280 1260 Steel 257.79 Steel_Rolled 340 SUP12 SUS304 565 257.5 SUS316 567.5 257.5 SUS316L 550 240 Wrought Stainless Steel 517.02 Ductile Iron 861.69 Gray Cast Iron 151.66 572.16 Iron_Cast_G25 260 Iron_Cast_G40 570 Iron_Cast_G60 632 Malleable Cast Iron 413.61 1060 Alloy 690 480 1345 Alloy 82.723 1350 Alloy 82.723 2014 Alloy 350 220 2018 Alloy 420.51 0 2024 Alloy 186.13 71 3003 Alloy 110.3 3003 Alloy 110 76 6061 Alloy 172 97 7049 Alloy 482.5 403.5 Al 6061-T6 281 249 Al 6063 245 211 ALDC 296 172 ALDC 10 318 193 ALDC 12 290 170 ALDC 3 304 193 ALDC 5 311 200 ALDC 7 227 131 Aluminum_5085 290 Aluminum_A356 221 152 Duranickel(R) 301 1150 820 Magnesium_Cast 318

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안전율을 적용한 보고서 작성 : 실제 CAE 시뮬레이션 사례

해석 목적

– 국내 국립전파연구원 “접지설비 ·구내통신 설비 ·선로설비 및 통신 공동구 등에 대한 기술기준”제 9조에 준하여

국내 태풍 재해환경에 맞는 안테나의 구조 안전성 검토를 수행

– 국내 건축구조 기준인 “KDS 41 30 : 2019”에 준하여 구조물의 부재 안전성과 주요 연결 볼트에 대해서 안전성 평가를 수행

주요 해석 결과

– 고정하중 및 전면 풍/후면 풍(국내 10분 평균속도 45m/s 기준)에 대한 연결부 구조 안전성 검토 수행

– “KDS 41 30 10 : 2019”에 준하여 부재 안전성 검토 시 안전율 0.77로 구조적 위험성 확인

– 브라켓에 대하여 4t Rib 형상 보강 적용에 대한 검토 결과, 안전율 1.33으로 구조적 안전성 확인

– “KDS 41 30 25 : 2019”에 준하여 연결부 볼트의 인장/전단 안전성 검토 시 안전율 1.93 이상의 구조 안전성 확인

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