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4. 무한대/무한대, 무한대-무한대 꼴 – 개념정리

수열의 극한 02 – oo-oo, oo/oo꼴의 극한값 구하기

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Summary of article content: Articles about 수열의 극한 02 – oo-oo, oo/oo꼴의 극한값 구하기 이번에는 무한대 나누기 무한대 꼴을 상수를 발산하는 수열로 나눈 꼴로 바꾼 거죠? 자 다른 문제입니다. …
Most searched keywords: Whether you are looking for 수열의 극한 02 – oo-oo, oo/oo꼴의 극한값 구하기 이번에는 무한대 나누기 무한대 꼴을 상수를 발산하는 수열로 나눈 꼴로 바꾼 거죠? 자 다른 문제입니다. 오늘은 수열의 극한에 이어 발산하는 수열들의 빼기와 나누기의 극한값 구하기를 해보겠습니다. 수열의 극한에서는 이런 극한값표를 만들었죠. 그 중에서 극한값을 따지기 어려운 경우가 바로 이 두가지였죠? 이..
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수열의 극한 02 - oo-oo, oo/oo꼴의 극한값 구하기 — 수열의 극한 02 – oo-oo, oo/oo꼴의 극한값 구하기

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Summary of article content: Articles about [고2/고3 수학2] 1. 함수의 극한 (feat. 수학2 개론) 2)는 무한대분의 무한대꼴이라 합니다. 분자의 차수가 크다면 발산. 분모의 차수가 크다면 0. 차수가 같다면 ‘(분자의 최고차항의 계수)/(분모의 최고 … …
Most searched keywords: Whether you are looking for [고2/고3 수학2] 1. 함수의 극한 (feat. 수학2 개론) 2)는 무한대분의 무한대꼴이라 합니다. 분자의 차수가 크다면 발산. 분모의 차수가 크다면 0. 차수가 같다면 ‘(분자의 최고차항의 계수)/(분모의 최고 … 안녕하세요! 수학을 잘하고 싶은 윤영진입니다. 수학2라는 책을 배워봅시다! 1단원이 함수의 극한이네요. 수학책들도 다른 책들(소설, 수필 등)과 마찬가지로 나름의 스토리를 갖고 있습니다. 수학2도 스토리를..
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수열의 극한 02 – oo-oo, oo/oo꼴의 극한값 구하기

오늘은 수열의 극한에 이어 발산하는 수열들의 빼기와 나누기의 극한값 구하기를 해보겠습니다.

수열의 극한에서는 이런 극한값표를 만들었죠. 그 중에서 극한값을 따지기 어려운 경우가 바로 이 두가지였죠?

이 문제들의 해법을 아주 단순하게 얘기하면

발산하는 수열들의 빼기와 나누기 꼴을 다른 꼴 즉, 수렴인지 발산인지를 쉽게 알 수 있는 나머지 형태로 바꿔주면 됩니다. 어떻게 그렇게 만들 수 있을까요? 가장 중요한 열쇠는 바로 이겁니다. (1/n)

n이 무한대로 커지면 1/n은 0이 되죠? 바로 이런 꼴로 만들어주면서 n과 불필요한 부분들을 없애주는 겁니다. 자 예제를 하나씩 풀면서 보도록 하죠.

이식을 보죠. 이 식은 우선 분자 분모 수열의 극한값을 각각 따져보면 위아래 모두 무한대로 갑니다.

이걸보고 1이라고 할 수 없다고 했죠.

그래서 다시 원점으로 돌아와서 위 아래 모두 1/n으로 곱합니다. 그러면 이렇게 되고 여기서 n이 무한대로 가면 1/n은 0이 되면서 남는 것은 1/3이 됩니다. 이게 이 수열의 극한값이 되는 거죠.

이렇게 1/n을 곱해서 무한대 나누기 무한대 꼴을 수렴하는 수열의 나누기 꼴로 바꿨습니다.

다른 문제를 봅시다.

이 식도 분자 분모의 극한값을 각각 따져보면 oo/oo꼴이죠?

그래서 원래식으로 돌아와 이번에도 1/n으로 곱해주겠습니다. 그러면

이렇게 (Lim (1+2/n) / (n+1/n))되는 거죠. 여기서 n이 무한대로 가면 2/n, 1/n은 0으로 가니까.

이 식은 1/n만 남네요 되네요. 여기서 n이 무한대로 가면 이건 어떤게 되나요? 0이 되겠죠?

이번에는 무한대 나누기 무한대 꼴을 상수를 발산하는 수열로 나눈 꼴로 바꾼 거죠?

자 다른 문제입니다.

이 식의 의 극한값을 구해봅시다. 이것 역시 위 아래를 각각 극한값을 구하면 위 아래 모두 무한대로 갑니다. 그래서 각각 위 아래 1/n을 곱해보면 이렇게 되고, (n^2 + 2n – 4/n / 2n + 1/n) 여기서 n이 무한대로 간다면 n^2+2n / 2n 이 남네요. 여전히 위 아래 무한대로 가죠. 그래서 다시 한 번 위 아래를 1/n으로 곱해보겠습니다.

그러면 n + 2 / 2 가 되죠. 이제는 어떤가요? 무한대 나누기 상수 꼴이 되었죠? 이 결과는 oo죠?

자 우리는 여기서 1/n을 한번 곱했다가 안 되서 또 1/n을 곱했지만 처음부터 1/n^2을 곱했더라면 좋았겠죠? 그래서 교과서에서는 분모의 n을 먼저 없앨 수 있도록 분모의 최고차항으로 나누라고 하는 겁니다. 무슨 공식처럼 얘기하는데 실은 굳이 외우지 않아도 되는 거죠.

조금 더 눈치가 빠른 학생들은 oo/oo 꼴은 계산을 굳이 하지 않아도 극한값을 구할 수 있다는 걸 알았을 겁니다. 바로 분자 분모의 최고차항에 따라 모든 게 결정난다는 것을 알 수 있습니다.

즉 분자의 차수가 분모의 차수보다 높으면 극한값이 oo로 발산하고,

반대면 0으로 수렴하고, 차수가 같으면 최고차항의 계수만 남겨놓으면 되는 거죠.

이번에는 oo-oo꼴의 극한값을 따져보겠습니다. 이 식을 봅시다.

이건 이렇게 놓고 각각 무한대로 보내보면 oo-oo꼴입니다. 이건 섣불리 0이라고 할 수 없다고 했죠.

그래서 안에다 1/n^2를 곱해보죠. 난데 없이 1/n^2를 곱하면 안되니까. 밖에다가는 n^2를 곱해놓겠습니다.

사실 이렇게 보면 최고차항을 밖으로 뽑아낸 것과 같네요.

여기서 n이 무한대로 가면 어떻게 되나요?

괄호 안의 3/n, 2/n^2는 0이 되고 남는 것은 1이죠. 이건 무한대 곱하기 수렴하는 수열의 꼴입니다.

뭐가 되나요? Oo 대가 되는 거죠.

이번에는 이런 식을 풀어보겠습니다. 무리식이죠.

이 식도 루트가 있지만 Oo-oo이죠? 이번에도 안에 1/n이 들어가게 1/root n을 곱해볼까요?

물론 밖에는 root n을 곱해줘야죠. 그러면 이 식은 이런 (Root n ( root (1+1/n) – root 1) = oo x 0)꼴이 됩니다.

무한대 곱하기 0. 이건 어떻게 될까요? 이건 0일까요? 아닙니다.

이때 중요한 것은 뒤에 곱하는 수를 0이라고 써놨지만 딱 떨어지는 상수 0이 아니라,

1/n이 0으로 가면서 생긴, 무한대처럼 0으로 계속 작아지는 상태를 말하는 겁니다.

그림으로 치면 이렇습니다.

하나는 무한히 커지고 있고, 거기에 무한히 작아지는 수를 곱하는 거죠.

사실 누가 얼마나 빨리 커지는지 작아지는지에 따라 이 곱하기의 결과는 달라지게 되는 거죠.

이런 꼴은 처음본다고요? 네 그렇긴 한데요.

우린 비슷한 꼴을 보긴 했습니다. 바로 oo/oo꼴이죠?

이것도 곱하기로 치면 oo x 1/oo 이고 여기서 1/oo가 0이 되는 거잖아요.

즉 oo/oo은 oox0과 같은 셈입니다. 똑같이 그 결과를 알 수 없는 거죠.

그럼 다시 원래 식으로 돌아가서 이 식은 어떻게 풀면 좋을까요? 그 방법은 유리화를 시켜주는 겁니다.

이 식에 가운데 부호만 바꾼 걸 곱해주고

느닷없이 곱해주면 안되니까 똑같은 걸 나눠주는 겁니다.

그러면 이 식은 이렇게 될 겁니다.

이제 상수 나누기 무한대 꼴이 되었네요. 그래서 당연히 0으로 갑니다.

이런 이유로 무리식이 있는 경우에는 유리화를 한다고 교과서에서 공식처럼 얘기하는 겁니다.

마치기 전에 이 극한값 표를 이용하는 문제를 두 가지 더 풀어보겠습니다.

이게 참일까요? 거짓일까요?

bn-an의 극한값이 0으로 수렴을 했다는 얘기는 각각을 수렴시킨 limbn – liman도 0이라는 얘기고 그러니 둘은 같은 수로 수렴을 한다는 얘기죠. 그 수를 알파라고 한다면,

An과 bn 사이에 끼어있는 cn 역시 같은 수 알파로 수렴을 하겠죠?

그러나 항상 그런 것은 아닙니다. 극한값표를 보면서 설명하겠습니다.

이 표에서 수열과 수열의 빼기 형식은 모두 세 가지죠. 수렴하는 수열끼리의 빼기, 발산하는 수열과 수렴하는 수열의 빼기, 그리고 발산하는 수열끼리의 빼기.

이 중에서 극한값이 0이 나올 수 있는 것은 뭘까요? 발산하는 수열과 수렴하는 수열의 빼기는 무한대로의 발산이 나오기 때문에 아닙니다.

빼기가 0이 나올 수 있는 경우의 후보는 이 두 가지입니다. 수렴하는 수열끼리의 빼기가 0이 나올 수 있고, 발산하는 수열 끼리의 빼기도 경우에 따라서는, 매번 그런 것은 아니지만 0이 되기도 합니다. 아까 우리는 그런 문제를 다뤘죠.

여기서 우리는 알 수 있죠. 빼기의 극한값이 0이 나왔다고 해서 꼭 an과 bn이 각각 수렴을 한다고 할 수 없다는 거구나. 따라서 cn도 수렴한다고 말 할 수 없는 거구나.

이 문제에서 루트 n+1과 루트 n을 각각 bn과 an이라고 합시다. An

[고2/고3 수학2] 1. 함수의 극한 (feat. 수학2 개론)

안녕하세요! 수학을 잘하고 싶은 윤영진입니다.

수학2 라는 책을 배워봅시다!

1단원이 함수의 극한 이네요.

수학책들도 다른 책들(소설, 수필 등)과 마찬가지로 나름의 스토리 를 갖고 있습니다.

수학2도 스토리를 갖고 있는데요.

수학2는 함수와 그 그래프를 잘 다루고 싶은 마음 을 담은 책이예요.

기본적인 함수의 개념과 그래프 그리는 방법 정도는 알고 있어야 합니다.

함숫값과 조금 다르게, 어딘가에 가까워지는 값을 찾아보는 극한 !

함수의 극한과 함숫값이 같을 때 연속 이 되는 것을 배우고,

연속함수 중 부드러운 곡선일 때 접선의 기울기 를 찾아봅니다.

이게 바로 미분 이고요,

미분의 개념을 배운 후 접선의 방정식이나 극대, 극소, 최대, 최소등을 알아봅니다.

도형에 활용 도 해보고요.

미분가능한 함수를 알았으니 반대의 연산! 적분을 해봅니다.

적분 은 크게 부정적분과 정적분이 있는데, 그 두 가지의 개념을 잡고,

도형, 속도, 가속도 등에서 활용 을 해보면 책이 마무리 됩니다.

그럼 가장 먼저 시작해야 하는 함수의 극한 을 살펴보겠습니다.

새로 등장하는 용어에는

수렴, 발산, 좌극한, 우극한 등이 있습니다.

용어 개념 을 알아본 후에 극한의 성질을 이해하고,

1. 함수의 극한값을 계산 할 수 있고

2. 미정계수를 결정 할 수 있으며

3. 함수의 극한의 대소관계를 이용 하여 극한값을 구할 줄 알면

함수의 극한을 제대로 이해한 것입니다.

극한 이란 함수에서 x의 값이 어떤 수(=값)에 가까워 질 때, 함숫값이 어디에 가까워지는 지!

예를 들어 f(x)=3x라는 함수에서 x가 2에 가까워진다면 함숫값은 6에 가까워지겠죠.

이 때 주의할 점은 x가 2는 아니고, 함숫값도 6은 아니라는 겁니다. 그냥 가까워진다고요.

위의 예에서 함숫값이 6에 가까워지는데, 6을 극한값 이라고 합니다.

기호로는 아래와 같이 씁니다.

읽을 줄 알아야겠죠?

리미트 x가 2로 갈 때, 3x는 6

다시 한 번!

극한은 ‘함수에서 x의 값이 a(어떤 수)에 가까워 질 때, f(x)가 가까워지는 값’ 입니다.

극한의 개념을 정확히 알아야 좌극한과 우극한을 이해할 수 있습니다.

함수의 극한에는 수렴과 발산이 있습니다.

수렴 은 특정한 값에 가까워 지는 것이고

발산 은 무한히 커지거나, 무한히 작아지거나, 커졌다 작아졌다를 반복하는 세가지가 있습니다.

좌극한과 우극한을 알아보겠습니다.

좌극한 은 극한값 중 x가 a보다 작은 쪽! 좌측에서 오고 있을 때의 극한값이고,

우극한 은 극한값 중 x가 a보다 큰 쪽! 우측에서 오고 있을 때의 극한값입니다.

예를 들어 다음과 같은 분수함수가 있다고 합시다.

함수를 그려보세요. ( 그릴 줄 모른다면 과감히 포기하고, 중등과정부터 배웁시다! )

x가 0보다 작을 때, f(x)는 음수인데, x가 0에 가까워질수록 절댓값이 커지기 때문에 f(x)는 무한히 작아집니다.

x가 0보다 클 때, f(x)는 양수인데, x가 0에 가까워질수록 f(x)는 커집니다.

함수의 극한값은 좌극한과 우극한이 같을 때만 존재 합니다!!!

함수의 극한은 다음 성질 을 갖고 있습니다.

영어가 잔뜩 나와서 복잡해 보이지만,

간단히 설명하자면, 실수배, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 이렇게 5가지가 가능 하다는 이야기입니다.

물론 나눗셈에서 분모는 0이면 안됩니다.

그리고 이 5가지 성질은 극한값이 존재할 때만 성립합니다.

이제 함수의 극한값을 계산 해보도록 하겠습니다.

극한값은 확정형과 부정형이 있는데요 (말만 어려워 보임.)

확정형은 그냥 딱 정해지는 겁니다.

예를 들어 분자는 수가 정해져 있는데, 분모가 무한히 커진다면 값은 한없이 작아져서 0에 가까워지겠죠.

다음과 같은 극한들은 확정형입니다.

부정형은 아직 정해지지 않은 것을 말하는데, 3가지가 있습니다. (시험 출제율 100%)

이 3가지는 반드시 알아두고 연습을 많이 해야합니다. (정말 중요해요.)

1)은 0분의 0꼴 이라 합니다.

분자나 분모에 근호가 있다면 유리화를 먼저 합니다.

대부분의 문제는 ‘인수분해 → 약분 → 대입’해서 풀면 됩니다.

분자에 근호가 있는 0분의 0꼴 간단한 0분의 0꼴

2)는 무한대분의 무한대꼴 이라 합니다.

분자의 차수가 크다면 발산

분모의 차수가 크다면 0

차수가 같다면 ‘(분자의 최고차항의 계수)/(분모의 최고차항의 계수)’로 풀면 됩니다.

3)은 무한대 마이너스 무한대꼴 이라 합니다.

보통은 근호가 포함된 경우가 많기 때문에 유리화만 해주면 쉽게 구할 수 있습니다.

근호가 없는 다항식인 경우는 최고차항으로 묶습니다.

근호가 포함된 무한대 마이너스 무한대꼴

근호가 없는 무한대 마이너스 무한대꼴

극한값을 계산할 수 있다면,

이번에는 미정계수를 결정하는 문제 를 풀어봅시다.

마지막으로 함수의 극한의 대소에 관계에 대한 문제를 풀 수 있다면 다 배웠습니다.

샌드위치정리를 사용해서 문제 푸는 건데, 이건 숙제라고 생각합시다.

각자 풀어보세요! 화이팅!

https://www.youtube.com/k5cOR0GM8c4

로피탈 정리 #2: 무턱대고 사용하면 큰 코 다치는 4가지 유형들

로피탈 정리 #1에서도 말씀 드렸듯이 아무리 0/0 또는 무한대/무한대 꼴의 극한값 문제라도 무턱대고 로피탈을 사용할 수 없는 경우도 있습니다. 보통 이런 경우는 교과서적 방식으로 식의 변형을 통하여 극한값을 바로 구하든지 아니면 로피탈을 조금 쓰다가 적절 할 때 식을 변형시켜 답을 구해주면 됩니다. 이 번 글에서는 무턱대고 로피탈을 사용하면 큰 코 다치는 4가지 유형들에 대해서 한 번 알아보겠습니다. 좀 더 많은 유형의 로피탈 문제는 로피탈 정리 #3에 정리해 두었습니다.

#1: 로피탈을 몇 번 사용한 결과가 다시 원함수로 되돌아 가는 경우

보통 이런 경우는 로피탈을 두 번 이상 사용한 값이 원래 함수로 되돌아 가는 경우입니다. 따라서 아무리 로피탈을 써도 계속 뱅글뱅글 순환하는 케이스입니다. 예를 들어서 x가 양의 무한대(+무한대)로 갈 때 \(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) 의 극한값 한번 구해 보겠습니다. 일단 기분을 좋게하기 위해서 그래프 부터 한 번 그려 보겠습니다. 왜 기분이 좋아지냐구요? ㅎㅎ 그래프를 보면 답을 알수있으니까요.

그래프를 딱 보는 순간 벌써 답이 나옵니다. 극한값은 x가 양의 무한대로 갈 때는 +1, 음의 무한대로 가면 -1인 것 같습니다. 그치만 참고 한 번 풀어 봅시다. 원래의 함수 \(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)에 x 대신 양의 무한대를 넣으면 무한대/무한대꼴이 나옵니다. 그렇기 때문에 로피탈을 쓸 수 있는 조건이 되고 한 번 써 보겠습니다. 아래와 같이 분자와 분모를 각각 미분하여 정리한 다음 x에다 양의 무한대를 넣으면 또 무한대/무한대 꼴이 됩니다.

그래서 로피탈을 한 번 더 써 보겠습니다. 즉 처음 로피탈을 적용한 결과 \(\lim_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\) 에다 로피탈을 한 번 더 적용시키겠습니다.

근데 이게 웬일입니까? 로피탈을 두 번 사용했을 때 결과가 원래 함수와 같은 꼴이 되어버렸습니다. 결국 이 함수는 로피탈을 적용시키면 아래와 같이 계속해서 뱅글뱅글 제자리로 돌아 갑니다. 그렇기 때문에 로피탈을 사용해서 답을 구하시면 아니 됩니다.

그럼 이런 문제는 어떻게 풀어야 하나요? 원래 함수의 식을 알맞은 꼴로 변형시켜 푸시면 됩니다. 한 번 해 보겠습니다. 아래에서 보시는 것과 같이 분모의 루트안에 있는 x제곱을 밖으로 빼서 분자의 x랑 먼저 cancel out 시켜주고 x에다가 양의 무한대를 넣으면 답 1이 나옵니다.

#2: 로피탈을 사용했는데 그 값이 이상하게 나오는 경우 (답도 아니고, 0/0꼴도 아니고, 무한대/무한대 꼴도 아닌 경우)

로피탈을 한 번 사용했는데 그 값이 딱 떨어지지도 않고, 0/0꼴도 아니고, 그렇다고 무한대/무한대 꼴도 아닌 경우가 있습니다. 이런 경우에는 로피탈을 사용해서는 아니 됩니다. 예를 들어서 함수 x가 무한대로 갈 때 \(\frac{x+\sin (x)}{x}\) 값을 한 번 알아 봅시다. 물론 아래와 같이 식을 정리하여 바로 풀어서 답인 1을 구해도 됩니다.

또는 그래프를 그려서 x가 무한대로 갈수록 함수값이 요동을 하면서 점점 작아져서 1로 되는 경향을 볼 수도 있습니다.

자 그럼 로피탈을 한 번 적용해 보겠습니다. 로피탈을 적용 시켰을 때 결과는 아래에서 보듯이 Cos[x]가 들어 있어서 계속 요동하는, 딱 떨어지지 않는 그런 형태입니다. 아래 그래프에서 보듯이 그 값이 줄어들지도 않고 그냥 계속 fluctuating 합니다.

이렇게 로피탈을 쓴 값이 수렴하지 않고 계속 요동을 치면 로피탈을 사용해서는 아니 됩니다. 다시 정리하자면, 로피탈을 사용했을 때 나온 값이 딱 떨어지지 아니하고, 또는 0/0 or 무한대/무한대 꼴이 아니면 로피탈을 사용하지 마세요.

#3: 로피탈을 사용했는데 완전 복잡해지는 경우: 웬만하면 다른 방법 시도하세요

로피탈을 한 번 사용했는데 답은 바로 안 나오고 점점 더 미분해야하는 것들이 많아지는 경우는 다른 방법도 한 번 시도해 보세요. 예를 들어서 아래에서 보듯이 원식은 간단하게 보이지만 로피탈을 세번씩이나 써서 답을 구했습니다. 꼴이 0/0꼴이기 때문에 로피탈을 사용할 수 있지만 미분하면 할 수록 정말 눈덩이처럼 항들이 불어납니다. 이런 경우는 적당히 식을 변형시켜서 답을 구하세요.

#4: 무한대/무한대 또는 0/0 꼴이 아닌 경우!!!!!

이런 경우는 당연히 로피탈의 정의에 의하여 로피탈을 쓸 수가 없기 때문에 시도조차 하지 말아야 하지만 로피탈에 빠져있다 보면 가끔씩 무조건 로피탈부터 쓰려는 그런 나쁜 습관이 생깁니다. 조심하세요!!! 이 글 1편에서도 말씀드렸지만 무한대/무한대 또는 0/0 꼴이 아닌 극한 문제에 로피탈을 쓰면 틀린답을 얻을 수가 있습니다. 어쩌다 재수로 맞는 답이 나올 수도 있겠지만 근본적으로 틀린 답이 나옵니다. 그러니 진짜로 조심하세요. 예를 들어 아래의 경우는 x가 1로 갈 때 분자는 0이 되지만 분모는 1이 되어서 극한값은 바로 0이 되는 case입니다. 이 경우는 0/0꼴이 아니라서 로피탈 정리를 사용할 수 없고 그냥 x에다 1을 대입한 값으로 쉽게 극한값을 구할 수 있습니다.

만약에 위와 같은 경우 로피탈 정리를 사용해서 분자와 분모를 각각 미분하여 극한값을 구하면 정답이 아닌 오답을 얻을 수가 있습니다. 위 문제의 답은 0/1해서 0인데 이 문제를 로피탈로 풀려고 하면 아래와 같이 오답을 얻습니다.

# 문제: 다음의 극한값을 구하세요.

이번 글에서 말씀드리고 싶은 요점은 로피탈의 사용이 힘든 경우를 만나면 빨리 알아차리고 식의 변형등 다른 방법으로 초점을 맞추라는 것입니다. 그럼 다시 한번 이글의 1편에서 소개해 드린 로피탈을 사용하여 극한값을 구하는데 필요한 가이드라인을 한 번 적어보겠습니다. 이 가이드라인만 잘 따라주면 로피탈을 안전하게 또 유용하게 잘 이용하실 수 있으리라 생각합니다. 다음 글 로피탈의 정의 #3은 문제풀이 section입니다.

로피탈 정리를 사용하여 극한값을 구하는 방법 분수꼴로 나타내어진 함수(또는 함수의 한 부분)의 극한이 0/0꼴이나 무한대/무한대 꼴이고 분모의 미분값이 극한근처에서 0이 아니고 (극한에서는 상관없음) 분자와 분모가 각각 따로 미분가능하며 그 각각 미분한 것을 다시 분수꼴로 놓았을 때 일정한 극한값(0, 무한대, 또는 상수)이 존재하면 원래 함수의 극한값은 #4에서 구한 극한값이랑 같습니다. 만약 #4에서 구한 함수의 극한값이 또 다시 0/0 또는 무한대/무한대 꼴이면 #4에서 구한 그 함수를 원래함수처럼 생각하고 #1부터 다시 반복하면 됩니다. 만약에 #4에서 구한 극한값이 0도 아니고, 무한대도 아니고, 상수도 아니고 이상한 값들, 예를 들어 -1 과 1 사이를 왔다갔다하는 값이 나오면 로피탈 정리를 쓸 수 없으니 미분전 상태인 #1로 되돌아가서 다른 방법으로 풀어야 합니다.

로피탈 정리를 사용할 때 주의할 점 그리고 팁 #1에서 설명했듯이 함수(또는 함수의 한 부분)이 0/0 또는 무한대/무한대 꼴이 아니면 로피탈의 정리를 쓸 수 없습니다!!!

또는 꼴이 아니면 #4에서 극한값도 구하지 않고 계속 미분이 가능하다고 해서 끝까지 로피탈을 써서 미분해서는 안됩니다 . #6에서 설명했듯이 #4에서 극한값을 꼭 먼저 구해보고 그 꼴이 0/0 또는 무한대/무한대일 때만 또 다시 로피탈을 쓸 수 있습니다.

. #6에서 설명했듯이 #4에서 극한값을 구해보고 그 꼴이 0/0 또는 무한대/무한대일 때만 또 다시 로피탈을 쓸 수 있습니다. #6에서 예를 들어 0/0꼴이 나와도 로피탈을 다시 쓰지 않고 혹시 그 식을 변형하여 극한값을 구할 수 있으면 그냥 구하면 됩니다.

#6에서 다시 #1로 돌아가 로피탈을 썼는데 그 결과가 원래 주어진 함수와 같다면 뱅글뱅글 도는 형태입니다. 적절할 때 식을 변형하여 극한값을 구하세요.

로피탈을 사용했는데 하면 할 수록 답은 안 나오고 0/0 또는 무한대/무한대 꼴을 유지하며 항들이 자꾸 불어나는 경우는 로피탈 사용하시지 말고 식의 변형등을 이용해서 푸세요.

또는 꼴을 유지하며 항들이 자꾸 불어나는 경우는 로피탈 사용하시지 말고 식의 변형등을 이용해서 푸세요. 로피탈을 사용했는데 그 결과가 Sin[x] 또는 Cos[x]등과 같이 극한으로 가면서 계속 줄어듦이 없이 요동치는 경우는 로피탈 사용하시지 마시고 원래의 식을 변형해서 푸세요.

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Top 5 무한대 분 의 무한대 Quick Answer

수열의 극한 02 – oo-oo, oo/oo꼴의 극한값 구하기

[고2/고3 수학2] 1. 함수의 극한 (feat. 수학2 개론)

무한대분의일 / 1집 중고LP | CD | 중고나라

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로피탈 정리 #2: 무턱대고 사용하면 큰 코 다치는 4가지 유형들

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