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근의 공식 증명 복습 – 2. 인수분해와 이차방정식 – 칸아카데미
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- Author: EBS Learning
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- Date Published: 2020. 4. 10.
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근의 공식, 근의 공식 유도, 짝수 공식
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이를 이용하면 이제 웬만한 이차방정식의 해는 구할 수 있어요. 그런데 그 과정이 너무 복잡하죠. 이차항의 계수로 나누고, 숫자를 더해주고, 인수분해하고 등등……
그래서 이 과정을 생략하고 바로 근만 구할 방법, 즉 공식이 있어요. 그래서 그 공식은 어떤 식인지 어떤 과정을 거쳐서 만들어지는지 배워볼까요?
이차방정식 근의 공식을 유도하는 과정은 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이 과정을 그대로 하면 됩니다. 숫자 대신에 문자를 사용한다는 차이뿐이에요.
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
완전제곱식을 이용해서 이차방정식을 푸는 과정은 아래와 같아요.
이차항의 계수로 양변을 나눈다 상수항을 우변으로 이항 좌변을 완전제곱식으로 인수분해: (x+p)2=k 제곱근을 이용하여 해를 구한다.
아래 예제를 통해서 한 번 더 확인하세요.
근의 공식 유도
위 복잡한 과정을 생략하고 바로 근만 구하는 공식이 있어요. 다음 표에서 왼쪽은 일반적인 식을 이용한 과정이고 오른쪽은 이차방정식의 일반형을 이용한 과정이에요. 숫자가 문자로 바뀐 것만 다르고 방법과 과정은 모두 같아요. 연습장에 여러 번 써보면서 연습을 해야 합니다.
이제 공식이 어떻게 만들어지는 지 이해하셨죠? 이제 공식을 외워야합니다.
ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수 a ≠ 0)의 근
근의 공식은 모든 이차방정식의에 사용할 수 있어요. 인수분해가 되던 안 되던 상관없습니다. 앞으로도 계속 사용하는 가장 중요한 공식 중 하나이니까 꼭 외우세요.
근의 공식 – 짝수 공식
근의 공식 중에 짝수 공식이라는 게 있어요. 짝수 공식은 x 일차항의 계수가 짝수(2b’)일 때 사용하는 공식이에요. 위에서 봤던 공식으로 풀지 못하는 건 아니지만, 이 짝수 공식을 이용하면 계산이 조금 더 간단해지죠. 외우면 좋지만, 공식이 두 개라서 헷갈린다면 굳이 외우지 않아도 되는 공식이에요.
ax2 + 2b’x + c = 0 (a, b’, c는 상수 a ≠ 0)의 근
혹시 시간나면 이차방정식을 푸는 새로운 방법에 대해서도 읽어보세요. 이 글의 유도보다 조금 더 쉬워요.
두 근의 합과, 곱, 평균을 이용해서 이차방정식 풀기
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정리해볼까요 이차방정식 근의 공식 ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수 a ≠ 0)의 근
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[이차방정식] 근의 공식 유도과정 (시험에 99% 출제되므로 필수 암기)
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문제에서 ‘이차방정식을 풀어라’-라는 말은
주어진 등식을 만족하게 하는 x의 값을
모두 구하라는 뜻입니다.
근이 두 개인데 하나만 구하면
반만 맞은 것이 아니라 틀린 것이에요.
그리고 답을 쓸 때는 반드시 ,(콤마)로
표기를 해주고 x도 두 번씩 쓰셔야 합니다.
예를 들자면,
(x-3)(x-1)=0의 해를 쓸 때
x=1,3 (안됨)
x=1 또는 3 (안됨)
x=1 or x=3 (됨)
x=1 또는 x=3 (됨)
이런식으로 써주셔야 합니다.
이제 이차방정식을 푸는 방법을 알아봅시다.
1. 인수분해 하여 풉니다.
2. 인수분해가 안되면?
아래와 같이 완전제곱식 형태로 변형하여 풉니다.
이것을 일반화 한 것이 ‘근의 공식’이죠.
즉, 인수분해가 안되면,
근의 공식을 쓰시면 됩니다.
* 이차방정식 근의 공식 유도과정
근의 공식 유도과정은
수행평가 or 내신에 99% 출제되므로,
반드시 암기해줘야 합니다.
그럼 지금부터 근의 공식을 유도해봅시다.
1) 이차항 계수로 양변을 나눠주고
상수항 부분은 우변으로 넘겨줍니다.
2) 좌변을 완전제곱식으로 만들어야 하므로,
양변에 (일차항계수/2)를 제곱한 값을 더합니다.
이 과정이 처음에는 많이 헷갈리죠.
이럴 땐 완전제곱식의 결과가 뭐가 나올지를 고민해보세요.
일차항 계수에 1/2을 곱하여 바로 아랫줄에
완전제곱식을 만들어 써주면,
어떤 수를 더해야 할지 잘 보입니다.
3) 완전제곱식 형태로 정리합니다.
4) 제곱근의 정의를 이용하여 제곱을 풀어줍니다.
(이 때 반드시 부호는 +- 둘 다 붙어야 합니다.)
5) 좌변에 x만 남도록 식을 정리합니다.
이 과정의 결론으로 나오는 식이
이차방정식 근의 공식입니다.
한 번 전체적으로 다시 정리해볼까요?
이 때 만약 b가 짝수인 경우에는,
근의 공식이 조금 더 간단해집니다.
b=2b’이라고 두고 근의 공식을 써보면,
이걸 이제 좀 더 간단하게 정리해봅시다.
근호 안에 있던 4가 밖으로 나오면서
전체식이 다 2로 약분이 됩니다.
객관식 문제를 풀 때에는 해만 구하면 되기 때문에,
근의 공식을 외워서 풀 때는,
일차항 계수가 짝수인 경우(짝수 근의 공식)까지
두 개를 외워서 바로 풀 수 있도록 훈련해야 합니다.
근의 공식 하나만 외워도 되냐구요?
당연히 답은 나옵니다.
다만 계산시 숫자가 커져서 오래 걸리고
약분까지 해야되기 때문에 시간 낭비가 있죠.
게다가 고1, 고2, 고3때까지 계속 나오는데,
나중에는 식이 엄청 복잡해지기 때문에
지금 공식 하나 더 외우기 싫어서 핑계대지말고
타협하지 말고 지금 외우세요.^^
근의 공식을 짝수근의 공식까지
두 개를 외워서 바로 풀 수 있도록
훈련하세요!
이차방정식 근의 공식 유도 타이핑.hwp 0.03MB
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[이차방정식]근의 공식 및 유도하기
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근의 공식이란?
이차방정식의 근을 구하는데 사용되는 것이 근의 공식이다.
이차방정식의 근을 구하는데는 크게 3가지 방법이 이용된다.
1. 인수분해를 이용한다.
2. 완전제곱식을 이용한다.
3. 근의 공식을 이용한다.
보통 1,2의 방법으로 구해지지 않는 근을 구하기 위해서 사용되는 것이 근의 공식이라고 할 수 있다.
근의 공식은 다음과 같다.
공식 유도하기
요약을 먼저 하자면 ax²+bx+c=0 (a≠0)의 식을 완전제곱식으로 변형을 시키는 것이다.
우선 ax²+bx+c=0 (a≠0) 에서 양변을 a로 나누자
완전제곱식을 만들기 위해 (x의 계수/2)²를 가감하자.
빨간 표시 부분은 가감된 내용이다.
이 다음 완전제곱식으로 만들어 차례로 정리하자.
무언가를 가감하여 완전제곱식을 이끌어내는 아이디어는 많은 문제풀이에 응용되는 스킬이라고 할 수 있으니 잘 기억해두도록 하자.
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근의 공식, 근의 공식 유도, 짝수 공식
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근의 공식, 근의 공식 유도, 짝수 공식
오늘은 근의 공식, 근의 공식 유도 짝수 공식에 대해 배워볼겁니다.
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이를 이용하면 거의 웬반한 이차방정식의 해는 구할 수있습니다.
하지만 그 과정이 너무나도 복잡하죠… 이차항의 계수를 나누고 숫자를 더해주고, 인수분해하는 등…등..
그래서 이과정을 생략하고 바로 근만 구하는 그런(?) 방법이 있습니다.
바로 그 공식의 이름은…..우리가 거의 다 알고있는 근의 공식입니다.
이차방정식 근의 공식을 유도하는 과정은 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이 과정을
그대로 사용하면 됩니다… 숫자 대신 문자를 사용한다는 차이 밖에 없지요.
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
완전제곱식을 이용해서 푸는 과정은 아래와 같습니다.
이차항의 계수를 사용해서 양변을 나눈다. 상수항을 우변으로 이항한다. (일차항의 계수/2)2(제곱)을 양변에 더해준다
(일차항의 계수/2)2(제곱) 이거입니다
4.좌변을 완전제곱식으로 인수분해(x+p)2(제곱)=k
5.제곱근을 이용하여 해를 구한다
아래 예를 통해서 한번도 점검!!!
근의 공식 유도
위 복잡한 과정을 생략하고 바로 근만 구하는 근의 공식!!!
다음 표에서 일반적인 식을 이용한 과정이고 오른쪽은 이차방정식의 일반형을 이용한 과정입니다.
숫자가 문자로 바뀐 것만을 제외하고 나머지 과정은 전~부 같아요.
여러번 써보면서 연습을 해야한답니다!
이제 공식이 어떻게 생겼는지 이해하셨지요? 이제 그럼 공식을 외어봅시다.
근의 공식은 모든 이차방정에서 사용할 수 있습니다.
인수분해가 되던 안 되던 근의 공식을 해보면 인수분해가 되어서 정답이
나왔던 것 과도 같답니다.
(그래도 무조건 근의 공식을 하는 것은 추천하지 않습니다. 그래도 인수분해가 더 간단하기 때문이죠!!!)
근의 공식(짝수 공식)
근의 공식 중에는 짝수 공식이라는 게 있습니다.
짝수 공식은 x일차항의 계수가 짝수(2b’)일 때 사용하는 공식입니다.
위에서 봤던 곤식으로 풀지 못하는 건 아니지만 이 짝수 공식을 사용하면
식이 약간 더 간단해지죠.
외우면 좋을테짐ㄴ 햇갈리시는 분들은 그냥 아까 처음으로 배운
근의 공식만 사용하는 것도 나쁘지않을 것 같네요
이상으로 오늘의 포스팅을 마침니다.
도움이 되셨으면 좋겠고 다음에는 더 좋은 정보로 찾아뵙겠습니다.
감사합니다!!!
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