Como Hacer Un Cuadro Con Tres Lineas? 82 Most Correct Answers

Equivalencia de tablas de verdad.

Dos proposiciones son equales si sus tabblas de verdad son identicas. Usaremos el símbolo de tres líneas horizontales paralelas ( ≡ ) para notar equivalencia.

tautologia.

Una proposición será llamada una tautología si para cualquier valor de sus components, su valor de verdad siempre es verdadero.

contradiction.

Una proposición sera llamada una contradicción si para cualquier valor de sus components, su valor de verdad siempre es falso.

A rectangular cuboid is a 3-ortótropo, a three-dimensional hiperrectángulo.

En geometria, un hiperrectángulo (también llamado caja) it la generalización de un rectángulo para dimensionses superiores, formalmente definido por el producto cartesiano de intervals.[cita requerida]

tipos [edit]

A ortoedro tridimensional se denomina prisma recto rectangular, cuboid rectangular or paralelepípedo rectangular.

A caso especial de un n-ortoedro, donde todos los bordes son de igual longitude es el n-cubo.

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Cuadrado

Recuerda que un cuadrado es el polígono regular que tiene sus cuatro lados y sus cuatro ángulos internos iguales A 90°.

Construcción de a cuadrado with instrumentos geométricos

Traza el segmento AB with la medida del lado conocido, in this caso 4 cm.

Levanta la perpendicular del segmento AB and el extremo A

Abre tu compás con la medida del segmento AB y, apoyando con centro en A corta la perpendicular con arco. El punto donde corte, sera el tercer vértice de tu cuadro. Ponle la letra D.

Apoando el centro en D y con la misma abertura del compás, traza un arco desde A hacia arriba.

Ahora, apoyando el centro en B y con la misma abertura del compás, traza otro arco desde A hacia arriba, hasta que corte a los dos arcos trazados anteriormente.

El punto donde se cortan los arcos exteriores es el cuarto vértice del cuadrado. Ponle la letra C.

Une A con C, y E con C para terminar el cuadrado.

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Para otros usos de este término, véase Triángulo (Desambiguación)

A triangle in geometric plana es a polígono de tres lados. Los puntos comunes a cada par de lados se denominan vértices del triángulo.[1]​

Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres pares congruentes de ángulos exteriores,[2]​ tres lados y tres vértices entre otros elementos.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trigono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triangulo geodesico.

elementos

corners

Cada uno de los puntos que determinan un triangulo. Talcomo los vertices de un polígono, suelen ser denotados por letras latinas mayúsculas: A , B , C , . . . {\displaystyle A,B,C,…} . Si A B + B C = A C {\displaystyle AB+BC=AC} there is no triángulo to determine A , B {\displaystyle A,B} y C {\displaystyle C} .

Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), correspond to a report on the perimeter. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.

Lados

Cada par de vértices determina un segmento, que se conoce como lado del triángulo. No interest in the orden de los vértices para nombrar un lado de modo AB, BA nombran a un mismo lado.

Los lados del triangulo se denotan, como todos los segmentsos, por sus extremos: AB, BC y AC.

Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: a {\displaystyle a} para BC, b {\displaystyle b} para AC, c {\displaystyle c} para AB .

La suma de los lados de un triángulo se conoce como perímetro, denotado por p o 2s; cumple la ecuacion p = 2 s = A B + B C + C A {\displaystyle p=2s=AB+BC+CA}

angulos

Cada par de lados con origen común el vértice de un triángulo y que contienen dos de esos lados concurrentes se llama ángulo del triángulo u -ocasionalmente- ángulo interior-

La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ prolongados y que concurren en el extremo O es P O Q ^ . {\displaystyle {\widehat {POQ}}.\,}

También es posible utilizar una letra minúscula -habitualmente una letra griega- coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambiguedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. In resume, and in el ejemplo se pueden observar los ángulos:

α ^ = a ^ = A ^ = B A C ^ , β ^ = b ^ = B ^ = A B C ^ , γ ^ = c ^ = C ^ = A C B ^ . {\displaystyle {\widehat {\alpha }}={\widehat {a}}={\widehat {A}}={\widehat {BAC}},\ {\widehat {\beta }}={\widehat { b}}={\widehat {B}}={\widehat {ABC}},\ {\widehat {\gamma }}={\widehat {c}}={\widehat {C}}={\widehat { ACB}}.\,}

EL ángulo cuyo vértice coincide with uno de los vértices del triángulo and sus lados: son la prolongación de un lado triangular and el otro lado angular contiene a un lado triangular, se llama ángulo externo. En cada vértice triangular hay dos ángulos externos.[3]​

Triángulos — Resumen de convenciones de designación Vértices A {\displaystyle {\text{A}}} B {\displaystyle {\text{B}}} C {\displaystyle {\text{C}}} Lados (como segmento) BC {\displaystyle {\text{BC}}} AC {\displaystyle {\text{AC}}} AB {\displaystyle {\text{AB}}} Lados (como length) a {\displaystyle a} b {\ displaystyle b} c {\displaystyle c} Ángulos α ^ = a ^ = A ^ = B A C ^ {\displaystyle {\widehat {\alpha }}={\widehat {a}}={\widehat {A}}={ \ widehat {BAC}}} β ^ = b ^ = B ^ = A B C ^ {\displaystyle {\widehat {\beta }}={\widehat {b}}={\widehat {B}}={\widehat { ABC }}} γ ^ = c ^ = C ^ = A C B ^ {\displaystyle {\widehat {\gamma }}={\widehat {c}}={\widehat {C}}={\widehat {ACB}} }

Clasificación de los triangulos

Los triángulos se pueden clasificar por la relation between las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados

For the longitudes de sus lados, todo triangulo se classifica:

Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo tienen una misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados o π / 3 {\displaystyle \pi /3\,} radians).

Como triángulo isósceles (del griego ἴσος “igual” y σκέλη “piernas”, es decir, “con dos piernas iguales”), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales [ 4 ] ).

Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados iguales; esto no descarta que los tres lados sean iguales, de modo que todo triángulo equilátero sea isósceles, pero no se cumple el enunciado recíproco.[5]​

Sea el triángulo ABC isósceles, donde b = c entonces los ángulos opuestos son iguales, i.e. B = C. También se cumple que B’ = C’ siendo estos los ángulos externos.Además se cumplen las igualdades

A + 2B = A + 2C = 180°;

A’ + 2B’ = A’ + 2C’ = 360°; A’ = 2C = 2B; B’=C’=A+B= A+C

m a = h a = v A = 1 2 4 b 2 − a 2 {\displaystyle m_{a}=h_{a}=v_{A}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4b ^{ 2}-a^{2}}}} donde m a , h a , v A {\displaystyle m_{a},h_{a},v_{A}} son la mediana, altura del lado a y bisectriz de su ángulo A opusto .[6]​

Como triángulo esscaleno (del griego σκαληνός “desigual”), si todos sus lados tienen lengths diferentes (en un triángulo esscaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Equilatero Isósceles Escaleno

Por la amplitude de sus angulos

Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:

(Clasificación por amplitud de sus ángulos) Triángulos Rectángulos Oblicuángulos Obtusángulos Acutángulos

Triangulo rectangulo : si tiene un angulo interior recto (90°). A los dos lados que konforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa .

: si tiene un angulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina y al otro lado . Triangulo oblicuangulo: cuando ninguno de sus angulos interiores es recto (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.Cualquier triángulo o bien es rectángulo o bien oblicuángulo. [7]

: cuando ninguno de sus ángulos interiores it recto (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.Cualquier triángulo o bien es rectángulo o bien oblicuángulo.​ Triángulo obtusángulo : si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor of 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).

: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°). Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo ⏟ {\displaystyle \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}} Oblicuángulos

Clasificación según los lados y los ángulos del triángulo

Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles : con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura sobre el lado distinto.

: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura sobre el lado distinto. Triángulo acutángulo esscaleno : con todos sus ángulos agudos y todos differentes, no tiene eje de simetria.

: con todos sus angulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetria. Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales. Las tres alturas son ejes de simetria (divide al triangulo en dos triangular iguales).

Los triangulos rectangulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles : con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. It simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

: con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. It simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto. Triángulo rectángulo esscaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triangulos obtusangulos pueden ser:

Triángulo obtusángulo isósceles : tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que estos dos.

: tiene un angulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el angulo obtuso; el otro lado es mayor que estos dos. Triángulo obtusángulo esscaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Clasificación según la calidad de un triangulo

La medida de la calidad de triángulo (abreviada como CT) se determina por el producto de tres factors que se obtienen de la suma de dos de sus lados menos el tercero en forma cíclica, dividido por el producto de sus tres lados; y se representa mediante la siguiente formula:

C T = ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) a b c {\displaystyle CT={\frac {(a+b-c)(b+c-a)(c+ a-b)} { ABC}}}

donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo.

Por lo tanto, si

CT = 1 es un triangulo equilatero.

CT = 0 is a triangular degenerado.

CT > 0.5 in a triangle of calidad buena.

En otras palabras, la calidad del triángulo se aproxima a cero cuando la distance euclidiana de uno de sus lados es cercana a cero o cuando los tres puntos del triángulo tienden a ser colineales.

La calidad de los triángulos tiene muchas aplicaciones en los métodos de triangulación como es el caso de la triangulación de Delaunay porque se necesitan generar una serie de puntos en el espacio para que la malla que se genere sea de buena calidad debido a la cantidad de punto que se encuentran bien distribuidos en un espacio de dos dimensiones porque cuando se le asigne un valor o magnitud a cada punto de la malla la aproximación del triángulo va a tener un error mayor y la solution seria continuar asignando punto en el espacio de dos dimensiones para que la aproximación ser mejor y el error disminuya.

Congruencia de triangulos

Main article: Congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo.

Postulados de congruencia

Triángulo Postulados de congruencia Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida. Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectively. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos). Postulado LLL (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

Theoremas de congruencia

Triángulo Teoremas de congruencia Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, eachvamente.

Congruencia de triangulos rectangulos

Criterion HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

(Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro. Criterion CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.

(Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro. Criterion HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

(Hipotenusa, Angulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro. Criterion CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto y un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

Semejanza de triangulos

Main article: Triángulos semejantes

Criterion AA (Ángulo, Ángulo). Si dos de sus angulos son semejantes.

(Ángulo, Ángulo). Si dos de sus angulos son semejantes. Criterion LAL (Lado, Ángulo, Lado). Si dos de sus lados son proportionales y el angulo comprendido entre ellos es congruente.

(Lado, Ángulo, Lado). Si dos de sus lados son proportionales y el angulo comprendido entre ellos es congruente. Criterion LLL (Lado, Lado, Lado). Si sus tres lados son proportionales.

Semejanza de triangulos rectangulos

Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen con al menos uno de los criterios siguientes:

Si uno tiene un angulo agudo de igual amplitud que un angulo agudo del otro.

Si uno tiene los dos catetos proportionales con los del otro.

Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proportionales con los del otro.

Corona triangular

Consider the triángulos semejantes con lados paralelos y con circuncentro común (centro de la circunferencia circunscrita). La intersección del exterior del triangulo de menor area con el interior del triangulo de mayor area unita con los dos triangulos forma una region en el plano que se lama corona triangular.[8]​

La frontera de this region es la union de los dos triángulos. Un punto es interior si está between las intersecciones que determina un rayo con origen en el circuncentro con los lados homólogos. El conjunto de los puntos interiores is el interior de la región. Un punto está en el exterior de la region si no está en la frontera ni en el interior. The interior is convexo, abierto and conexo. La frontera es la union disjunta de dos poligonales cerradas. El exterior es un conjunto desconexo, abierto y no convexo. La corona triangular es un conjunto cerrado, conexo y convexo.[9]​ La corona triangular es homeomorfa con la corona circle, tienen las mismas propiedades topológicas.

Propiedades de los triangulos

Un cuadrilátero con sus diagonales.

Un triangulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices. El triangulo es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal. Tres puntos no alineados define siempre un triángulo (tanto en el plano como en el espacio).

Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene un cuadrilátero que puede ser dividido en triangulos como el de la figura de la izquierda. En cambio, si el cuarto punto agregado es no coplanar y no alineado, se obtiene un tetraedro que es el poliedro más simple and está condonado por 4 caras triangulares.

Todo polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto se logra por triangulación. The minimum number of triangulations required for this division es n-2, donde n es el number of lados del polígono. The studio of the triangle is fundamental to the studio of other poles, for the demonstration of the Teorema of Pick.

En geometria euclidiana[10]​ la suma de los tres angulus internos de un triangulo es siempre 180°, lo que equivale a π radianes:

α + β + γ = 180 ∘ = π {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180{}^{\circ }=\pi }

Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: se traza una paralela a la linea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta ( AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. It’s an angle of 180° (or π radians). Finally, the sum of the angles is a triangle of 180°.

It is proposed that the result of the geometry of the Euclidiana. No se verifica en general en la geometria no euclidiana.

Other Propiedades

La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

El valor de la base media de un triángulo (segmento que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.

Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos polígonos siempre convexos, no pueden ser concavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados o π {\displaystyle \pi}

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que establece: “Los lados de un triangulo son proporcionales a los senos de los angulos opuestos”:

a sin ⁡ ( α ) = b sin ⁡ ( β ) = c sin ⁡ ( γ ) {\displaystyle {\frac {a}{\sin(\alpha \,)}}={\frac {b}{\sin (\beta \,)}}={\frac {c}{\sin(\gamma \,)}}}

Todo polígono convexo de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos con interiores disjuntos, Considerando un vértice del cual se trazan n-3 segmentos a los vértices no contiguos. [11]

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que establece: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ⁡ ( α ) {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos(\alpha \,)\ ,} b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ⁡ ( β ) {\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos(\beta \ , )\,} c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ⁡ ( γ ) {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos( \gamma \,)\,}

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

c 2 = b 2 + a 2 {\displaystyle c^{2}=b^{2}+a^{2}\,}

For the anterior ecuation you need 3 practical application forms:

a = c 2 − b 2 {\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}} b = c 2 − a 2 {\displaystyle b={\sqrt {c^{2 }-a^{2}}}} c = a 2 + b 2 {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

Mediante rotation, traslación, simetria axial y simetria puntual la imagen de un triangulo es un triangulo congruente al propuesto. [12] ​

​ Dado un triángulo en el plano cartesiano se puede hallar la ecuación de una parabola circunscrita de eje horizontal o vertical [ 13 ]

Special points

Geométricamente se pueden definir varios casos que están ligados a un triángulo en sí o en relation a la posición de una circunferencia.

Centros de circunferencias vinculadas

Circuncentro: it el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triangulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los Lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.

: it el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triangulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los Lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto. Incentro: it is the center of the circuit inscrita, aquella que it tangente to the lados del triangulo. There is a encuentra in the intersección de las bisectrices de los ángulos.

: it el centro de la circunferencia inscrita, aquella que it tangente to los lados del triangulo. There is a encuentra in the intersección de las bisectrices de los ángulos. Ortocentro: it el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.

: it el punto que se encuentra en la intersección de las alturas. Exincentros son los centros de las circunferencias exinscritas. [ 16 ] ​ Se encuentra en la intersección de una bisectriz interior and dos bisectrices exteriores de los ángulos.

El único caso en que el baricentro, incentro, ortocentro y circuncentro coínciden es en el triángulo equilátero. Algunos de estos puntos caen en el interior, en el exterior o en el mismo triángulo, depending de tipo. El ortocentro de a triangulo oblicuangulo está in the outer; cuando se trata de un triángulo rectángulo isósceles el circuncentro no es sino el punto medio de la hipotenusa.[17]​

Calculation of the lados and the angles of a triangle

En general, hay varios métodos accepted para calcular la longitud de un lado y la medida de un ángulo. Mientras que ciertos métodos pueden ser adecuados para calcular los valores de un triangulo rectángulo, otros pueden ser requeridos en situaciones más complejas.

Para resolver triángulos (en general) se suele utilizar los teoremas del seno y del coseno, para el caso especial de triángulos rectángulos se utiliza generalmente el Teorema de Pitágoras.

Razones trigonométricas en triangulos rectangulos

Main article: Trigonometry

Main article: Función trigonométrica

In triangular rectangular, las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente pueden ser usadas para encontrar los angular and las longitudes de lados desconocidos. Los lados del triangulo se denominan as sigue, with respect to a uno de los angulo agudos:

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo de un triangulo rectangulo.

El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo agudo Considerado.

El cateto adyacente es el cateto que forma el ángulo agudo Considerado.

Seno, coseno and tangent

El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.

sen α = opuesto hipotenusa = a c . {\displaystyle {\text{sen}}\alpha ={\frac {\color {ForestGreen}{\text{opuesto}}}}{\color {Red}{\text{hipotenusa}}}}={\frac { a}{c}}.}

El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.

cos ⁡ α = adyacente hipotenusa = b c . {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\color {blue}{\mathrm {adyacente}}}}{\color {red}{\mathrm {hipotenusa}}}}={\frac {b}{c} }.}

La tangente de un angulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente.

tan ⁡ α = opuesto adyacente = a b . {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\color {ForestGreen}{\mathrm {opuesto}}}}{\color {Blue}{\mathrm {adyacente}}}}={\frac {a}{b} }.}

Note: Los cocientes de las tres relaciones anteriores nodespenden del tamaño del triangulo rectangulo.

functions inverse

Las funciones trigonométricas inversas pueden ser usadas para calcular los ángulos internos de un triángulo rectángulo al tener la longitud de dos lados cualesquiera.

Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la de la hipotenusa.

θ = arcsin ⁡ ( opuesto hipotenusa ) {\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\color {ForestGreen}{\text{opuesto}}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}} }\To the right)}

Arccos (arcocoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto adyacente y la de la hipotenusa.

θ = arccos ⁡ ( adyacente hipotenusa ) {\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\color {blue}{\text{adyacente}}}}{\color {red}{\textrm {hipotenusa}}} }\To the right)}

Arctan (arcotangente) puede ser usada para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la del cateto adyacente.

θ = arctan ⁡ ( opuesto adyacente ) {\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\color {ForestGreen}{\text{opuesto}}}}{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}} }\To the right)}

En los cursos introductorios de geometria y trigonometría, la notación sin−1, cos−1, etc., es frecuentemente utilizada en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la notación de arcsin, arccos, etc., es estándar en matemáticas superiores donde las funciones trigonométricas son comúnmente elevdas a potencias, pues esto evita la confusion entre el inverso multiplicativo y la función inversa.

Elementos notables de un triangulo

Inner

Dado un punto en el plano euclídeo, diremos que éste es interior a un triangulo si al trazar una recta por él, dicho punto se halla entre los cortes con los lados del triangulo. De otro modo un punto es punto interior de un triangulo, si está en el interior de cada angulo del triangulo .[18]

Frontera and exterior

Los tres lados de un triángulo constituyen su frontera y los puntos del plano que no están en el interior ni en la frontera están en el exterior del triángulo.[20]​ La unión del interior, del triángulo (frontera) y del exterior es igual al plano del triangulo. Cada par de los conjuntos aludidos tiene intersección vacía o son conjuntos mutuamente disjuntos.

Equivalencia topológica

Cualquier triángulo es equale a una curva simple cerrada; en in particular a una circunferencia. Esto es, entre una circunferencia y un triangulo se puede establecer una application biyectiva y bicontinua. [21]​

Ceviana

Ceviana es una recta que pasa por un vértice de un triángulo y por la recta que contiene al lado opuesto; algunos autores incluyen como ceviana a los lados del triángulo.[22] Se consideran cevianas interiores, si contiene puntos del interior triangular; y cevianas exteriores, cuando pasa por el exterior del triángulo. [23]​

median

El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto de un triángulo se llama mediana.[24] lo que habitualmente se denomina paralela media.

Algunas propiedades de las medianas son:

Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto -punto G – llamado centroide o baricentro del triángulo. [25]

– Lamado or del Triángulo.​ Cada una de las tres medianas divide al triángulo en dos triángulos de áreas iguales. The distance between the baricentro and a vertice es 2/3 of the longitude of the mediana.

Las tres medianas dividen al triangulo en 6 triangular de areas iguales.

Del teorema de Apolonio, también llamado “teorema de la mediana”, pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), éstas permissionen calcular a partir del conocimiento de tres elementos, un cuarto elemento desconocido (los elementos en cuestión son lados y medianas ). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla):

Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II ) M a = 1 2 2 ( b 2 + c 2 ) − a 2 {\displaystyle M_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left( b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}}}} M b = 1 2 2 ( a 2 + c 2 ) − b 2 {\displaystyle M_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(a^{2}+c^{2}\right)-b^{2}}}} M c = 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) − c 2 {\displaystyle M_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)-c^{2} }}} a = 2 ( b 2 + c 2 ) − 4 M a 2 {\displaystyle a={\sqrt {2\left(b^{2}+c^{2}\right)-4M_{a} ^{2}}}} b = a 2 2 − c 2 + 2 M a 2 {\displaystyle b={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+ 2M_{a}^{2}}}} c = a 2 2 − b 2 + 2 M a 2 {\displaystyle c={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^ {2}+2M_{a}^{2}}}} a = b 2 2 − c 2 + 2 M b 2 {\displaystyle a={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2} }-c^{2}+2M_{b}^{2}}}} b = 2 ( a 2 + c 2 ) − 4 M b 2 {\displaystyle b={\sqrt {2\left(a^{ 2}+c^{2}\right)-4M_{b}^{2}}}} c = − a 2 + b 2 2 + 2 M b 2 {\displaystyle c={\sqrt {-a^{ 2}+{\frac {b^{2}}{2}}+2M_{b}^{2}}}} a = − b 2 + c 2 2 + 2 M c 2 {\displaystyle a={\ square {-b^{2}+{\frac {c ^{2}}{2}}+2M_{c}^{2}}}} b = − a 2 + c 2 2 + 2 M c 2 {\ displaystyle b={\sqrt {-a^{2} +{\frac {c^{2}}{2}}+2M_{c}^{2}}}} c = 2 ( a 2 + b 2 ) − 4 M c 2 {\displaystyle c={\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)-4M_{c}^{2}}}} ( Lados: a , b y c ) — ( Medianas: M a , M b y M c ) [ 26 ] ​ — ( Semilados: m a =n a = ½ a , m b =n b = ½ b y m c =n c = ½ c ).

Uniendo los pies de las medianas (punto medio de cada lado) se obtiene un triangulo semejante al original y su area es 1/4 del area de este.

m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3/4( a2 + b2 + c2), vinculo entre las tres medianas y los lados or de un triángulo. [27] ​

Mediatriz y circunferencia circunscrita

Se lama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta vertical a dicho lado trazada por su punto medio (también lamada simetral). El triángulo tiene tres mediatrices, una por cada uno de sus lados [ A B ] {\displaystyle [AB]} , [ A C ] {\displaystyle [AC]} y [ B C ] {\displaystyle [BC]} .

Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto O {\displaystyle O} equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro O {\displaystyle O} y radio O A {\displaystyle OA} que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es la circunferencia circunscrita al triángulo, y su centro se denomina circuncentro.[28]​

En un triangulo acutangulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triangulo.

En un triangulo obtusangulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triangulo.

En un triangulo rectangulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.

Propiedad

Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es el punto medio de su hipotenusa.

Bisectriz, circunferencia inscrita y circunferencia exinscrita

Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos.

Las tres bisectrices internas de un triangulo son concurrentes en un punto O. La circunferencia inscrita del triangulo es la única circunferencia tangente a los tres lados del triangulo y es interior al triangulo. Tiene por punto central el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triangulo.[29]​

Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren with la bisectriz interior del ángulo restante en puntos denominados exincentros, que son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo. Hay 3 exincentros, al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencias exinscritas son tangentes a un lado y a la extension de los otros dos.

La distance desde un vértice el triángulo hasta los puntos de intersección de la circunferencia inscrita en el triángulo con los lados que se cruzan en dicho vértice por potencia de un punto es la misma por lo que las longitudes de los lados de un triángulo son a= x+y, b=y+z, c=z+x, a esta forma de denotar a los lados de un triángulo se le conoce como Transformación de Ravi, en un triángulo rectángulo los lados son x+r, r+y, y+x con r el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Longitud de una bisectriz

v A = 2 b + c b c p ( p − a ) {\displaystyle vA={\frac {2}{b+c}}{\sqrt {bcp(p-a)}}}

donde vA es la bisectriz del ángulo A; a, b, c, lados del triángulo y p el semiperímetro; Siendo

p = a + b + c 2 {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}

Steiner’s theorem

Siendo r a , r b , r c {\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}} radios de las circunferencias exinscritas de un triángulo ABC; R y r radios de la circunfrencia circunscrita e inscrita en el mismo triángulo, or respectively, entonces se cumple la ecuación que sigue:

4 R + r = r a + r b + r c {\displaystyle 4R+r=r_{a}+r_{b}+r_{c}}

Alturas and Ortocentro

Main article: Ortocentro

Se llama altura de un triángulo al segmento de recta que une un vértice del triángulo con el lado opuesto -o su prolongación- formando un ángulo recto. El lado opuesto es la base del triangulo. Todos los triángulos tienen tres alturas.[32]​ Estas 3 alturas se cortan en un punto único H {\displaystyle H} (son concurrentes), llamado ortocentro del triángulo.[33]​

Propiedads

Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértice recto del triángulo.

Un triangulo es obtusangulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triangulo.

Un triángulo es acutángulo si y solo si su ortocentro está dentro del triángulo.

Alturas por longitud de sus lados

Para un triángulo ΔABC cualquiera, conociendo la longitud de sus lados (a, b, c), se pueden calcular las or longitudes de las alturas (h a , hb , hc ) aplicando las siguientes formulas:

h a = τ a {\displaystyle h_{a}={\frac {\tau }{a}}}

h b = τ b {\displaystyle h_{b}={\frac {\tau }{b}}}

h c = τ c {\displaystyle h_{c}={\frac {\tau }{c}}}

Donde h a es la altura korrespondiente al lado a, h b es la altura korrespondiente al lado b, h c es la altura korrespondiente al lado c y el término τ {\displaystyle \tau} es:

τ = 1 2 ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( − a + b + c ) ( a + b + c ) {\displaystyle \tau ={\frac {1}{2}}{ \sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}}

La altura del lado a puede hallarse mediante la siguiente formula [30]​

h a = 2 a p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) :: ∗ {\displaystyle h_{a}={\frac {2}{a}}{\sqrt {p(p-a) (p-b )(p-c)}}::*}

donde ha es la altura indicada; a, b, c los lados y p el semiperímetro del triángulo. Para las otras dos alturas basta cambiar el denominador por el lado or respectively en la formula ∗ {\displaystyle *} .

Recta de Euler

Main article: Recta de Euler

Los tres puntos H {\displaystyle H} , G {\displaystyle G} y O {\displaystyle O} están alineados en una linea recta llamada recta de Euler del triángulo and verifica la relación de Euler:[34]​[35]​

O H = 3 O G {\displaystyle OH=3OG\,}

Los puntos medios de los tres lados, los tres pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos [ A H ] {\displaystyle [AH]} , [ B H ] {\displaystyle [BH]} y [ C H ] {\displaystyle [ CH]} están en una misma circunferencia llamada circunferencia de Euler o circunferencia de los nueve puntos del triángulo.

Theorem de Carnot

El teorema de Carnot establece que, para un triángulo acutángulo de vértices ABC, la suma de las distancias bzw. x , y , z {\displaystyle x,y,z} desde el circuncentro a los lados del triángulo es igual a la suma de los radios R , r {\displaystyle R,r} de las circunferencias circunscrita e inscrita, or respectively, del triángulo:[36]​

R + r = x + y + z {\displaystyle R+r=x+y+z}

Area de un triangulo

El area de un triangulo es igual al semiproducto de la base por la altura.

A = b h 2 {\displaystyle A={\frac {bh}{2}}}

Esto es cierto para cualquier triangulo plano.

Area con la formula de Herón

Main article: Fórmula de Herón

Conociendo la longitud de los tres lados a, b y c, se puede calcular el área para cualquier triángulo euclideo. Primero se calcula el semiperímetro s y luego se aplica la fórmula de Herón, (no se requiere conocer la altura).

s = 1 2 ( a + b + c ) {\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}

A ´ r e a = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle \mathrm {{\acute {A))rea }={\sqrt {s(s-a)(s-b ) (s-c) }}}

Si se considera constante el perímetro de un triángulo, el que tiene mayor área es el triángulo equilátero. [ 37 ]

Si se application of the Transformación de Ravi a los lados del triangulo tenemos que los lados son x+y, y+z, z+x y el area del triangulo es

A ´ r e a = x y z ( x + y + z ) {\displaystyle \mathrm {{\acute {A}}rea} ={\sqrt {xyz(x+y+z)}}}

Area con la longitud de sus lados

Conociendo la longitud de los tres lados a, b y c, se puede calcular el área para cualquier triángulo euclideo, (éstas fórmulas no requieren pre calcular el semiperímetro ni conocer la altura).

A ´ r e a = 1 4 ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( − a + b + c ) ( a + b + c ) {\displaystyle \mathrm {{\acute {A }} rea} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}}

A ´ r e a = 1 4 2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − a 4 − b 4 − c 4 {\displaystyle \mathrm {{\acute {A))rea } = {\ frac {1}{4}}{\sqrt {2\left(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{ 2}\right )-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}}

Area with radios de circunferencias vinculadas y los lados

S = a b c 4 R {\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}}

S = p r {\displaystyle S=pr}

S = ( p − a ) r a = ( p − b ) r b = ( r − c ) r c {\displaystyle S=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=(r-c) r_ {c} }

S = r r a r b r c {\displaystyle S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c))))

S = 1 2 R h a h b h c {\displaystyle S={\sqrt {{\frac {1}{2}}{Rh_{a}h_{b}h_{c}}}}}

S = 2 R 2 a b c h a h b h c {\displaystyle S={\frac {2R^{2}}{abc}}{h_{a}h_{b}h_{c}}}

donde S es el area; además a , b , c , p {\displaystyle a,b,c,p} son los lados y el semiperímetro del triángulo; R, radio de la circunferencia circunscrita o circunradio; r, radio de la circunferencia inscrita o inradio ;[38]​ r a , r b , rc . {\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}.} radios de sendas circunferencias exinscritas h a , h b , h c {\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}} son las respectivas alturas.[39]​

Area con la longitud de dos lados y el ángulo comprendido[edit]

Si en la fórmula área = ah/2, siendo h la altura medida sobre la base a, se tiene en cuenta que

sin C = h/b o lo que es lo mismo h = b sin C, se obtiene que:

A ´ r e a = a h 2 = a b sin C 2 {\displaystyle \mathrm {{\acute {A}}rea} ={\frac {a\;h}{2}}={\frac {a\;b\ ,\;\sin \,C}{2}}}

Equals:

A ´ r e a = b c sin A 2 {\displaystyle \mathrm {{\acute {A}}rea} ={\frac {b\;c\,\;\sin \,A}{2}}}

A ´ r e a = a c sin B 2 {\displaystyle \mathrm {{\acute {A}}rea} ={\frac {a\;c\,\;\sin \,B}{2}}}

Area con la longitud de un lado y los ángulos contiguos[edit]

Si en la fórmula área = a b sen C / 2 se tiene en cuenta que de acuerdo con el teorema del seno b = a sen B / sen A, se obtiene que:

A ´ r e a = a 2 2 sin B sin C sin A {\displaystyle \mathrm {{\acute {A}}rea} ={\frac {a^{2}}{2}}{\frac {\sin \ ,B\;\sin \,C}{\sin \,A}}}

y teniendo en cuenta que A = π {\displaystyle \pi }- ( B + C ); y que sen ( π {\displaystyle \pi } -S) = sen(S)

A ´ r e a = a 2 2 sin B sin C sin ( B + C ) {\displaystyle \mathrm {{\acute {A}}rea} ={\frac {a^{2}}{2}}{\frac {\sin \,B\;\sin \,C}{\sin \,(B+C)}}}

Equals:

A ´ r e a = b 2 2 sin A sin C sin ( A + C ) {\displaystyle \mathrm {{\acute {A}}rea} ={\frac {b^{2}}{2}}{\frac {\sin \,A\;\sin \,C}{\sin \,(A+C)}}}

A ´ r e a = c 2 2 sin A sin B sin ( A + B ) {\displaystyle \mathrm {{\acute {A}}rea} ={\frac {c^{2}}{2}}{\frac {\sin \,A\;\sin \,B}{\sin \,(A+B)}}}

Utilizando coordenadas coordenadas cartesianas [ edit ]

Si un triángulo cualquiera (en el plano euclidiano ℝ²), tiene alguno de sus vértices (supongamos el A) ubicado en (0, 0) —el origen de las coordenadas cartesianas—, y las coordenadas de los otros dos vértices (supongamos B y C) vienen dadas por B = (x B , y B ) y C = (x C , y C ), entonces el área puede ser calculada como ½ del valor absoluto del determinate (reducido a los dos vértices willarios B y C).

A ´ r e a = 1 2 | det [ x B x C y B y C ] | = 1 2 | x B y C – x C y B | . {\displaystyle \mathrm {{\acute {A}}rea} ={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{bmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B }&y_{C}\end{bmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}

A ´ r e a = 1 2 | x B y C – x C y B | . {\displaystyle \mathrm {{\acute {A}}rea} ={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}

Si un triángulo genérico (en el plano Euclidiano ℝ²), tiene sus tres vértices ubicados de modo arbitrage (ninguno en el origen), entonces la ecuacion es:

A ´ r e a = 1 2 | det [ x A x B x C y A y B y C 1 1 1 ] | = 1 2 | x A y B – x A y C + x B y C – x B y A + x C y A – x C y B | {\displaystyle \mathrm {{\acute {A}}rea} ={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{bmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\ \y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{bmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{B}- x_{A}y_{C}+x_{B}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big |}}

A ´ r e a = 1 2 | ( x A − x C ) ( y B − y A ) − ( x A − x B ) ( y C − y A ) | . {\displaystyle \mathrm {{\acute {A}}rea} ={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{ A})-(x_{A}-x_{B})(y_{C}-y_{A}){\big |}.}

Para un triángulo genérico (en el espacio euclidiano ℝ³), cuyas coordenadas son { A = (x A , y A , z A ), B = (x B , y B , z B ) y C = (x C , y C , z C ) }, entonces el área viene dada por la suma pitagórica de las áreas de las respectively proyecciones sobre los tres planos principales (es decir x = 0, y = 0 y z = 0):

A ´ r e a = 1 2 | det [ x A x B x C y A y B y C 1 1 1 ] | 2 + | det [ y A y B y C z A z B z C 1 1 1 ] | 2 + | det [ z A z B z C x A x B x C 1 1 1 ] | 2 . {\displaystyle \mathrm {{\acute {A}}rea} ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\det {\begin{bmatrix}x_{A}&x_{B}&x_ {C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{bmatrix}}\right|^{2}+\left|\det {\begin{bmatrix}y_{A}&y_ {B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{bmatrix}}\right|^{2}+\left|\det {\begin{bmatrix}z_ {A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{bmatrix}}\right|^{2}}}.}

Area de un triangulo en el espacio[edit]

Se dan tres puntos A, B, C del espacio euclídeoℝ3. Se pueden determinar los vectores AB y AC, luego se halla el producto vectorial de dichos vectores. La mitad del módulo de tal producto vectorial es el area del triangulo ABC. [ 40 ]

Esta fórmula es válida aún en el plano ℝ2 ( portanto en el plano complejo), con el cuidado de Considerar la tercera coordenada igual a 0. Sin embargo para ℝn, n > 3, uno de los vectores se usa como base, luego se obtiene el coseno del ángulo que forman los lados concurrentes en A, por medio del producto escalar de los vectores correspondiente a dichos lados. Después el seno de tal ángulo, que propicia hallar la altura del triángulo.[41]​

Area de triangulos rectangulos con lados enteros[edit]

Cuando Consideramos la obtención de triángulos rectángulos con lados enteros se encuentra la solution general de la ecuacion x 2 + y 2 = z 2 {\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=z^{2}} :

{ x = m ( 2 u v ) y = m ( u 2 − v 2 ) z = m ( u 2 + v 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}x=m(2uv)\\y=m(u ^{2}-v^{2})\\z=m(u^{2}+v^{2})\end{cases}}}

Ver, también, terna pitagórica

En estas fórmulas, u y v son dos enteros positivos arcades de distinta paridad tales que u > v y son primos entre sí. El entero positivo m es uno cualquiera que cubre los casos en los que los elementos de la terna pitagórica tienen un factor común. Cuando m = 1, tenemos las ternas pitagóricas con elementos primos entre sí dos a dos. Como el lector puede apreciar, aunque estas fórmulas fueron diseñadas para obtener ternas con lados enteros, al ser una identidad, también son válidas para lados reales, exceptuando el caso en que ambos catetos son iguales (que la hipotenusa sea diagonal de un cuadrado).

If you realize the calculation of the area so that the base of the expressions encountered by the catetos, put the superficie de un triangulo rectangulo it igual al semiproducto de los catetos, nos queda una forma cúbica:

A = xy2 ; A = m 2 ( u 3 v − u v 3 ) = m 2 u v ( u 2 − v 2 ) {\displaystyle \textstyle A={\frac {xy}{2}};\;A=m^{2} \;(u^{3}v-uv^{3})=m^{2}\;uv\;(u^{2}-v^{2})}

Los números de la forma u v ( u 2 − v 2 ) {\displaystyle uv\;(u^{2}-v^{2})} , cuando u y v son u > v y enteros positivos impares y primos entre sí, son números congruentes de Fibonacci, introductions en su Liber Quadratorum (1225). No hay razón conocida para que u y v no puedan ser de distinct paridad. Fibonacci demostró que el producto de un congruente por un cuadrado también es congruente.[45]​

Como el area de cualquier triangulo puede ser descompuesto en la suma o resta del area de dos triangulos rectangulos, tenemos dos expressiones para el area de triangulos no rectangulos:

Acutángulo: m 2 u v ( u 2 − v 2 ) + n 2 s t ( s 2 − t 2 ) {\displaystyle m^{2}\;uv\;(u^{2}-v^{2})+ n^{2}\;st\;(s^{2}-t^{2})}

Obtusángulo: m 2 u v ( u 2 − v 2 ) − n 2 s t ( s 2 − t 2 ) {\displaystyle m^{2}\;uv\;(u^{2}-v^{2})- n^{2}\;st\;(s^{2}-t^{2})}

Sin olvidar que esto solamente es valido para pares de triángulos rectángulos que no tengan catetos iguales. It is a forma more complicada de calcular el area de un triángulo, y también es poco conocida. Pero en algunos casos, su escritura puede echar luz sobre cuestiones que de otra forma pasan inadvertidas.

En el espacio [edit]

El triangulo es la forma de las caras de tres poliedros regulares:

tetraedro: cuatro triángulos equiláteros en las caras y esquinas formedas por la confluencia de 3 triángulos (es la pirámide de base triangular),

Octahedron: ocho triángulos equiláteros en las caras y esquinas formadas por la confluencia de 4 triángulos (las pirámides de Egipto son medio-octaedros),

icosaedro: veinte triángulos equiláteros en las caras y esquinas formadas por la confluencia de 5 triángulos.

En otros casos, las caras laterales de una pirámide son triángulos dos a dos con arista común; de la misma manera, las caras laterales de un antiprisma son triángulos .[46]​

history [edit]

La arquitectura monumental de la III Dinastía y la IV Dinastía de Egipto es una prueba remarkable de que los egipcios de esa época tenían conocimientos relativamente sofisticados de geometria, especialmente en el estudio de los triángulos; si bien ningún documento matemático del Antiguo Imperio ha llegado hasta nosotros.[47]​

The calculation of the Esta territorial figure is analyzed with the problems R51 of the Papiros Rhind, M4, M7 and M17 of the Papiros of Moscú, as far as the dates of the Imperio Medio are concerned. The problema R51 consists in the history of the world of the matemáticas, the primer testimonio escrito que trata del calculo del area de un triángulo.

Enunciado del problema R51 del papiro Rhind:[48]​

Ejemplo de calculo de a triangulo de tierra. Si alguien te dice: un triángulo de 10 khet sobre su mryt y de 4 khet de base. ¿Cuál es su area? Calculate the mitad de 4, que es 2 para formar un rectángulo. Multiplier 10 of 2. Esta es su área.

El termino mryt significa probablemente la altura o el lado. Sin embargo, la fórmula utilizada para calcular el area hace pensar en la interpretación en favor de la primera solution.[49] it decides

A = b a s e 2 m r y t {\displaystyle A={\frac {\mathrm {base}{2)){\mathrm {mryt)))

Equivalent to the formula común utilizada en nuestros días:

A = b h 2 {\displaystyle A={\frac {bh}{2}}}

El hecho de que un triángulo de lados 3-4-5 es un triángulo rectángulo también era conocido por los antiguos egipcios y mesopotámicos.

Euclides, en el Libro I de sus Elementos, hacia el 300 antes de Cristo, enunció la propiedad de la suma de los ángulos del triángulo.

En geometría plana, un rectángulo es un parallelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre si. Los lados opuestos tienen la misma longitud. Un rectángulo cuyos cuatro lados tienen la misma longitud es un cuadrado.

The perímetro de a rectángulo it igual a la suma de todos sus lados:

P = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b = 2 ⋅ ( a + b ) {\displaystyle P=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)\,}

El area de un rectángulo it igual al producto de dos de sus lados contiguos:

A = b ⋅ a {\displaystyle A=b\cdot a}

definition [edit]

A rectangulo it una figura geométrica que posee cuatro angulos interiores de 90º. Es un paralelogramo, es decir, todos sus lados son paralelos dos a dos.[1]​

Por general próximo y differencia específica[edit]

El rectángulo es a parallelogramo con un ángulo recto.[2]​

suggestion[edit]

El rectángulo tiene los cuatro ángulos rectos.

Prueba Por definition, tiene un angulo recto. Por ser un paralelogramo, su opuesto también es un angulo recto; y los otros dos ángulos, que son suplementarios de los dos anteriores, suman 180º. Y como son opuestos, son iguales entre si, luego cada uno de los cuatro es un angulo recto.

Propiedads [edit]

d es una de sus dos diagonales. Rectángulo ABCD.es una de sus dos diagonales.

Sus lados paralelos son iguales. Las dos diagonales de un rectángulo de lados a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} d = a 2 + b 2 {\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} [ 3 ] Sus dos diagonales se bisecan mutuamente en el punto medio común; (esta característica también lo define). Este punto es el centro de la figura, en el sentido que toda recta que pasa por él, corta al rectángulo en dos puntos equidistantes del centro, por lo que define una simetría respecto a un punto para los puntos del rectángulo. [ 4 ] ​ El rectángulo tiene dos simetrias axiales, respecto a ejes paralelos a sus lados y que pasan por el centro. [ 5 ] ​ Cualquier rectángulo se puede inscribir en una circunferencia, dos de cuyos diametros correspond with las diagonales del rectángulo. Usando como base de un triángulo una base del rectángulo y el punto medio del lado opuesto, como vértice opuesto, resulta un triángulo isósceles de área igual a la mitad de la del rectángulo. Empleando como base de cualquier triángulo la base del rectángulo y como vértice opuesto un punto que dista como la altura del rectángulo, se obtiene una familia de triángulos Equivalentes y cuyos vértices forman un lugar geométrico: la recta paralela a la base del rectángulo. [ 6 ] Si se unen los puntos medios M, N; P, Q de sendos lados de un rectángulo, mediante segmentos se genera el rombo MNPQ. [7]

Teoremas [edit]

El teorema de isoperimetria para rectángulos establece que de entre todos los rectángulos con un perímetro dado, el cuadrado es el que tiene mayor área. A parallelogram with diagonals iguales it a rectangulo. El teorema japonés para cuadriláteros cíclicos establece que los incentros de cuatro triángulos determinados por los vértices de un cuadrilátero cíclico tomados de tres en tres forman un rectángulo.

Simetria [edit]

Las dos rectas verticales entre si, paralelas a los lados contiguos y que pasan por el centro del rectángulo, son ejes de simetría axial de los puntos del rectángulo. El centro del rectángulo (intersección de las diagonales) is el centro de simetria central de los puntos del rectángulo. [ 8th ]

Rectángulos con nombre propio[edit]

Rectangulo aureo.

El rectángulo áureo, también denominado rectángulo de oro o rectángulo Φ, es el rectángulo cuyos lados están en razón áurea. Si by h son los lados, b/h = Φ. Para construct a partir de un cuadrado de lado AB, basta con determinar el punto medio M de uno de los lados AB, y trazar, con centro en el punto M, una circunferencia que pase por uno de los vértices C del lado opuesto.

Véase también: Número áureo

Representación graphic de un ortoedro que generaliza la construction de un rectángulo, en el espacio euclídeo tridimensional

Rectángulo 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} rectángulo raíz de 2), aquel cuya relación entre base y altura es igual a la raíz cuadrada de dos. Si b y h son los lados, b/h = 2 {\displaystyle { \sqrt {2}}} raíz de 2. It por ello que, between other usos, it el formato used para dimensionar las hojas de papel según las norms DIN 476 and ISO 216.

Construction partiendo del cuadrado: de forma similar to rectángulo áureo, se traza con centro en el punto A, una circunferencia que pase por el vértice opuesto C.

Doble cuadrado, aquel cuyos lados están en la relation 2:1.

, aquel cuyos lados estan en la relation 2:1. Pantallas of television. Hasta la introducción de los monitores de alta definition, cuya relación [ancho:alto] habitual es [16:9], los sistemas de televisión convencionales utilizaban rectángulos con la proporción [4:3]. Dado que estas properties son fijas, basta con conocer la medida de la diagonal (normalmente expresada en pulgadas) para establecer el tamaño de la pantalla.

Magnitudes geométricas para a rectángulo [edit]

Dada una figura bidimensional pueden define los n-momentos de área centrados como:

M x 1 … x n ( n ) = ∫ A x 1 … x n d A {\displaystyle M_{x_{1}\dots x_{n}}^{(n)}=\int _{A}x_{1}\ points x_{n}\ dA}

El 0-Momento coincide with the area los dos 1-Momentos se llaman Primeros Momentos de área (o momentos estáticos) S x = M x ( 1 ) , S y = M y ( 1 ) {\displaystyle \scriptstyle S_{ x }=M_{x}^{(1)},\ S_{y}=M_{y}^{(1)}} son nulos para cualquier figura plana. Los 2-momentos se llaman segundos momentos de área (o momentos de inercia planos) y para un rectángulo son:

I x x = M x x ( 2 ) = b h 3 12 , I y y = M y y ( 2 ) = h b 3 12 , I x y = I y x = M x y ( 2 ) = 0 {\displaystyle I_{xx}=M_{xx }^{(2)}={\frac {bh^{3}}{12}},\quad I_{yy}=M_{yy}^{(2)}={\frac {hb^{3} {12}},\quad I_{xy}=I_{yx}=M_{xy}^{(2)}=0}

Donde b es la base del rectángulo y h su altura.

Rectángulos cruzados[edit]

Generación de rectángulos cruzados

Un cuadrilátero cruzado (es decir, que se interseca a sí mismo) existe en dos lados opuestos de un cuadrilátero junto con sus dos diagonales (véase antiparalelogramo). Del mismo modo, un rectángulo cruzado es un cuadrilátero cruzado formed por dos lados opuestos de un rectángulo junto con sus dos diagonales. Tiene la misma disposición de vértices que el rectángulo. Aparece como dos triangular identicos con un vertice común. La intersección geométrica no se considera un vértice propiamente dicho.

Un cuadrilátero cruzado a veces se asemeja a un lazo de pajarita o a una mariposa. A rectangular marco de alambre toma la forma de a cuadrilátero cruzado cuando se hacen girar en un espacio tridimensional sus lados cortos en sentido opuesto. Un rectángulo cruzado a veces también se denomina un “ocho angle”.

El interior de un rectángulo cruzado puede tener und densidad poligonal de ± 1 en cada triángulo,dependiendo de la orientación (en sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario) with la que se recorrran.

Un rectangulo cruzado no es equiangular. La suma de sus ángulos interiores (dos agudos y dos obtusos), como en cualquier cuadrilátero cruzado, es de 720°.[9]​

A rectangulo and a rectangulo cruzado son cuadriláteros con las siguientes characteristics en común:

Los lados opuestos tienen la misma longitud.

Las dos diagonales tienen la misma longitude.

Tiene dos lines de simetria de reflexión y simetria rotacional de orden 2 (180°).

Otros rectángulos [edit]

Una silla de montar tiene 4 vértices no coplanarios (los vértices alternados de un ortoedro). It is a superficie minimal interior defined as a combinación lineal de los 4 vértices. Este ejemplo muestra 4 lados azules del rectángulo, y las dos diagonales en color verde, todos diagonales de las caras rectangular del ortoedro.

En geometría esférica, un rectángulo esférico es una figura cuyos cuatro lados son arcos de círculos máximos, sus cuatro ángulos son iguales y mayores de 90°, y sus arcos opuestos tienen la misma longitud.

En geometria elíptica, un rectángulo elíptico es una figura en el plano elíptico cuyas cuatro aristas son arcos elípticos, que se cortan con angulos iguales y mayores de 90°, y sus arcos opuestos tienen la misma longitud.

En geometria hiperbólica, un rectángulo hiperbólico es una figura en el plano hiperbólico cuyas cuatro aristas son arcos hiperbólicos que se cortan con cuatro angulos iguales menores de 90°, y cuyos arcos opuestos tienen la misma longitud.

Teselados [edit]

El rectángulo se utiliza en muchos patrones de teselados periódicos, como por ejemplo estosmosaicos:

Cuadrado, perfecto, y otros rectángulos [edit]

Un rectángulo puede ser embaldosado mediante cuadrados, rectángulos, o triángulos. Se dice que el recubrimiento es Perfecto[10]​[11]​ si todas las baldosas son semejantes, tiene un número finito de baldosas, y no hay dos baldosas del mismo tamaño. Si dos de estas baldosas son del mismo tamaño, se dice que el recubrimiento es imperfecto. En un recubrimiento perfecto (o imperfecto) triangulado, los triángulos deben ser rectángulos.

Un rectángulo tiene lados conmensurables sí y solo sí puede ser recubierto por un número finito de cuadrados distintos.[10]​[12]​ Lo mismo es cierto si las baldosas son triángulos isósceles desiguales.

Los recubrimientos de rectángulos con otras geométricas formas que han atraído la mayor atención son los de poliominos no rectangular congruentes, allowiendo todas las rotaciones y reflexiones. También hay embaldosados ​​mediante poliábolos congruentes.

Véase también [edit]

References[edit]