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1계 선형 미분 방정식은 y의 도함수가 모두 1차이면서 동시에 y의 도함수의 계수가 모두 x만의 함수여야합니다. 위와같이 말이죠. 그리고 표준형에서는 최고계 도함수의 계수를 1로 맞춰야 한다는것도 중요합니다!

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[미분 방정식] 1계 선형 미분 방정식과 그 해법

안녕하세요, 설군입니다.

네이버 수식입력기도 써보고…

한글에서 수식을 입력한 다음 캡처해서도 해보고…

여러 방법을 써봤는데 글 쓸 때 제일 편한거는 역시 손으로 써서 스캔하는게…

미분 방정식 수업 들으면서 필기했던 내용을 다시 깔끔하게 정리하고있는 중인데

그걸 캡처해서 글 쓸 때 사진으로 첨부하도록 하겠습니다. 훨씬 편하고 보기도 편하실거예요.

이전에 적분인자에 대해서 배웠는데

이게 1계 선형 미분 방정식을 풀 때 아주 유용합니다.

1계 선형 미분 방정식은 y의 도함수가 모두 1차이면서 동시에 y의 도함수의 계수가 모두 x만의 함수여야합니다.

위와같이 말이죠.

그리고 표준형에서는 최고계 도함수의 계수를 1로 맞춰야 한다는것도 중요합니다!

그리고나서 y앞의 계수를 P(x)라고 두는데 이것은 나중에 적분인자를 풀때 P(x)가 필요합니다.

‘동차’와 ‘비동차’라는 말이 있는데

간단하게 말해서 동차는, 미분방정식의 표준형에서 우변이 0인것을 말하고

비동차는 0이 아닌것을 말합니다.

보통 미분 방정식을 풀 때에는 비동차 미방이 주어졌다 하더라도

그걸 동차로 보고 먼저 풀고 나서 비동차로 보고 풀어서

두 개의 해를 결합하여 풉니다.

어쨌든 그렇고

일계 선형 미분 방정식에서 다음 조건도 있어요

(미분 방정식의 조건)

함수 f는 물론 연속이어야하고, y로 미분한것도 연속이어야합니다.

일계 미분 방정식을 이와같이 변형하면 완전 미분 방정식처럼 됩니다.

이 상황에서 적분인자를 생각해보면 다음과같이 정리됩니다.

이 적분인자를, 일계 미분 방정식의 표준형에 곱해주면

이렇게 되겠죠

그런데 여기서 잠깐 이걸 생각해봅시다.

즉 좌변을 쉽게 정리할수 있다는것입니다.

그래서 정리하면

이와같이 정리되는데, 사각형 표시한걸 외우면 아주 편합니다.

사각형 표시한걸 마저 정리하면 위와같이 정리가됩니다.

식자체가 지수함수에 적분에 뭐시기가 많아서 복잡해보일뿐

과정자체는 어렵지않은데, 그래도 복잡하죠.

예제문제를 풀면서 이해해봅시다.

표준형으로 나타내어주고 나서 P(x)를 찾아보면, -3입니다.

그리고나서 적분상수를 구하면

이렇게 됩니다. 그리고 나서 앞서 제가 사각형 표시한 것을 외우라고 했는데 그걸 적용하고

적분만 해주면 간단하게 우리가 구하고자 하는 해 y를 구할 수 있습니다.

몇 가지 예제를 더 가져왔는데 풀어보세요.

이건 바로 전 예제에서 우변에 상수로 바뀐것입니다.

비동차인데요 과연 해가 어떻게 변하는지 봅시다.

이렇게 정리가 됩니다. 앞서 동차에서 풀었던 것에다가 -2만 더해준 꼴이죠.

다음 문제도 풀어봅시다.

문제가 주어졌을때 그것을 공식을 통해 풀기 위해서 표준형으로 바꾸어주는 작업은 매우 중요합니다.

일계 선형 미분 방정식이니까 일계 도함수의 계수를 1로 바꾸어주고 나서 적분인자를 구할 때 필요한 P(x)를 잘 찾아야합니다.

그리고 나서 적분인자를 찾고나서는

앞서 제가 사각형을 외우라고 했는데 그것에다가만 적용하면 편합니다.

다음으로는 치환에 의한 미분 방정식의 해법과, 베르누이 미분 방정식, 몇가지 꼴에 대해 더 알아봅시다.

1계 상미분방정식(first-order ODE)

1차 미분방정식의 개요

이전 포스팅에서 다룬것을 요약하면 미분방정식이란 하나 또는 그 이상의 도함수가 포함된 방정식을 뜻하며 y를 구하는 것을 미분방정식을 푼다라고 하며 이를 미분방정식의 해라고 한다. 본 포스팅에서는 1차 미분방정식의 해법에 대한것이다. 즉, 하나의 도함수를 포함하는 미분방정식을 풀어 해를 구하는 것이다. 1차 미분방정식의 형태는 여러가지가 있는데 그 중 가장 간단한 형태인 변수분리형부터 시작해서 동차 미분방정식, 완전 미분방정식에 대해 다룰것이며, 특히 선형 1차 미분방정식의 일반적인 해법에 대해서도 다룬다. 또한 복잡한 형태이기는 하지만 적절한 치환에 의해 간단한 형태로 변환되는 베르누이 및 리카티 미분방정식도 학습한다. 1차 미분방정식은 단지 1계 도함수 y’만을 포함하고, y와 주어진 x의 함수를 포함할 수도 있다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

변수분리형 방정식(Separable Equation)

1차 미분방정식의 해를 구하는 데 있어 제일 먼저 검토해야 할 사항은 변수분리가 가능한 형태인지 알아내는 것이다.

만일 아래 식의 우변을 적당한 대수조작을 통해 x와 y의 함수로 분리가 가능하다고 하자.

위의 식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

이 식의 좌변은 y만의 함수로, 우변은 x만의 함수로 각각 표현되었으며 이것이 변수가 분리되었다는 의미이다.

위의 식의 양변을 적분하면

이 되며 c는 두개의 적분에 대한 적분상수를 표현한 것이다. 적분을 통해 최종적으로 우리가 구하고자 했던 미분방정식의 일반해 y를 구할 수 있다. 변수분리형 방정식을 풀기 위해서는 치환적분, 부분적분, 부분분수에 의한 적분기법을 미리 숙지하자.

모든 1차 방정식이 언제나 변수 분리가 될 수 있는 것은 아니지만, 많은 경우 변수분리가 가능한 형태로 표현될 수 있다.

예제를 통해 이해해보자. 변수분리를 하면 다음과 같다. 양변을 적분해보자. 좌변 풀이 우변 풀이 좌변, 우변 같이 쓰면 최종적으로 다음과 같은 음함수의 해를 구할 수 있다.

미분방정식의 해는 상황에 따라 양함수나 음함수 표현 모두가 가능하지만 경우에 따라서는 음함수 표현으로부터 양함수 표현을 얻어내기가 매우 어렵고 복잡한 경우가 많다. 이럴 때는 미분방정식의 해를 음함수 형태로 표현하는 것이 좋을 것이다. 양함수 또는 음함수 형태는 함수의 표현방식이며, 어떤 표현방식이 더 좋다고 이야기할 수 없는 것이므로 상황에 따라 적절하게 선택하여 표현하면 된다.

동차 미분방정식(Homogeneous Differential Equation)

앞에서 변수분리가 가능한 1차 미분방정식의 일반해는 변수분리 후에 적절한 적분수행에 의해 구해진다는 것을 알았다. 그런데 만일 대수적인 조작을 통해 변수분리가 되지 않으면 어떻게 할 것인가?

위와 같은 미분방정식을 고려해보자. 대수적인 조작을 통해 x와 y의 변수로 분리할 수 있는가? 불가능 하다. 우변의 분자항이 합의 형태로 주어져 있기 때문에 변수분리가 가능하지 않으므로 변수분리방법을 통해 일반해를 구할 수 없다.

그런데 변수분리가 되지 않는 1차 미분방정식 중에서 동차미분방정식이라는 특별한 형태로 주어진 미분방정식의 경우에는 변수치환과정을 거쳐 변수분리형태로 변환할 수 있다.

어떤 형태가 과연 동차함수(Homogeneous Function)일까? 다음 함수를 고려해 보자.

우변에는 3개의 항이 존재하는 데 각 항의 차수를 살펴보자. xy^3항은 x가 1차, y가 3차, x와 y의 차수의 합이 4이다. x^3y항도 마찬가지로 x와 y의 차수의 합이 4이다. 2x^2y^2항은 x가 2차, y가 2차, 상수는 0차, 합이 4차이다. 이와 같이 모든 항의 차수가 동일한 함수를 동차함수라고 부른다. 정확한 수학적인 정의는 다음과 같다.

동차함수의 정의 : 어떤 실수 n에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다면 f(x, y)를 차수 n의 동차함수라 한다.

다음으로 아래와 같은 미분방정식을 정의하자.

여기에서 M(x,y)와 N(x,y)가 동차함수가 되면 이와 같은 미분방정식을 동차미분방정식이라 부른다.

즉, 동차미분방정식이 되기 위해서는 다음과 같은 조건을 만족해야 한다.

동차 미분방정식의 일반해를 구하기 위해, y=ux 또는 x=vy로 치환함으로써 변수분리법을 통해 해를 구할 수 있다. 단, u와 v는 새로운 종속변수이다. y=ux로 치환한다고 가정하고, 양변을 미분하여 dy를 구해보자.

이를 이용해 동차미분방정식을 풀면된다.

예제를 통해 이해해보자. 동차함수인지 체크해보자. 각각 차수 1의 동차함수이므로 동차미분방정식이다. 변수분리형으로 변환하기 위해 y=ux와 dy=udx+xdu로 치환하여 대입해보자. 양변을 x(2u+1)로 나누어 적분하면 다음과 같다. 윗식에 u=y/x를 대입하면 다음의 음함수의 일반해를 구할 수 있다.

완전 미분방정식(Exact Differential Equation)

완전미분방정식을 다루기 전에 전미분(Total Differential)에 대해 알아보자.

2변수 함수 u=f(x,y)가 연속인 1차 편도함수를 가지는 경우 전미분 du는 다음과 같이 정의된다.

그리고 u=f(x,y)=c(상수) 이면, 다음과 같은 미분방정식을 얻는다.

완전미분 방정식의 정의 : 미분형식 M(x,y)dx + N(x,y)dy가 어떤 함수 f(x,y)의 전미분에 대응되는 경우 주어진 미분형식을 완전미분이라고 정의하며, 다음의 방정식

을 완전미분방정식이라고 한다.

한편, 완전미분방정식이 되기 위해서는 어떠 조건이 필요할까? M(x,y)와 N(x,y)가 연속인 일차편도함수를 가진다고 가정하자.

만일 M(x,y)dx + N(x,y)dy가 완전하면

를 만족하는 어떤 함수 f(x,y)가 존재한다. 따라서

이 성립하며, 다음의 관계식을 얻을 수 있다.

역으로 위의 조건이 만족된다면 M(x,y)dx + N(x,y)dy가 완전미분이 되게 하는 함수 f(x,y)를 찾을 수 있다는 뜻이다.

이제는 완전미분방정식의 해를 구해보자.

f(x,y)를 구하기 위해서 위의 식의 양변을 적분한다.

여기서 k(y)는 x로 적분하는 경우 y의 함수는 상수로 취급될 수 있으므로 적분상수로 가정한다. 양 쪽 식에서 구한 u에는 아직 결정되지 않은 미지의 적분상수 k(y)와 l(y)가 있기 때문에 다음과 같은 방법으로 적분상수들을 구한다.

위 식에서 양변을 적분함으로써 k(y)를 구할 수 있다. l(y)도 마찬가지로 같은 방법으로 구할 수 있다.

f(x,y)가 완전하게 구해지면 완전미분방정식의 해는 다음과 같다.

예제를 통해 동차미분법과 완전미분법을 비교 이해해보자.

1)동차미분법 풀이 먼저 동차함수인지 체크해보자. 각각 차수 3의 동차함수이므로 동차미분방정식이다. 변수분리형으로 변환하기 위해 y=ux와 dy=udx+xdu로 치환하여 풀어보자. y=ux 이므로, u=y/x 를 대입해서 최종의 해를 얻으면 된다. 2) 완전미분법 풀이 먼저 주어진 미분방정식이 완전미분이 가능한지 체크한다. 완전미분방정식의 조건을 만족한다. 다음으로 u를 찾는다. 적분상수 k(y)를 구한다. 최종적으로 u를 구한다.

1차 선형미분방정식

1차 선형방정식은 형태는 다음과 같다.

위의 식을 a₁(x)로 나누면, 다음과 같이 표준 형태(standard form)가 된다.

위의 미분방정식의 특징을 살펴보면, 미지의 함수 y와 그의 도함수 y’에 대하여 1차인 반면에, p와 r은 x에 대한 임의의 주어진 함수이므로 1차 선형미분방정식이라 할 수 있다.

물리적인 의미를 살펴보면, 우변의 함수 r(x)는 입력하는 힘을 나타내고, 해 y(x)는 입력에 의한 운동 또는 전기적 전류나 어떠한 물리량을 나타내는 즉, 출력 또는 응답을 의미한다.

또한 r(x)=0이면 제차(homogneous), r(x)가 존재하면 비제차(nonhomogeneous)라 부른다.

제차미분방정식의 해(r(x)=0인 경우)

위의 식을 변수분리하고 적분을 하면

양변에 지수함수를 취하면 아래와 같은 제차상미분방정식의 일반해를 얻는다.

물리적 해석 : 외부 입력이 없기 때문에 초기값에 의해 좌우됨. 만약 c=0이면 y=0(trivial solution), 즉, 움직이지 않음을 뜻함

비제차미분방정식의 해(r(x)≠0인 경우)

위의 1차 선형미분방정식의 표준 형태를 다음과 같은 형태로 바꿀 수 있다.

위의 식은 일반적으로 완전미분방정식이 아니여서 완전미분법으로 풀 수가 없다. 하지만 함수 F(x)가 곱해져서 완전미분방정식이 되게 할 수 있는데 이때 함수 F(x)를 적분인자(Integrating Factor)라고 한다. 적분인자 F(x)를 위의 식의 양변에 곱하면

위의 식이 완전미분방정식이 되기 위해서는 다음의 조건이 만족되어야 한다.

위의 식을 변수분리형으로 변환하여 양변을 적분하면

이제는 비제차미분방정식의 해를 구해보자. 우선 1차 선형미분방정식 표준 형태에 적분인자를 곱한다.

Fy를 미분해보면 다음과 같다.

위의 식은 적분인자를 구할 때 쓰인 식을 써서 다음과 같이 변경할 수 있다.

즉, 다음과 같은 식이 된다.

양변을 적분하면

위의 식을 간단히 표현하기 위해 다음과 같이 h를 정의하고 최종해를 얻는다.

물리적 해석 : 두 개의 항이 존재하는데, 첫번째 항은 외부 입력 r(x)에 의한 응답이며 두번째 항은 초기값에 의한 응답이다.

즉, 비제차미분방정식의 출력은 외부입력에 의한 응답과 초기값에 의한 응답이 혼합된 것이다.

예제를 통해 제차와 비제차에 대해 이해해보자. 1) 제차 미분방정식 초기값에 의해

2) 비제차 미분방정식

초기값에 의해

베르누이 미분방정식(Bernoulli Differential Equation)

지금까지 1차 미분방정식의 해를 구하기 위한 방법으로 변수분리법, 동차방정식, 완전미분, 적분인자를 배웠다. 그런데 지금까지 설명한 방법으로도 해결되지 않는 미분방정식도 많이 존재하는데, 특별한 경우로서 적절한 치환을 통해 미분방정식의 해를 구할 수 있는 경우가 있다. 다음의 미분방정식을 고찰해 보자.

여기서 a는 임의의 실수이며, a=0,1인 경우는 선형 미분방정식이지만 나머지 a에 대해서는 비선형 미분방정식이다. 이 방정식을 베르누이 미분방정식이라 부른다. 이 방정식의 경우 다음과 같은 치환을 통해 풀 수 있다.

이 식을 미분하고 베르누이 미분방정식의 y’을 대입하면

를 얻는다. 위의 식을 간단히 하면

가 되는데, 여기서 우변의 y^(1-a)=u 이므로 다음과 같은 u에 관한 선형미분방정식을 얻는다.

위의 u에 관한 선형미분방정식에서 u에 대해 해를 구하고, y^(1-a)=u를 이용해서 베르누이 미분방정식의 y에 대한 해를 구한다.

예제를 통해 이해해보자. u를 아래 식에 대입하면 비선형 미분방정식을 이와 같이 u를 변수로 하는 선형 방정식을 얻었다. 이제 변수분리법을 이용하여 u에 대한 해를 구해보자. u=y^3을 대입하여 최종해를 구한다.

리카티 미분방정식(Riccatti Differential Equation)

이탈리아의 수학자이며 철학자인 리카티(Jacopo Francesco Riccati, 1676-1754)의 이름을 따서 아래와 같은 형태의 비선형 미분방정식을 리카티 미분방정식이라고 한다.

대부분은 P(x), Q(x), R(x)에 따라서 이 방정식의 해는 초등함수로 표현할 수 없다. 초등함수란, 대수함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 역삼각함수를 통틀어 이르는 말이다.

이와 같은 미분방정식의 형태가 있다는 것만 알아두고 넘어가자.

1계 미분방정식

– 미분방정식 : 한 개 또는 그 이상의 종속변수를 한 개 또는 그 이상의 독립변수에 대해 미분한 도함수들을 포함하는 방정식

(1) 유형에 따라 상미분방정식(독립변수가 1개)/편미분방정식(독립변수가 2개 이상) – 독립변수 개수

(2) 계수에 따라 1계, 2계, … , n계 – 미분한 횟수

(3) 선형성에 따라 선형미분방정식/비선형미분방정식 – 계수에 독립변수가 연관된 항의 유무

example) 선형미방 : y”-3y’+y=0, y’+4xy=x / 비선형미방 : (1-y)y’+2y’=0

* : 2계 1차 , : 1계 2차

– 미분방정식의 해 : 준 미분방정식을 만족시키는 독립변수와 종속변수 사이의 관계

– 변수분리형 미분방정식 : 1계 미분방정식의 형태가 인 미분방정식

– 동차함수(homogeneous function) :

f(x, y)가 n차 동차함수이면

– 동차미분방정식 : 에서 과 이 같은 차수의 동차함수인 미분방정식

즉, 동차미분방정식은 치환을 통해 변수분리형 미분방정식으로 바꾸어 푼다.

치환을 할 때에 dy쪽이 간단하면 y=ux, dx쪽이 간단하면 x=vy로 치환하는 것이 좋다.

– 완전미분방정식(exact differential equation)

가 어떤 함수 의 전미분과 같을 때인

이면 을 완전미분방정식이라 하고 해는 가 된다.

Theorem : 이 완전미분방정식인 것과 는 동치이다.

example)

– 적분인자

이 완전미분방정식은 아니지만, 양변에 를 곱해서 완전미분방정식이 될 때, 함수 를 적분인자라 한다. 를 풀면 된다.

N과 M 중 간단한 걸 택해서 분모로 보냄.

– 선형미분방정식

– 1계 선형미분방정식

example)

– 베르누이 미분방정식

Theorem : 형태인 미분방정식은 로 치환하면 선형미분방정식이 된다. 즉, 로 변형된다.

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