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[5분 고등수학] 독립, 종속, 배반

독립사건과 배반사건의 차이

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독립사건과 배반사건의 차이

[독립사건과 배반사건의 차이]
독립사건과 배반사건의 차이를 알아보자.

우리가 자주 마주치는 단어이기도 하고 비슷하기 때문에 헷갈릴 수 있지만

독립사건과 배반사건은 서로 전혀 연관이 없는 개념이다.

1. 독립 사건 : 서로 영향을 미치지 않는 사건

2. 배반 사건 : 서로 동시에 일어날 수 없는 사건 (교집합이 공집합)

영향을 미치지 않는 것과 동시에 일어날 수 없는 것

이것이 어떻게 다른 개념인지는 예를 통해서 알아보자.

먼저 쉬운개념의 배반 사건부터 예를 들어보자.

주사위를 던졌을 때 전체집합 = U

홀수가 나오는 사건 = A

짝수가 나오는 사건 = B

위를 그림으로 표현하면 다음과 같다.

위 그림과 같이 겹치는 부분이 없다.

의미로 생각해보면 홀수와 짝수가 동시에 나올 수는 없으므로 이는 배반사건이며

수식으로 살펴보면 P(A∩B) 는 공집합인 것이 배반사건이다.

이해를 돕기위해 배반사건이 아닌 경우도 살펴보자.

홀수가 나오는 사건 = A

3이하의 수가 나오는 사건 = B

위와 같이 1,3은 홀수이기도 하고 3이하의 수 이기도 하다.

즉 교집합인 부분이 존재하는 것이다.

이런 경우가 배반사건이 아닌 경우이다.

이렇게 배반사건은 수식으로도 쉽고 의미로도 이해하기 어렵지 않다.

그렇다면 다음으로 독립사건을 알아보자.

독립사건은 서로 다른 사건으로 설정하면 이해는 쉽다.

주사위를 두번 던진다고 설정을 하면

첫번째 주사위에서 홀수가 나오는 사건과

두번째 주사위에서 홀수가 나오는 사건은 전혀 상관이 없다.

의미상으로 생각해보기에도 서로 아무영향이 없는 사건이며 실제로 수식으로 풀어 확률로도 영향이 없다.

그런데 배반사건의 경우처럼 주사위 하나를 던질때의 사건을 놓고

예를 들거나 문제가 나오기 시작하면 헷갈리기 시작한다.

영향이 없는 건가? 영향을 미치는가?

배반사건의 첫 예로 들었던 아래 사건을 살펴보자.

주사위를 던졌을 때 전체집합 = U

홀수가 나오는 사건 = A

짝수가 나오는 사건 = B

그림으로 보기에 공집합이 없으니 마치 독립사건인 것 같다.

또는 의미상으로 생각해보기에 홀수가 나오는 것과 짝수가 나오는 사건은 상관이 없어 보인다.

상관이 없다? → 독립사건 인것 같다.

하지만 독립사건의 의미는 그게 아니다.

A가 일어나지 않았을때와 A가 일어났을 때 B사건 확률에 대해 영향이 없어야한다.

다시 말하면 단순히 B가 일어날 확률 → 1/2 (1,2,3,4,5,6 중에 2,4,6)

A가 일어났을 때 B가 일어날 확률 → 0 (홀수중에 짝수가 없으니 당연히.., 1,3,5중에 0)

위 두 경우에 확률이 다르다는 것은 영향이 있다는 것이다. 즉 독립이 아닌다 (종속이다.)

두번째 예도 독립인지 아닌지 판단해보자.

홀수가 나오는 사건 = A

3이하의 수가 나오는 사건 = B

단순히 B가 일어날 확률 → 1/2 (1,2,3,4,5,6 중에 1,2,3) A가 일어났을 때의 B가 일어날 확률 → 2/3 (1,3,5 중에 1,3) 이 경우에도 B가 일어날 확률이 달라진다.

이는 역시 독립이 아니다.

그럼 마지막으로 독립인 케이스를 하나 만들어보자.

홀수가 나오는 사건 = A

3의 배수가 나오는 사건 = B

단순히 B가 일어날 확률 1/3 (1,2,3,4,5,6 중에 3,6)

A가 일어났을 때의 B가 일어날 확률 1/3 (1,3,5 중에 3)

이처럼 A가 일어났을 때와 일어나지 않았을때 B의 확률이 동일한 경우

즉 A가 일어나든 말든 B의 확률에 상관이 없는 경우를 독립사건 이라고 한다.

의미는 이렇게 이해하시고 문제 풀때는 이런 개념을 떠올리면서

그냥 P(A∩B) = P(A) × P(B) 이면 독립사건으로 검증하셔요..

확률과 통계 배반사건과 독립사건 비교

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확률과 통계 배반사건과 독립사건

확률과 통계에서 많이 헷갈리기도 하고 문제에서 일부러 같이 내기도 하는 배반사건과 독립사건에 대해 설명했습니다.

경우의 수를 배운 다음에 확률에 들어가고 확률의 덧셈정리와 곱셈정리를 배웁니다. 확률의 덧셈정리를 배울 때 등장하는게 배반사건이고 곱셈정리를 배울 때 독립사건이 나오게 됩니다. 곱셈정리는 조건부 확률부터 곱셈정리라고 생각하시면 됩니다.

독립사건 배반사건 구별하는 표

먼저 배반사건은 영어로 Mutually exclusive events 라고 합니다. 그리고 독립사건은 Independent Events 라고 하고요. 배반사건부터 보시면 정의는 교집합이 공집합입니다. 즉 서로소 입니다. 두 사건은 서로소 이기 때문에 벤다이어그램으로 떨어지게 그려서 표현을 할 수 있습니다. 덧셈정리에서 배반사건을 활용할 때는 각 확률을 더하기만 하면 합집합의 확률이 나옵니다. 교집합의 확률이 0이니까요.

그다음 확률에 곱셈정리는 할 필요가 없죠. 교집합은 공집합이어서 교집합의 확률은 0입니다. 그리고 배반사건은 동시에 일어나지 않습니다.

그다음 독립사건은 조건부확률을 배운 다음에 배웁니다. 독립사건의 정의는 동시에 일어날 때 서로 영향을 주지 않습니다. A가 일어날때 B가 일어날 확률이나 A가 일어나지 않을 때 B가 일어날 확률이 변함없이 그냥 B의 확률입니다. A가 일어나든 일어나지 않든 B는 영향이 없습니다.

독립사건은 벤다이어그램으로는 여러 가지로 그려질 수 있기에 표현할 수는 없습니다. 덧셈정리에서는 당연히 A와 B사건을 더한 후 서로소는 아니니까 교집합 만큼은 빼야하고요. 확률의 곱셈정리에서 교집합을 구할 때는 A확률과 B확률을 서로 곱해주면 교집합을 구할 수 있습니다.

이 독립사건의 식은 정의를 이용한 조건부확률식에서 얻을 수 있습니다.

이런식으로 A가 일어났을 때 B가 일어날 확률을 구하는 조건부확률식이나 반대로도 표현할 수 있고요.

어쨋든 A와 B의 확률을 곱하면 교집합의 확률이 나옵니다.

나중에 독립사건을 구하여라 라는 문제가 나오면 ‘독립사건’ 이라고 안 써있고 ‘독립’인 것을 구하시오 라고 나올 수도 있습니다. 그러면 각 확률 곱한게 교집합이 됨을 보이면 됩니다. 그럼 주사위를 던졌을 때 독립인 것을 고르시오라고 나오는데 주사위는 던질 때 독립이라고 배웠는데 왜 독립인 것을 고르라고 하는 거지? 라는 생각을 가지셨다면 그건 독립시행과 헷갈린 겁니다.

주사위를 던지는 행위도 독립적인데 그건 독립시행을 한거고 거기서 나오는 사건들이 독립인지는 위의 식으로 체크를 해봐야합니다.

독립과 배반에 관련된 명제

독립사건과 배반사건에 관련한 명제입니다.

A,B의 확률이 0보다 크다는 조건이 있을 때 성립하는 명제입니다.

A,B가 배반사건이면 A, B 는 서로 종속이다. 이것의 대우는 A,B가 서로 독립이면 A, B는 서로 배반사건이 아니다 입니다.

그러므로 둘중에 편한 명제로 구한 후 참인지 거짓인지 판별하면 됩니다.

독립임을 보이려면 A와 B의 확률을 곱한게 A,B의 교집합과 같음을 보이면 되죠?

근데 배반사건이므로 A와 B의 교집합은 0인데 A, B 확률을 곱한 식은 0이 될 수 없습니다. 전제 조건에서 A,B의 확률이 0보다 크다고 했으니까요.

그러므로 위의 명제들은 참입니다.

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[확률론] 4. 독립과 배반사건의 개념

사건을 구분하는 것이 크게 어려운 개념은 아니지만 잘못하면 헷갈릴 수도 있는 개념들입니다.

1. 배반사건

두 사건 A, B가 있을 때 A∩B가 의미하는 바는 A사건과 B사건이 동시에 일어난다는 것이죠.

하지만 동시에 일어나는 사건이 아예 없으면 어떨까요?

예를 들면 주사위를 던지는데 A는 짝수가 나올 사건이고 B는 홀수가 나올 사건이라고 한다면 두 사건이 동시에 일어날 수 있을까요? 당연히 불가능하겠죠

이 때 A∩B= ø 이 성립합니다. 이를 “두 사건 A와 B는 상호배반적이다” 라고 합니다.

2. 독립

추론 통계에서 독립이라는 조건을 이해하는게 중요한데 많은 핵심 개념들이 독립을 전제로 하고 있기 때문입니다. 따라서 매우 중요한 개념이기 때문에 꼭 짚고 넘어가야할 부분입니다. 특히 배반사건과 독립을 구분하는데에 어려움을 겪는 분들이 있습니다. 물론 저도 처음 배울 땐 그랬고요.

이 전에 포스팅했던 조건부확률 P(A|B) 의 의미는 B사건이 일어날 때 A사건이 일어나는 확률입니다. 다시 말해서 위의 확률을 구하는 전제조건은 B사건이 A사건에 영향을 미친다는 것입니다. 그런데 B사건이 A에 영향을 끼치지 않는다면 어떨까요? 지난번에 쓴 예제를 통해 살펴보겠습니다.

주머니 속에 검은공이 3개 하얀공이 7개 들어있다고 할 때 주머니 속에서 3개의 공을 꺼냅니다. 이 때 공을 꺼내는 건 세 번 꺼내야겠죠?

① 공을 꺼냅니다. 남은 공은 9개입니다.

② 공을 꺼냅니다. 남은 공은 8개입니다.

③ 공을 꺼냅니다. 남은 공은 7개입니다.

이와 같이 공을 하나씩 꺼낼 때마다 다음번에 공을 꺼내는 사건에 영향을 미칩니다.

그렇다면 공을 꺼내고 다시 넣은 다음에 또 다시 공을 꺼내는 건 어떨까요? 즉, 복원추출을 합니다. 이전에 공을 꺼낸 사건이 다음에 뽑는 사건에 영향을 끼치지 않습니다. 물론 다시 넣으면서 공의 배치가 달라져서 bias가 일어날 수도 있겠지만 그런 부분까지는 고려하지 않도록 하죠.

이제 배반사건과 구분하는건 크게 어렵지 않을 겁니다. A∩B= ø 이 배반사건이었죠. 독립은 동시에 일어날 수 있지만 서로 영향을 끼치지 않다는 거죠. 따라서 조건부확률 P(A|B)은 B가 A에 영향을 끼치지 않으면 P(A)와 같기 때문에 P(A|B)=P(A)로 다시 쓸 수 있습니다. 두 사건 A와 B가 독립일 때 동시에 일어나는 확률은 P(A), P(B) 곱으로 나타낼 수 있는데 다음과 같습니다.

P(A∩B) = P(A|B)*P(B) = P(A)*P(B)

독립을 가정하면 많은 통계 개념이 단순화됩니다. 상식적으로 서로 영향을 끼치는 것까지 고려하면 계산이 매우 복잡해질 겁니다. 수학적으로도 어려워 질 것이구요..!

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