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[삼각함수 3편] 삼각함수 배각 공식과 반각공식
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배각공식 및 반각공식 – JW MATHidea
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삼각함수 항등식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
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삼각함수의 정의에서[편집]
주기성 대칭성 이동(Shifts)[편집]
피타고라스 정리[편집]
덧셈 정리[편집]
차수 줄이기[편집]
곱을 합으로 바꾸는 공식[편집]
합을 곱으로 바꾸는 공식[편집]
삼각함수의 역함수[편집]
변수 없는 항등식[편집]
미적분학[편집]
참고 문헌[편집]
[수학개념] 미적분 삼각함수 반각공식, 배각공식, 합성
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삼각함수의 $n$배각공식과 드 무아브르 공식(de Moivre’s formula) :: jjycjn’s Math Storehouse
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[삼각함수 3편] 삼각함수 배각 공식과 반각공식
지난 시간에 삼각함수의 기본과 덧셈정리를 알아보았습니다.
https://rightnews.co.kr/2
https://rightnews.co.kr/3
오늘은 삼각함수의 배각공식과 반각공식을 알아보겠습니다. 배각공식이란 삼각함수의 각이 두배인 경우는 그 절반각과의 관계를 알아보는것입니다. 삼각함수의 그래프는 보신것처럼 올라갔다 내려왔다의 반복이기에 이와 같이 다양하게 응용하는 공식들을 볼 수 있는 것입니다.
그럼 배각공식을 먼저 살펴보겠습니다.
sin2α = 2sinα cosα
cos2α = cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α
tan2α=2tanα / (1-tan²α)
공식의 유도는 의외로 간단합니다. 전에 배운 삼각함수의 덧셈정리에 베타 대신 알파를 대입하면 쉽게 배각 공식을 얻을 수 있습니다. 증명은 아래와 같습니다.
배각 공식 증명
다음은 반각공식을 살펴보겠습니다. 공식은 아래와 같습니다.
삼각함수 반각공식
반각공식은 배각공식을 통해서 쉽게 유도할 수 있습니다. 똑같이 대입하면 됩니다.
반각공식 유도
복잡해져가는게 아니라 공식이 나오면 나올수록 더 쉬워지지요?
수학이 이렇게 연역적이고 논리적 학문이기에 많은 재미를 느낄 수 있지만, 처음에 머리가 아픈것을 못이기고 수학을 포기하는 사람들이 많아서 아쉽습니다.
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수학에서 삼각함수 항등식(三角函數恒等式, 영어: trigonometric identity)은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.
참고로 아래에서 sin 2 {\displaystyle \sin ^{2}} , cos 2 {\displaystyle \cos ^{2}} 등의 함수는 sin 2 x = ( sin x ) 2 {\displaystyle \sin ^{2}{x}=(\sin {x})^{2}} 와 같이 정의된다.
삼각함수의 정의에서 [ 편집 ]
cos x = sin ( x + π 2 ) {\displaystyle \cos {x}=\sin \left(x+{\pi \over 2}\right)}
tan x = sin x cos x cot x = cos x sin x = 1 tan x {\displaystyle \tan {x}={\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}\qquad \operatorname {cot} {x}={\frac {\cos {x}}{\sin {x}}}={\frac {1}{\tan {x}}}}
sec x = 1 cos x csc x = 1 sin x {\displaystyle \operatorname {sec} {x}={\frac {1}{\cos {x}}}\qquad \operatorname {csc} {x}={\frac {1}{\sin {x}}}}
다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.
다음 식은 삼각함수의 주기성을 나타낸다.
sin x = sin ( x + 2 k π ) cos x = cos ( x + 2 k π ) tan x = tan ( x + k π ) {\displaystyle \sin {x}=\sin(x+2k\pi )\qquad \cos {x}=\cos(x+2k\pi )\qquad \tan {x}=\tan(x+k\pi )}
sec x = sec ( x + 2 k π ) csc x = csc ( x + 2 k π ) cot x = cot ( x + k π ) {\displaystyle \sec {x}=\sec(x+2k\pi )\qquad \csc {x}=\csc(x+2k\pi )\qquad \cot {x}=\cot(x+k\pi )}
다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다.
− s i n θ , c o s θ {\displaystyle -sin\theta ,cos\theta }
sin ( − x ) = − sin x , sin ( π 2 − x ) = cos x , sin ( π − x ) = sin x cos ( − x ) = cos x , cos ( π 2 − x ) = sin x , cos ( π − x ) = − cos x tan ( − x ) = − tan x , tan ( π 2 − x ) = cot x , tan ( π − x ) = − tan x cot ( − x ) = − cot x , cot ( π 2 − x ) = tan x , cot ( π − x ) = − cot x sec ( − x ) = sec x , sec ( π 2 − x ) = csc x , sec ( π − x ) = − sec x csc ( − x ) = − csc x , csc ( π 2 − x ) = sec x , csc ( π − x ) = csc x {\displaystyle {\begin{matrix}\sin(-x)=-\sin {x},&&\sin \left({\pi \over 2}-x\right)=\cos {x},&&\sin \left(\pi -x\right)=\;\;\sin {x}\\\cos(-x)=\;\;\cos {x},&&\cos \left({\pi \over 2}-x\right)=\sin {x},&&\cos \left(\pi -x\right)=-\cos {x}\\\tan(-x)=-\tan {x},&&\tan \left({\pi \over 2}-x\right)=\cot {x},&&\tan \left(\pi -x\right)=-\tan {x}\\\cot(-x)=-\cot {x},&&\cot \left({\pi \over 2}-x\right)=\tan {x},&&\cot \left(\pi -x\right)=-\cot {x}\\\sec(-x)=\;\;\sec {x},&&\sec \left({\pi \over 2}-x\right)=\csc {x},&&\sec \left(\pi -x\right)=-\sec {x}\\\csc(-x)=-\csc {x},&&\csc \left({\pi \over 2}-x\right)=\sec {x},&&\csc \left(\pi -x\right)=\;\;\csc {x}\end{matrix}}}
다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.
sin ( x + π 2 ) = cos x , sin ( x + π ) = − sin x cos ( x + π 2 ) = − sin x , cos ( x + π ) = − cos x tan ( x + π 2 ) = − cot x , tan ( x + π ) = tan x cot ( x + π 2 ) = − tan x , cot ( x + π ) = cot x sec ( x + π 2 ) = − csc x , sec ( x + π ) = − sec x csc ( x + π 2 ) = sec x , csc ( x + π ) = − csc x {\displaystyle {\begin{matrix}\sin \left(x+{\pi \over 2}\right)=\;\;\cos {x},&&\sin \left(x+\pi \right)=-\sin {x}\\\cos \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\sin {x},&&\cos \left(x+\pi \right)=-\cos {x}\\\tan \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\cot {x},&&\tan \left(x+\pi \right)=\;\;\tan {x}\\\cot \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\tan {x},&&\cot \left(x+\pi \right)=\;\;\cot {x}\\\sec \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\csc {x},&&\sec \left(x+\pi \right)=-\sec {x}\\\csc \left(x+{\pi \over 2}\right)=\;\;\sec {x},&&\csc \left(x+\pi \right)=-\csc {x}\end{matrix}}}
또한, 주기가 같지만, 상(phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다.
a sin x + b cos x = a 2 + b 2 ⋅ sin ( x + φ ) {\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )}
여기서
φ = { arctan b a , if a ≥ 0 arctan b a ± π , if a < 0 {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}},&{\mbox{if }}a\geq 0\\\arctan {\frac {b}{a}}\pm \pi ,&{\mbox{if }}a<0\end{cases}}} 다음 식들은 삼각함수의 정의와 피타고라스 정리를 이용하면 쉽게 보일 수 있다. sin 2 x + cos 2 x = 1 tan 2 x + 1 = sec 2 x cot 2 x + 1 = csc 2 x {\displaystyle \sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1\qquad \tan ^{2}{x}+1=\sec ^{2}{x}\qquad \cot ^{2}{x}+1=\csc ^{2}{x}} 덧셈 정리 [ 편집 ] 다음의 삼각함수의 덧셈정리를 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다. sin ( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y {\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin {x}\cos {y}\pm \cos {x}\sin {y}\,} cos ( x ± y ) = cos x cos y ∓ sin x sin y {\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos {x}\cos {y}\mp \sin {x}\sin {y}\,} (좌변에 "+" 기호가 있는 경우, 우변에는 "−" 기호를 사용함. 복부호 동순임) tan ( x ± y ) = tan x ± tan y 1 ∓ tan x tan y {\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan {x}\pm \tan {y}}{1\mp \tan {x}\tan {y}}}} cot ( x ± y ) = cot y cot x ∓ 1 cot y ± cot x {\displaystyle \cot(x\pm y)={\frac {\cot {y}\cot {x}\mp 1}{\cot {y}\pm \cot {x}}}} c ı ˙ s ( x + y ) = c ı ˙ s x c ı ˙ s y {\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}(x+y)={\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x}\,{\rm {c{\dot {\imath }}s}}{y}} c ı ˙ s ( x − y ) = c ı ˙ s x c ı ˙ s y {\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}(x-y)={{\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x} \over {\rm {c{\dot {\imath }}s}}{y}}} 여기서 c ı ˙ s x = exp ( i x ) = e i x = cos x + i sin x {\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x}=\exp(ix)=e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}\,} i 2 = − 1. {\displaystyle i^{2}=-1.\,} 두배각 공식 [ 편집 ] 다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 x = y {\displaystyle x=y} 로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식에서 n = 2 {\displaystyle n=2} 로 놓아도 된다. sin 2 x = 2 sin x cos x {\displaystyle \sin {2x}=2\sin {x}\cos {x}\,} cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x = 1 − tan 2 x 1 + tan 2 x {\displaystyle \cos {2x}=\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{x}=2\cos ^{2}{x}-1=1-2\sin ^{2}{x}={\frac {1-\tan ^{2}{x}}{1+\tan ^{2}{x}}}\,} tan 2 x = 2 tan x 1 − tan 2 x {\displaystyle \tan {2x}={\frac {2\tan {x}}{1-\tan ^{2}{x}}}} tan 2 x − 1 tan x = − 2 tan 2 x {\displaystyle {\frac {\tan ^{2}{x}-1}{\tan {x}}}={\frac {-2}{\tan {2x}}}} cot 2 x = cot 2 x − 1 2 cot x {\displaystyle \cot {2x}={\frac {\cot ^{2}{x}-1}{2\cot {x}}}} 세배각 공식 [ 편집 ] 아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다. sin 3 x = 3 sin x − 4 sin 3 x {\displaystyle \sin {3x}=3\sin {x}-4\sin ^{3}{x}\,} cos 3 x = 4 cos 3 x − 3 cos x {\displaystyle \cos {3x}=4\cos ^{3}{x}-3\cos {x}\,} tan 3 x = 3 tan x − tan 3 x 1 − 3 tan 2 x {\displaystyle \tan {3x}={\frac {3\tan {x}-\tan ^{3}{x}}{1-3\tan ^{2}{x}}}} 네배각 공식 [ 편집 ] 아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다. sin 4 x = 4 sin x cos x − 8 sin 3 x cos x {\displaystyle \sin {4x}=4\sin {x}\cos {x}-8\sin ^{3}{x}\cos {x}} cos 4 x = 8 cos 4 x − 8 cos 2 x + 1 {\displaystyle \cos {4x}=8\cos ^{4}{x}-8\cos ^{2}{x}+1} tan 4 x = 4 tan x − 4 tan 3 x 1 − 6 tan 2 x + tan 4 x {\displaystyle \tan {4x}={\frac {4\tan {x}-4\tan ^{3}{x}}{1-6\tan ^{2}{x}+\tan ^{4}{x}}}} 다섯배각 공식 [ 편집 ] sin 5 x = 5 sin x − 20 sin 3 x + 16 sin 5 x {\displaystyle \sin {5x}=5\sin {x}-20\sin ^{3}{x}+16\sin ^{5}{x}} cos 5 x = 5 cos x − 20 cos 3 x + 16 cos 5 x {\displaystyle \cos {5x}=5\cos {x}-20\cos ^{3}{x}+16\cos ^{5}{x}} tan 5 x = tan 5 x − 10 tan 3 x + 5 tan x 1 − 10 tan 2 x + 5 tan 4 x {\displaystyle \tan {5x}={\frac {\tan ^{5}{x}-10\tan ^{3}{x}+5\tan {x}}{1-10\tan ^{2}{x}+5\tan ^{4}{x}}}} 여섯배각 공식 [ 편집 ] sin 6 x = 6 sin x cos x − 32 sin 3 x cos 3 x {\displaystyle \sin {6x}=6\sin {x}\cos {x}-32\sin ^{3}{x}\cos ^{3}{x}} cos 6 x = 32 cos 6 x − 48 cos 4 x + 18 cos 2 x − 1 {\displaystyle \cos {6x}=32\cos ^{6}{x}-48\cos ^{4}{x}+18\cos ^{2}{x}-1} n배각 공식 [ 편집 ] T n {\displaystyle T_{n}} 이 n {\displaystyle n} 번째 체비쇼프 다항식일 때, cos n x = T n ( cos x ) {\displaystyle \cos {nx}=T_{n}(\cos {x})} 드무아브르의 공식: cos n x + i sin n x = ( cos x + i sin x ) n {\displaystyle \cos {nx}+i\sin {nx}=(\cos {x}+i\sin {x})^{n}} 디리클레 핵 D n ( x ) {\displaystyle D_{n}(x)} 은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. : 1 + 2 cos x + 2 cos 2 x + 2 cos 3 x + ⋯ + 2 cos n x = sin ( n + 1 2 ) x sin x 2 {\displaystyle 1+2\cos {x}+2\cos {2x}+2\cos {3x}+\cdots +2\cos {nx}={\frac {\sin {\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}}{\sin {x \over 2}}}} 디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다. 차수 줄이기 [ 편집 ] n차 제곱한 삼각함수를 일차식의 삼각함수 식으로 바꾼다. 이차식 공식 [ 편집 ] 두배각 공식의 코사인 공식을 cos 2 x {\displaystyle \cos ^{2}{x}} 과 sin 2 x {\displaystyle \sin ^{2}{x}} 으로 푼다. cos 2 x = 1 + cos 2 x 2 {\displaystyle \cos ^{2}{x}={1+\cos {2x} \over 2}} sin 2 x = 1 − cos 2 x 2 {\displaystyle \sin ^{2}{x}={1-\cos {2x} \over 2}} tan 2 x = 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x {\displaystyle \tan ^{2}{x}={\frac {1-\cos {2x}}{1+\cos {2x}}}} cot 2 x = 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x {\displaystyle \cot ^{2}{x}={\frac {1+\cos {2x}}{1-\cos {2x}}}} 삼차식 공식 [ 편집 ] sin 3 x = 3 sin x − sin 3 x 4 {\displaystyle \sin ^{3}{x}={\frac {3\sin {x}-\sin {3x}}{4}}} cos 3 x = 3 cos x + cos 3 x 4 {\displaystyle \cos ^{3}{x}={\frac {3\cos {x}+\cos {3x}}{4}}} 사차식 공식 [ 편집 ] sin 4 x = 3 − 4 cos 2 x + cos 4 x 8 {\displaystyle \sin ^{4}{x}={\frac {3-4\cos {2x}+\cos {4x}}{8}}} cos 4 x = 3 + 4 cos 2 x + cos 4 x 8 {\displaystyle \cos ^{4}{x}={\frac {3+4\cos {2x}+\cos {4x}}{8}}} 오차식 공식 [ 편집 ] sin 5 x = 10 sin x − 5 sin 3 x + sin 5 x 16 {\displaystyle \sin ^{5}{x}={\frac {10\sin {x}-5\sin {3x}+\sin {5x}}{16}}} cos 5 x = 10 cos x + 5 cos 3 x + cos 5 x 16 {\displaystyle \cos ^{5}{x}={\frac {10\cos {x}+5\cos {3x}+\cos {5x}}{16}}} 반각 공식 [ 편집 ] 차수 줄이기 이차식 공식에서 x {\displaystyle x} 에 x 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {x}{2}}} 을 대입하고, cos x 2 {\displaystyle \textstyle \cos {\frac {x}{2}}} 과 sin x 2 {\displaystyle \textstyle \sin {\frac {x}{2}}} 으로 푼다. | cos x 2 | = 1 + cos x 2 {\displaystyle \left|\cos {\frac {x}{2}}\right|={\sqrt {\frac {1+\cos {x}}{2}}}} | sin x 2 | = 1 − cos x 2 {\displaystyle \left|\sin {\frac {x}{2}}\right|={\sqrt {\frac {1-\cos {x}}{2}}}} | tan x 2 | = 1 − cos x 1 + cos x {\displaystyle \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|={\sqrt {\frac {1-\cos {x}}{1+\cos {x}}}}} 또한, tan x 2 {\displaystyle \textstyle \tan {\frac {x}{2}}} 는 sin x 2 cos x 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}}}} 과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 2 cos x 2 {\displaystyle \textstyle 2\cos {\frac {x}{2}}} 을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 sin x {\displaystyle \sin x} 이 되고, 분모는 2 cos 2 x 2 − 1 + 1 {\displaystyle \textstyle 2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-1+1} 이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면 cos x + 1 {\displaystyle \cos x+1} 이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 sin x {\displaystyle \sin x} 를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다. tan x 2 = sin x cos x + 1 = 1 − cos x sin x = csc x − cot x {\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {\sin {x}}{\cos {x}+1}}={\frac {1-\cos {x}}{\sin {x}}}=\csc {x}-\cot {x}} 곱을 합으로 바꾸는 공식 [ 편집 ] 우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다. sin x cos y = sin ( x + y ) + sin ( x − y ) 2 {\displaystyle \sin {x}\cos {y}={\sin(x+y)+\sin(x-y) \over 2}} cos x sin y = sin ( x + y ) − sin ( x − y ) 2 {\displaystyle \cos {x}\sin {y}={\sin(x+y)-\sin(x-y) \over 2}} cos x cos y = cos ( x + y ) + cos ( x − y ) 2 {\displaystyle \cos {x}\cos {y}={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}} sin x sin y = − cos ( x + y ) − cos ( x − y ) 2 {\displaystyle \sin {x}\sin {y}=-{\cos(x+y)-\cos(x-y) \over 2}} 합을 곱으로 바꾸는 공식 [ 편집 ] 위 식의 x {\displaystyle x} 를 x + y 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {x+y}{2}}} 로, y {\displaystyle y} 를 x − y 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {x-y}{2}}} 로 바꾼다. sin x ± sin y = 2 sin ( x ± y 2 ) cos ( x ∓ y 2 ) {\displaystyle \sin {x}\pm \sin {y}=2\sin \left({\frac {x\pm y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x\mp y}{2}}\right)} cos x + cos y = 2 cos ( x + y 2 ) cos ( x − y 2 ) {\displaystyle \cos {x}+\cos {y}=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)} cos x − cos y = − 2 sin ( x + y 2 ) sin ( x − y 2 ) {\displaystyle \cos {x}-\cos {y}=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)} tan x ± tan y = sin ( x ± y ) cos x cos y {\displaystyle \tan {x}\pm \tan {y}={\frac {\sin {(x\pm y)}}{\cos {x}\cos {y}}}} 그리고 또 다른 식들로 다음과 같이 있다. sin x + sin y sin x − sin y = tan 1 2 ( x + y ) tan 1 2 ( x − y ) {\displaystyle {\frac {\sin {x}+\sin {y}}{\sin {x}-\sin {y}}}={\frac {\tan {{1 \over 2}(x+y)}}{\tan {{1 \over 2}(x-y)}}}} sin x + sin y cos x − cos y = cot 1 2 ( y − x ) {\displaystyle {\frac {\sin {x}+\sin {y}}{\cos {x}-\cos {y}}}=\cot {{1 \over 2}(y-x)}} sin x + sin y cos x + cos y = tan 1 2 ( x + y ) {\displaystyle {\frac {\sin {x}+\sin {y}}{\cos {x}+\cos {y}}}=\tan {{1 \over 2}(x+y)}} sin x − sin y cos x + cos y = tan 1 2 ( x − y ) {\displaystyle {\frac {\sin {x}-\sin {y}}{\cos {x}+\cos {y}}}=\tan {{1 \over 2}(x-y)}} 삼각함수의 역함수 [ 편집 ] 역삼각함수라고도 한다. x > 0 {\displaystyle x>0} 이면
arctan x + arctan 1 x = π 2 . {\displaystyle \arctan {x}+\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}.}
만약 x < 0 {\displaystyle x<0} 이면, 등식 우변이 − π 2 {\displaystyle \textstyle -{\frac {\pi }{2}}} 가 된다. arctan x + arctan y = arctan ( x + y 1 − x y ) {\displaystyle \arctan {x}+\arctan {y}=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)} 피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다. cos ( arcsin x ) = 1 − x 2 {\displaystyle \cos(\arcsin {x})={\sqrt {1-x^{2}}}} 변수 없는 항등식 [ 편집 ] 리처드 파인만은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다. cos 20 ∘ ⋅ cos 40 ∘ ⋅ cos 80 ∘ = 1 8 {\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}} 그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. ( x = 20 ∘ , k = 3 {\displaystyle \scriptstyle x=20^{\circ },k=3} 을 넣고, sin x = sin ( 180 ∘ − x ) {\displaystyle \scriptstyle \sin x=\sin(180^{\circ }-x)} 를 이용 우변을 정리한다.) ∏ j = 0 k − 1 cos ( 2 j x ) = sin ( 2 k x ) 2 k sin x {\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin {x}}}} 다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다. cos 36 ∘ + cos 108 ∘ = 1 2 {\displaystyle \cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }={\frac {1}{2}}} cos 24 ∘ + cos 48 ∘ + cos 96 ∘ + cos 168 ∘ = 1 2 {\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}} 21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자. cos 2 π 21 + cos 2 ( 2 π ) 21 + cos 4 ( 2 π ) 21 + cos 5 ( 2 π ) 21 + cos 8 ( 2 π ) 21 + cos 10 ( 2 π ) 21 = 1 2 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos {\frac {2(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {4(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {5(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {8(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {10(2\pi )}{21}}={\frac {1}{2}}} 1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 21⁄2보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.) 미적분학 [ 편집 ] 미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선: lim x → 0 sin x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin {x}}{x}}=1} 과 lim x → 0 1 − cos x x = 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos {x}}{x}}=0} 을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다. (참고 lim x → 0 1 − cos x x 2 = 1 2 ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos {x}}{x^{2}}}={\frac {1}{2}})} d d x sin x = cos x {\displaystyle {d \over dx}\sin {x}=\cos {x}} 나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다. d d x cos x = − sin x {\displaystyle {d \over dx}\cos {x}=-\sin {x}} d d x tan x = sec 2 x {\displaystyle {d \over dx}\tan {x}=\sec ^{2}{x}} d d x csc x = − csc x cot x {\displaystyle {d \over dx}\csc {x}=-\csc {x}\cot {x}} d d x sec x = sec x tan x {\displaystyle {d \over dx}\sec {x}=\sec {x}\tan {x}} d d x cot x = − csc 2 x {\displaystyle {d \over dx}\cot {x}=-\csc ^{2}{x}} d d x arcsin x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\arcsin {x}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} d d x arccos x = − 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\arccos {x}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} d d x arctan x = 1 1 + x 2 {\displaystyle {d \over dx}\arctan {x}={\frac {1}{1+x^{2}}}} d d x arccot x = − 1 1 + x 2 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccot} {x}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}} d d x arcsec x = 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arcsec} {x}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} d d x arccsc x = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccsc} {x}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} 적분식은 적분표를 참고하라. 참고 문헌 [ 편집 ]
삼각함수의 $n$배각공식과 드 무아브르 공식(de Moivre’s formula)
\[ \begin{align*} \sin(x \pm y) &= \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y) \\[5px] \cos(x \pm y) &= \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y) \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \sin(2x) &= \sin(x + x) \\[5px] &= \sin(x) \cos(x) + \cos(x) \sin(x) \\[5px] &= 2 \sin(x) \cos(x) \\[15px] \cos(2x) &= \cos(x + x) \\[5px] &= \cos(x) \cos(x) – \sin(x) \sin(x) \\[5px] &= \cos^2(x) – \sin^2(x) = 2\cos^2(x) – 1 = 1 – 2\sin^2(x) \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \sin(3x) &= \sin(x + 2x) \\[5px] &= \sin(x) \cos(2x) + \cos(x) \sin(2x) \\[5px] &= \sin(x) \big[ 1 – 2\sin^2(x) \big] + \cos(x) \big[ 2 \sin(x) \cos(x) \big] \\[5px] &= \sin(x) – 2 \sin^3(x) + 2 \sin(x) \cos^2(x) \\[5px] &= \sin(x) – 2 \sin^3(x) + 2 \sin(x) \big[ 1 – \sin^2(x) \big] \\[5px] &= 3 \sin(x) – 4 \sin^3(x) \\[15px] \cos(3x) &= \cos(x + 2x) \\[5px] &= \cos(x) \cos(2x) – \sin(x) \sin(2x) \\[5px] &= \cos(x) \big[ 2\cos^2(x) – 1 \big] – \sin(x) \big[ 2 \sin(x) \cos(x) \big] \\[5px] &= 2 \cos^3(x) – \cos(x) – 2 \sin^2(x) \cos(x) \\[5px] &= 2 \cos^3(x) – \cos(x) – 2 \big[ 1 – \cos^2(x) \big] \cos(x) \\[5px] &= 4 \cos^3(x) – 3 \cos(x) \end{align*} \]
삼각함수에 대한 모든 항등식은 아래 삼각함수의 덧셈정리로 부터 증명할 수 있다.특히 삼각함수의 두배각공식(double angle formula)는 위 식에서 $y=x$로 둠으로써 얻을 수 있다.또한 삼각함수의 세배각공식(triple angle formula)은 덧셈정리에서 $y=2x$로 두고 위에서 얻은 두배각공식을 이용하면 된다.이와 같은 방법으로 삼각함수의 네배각공식, 다섯배각공식, 나아가 일반적인 $n$배각공식까지 유도할 수 있다. 하지만 위 계산에서 짐작할 수 있듯이 $n$이 커짐에 따라 공식을 얻어내는데 필요한 계산량도 늘어나게 된다. 따라서 $n$배각공식을 비교적 쉽게 유도하기 위한 몇 가지 방법들이 있는데, 이번 글에서는 그 중에 드 무아브르 공식(de Moivre’s formula)을 이용한 방법을 알아 보도록 하자.
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드 무아브르 공식(de Moivre’s formula)
\[ (\cos(x) + i \sin(x))^n = \cos(nx) + i \sin(nx) \]
드 무아브르 공식(de Moivre’s formula) 에 의하면, 임의의 복소수 $x$와 정수 $n$에 대하여 다음이 성립한다.이 공식은 오일러 공식(Euler’s formula) 를 이용하여 간단히 증명이 가능하다. 이 글에서는 $x$가 실수이고 $n$이 양의 정수인 경우에 한해서, 드 무아브르 공식을 수학적 귀납법을 이용하여 증명을 해 보도록 하자.
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정리. 드 무아브르 공식(de Moivre’s formula) 임의의 실수 $x$와 양의 정수 $n$에 대하여 다음이 성립한다. \[ (\cos(x) + i \sin(x))^n = \cos(nx) + i \sin(nx) \tag{1} \]
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증명.
\[ \begin{align*} (\cos(x) + i \sin(x))^{k+1} &= (\cos(x) + i \sin(x))^k (\cos(x) + i \sin(x)) \\[5px] &= (\cos(kx) + i \sin(kx)) (\cos(x) + i \sin(x)) \\[5px] &= \cos(kx)\cos(x) – \sin(kx)\sin(x) + i \big[ \sin(kx)\cos(x) + \cos(kx)\sin(x) \big] \\[5px] &= \cos((k+1)x) + i \sin((k+1)x) \end{align*} \]
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우선 $n=1$인 경우, 식 $(1)$이 성립함은 자명하다. 이제 $n=k$일 때 식 $(1)$이 성립한다고 가정하자. 그러면 $n=k+1$인 경우 삼각함수의 덧셈공식에 의해 다음을 얻는다.따라서 $n=k+1$일 때도 식 $(1)$이 성립함을 확인할 수 있다. 그러므로 수학적 귀납법에 의해 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 식 $(1)$이 성립한다.
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\[ \begin{align*} \sin(nx) &= \operatorname{Im}((\cos(x) + i \sin(x))^n) \\[5px] \cos(nx) &= \operatorname{Re}((\cos(x) + i \sin(x))^n) \end{align*} \]
드 무아브르 공식을 이용하여 사인 함수와 코사인 함수에 대한 $n$배각공식을 유도하는 방법에 대해 생각해 보자. 먼저 식 $(1)$의 좌변을 전개하고 정리하면 실수부와 허수부를 각각 얻을 수 있다. 이 때, 좌변의 실수부가 $\cos(nx)$와 같아야 하고 좌변의 허수부는 $\sin(nx)$와 같아야 한다는 사실을 이용하면, $\cos(nx)$, $\sin(nx)$의 값을 각각 구할 수 있다. 특히,가 성립한다.
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\[ \begin{align*} \cos(2x) + i \sin(2x) &= (\cos(x) + i \sin(x))^2 \\[5px] &= \cos^2(x) – \sin^2(x) + i (2 \sin(x) \cos(x)) \end{align*} \]
실제로 드 무아브르 공식을을 이용하여 사인, 코사인 함수의 두배각공식과 세배각공식을 각각 유도해 보면 다음과 같다. 먼저 $n=2$인 경우의 드 무아브르 공식을 적용하면따라서 $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$, $\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)$를 얻는다.
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\[ \begin{align*} \cos(3x) + i \sin(3x) &= (\cos(x) + i \sin(x))^3 \\[5px] &= \cos^3(x) – 3 \cos(x)\sin^2(x) + i (3 \cos^2(x) \sin(x) – \sin^3(x)) \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \sin(3x) &= 3 \cos^2(x) \sin(x) – \sin^3(x) \\[5px] &= 3 \big[ 1 – \sin^2(x) \big] \sin(x) – \sin^3(x) \\[5px] &= 3 \sin(x) – 4 \sin^3(x) \\[15px] \cos(3x) &= \cos^3(x) – 3 \cos(x) \sin^2(x) \\[5px] &= \cos^3(x) – 3 \cos(x) \big[ 1 – \cos^2(x) \big] \\[5px] &= 4 \cos^3(x) – 3 \cos(x) \end{align*} \]
마찬가지 방법으로 $n=3$인 경우의 드 무아브르 공식에 의해서를 얻는다. 이제 위 식의 좌변과 우변이 서로 같음을 이용하여임을 알 수 있다.
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사인 함수와 코사인 함수의 $n$배각공식
\[ \begin{align*} \sin(nx) &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos^{n-k}(x) \sin^{k}(x) \sin{\frac{k\pi}{2}} \\[5px] &= \sum_{k \text{ odd}} (-1)^{\frac{k-1}{2}} \binom{n}{k} \cos^{n-k}(x) \sin^{k}(x) \tag{2.1} \\[15px] \cos(nx) &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos^{n-k}(x) \sin^{k}(x) \cos{\frac{k\pi}{2}} \\[5px] &= \sum_{k \text{ even}} (-1)^{\frac{k}{2}} \binom{n}{k} \cos^{n-k}(x) \sin^{k}(x) \tag{2.2} \end{align*} \]
위와 같이 드 무아브르 공식을 이용하면 사인 함수와 코사인 함수의 $n$배각공식을 동시에 얻을 수 있다. 먼저 식 $(1)$의 좌변 $(\cos(x) + i \sin(x))^n$을 전개하는 과정에서 이항계수가 등장한다. 또한 이 전개식의 반 정도는 실수부이고, 나머지 반 정도는 허수부가 된다. 이러한 사실들을 일반화 하여 임의의 양의 정수 $n$에 대한 $n$배각공식을 구해보면 다음과 같다.
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\[ \begin{align*} \sin(4x) &= \binom{4}{1} \cos^3(x) \sin(x) -\binom{4}{3} \cos(x) \sin^3(x) \\[5px] &= 4 \cos^{3}(x) \sin(x) – 4 \cos(x) \sin^3(x) \\[15px] \cos(4x) &= \binom{4}{0} \cos^4(x) – \binom{4}{2} \cos^2(x) \sin^2(x) + \binom{4}{4} \sin^4(x) \\[5px] &= \cos^4(x) – 6 \cos^2(x) \sin^2(x) + \sin^4(x) \end{align*} \]
위 공식 $(2.1)$과 $(2.2)$를 이용하여 $\sin(4x)$와 $\cos(4x)$의 값을 직접 구해보자.
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