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일차방정식문제 활용 풀어보기 : 네이버 블로그
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일차방정식의 활용 2 – 수학방
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일차방정식의 활용 2
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문제 속 숨겨진 단서를 파악하라 “일차방정식이 너무 어려워요”
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일차방정식 활용 수에 관한 문제
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일차방정식의 활용 2
일차방정식의 활용 두 번째는 일차방정식의 활용 첫 번째보다 조금 더 어려운 유형이에요. 공식을 알아야 풀 수 있거든요.
이 공식들은 수학, 과학 등의 과목에서 계속해서 보게 될 공식이니까 반드시 외워야 해요. 공식을 외우지 못했다는 건 일차방정식의 활용을 포기하는 것과 같아요. 물론 2, 3학년 수학도 일정 부분 포기한다는 뜻이고요.
원래는 하나의 공식인데, 모양만 바뀌는 거라서 외우기 헷갈릴 수 있어요. 그러면 그림으로 외우는 것도 좋은 방법이에요.
일차방정식의 활용
과부족
과부족 문제는 개수의 많고 적음을 이용한 문제에요. 문제에서는 물건의 개수를 구하라고 하는데, 식에서는 물건의 개수가 아닌 사람 수를 x라고 놓으면 돼요.
과부족 문제는 x가 들어있는 식을 두 개 만들고 그 둘이 같다고 놓고 푸는 문제입니다.
학급 학생들에게 공책을 나눠주려고 한다. 한 학생에게 공책을 5권씩 나눠주면 3권이 남고, 6권씩 나눠주면 4권이 부족하다고 한다. 공책은 총 몇 권인가?
공책의 개수를 구하라고 했다고 해서 이걸 x로 놓으면 문제가 복잡해져요. 이 문제에서는 학생 수를 x라고 놓으세요.
학생 수가 x명일 때, 한 사람에게 5권씩 주면 3권이 남는다고 했으니까 공책의 수는 5x + 3이에요. 6권씩 나눠주면 4권이 부족하다고 했으니까 공책 수는 6x – 4죠. 공책 수는 두 경우 모두에 같으니까 둘을 같게 놓고 문제를 풀면 돼요.
5x + 3 = 6x – 4
5x – 6x = – 4 – 3
-x = -7
x = 7
여기서 x는 공책의 수가 아니라 학생 수에요. x = 7을 5x + 3에 대입하면 공책의 수는 38권이 되네요.
도형
사각형의 넓이 = (가로) × (세로), 사각형의 둘레 = {(가로) + (세로)} × 2에요. 이것만 잘 기억하면 풀 수 있어요.
둘레가 50cm인 사각형이 있다. 가로의 길이가 세로 길이보다 3cm 더 길 때, 가로, 세로의 길이를 구하여라.
가로의 길이를 x라고 하면 세로의 길이는 x – 3이에요. 이때 사각형의 둘레는 {x + (x – 3)} × 2죠.
{x + (x – 3)} × 2 = 50
2(2x – 3) = 50
2x – 3 = 25
2x = 25 + 3
2x = 28
x = 14
가로 길이는 14cm이므로 세로 길이는 11cm네요.
거리, 속력, 시간
문자와 식, 문자를 포함한 식에서 봤던 공식이 또 나왔네요. 그만큼 중요하니까 또 나오는 거예요.
거리, 속력. 시간문제에서는 단위도 중요해요. 문제에서 사용하는 단위와 답에서 요구하는 단위를 잘 봐야 해요.
설리는 집에서 서점을 왕복하는데, 갈 때는 시속 4km의 속력으로 걸어가고, 올 때는 6km의 속력으로 뛰어서 총 40분이 걸렸다고 한다. 설리네 집에서 서점까지의 거리를 구하여라.
거리를 구하라고 했는데, 거리 = 속력 × 시간이에요. 올 때, 갈 때의 속력은 알고 있어요. 그런데 시간은 올 때와 갈 때는 둘을 합한 것만 알려줬죠? 그래서 하나를 우리가 임의로 x라고 정하는 거예요. 가는 데 걸린 시간을 x분라고 하면, 오는 데 걸린 시간은 (40 – x)분이 되겠죠.
집에서 서점까지의 거리는 올 때나 갈 때나 똑같아요. 그래서 (갈 때의 거리) = (올 때의 거리)라고 할 수 있어요.
4 × x = 6(40 – x)
4x = 240 – 6x
4x + 6x = 240
10x = 240
x = 24
x는 집에서 서점까지 가는 데 걸린 시간이고, 문제에서 구하는 건 거리죠. x = 24를 대입해서 거리를 구해야 해요.
거리 = 속력 × 시간 = 4 × 24 = 96(km)가 될 것 같죠? 이러면 절대로 안 돼요. 단위를 조심해야 해요.
집에서 서점에 갈 때 시속 4km라고 했고, 실제 걸린 시간은 24분이에요. 하나는 시고 하나는 분이라 단위가 달라요. 이 두 단위를 하나로 맞춰줘야 해요.
소금물의 농도
농도 공식도 문자와 식, 문자를 포함한 식에서 본 공식이에요. 앞으로 계속 나올 겁니다.
소금물에 소금물을 넣으면 소금의 양과 소금물의 양이 모두 변해요. 하지만 그냥 물만 넣거나 가열하는 경우에는 소금의 양은 바뀌지 않고 소금물의 양만 바뀌는 걸 주의하세요.
두 소금물 A, B를 하나로 섞었을 때
(A + B)의 소금의 양 = A 소금의 양 + B 소금의 양
(A + B)의 소금물의 양 = A 소금물의 양 + B 소금물의 양
(A + B)의 농도 = (A + B)의 소금의 양 / (A + B) 소금물의 양 * 100
어떤 경우에도 농도는 +/-로 구할 수 없어요. 두 소금물을 더했다고 해서 각각의 농도를 더해서 구하면 안 된다는 얘기예요. 위 농도 공식에 있는 방법으로만 농도를 구해야 해요.
소금물 A을 가열했을 때(증발시켰을 때)
가열한 후의 소금양 = 가열전 의 소금양
가열한 후의 소금물의 양 = 가열전 소금물의 양 – 증발한 물의 양
소금물 A에 물만 넣었을 때
물을 넣은 후의 소금양 = 물을 넣기 전의 소금양
물을 넣은 후의 소금물의 양 = 물을 넣기 전의 소금물의 양 + 넣은 물의 양
5% 소금물 200g을 가열하였더니 8% 소금물이 되었다. 가열한 후의 소금물의 양은 얼마인가?
소금물을 가열했을 때는 소금의 양은 바뀌지 않고, 소금물의 양만 줄어들어요. 따라서 가열 전과 가열 후의 소금의 양이 같다는 걸 이용해서 식을 세워보죠.
가열한 후의 소금물의 양을 구하라고 했으니 이걸 x라고 놓죠.
가열 전 5% 소금물 200g에 들어있는 소금의 양 =
가열 후 8% 소금물 xg에 들어있는 소금의 양 =
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복잡한 일차방정식의 풀이
일차방정식의 활용 첫번째
그리드형(광고전용)
문제 속 숨겨진 단서를 파악하라 “일차방정식이 너무 어려워요”
수학은 다 어렵다지만, 그중 특히 중1 학생의 발목을 잡는 건 일차방정식이다. 어려워하는 이유는 미지수에 있다. ‘등식’ ‘항’ ‘이항’ ‘우변’ ‘좌변’ 등의 낯선 용어들이 속출해 초등학교 때 수학 좀 했다 하는 학생마저도 주눅이 든다. 문제는 일차방정식이 2학년의 연립일차방정식과 일차부등식, 3학년의 이차방정식의 활용은 물론 함수 문제 해결의 기초이며 고교 수학의 초석이 된다는 데 있다. 어렵다고 대충 넘어가거나 회피한다면 앞으로의 수학 인생이 험난해질 가능성이 큰 만큼 시간이 걸리더라도 기본 개념을 다잡는 것이 중요하다.
취재 김한나 리포터 [email protected] 도움말 김예찌 원장(김예찌수학)
“초등 때까진 수학을 곧잘 했어요. 그런데 중1 <수학>은 너무 어려워요. 특히 일차방정식이요. 문제를 반복해 읽어도 식을 어떻게 세워야 할지 모르겠어요. 문제집 <체크체크>와 <풍산자> 두 권을 두 번씩 반복했는데 정답률은 60~70% 정도예요. 학원에서는 계속 반복하면 나아질 거라는데 별로 믿음이 안 가요. 제가 수학 머리가 없어서 그런 건지, 아니면 다른 중1 친구들도 일차방정식을 힘들어하는 건지 걱정이 한가득이에요.” _일차방정식을 힘겨워하는 중1 왕곤란 학생
네 문제를 보여줘!
무엇이 문제일까?
왕곤란 학생의 두 문제에 대한 풀이 과정을 보니 첫 번째 일차방정식 문제에서는 미지수의 사용법을 몰라서 식을 세우는 데 실패했고, 두 번째 문제는 문제가 제시한 요점을 제대로 파악하지 못해 푸는 과정에서 실수가 발생했네요.
일차방정식을 풀기 위해서는 문제 속 숨겨진 단서를 잘 파악해 식으로 표현해내는 능력이 필요합니다. 또한 구하려는 값을 미지수로 두고 식을 세울 수 있어야 하죠. 값을 아직 모르는 수, 즉 미지수를 사용한다는 것 자체가 중1 학생들에게는 낯설고 어색할 수 있습니다. 이제 막 초등학생 티를 벗은 중1에게 미지수란 피부에 와닿지 않는 개념일 테니까요. 왕곤란 학생도 이런 상황에서 문제 풀이만 하다 보니 일차방정식이 어렵게 느껴졌을 겁니다.
선생님이 알려줄게!
첫 번째 문제를 함께 풀어볼까요? 이 문제에서는 두 가지 단서를 잘 활용해서 식으로 나타내야 해요.
첫째, 기차가 철교와 터널을 완전히 빠져 나오게 하려면 터널과 기차의 길이뿐 아니라 기차의 길이 를 꼭 포함해야 합니다. 즉 기차의 길이를 m로 하고 철교와 터널을 완전히 통과할 때의 거리를 (400+x)m, (300+x)m로 놓아야 해요.
기차의 길이는 100m 로 구할 수 있습니다.
두 번째 문제에서는 9%와 4%의 소금물의 양이 같다고는 하 지 않았는데 9% 소금물의 양과 4% 소금물의 양을 모두 g이 라 놓고 풀어서 답을 틀리고 말았어요. 9% 소금물의 양을 x로, 4% 소금물의 양을 200-x로 놓고 풀어야 합니다.
9% 소금물의 양 : xg, 4% 소금물의 양 : 200 – x
9% 소금물의 양은 80g 이 나오게 되죠.
같은 문제집을 두 번 반복해 풀었는데도 정답률이 80%를 넘지 못한다면 개념이 부족하기 때문일 확률이 커요. 일차방정식은 먼저 배운 ‘문자와 식’ ‘방정식과 항등식’과 연계되니 이 단원을 다시 한 번 익히고 미지수의 개념, 방정식을 풀 때 이항하는 방법과 등식의 성질을 이용하는 방법을 충분히 숙지해야 합니다.
미지수 세우는 법이 어렵다면 x대신 □를 넣어보는 것도 방법이에요.
미지수를 통한 방정식의 활용을 배우는 이유는 앞으로 진행 될 고교 수학의 초석을 다지기 위함입니다. 천천히 가더라도 확실히 개념을 정립해야 대입까지 무너지지 않는다는 점을 명심하길 바라요. 심화와 선행은 개념 위에 쌓아야 한다는 것을 꼭 기억하세요.
일차방정식 활용 수에 관한 문제
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#곰쌤수학
#일차방정식활용
#수에관한문제
방정식 활용 문제를 접하다보면
식을 세우는데 어려움을 많이 느끼는 학생들이 많다.
수학을 대부분 연산처럼 문제를 접했기 때문이라는 생각이 든다.
마치 답만 구하면 모든 과정이 끝나는~
수학을 하는 이유는 사고력을 높히는 과정인데 말이지!!
그래서 생각을 많이 할 수 있도록 많은 방법을 시도하고 있다
이런 방법을 어때? 하면서~
참 관심사가 많아서 이것저것 다 해본다.
어플도 만들고~
어플 활용하면 문항별로 문제 확인 할 수 있으니 활용해 보면 좋겠다~아~ㅎ
문항은 곰쌤홈페이지에 있습니다.
다시 개편중이고 재 업로드 중이라 시간이 조금 걸립니다.
가장 기본적인 예로 일차방정식활용 도입문제!
어떤수에 4를 더하여 3배한 수는 어떤수를 5배하여 10을 뺀 수와 같다. 어떤수는?
이 문제를 식을 세우고 풀이하는 과정을 그림으로 알아보겠습니다.
글을 잘 읽어보고 생각하면서 문제를 풀어주는 겁니다~
일차 방정식 활용은 식만 잘 세우면 끝!!!
여기까지 내용이 괜찮은가요?
기본 문제이지만 다른 유형도 이런식으로 읽어가면서 풀이한다면 얼마든지 식을 세우고 접근 할 수 있습니다.
여기까지 나와 있는 식을 이해했다면 이제 결합만 하면 끝!!
위에 나와 있는 식과 아래 나와 있는 식이 서로 같으니까~~
수는? 이렇게 나와 있는 부분에 등호가 들어 간다고 생각해도 접근하기 좋을 것 같네요
이렇게 위에 식과 아래 식을 결합하면 방정식 세우는 과정이 완료되는 것입니다^^
중학교 활용 문제는 어느 정도 틀이 있습니다.
암기식 과정은 아니지만 문제를 많이 접하다보면 조금 더 쉽게 접근 할 수 있습니다.
위에 그림을 클릭하시면 홈페이지로 이동합니다.
홈페이지 개편중이고 관심사를 많이 업로드 중입니다^^
포스팅에 대해 궁금한 점은 충주 수학 전문 곰쌤수학 곰쌤에게 문의 주세요~^^
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