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우함수와 기함수의 적분 / 평생 기억하는 방법과 실전문제 풀이 / 9분만에 이해시켜드리겠습니다

수학-우함수, 기함수의 정적분 : 네이버 블로그

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수학-우함수, 기함수의 정적분

우함수, 기함수의 정의

모든 실수 x에 대하여 f(-x)=f(x)일 때,

함수 f(x)를 우함수라 한다.

이때 우함수 y=f(x)의 그래프는

y축에 대하여 대칭이다.

그리고 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=-f(x)일 때,

함수 f(x)를 기함수라 한다.

이때 기함수 y=f(x)의 그래프는

원점에 대하여 대칭이다.

우함수의 정적분

증명

지수가 짝수인 항들로만 이루어진

다항함수는 우함수이다.

또한, 상수함수 y=a(a는 상수)는

항상 y축에 대하여 대칭이므로 우함수이다.

삼각함수에서는 y=cos x가 우함수이다.

기함수의 정적분

증명

지수가 홀수인 항들로만 이루어진

다항함수는 기함수이다.

삼각함수에서는 y=sin x, y=tan x가 기함수이다.

(기함수)×(기함수), (기함수)×(우함수)

(기함수)×(기함수)는 우함수가 되고,

(기함수)×(우함수)는 기함수가 된다.

증명

두 함수 f(x), g(x)가 있다.

f(x), g(x)가 기함수일 때,

f(-x)=-f(x), g(-x)=-g(x)가 성립한다.

이 두 기함수의 곱을 h(x)=f(x)g(x)라 하면

h(-x)=f(-x)g(-x)={-f(x)}{-g(x)}=f(x)g(x)

h(-x)=h(x)이므로 (기함수)×(기함수)는 우함수가 된다.

f(x)가 기함수, g(x)가 우함수일 때,

f(-x)=-f(x), g(-x)=g(x)가 성립한다.

이 기함수, 우함수의 곱을 h(x)=f(x)g(x)라 하면

h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)

h(-x)=-h(x)이므로 (기함수)×(우함수)는 기함수가 된다.

우함수 기함수 의 모든것

우함수와 기함수 고교 수학 내도록 나오는데 정말 헷갈립니다.

차근차근 내용을 정리하면서 우함수, 기함수 안까먹는 법까지 알려드릴께요.

우함수

우함수는 짝함수라고 하고 문제에는 지수가 짝수인 함수나, 삼각함수 중에 cos함수가 자주 등장합니다.

수식으로 표현은,

가 되고 함수 f에 x를 대입하든, (-x)를 대입하든 결과값에는 같기 때문에 y축에 대칭한다는 말이 되겠네요.

기함수 ; (-)가 기어나오는 함수

기함수는 홀함수라고 하고 문제에는 지수가 홀수인 함수나, 삼각함수 중에 sin, tan함수가 자주 등장합니다.

수식으로 표현은,

가 되고 함수 f에 x를 대입한 값이, (-x)를 대입한 값에 반대 부호이기 때문에 그래프는 원점대칭이겠습니다.

f(-x) = f(x) → 우함수(짝함수) f(-x) = -f(x) → 기함수(홀함수)

곱셈관계

우함수 – ①

기함수 – ②

1. 우함수와 기함수를 곱하고 그 함수를 F1(x) 라고 정의하면,

-③

x에 (-x)를 대입하면,

– ④

④ 식에 ①,② 식을 대입하면,

우함수 X 기함수 = 기함수!!!

2. 우함수와 우함수를 곱하고 그 함수를 F2(x) 라고 정의하면,

– ⑤

x에 (-x)를 대입하면,

– ⑥

⑥ 식에 ① 식을 대입하면,

우함수 X 우함수 = 우함수!!!

3. 기함수와 기함수를 곱하고 그 함수를 F3(x) 라고 정의하면,

– ⑦

x에 (-x)를 대입하면,

– ⑧

⑧ 식에 ② 식을 대입하면,

기함수 X 기함수 = 우함수!!!

우함수 x 기함수 = 기함수 우함수 x 우함수 = 우함수 기함수 x 기함수 = 우함수 (같은거끼리 = 우함수 다른거끼리 = 기함수)

적분하면?

우함수 기함수는 정적분 단원에서 출제가 되곤합니다.

-a에서 a까지 정적분할때,

우함수는 적분하면 절반의 두배 !

기함수는 적분하면 0 !

그림으로 살펴봅시다.

예제를 한번 풀어봅시다.

일 때,

이다.

이 문제의 경우 -a부터 a까지 정적분 할 때 우함수와 기함수의 적분특성을 이용해서 풀어야 합니다.

우선 f(-x) = f(x) 이므로 함수 f(x)는 우함수 입니다.

그리고 주어진 식을 전개하면,

우변의 첫번째 항과 두번째 항은 기함수*우함수 이기 때문에 기함수이고

기함수는 -1부터 1까지 정적분하게 되면 정적분값이 0이 됩니다.

결국,

만 남게 되고, 이는 우함수 입니다.

우함수의 정적분 특성에 의해

우함수 기함수 쉽게 외우는법

별다른건 없고, 기함수는 (-)가 기어나온다고 해서 기함수로 외우면 되겠습니다. ㅎㅎ

혹시 우함수 기함수가 헷갈리셨던 분은 앞으로 안까먹으실꺼임 ㅋㅋ

우함수미분, 적분은 기함수인가? 관련

f(x)가 우함수(기함수)면 f'(x)는 기함수(우함수)는 참이고

f'(x)가 우함수(기함수)면 f(x)는 기함수(우함수)는 거짓이죠?

—————————————

직접 우함수 기함수 몇개 뽑으셔서 해보시는게 가장 기억에도 잘 남고 좋을 것 같네요 (2008/08/09 13:31:56)

————————-

1번은 f(x)=f(-x) 또는 f(-x)=-f(x) 로 놓으신담에 양변을 x에 대해 미분하면 둘다 참이 되구요

뭐 시간 남으시면 미분계수의 정의를 이용해서 보여주셔도 되고요 -_-;;

2번은 마찬가지로 f'(x)=f'(-x) , f'(-x)=-f'(x) 로 놓고 양변을 x에 대해 적분하면 f’가 우함수 일때는 적분상수때문에 f는 기함수가 될수도, 안될수도. f’가 기함수일때는 f는 무조건 우함수가 됩니다. (2008/08/09 18:40:42)

————————-

미분의 경우엔 우<->기 가 반드시 성립하고, 적분의 경우 기->우 는 성립해도 우->기 는 일반적으로 적분상수를 잘 골라주지 않으면 거짓이 됩니다.

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