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판별식은 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 근의 개수와 종류를 알아보기 위해서 사용했던 식으로 여기서도 똑같이 D = b² – 4ac에요. 이차부등식에서 사용하는 부등호는 >, ≥, <, ≤ 네 가지이므로 이 네 부등호를 가진 이차부등식의 해와 판별식 D 사이의 관계를 알아보죠.

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이차방정식의 판별식

이차방정식의 판별식

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이차부등식의 풀이, 판별식과 이차부등식의 해 – 수학방

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이차부등식의 풀이 판별식과 이차부등식의 해

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이차부등식이 항상 성립할 조건 – 수학방

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이차부등식이 항상 성립할 조건

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판별식 내용을 그냥 외우지 말고, 이해를 먼저 하고 외우자! : 네이버 블로그

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이차부등식의 해와 이차함수의 그래프 – JW MATHidea

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이차부등식 푸는 법 총정리!! (인수분해, 판별식, 그래프) :: 미분때려

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[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (15) 이차방정식의 판별식

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[수학상 이론 07탄] 이차방정식의 판별식에 새로운 관점 [QR] :: winner

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[수학상 이론 07탄] 이차방정식의 판별식에 새로운 관점 [QR]

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풀자

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이차부등식의 풀이, 판별식과 이차부등식의 해

이차부등식의 해를 구할 때 판별식을 보면 해를 구할 수 있어요. 물론 해를 바로 구할 수 있는 경우도 있고, 아닌 경우도 있지만 판별식을 보면 대충 감이 오죠.

판별식은 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 근의 개수와 종류를 알아보기 위해서 사용했던 식으로 여기서도 똑같이 D = b2 – 4ac에요.

이차부등식에서 사용하는 부등호는 >, ≥, <, ≤ 네 가지이므로 이 네 부등호를 가진 이차부등식의 해와 판별식 D 사이의 관계를 알아보죠. 판별식과 이차부등식의 해 판별식 D > 0일 때

이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a > 0) 에서 좌변만 보죠. D > 0이면 두 근을 가져요. 이 근을 α, β (α < β)라고 하면, a(x - α)(x - β)로 인수분해가 돼요. ax2 + bx + c = 0 a(x - α)(x - β) = 0 이차방정식에서 양변은 그대로 두고, 등호만 부등호로 바꿔보죠. ax2 + bx + c > 0

a(x – α)(x – β) > 0

이차부등식, 이차부등식의 해에서 봤던 꼴이죠? 이때는 해가 어떻게 된다고 했나요?

a(x – α)(x – β) > 0 → x < α or x > β

a(x – α)(x – β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β

a(x – α)(x – β) < 0 → α < x < β a(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β 판별식 D = 0일 때 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a > 0) 에서 판별식 D = 0이면 완전제곱식이 되고, 중근을 가져요. 이때의 해를 α라고 해보죠.

ax2 + bx + c = 0

a(x – α)2 = 0

이번에도 양변은 그대로 두고, 등호만 부등호로 바꿔보죠.

ax2 + bx + c > 0

a(x – α)2 > 0

어떤 실수의 제곱은 0보다 크거나 같아요. x = α이면 좌변은 0이 돼서 부등식이 성립하지 않아요. x ≠ α일 때는 부등식이 성립하죠. 따라서 이때의 해는 x ≠ α인 모든 실수가 되겠죠?

ax2 + bx + c ≥ 0

a(x – α)2 ≥ 0

위 식에서는 x = α면 좌변이 0이 되고, 부등식이 성립해요. 물론 x ≠ α일 때도 성립하죠. 따라서 해는 모든 실수가 됩니다.

ax2 + bx + c < 0 a(x - α)2 < 0 좌변은 실수의 제곱과 양수 a의 곱이므로 0보다 크거나 같아요. 따라서 해는 없어요. ax2 + bx + c ≤ 0 a(x - α)2 ≤ 0 위 식에서는 x = α면 좌변이 0이 되고, 부등식이 성립해요. 그 외에는 성립하지 않죠. 따라서 해는 x = α에요. 판별식 D < 0일 때 D < 0이면 일반적인 방법으로는 인수분해가 되지 않아요. 그래서 조금 다른 방법으로 해를 구해야 해요. 중학교 때 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서 주어진 식을 완전제곱식으로 변형하는 걸 해봤어요. 이걸 이용해보죠. 완전제곱식으로 고치는 과정 펼치기 완전제곱식으로 고치는 과정 접기 완전제곱식으로 고치는 과정 접기 정리해보면, 예요. 앞에 있는 항은 제곱이니까 이고, D < 0이므로 에요. 따라서 이차식 ax2 + bx + c (a > 0)은 모든 x에 대하여 항상 양수예요.

ax2 + bx + c > 0과 ax2 + bx + c ≥ 0은 항상 성립하므로 해는 모든 실수이고, ax2 + bx + c < 0과 ax2 + bx + c ≤ 0은 해가 없지요. 판별식과 이차부등식의 해 설명이 길었는데, 정리해보면 아래 표로 간단히 나타낼 수 있어요. 판별식과 이차부등식의 해(a > 0) D > 0 D = 0 D < 0 ax2 + bx + c > 0 x < α or x > β x ≠ α인 모든 실수 모든 실수 ax2 + bx + c ≥ 0 x ≤ α or x ≥ β 모든 실수 모든 실수 ax2 + bx + c < 0 α < x < β 해는 없다. 해는 없다. ax2 + bx + c ≤ 0 α ≤ x ≤ β x = α 해는 없다. 다음 부등식의 해를 구하여라. (1) x2 - 4x + 4 > 0

(2) x2 – 4x + 4 ≤ 0

(1) 좌변을 인수분해 해보죠.

x2 – 4x + 4 > 0

(x – 2)2 > 0

좌변이 완전제곱식으로 인수분해가 됐으니 D = 0이네요. 판별식을 따로 구해보지 않아도 알 수 있죠? 이때는 x = 2이면 좌변이 0이 되어서 성립하지 않지만 x ≠ 2이면 부등식이 성립하죠? 따라서 해는 x ≠ 2인 모든 실수가 됩니다.

(2) x2 – 4x + 4 ≤ 0

(x – 2)2 ≤ 0

x = 2일 때는 좌변이 0이므로 식이 성립하지만, 그 외에는 좌변 > 0이므로 식이 성립하지 않아요. 따라서 해는 x = 2네요.

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정리해볼까요 판별식과 이차부등식의 해(a > 0) D > 0 D = 0 D < 0 ax2 + bx + c > 0 x < α or x > β x ≠ α인 모든 실수 모든 실수 ax2 + bx + c ≥ 0 x ≤ α or x ≥ β 모든 실수 모든 실수 ax2 + bx + c < 0 α < x < β 해는 없다. 해는 없다. ax2 + bx + c ≤ 0 α ≤ x ≤ β x = α 해는 없다. 그리드형(광고전용)

이차부등식이 항상 성립할 조건

이차부등식의 해를 구할 때, 이차부등식의 해가 모든 실수가 되는 경우가 있었어요. 모든 실수가 해가 되는 경우에는 x에 어떤 값을 넣어도 그 식은 성립하죠.

부등식 ax > b의 풀이, 부정, 불능에서 항상 성립하는 조건을 알아봤던 것과 비슷한 거예요. 이차부등식이기 때문에 최고차항의 계수뿐 아니라 판별식 D를 이용해서 그 조건을 알아볼 거예요.

이차부등식의 모양과 이차부등식이 항상 성립할 조건이 비슷하게 생겼으니까 그 모양을 잘 비교해보세요.

이차부등식이 항상 성립할 조건

이차부등식이 항상 성립할 조건은 판별식과 이차부등식의 해에서 했던 내용을 기억하세요. 이차부등식 ax2 + bx + c > 0 (a > 0)일 때를 비롯하여 부등호의 기호와 판별식에 따라서 해가 어떻게 되는지 알아봤죠? 이 중에 모든 실수를 해로 갖는 경우가 바로 이차부등식이 항상 성립할 조건이니까요.

판별식과 이차부등식의 해(a > 0일 때) D > 0 D = 0 D < 0 ax2 + bx + c > 0 x < α or x > β x ≠ α인 모든 실수 모든 실수 ax2 + bx + c ≥ 0 x ≤ α or x ≥ β 모든 실수 모든 실수 ax2 + bx + c < 0 α < x < β 해는 없다. 해는 없다. ax2 + bx + c ≤ 0 α ≤ x ≤ β x = α 해는 없다. 일단 위 표에서 해가 모든 실수인 경우가 두 가지 있네요. ax 2 + bx + c > 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D < 0일 때 + bx + c > 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D < 0일 때 ax2 + bx + c ≥ 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D ≤ 0일 때

그럼 ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0일 때는 항상 성립하는 경우가 없을까요? 아니에요. 이 표가 a > 0일 때만 조사해서 그런 거예요.

a < 0일 때를 알아볼까요? 이차부등식의 좌변을 완전제곱꼴로 바꿔보죠. 이 항상 성립하려면 어떤 조건이 있어야 할까요? 일단 a < 0이고 ≥ 0이니까 a ≤ 0이에요. D > 0일 때를 보죠. D > 0이면 < 0이에요. 이때 는 (0 또는 음수) - (음수) 꼴이 되는데 이건 0보다 클 수도 있고 작을 수도 있어요. 그래서 항상 성립한다고 할 수는 없어요. D = 0일 때를 보죠. D = 0이면 = 0이에요. 이때 는 (0 또는 음수) - 0 꼴이 되는데 이건 0일 수도 있고 음수일 수도 있죠? 그래서 항상 성립한다고 할 수는 없어요. D < 0일 때를 보죠. D < 0이면 > 0이에요. 이때 는 (0 또는 음수) – (양수) 꼴이 되는데 이건 무조건 0보다 작죠? 그래서 항상 성립한다고 할 수 있어요.

따라서 a < 0일 때, ax2 + bx + c < 0이 항상 성립하려면 D < 0이어야 해요. a < 0이고 D < 0일 때는 ax2 + bx + c ≤ 0도 당연히 성립해요. D = 0일 때는 ax2 + bx + c이 0 또는 음수이니까 역시 성립하죠. 결국 D ≤ 0이면 항상 성립해요. ax 2 + bx + c < 0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D < 0일 때 + bx + c < 0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D < 0일 때 ax2 + bx + c ≤ 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D ≤ 0일 때

총 네 가지 경우에 이차부등식이 항상 성립해요.

ax 2 + bx + c > 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D < 0일 때 + bx + c 0이 항상 성립할 조건: a 0이고 D < 0일 때 ax 2 + bx + c ≥ 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D ≤ 0일 때

+ bx + c 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D 0일 때 ax 2 + bx + c < 0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D < 0일 때 + bx + c 0이 항상 성립할 조건: a 0이고 D < 0일 때 ax2 + bx + c ≤ 0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D ≤ 0일 때 잘 보면 특징이 있어요. 이차부등식의 좌변이 우변의 0보다 큰지 작은지와 이차항의 계수가 양수인지 음수인지가 같죠. 좌변이 우변의 0보다 크면 이차항의 계수도 0보다 커요. 좌변이 우변의 0보다 작으면 이차항의 계수도 0보다 작죠. 그리고 무조건 판별식 D < 0인데, 이차부등식에 등호가 포함되어 있으면 판별식 D에도 등호가 포함되어 있고, 이차부등식에 등호가 없으면 판별식에도 등호가 없어요. 이차부등식 (k + 2)x2 + (k + 2)x + 2 > 0이 항상 성립할 때 정수 k를 모두 구하여라.

이차부등식의 모양을 잘 보세요. 좌변이 우변보다 커요. 부등호에는 등호가 없고요. 이때는 이차항의 계수 > 0이고, D < 0이어야 해요. k + 2 > 0

k > -2

D = (k + 2)2 – 4 × (k + 2) × 2 < 0 k2 + 4k + 4 - 8k - 16 < 0 k2 - 4k - 12 < 0 (k - 6)(k + 2) < 0 -2 < k < 6 -2 < k < 6이므로 정수 k = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5네요. 함께 보면 좋은 글 이차부등식의 그래프와 이차부등식의 해 이차부등식의 풀이, 판별식과 이차부등식의 해 이차부등식, 이차부등식의 해 이차부등식의 작성, 해가 주어졌을 때 이차부등식 구하기 부등식 ax > b의 풀이, 부정, 불능

정리해볼까요 이차부등식이 항상 성립할 조건 ax 2 + bx + c > 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D < 0일 때 + bx + c > 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D < 0일 때 ax 2 + bx + c ≥ 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D ≤ 0일 때

+ bx + c ≥ 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D ≤ 0일 때 ax 2 + bx + c < 0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D < 0일 때 + bx + c < 0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D < 0일 때 ax2 + bx + c ≤ 0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D ≤ 0일 때 그리드형(광고전용)

이차부등식의 해와 이차함수의 그래프

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■ 이차부등식의 해와 이차함수의 그래프

부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때, 좌변이 x에 대한 이차식인 부등식을 x에 대한 이차부등식이라고 한다.

▷ 이차부등식의 해법(이차부등식의 해를 구할 때 그래프를 그려서 생각하자.)

(1) 의 해

⇒ 의 그래프가 x축보다 위쪽에 있는 x의 값의 범위

⇒

(2) 의 해

⇒ 그래프가 x축보다 아래쪽에 있는 x값의 범위

⇒

▷ 이차부등식과 이차함수의 그래프

이차함수 (a>0)의 그래프가 x축과 만나는 경우 x좌표를 이차방정식 의 판별식을 라고 하면

1. 이차함수의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나는 경우(D≥0)

(1) 의 해 ⇒ 또는

(2) 의 해 ⇒

(3) 의 해 ⇒ 또는

(4) 의 해 ⇒

2. 이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 만나는 경우(D=0)

(1) 의 해 ⇒ 인 모든 실수

(2) 의 해 ⇒ 없다.

(3) 의 해 ⇒ 모든 실수

(4) 의 해 ⇒

3. 이차함수의 그래프가 x축과 만나지 않는 경우 (D<0) (1) 의 해 ⇒ 모든 실수 ← (2) 의 해 ⇒ 없다. ← (3) 의 해 ⇒ 모든 실수 ← (4) 의 해 ⇒ 없다. ← ▷ 이차부등식의 해 정리 이차함수 (a>0)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표를 , 이차방정식 의 판별식을 D라고 하면 이차부등식의 해는 다음과 같다.

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