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[기초통계학] 확률밀도함수와 확률분포함수 :: 간토끼 DataMining Lab
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정규분포 확률밀도함수의 유도, 증명, 성질
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확률 밀도 함수 적분
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확률밀도함수 부분에 적분 쓰이는건가요 안쓰이는 건가요? – 오르비
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- Most searched keywords: Whether you are looking for 확률밀도함수 부분에 적분 쓰이는건가요 안쓰이는 건가요? – 오르비 개정 교육과정에서는 정규분포를 설명하기 위해 정의만 짚고 넘어가는 정돕니다. 때문에 연속확률변수의 평균, 분산이 삭제되었고, 정적분을 이용한 확률 계산도 없습니다. 오르비,입시,모의고사,수능,대학,대입,오르비스 옵티무스,모의지원,최상위권,학습,생활,포털,입학사정관,교육청,EBS쓰이는줄 알고있었는데, EBS 올림포스 교재를 보니까 적분 관련 문제도 없고 그래프도 다 일차식으로 주어지던데..실제 교육과정상은 어떻게 되나요?
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확률밀도함수와 적분 by 보민 김
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확률밀도함수와 적분 by 보민 김
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확률밀도함수와 적분 by 보민 김
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[기초통계학] 확률밀도함수와 확률분포함수
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Review
참고 포스팅 :
2020/05/18 – [Statistics/Basic Statistics] – [기초통계학] 확률변수와 기댓값, 분산
안녕하십니까, 간토끼입니다.
이전에 가볍게 확률변수에 대해서 다뤄봤었는데요.
이번 포스팅에서는 확률변수의 분포 형태를 나타내는 데 사용되는 확률밀도함수(Probability Density Function)와 확률분포함수(Probability Distribution Function)를 다뤄보도록 하겠습니다.
이전에 확률변수를 다룰 때 크게 두 가지로 구분하였습니다.
먼저 직접 셀 수 있는 이산확률변수(Discrete Random Variable)가 있었죠.
만약 확률변수 X가 동전의 앞면이 나온 횟수라고 하면,
이 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3 등 유한개(Finite)일 수도 있고,
동전을 던지는 시행을 무수히 반복한다고 가정하면 0, 1, 2, 3 … 등 셀 수 있는 무한개인 가산무한일 수 있습니다.
우리는 이러한 변수를 이산확률변수라고 정의하였습니다.
다른 하나는 셀 수 없는 변수인 연속확률변수(Continuous Random Variable)이었죠.
만약 확률변수 Y를 특정 사건이 일어날 때까지 걸리는 시간(time)이라고 가정하면,
확률변수 Y가 가질 수 있는 값은 특정한 값이 아닌 영역으로 표현이 될 것이며, 이 영역은 셀 수 없는 무수히 많은 값을 포함하겠죠.
우리의 직관상 시간도 30분! 1시간! 이렇게 셀 수 있는 값으로 표현할 수 있는 게 아니냐고 물을 수 있지만,
누구든지 정확히 30분을 찍으라고 하면 아마 미세한 차이로 약간씩 다를 겁니다.
왜냐하면 30분 0.00000000000000….00000000000……1…..000 등 아주 미세하게 찍기엔 이 소수의 끝자리가 어디까지 있을지 모르기 때문이죠.
누구는 30분 0.000001초가 30분이라고 하고, 누구는 30분 0.00000….00000…0001초가 30분이라고 할 수도 있겠죠?굳이 비유하자면 그렇습니다.
각설하고 확률변수가 가질 수 있는 값의 범위가 위와 같이 실직선상의 어떤 구간인 경우, 우리는 이를 연속확률변수라고 정의하였습니다.
그래서 이러한 확률변수의 분포를 알 수 있다면, 확률변수가 특정한 값(혹은 범위)을 가질 때의 확률을 알 수 있을 겁니다.
예를 들어 반 아이들의 시험 성적이 70점에서 80점 사이일 확률을 알고 싶다면, 반 아이들의 시험 성적에 대한 분포를 알고 있으면 되겠죠!
그러한 맥락에서 출발한 것이 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF)입니다.
먼저 이산확률변수부터 살펴볼까요?
이산확률변수의 확률밀도함수는 확률질량함수(Probability Mass Function)이라고 합니다.
핵심은 ‘확률’ 이므로 모든 실수 x에 대하여 당연히 0보다 크거나 같아야 하며,
확률변수가 가질 수 있는 값에 대해서는 항상 0보다 커야겠으며 그 합은 1이 되어야 할 것입니다.
(1)번에서는 모든 실수라고 정의하였으니까 확률변수가 가질 수 없는 값이라면 확률이 0이 될 수 있지만,
확률변수가 가질 수 있는 값에 대해서는 0보다 커야한다는 것을 잘 기억하시면 됩니다.
그리고 임의의 값 x에 대한 확률은 확률질량함수의 값과 같습니다.시험 성적이 30점일 확률은 f(30)의 값을 구하면 된다는 것이죠.
연속확률변수도 크게 다르지는 않으나 기호가 약간 차이가 있습니다.
연속확률변수는 셀 수 없으므로, 가능한 값 하나하나에 확률을 부여하지 않고 구간에 확률을 부여합니다.
즉 임의의 실수 x에 대하여, x의 확률은 항상 0이 됩니다.
또한 구간의 넓이를 구하는 것이므로, 적분을 이용해야 한다는 것을 명심해야 겠습니다.
두 변수의 차이는 결국 합을 나타내는 방법이 ∑(sigma) 인지, ∫(integral)인지의 차이로 정리할 수 있습니다.
또한 확률변수의 분포를 표현하는 다른 방법으로는 확률밀도함수를 누적하여 구할 수 있는 확률분포함수, 다른 말로는 누적분포함수(Cumulative Distribution Function, CDF)가 있습니다.
누적분포함수는 확률변수가 임의의 값 x 이하인 모든 값을 가질 확률을 누적함으로써 정의됩니다.
이산형일 경우 sigma를 이용한 합을, 연속형일 경우 integral을 이용한 합으로 표현할 수 있겠죠.
그렇기에 확률변수가 구간 (a, b] 사이의 값을 가질 확률은 누적분포함수를 이용하여 위와 같이 구할 수 있습니다.
한번 직접 풀어보죠!
1. X가 이산확률변수일 경우
확률변수 X가 동전을 3회 독립반복하여 던졌을 때 나온 앞면의 수라고 가정하면, X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이며 이에 대응되는 확률은 위와 같습니다.
(확률은 우측에 있는 식에 의해 도출됐으며 추후 이항분포를 다룰 때 나올 예정입니다.)
위 확률질량함수를 그래프로 표현하면 좌측과 같으며, 누적분포함수로 표현하면 우측과 같습니다.
누적분포함수가 가우스 함수와 같이 표현이 됐지만, 사실 위 문제에서는 X가 정수이므로 점으로 표현돼도 무방할 것입니다.
각설하고 확률변수가 구간 사이의 값을 가질 확률을 CDF를 이용해 풀어보면 다음과 같습니다.
P(1 < X <= 2)일 확률은 결국 P(X=2)와 같으며, 이는 누적분포함수의 뺄셈과 같음을 알 수 있습니다. 2. X가 연속확률변수일 경우 이번엔 연속확률변수의 문제를 풀어보죠. 음... X가 0보다 작은 범위에서는 확률이 0이고, 0보다 큰 범위에서는 함수 형태로 표현이 됐습니다. 먼저 상수 c의 값을 구하고, 확률밀도함수를 적분하여 누적분포함수 꼴로 나타낼 수 있어야 하겠죠? 풀이는 다음과 같습니다. 마찬가지로 확률변수 X가 구간 1과 2 사이에 속할 확률을 누적분포함수의 뺄셈으로 나타낼 수 있습니다. 위 문제를 통해 알 수 있는 사실은 연속확률변수 X의 PDF가 f(x)이고, CDF가 F(x)라면, PDF f(x)는 F(x)를 미분함으로써 얻을 수 있다는 것입니다. 증명은 그냥 누적분포함수의 식을 x에 대하여 미분하면 f(x)가 나옵니다. 참 쉽죠? 적다보니 포스팅이 조금 길어졌네요. 다음 포스팅에서는 이산확률변수의 대표적인 분포인 베르누이 분포와 이항분포에 대해서 다루겠습니다. 감사합니다. 잘 읽으셨다면 게시글 하단에 ♡(좋아요) 눌러주시면 감사하겠습니다 🙂 (구독이면 더욱 좋습니다 ^_^) - 간토끼(DataLabbit) - University of Seoul - Economics, Big Data Analytics 728x90 반응형
정규분포 확률밀도함수의 유도, 증명, 성질
컬러체인지
정규분포 확률밀도함수의 유도, 증명, 성질
이 포스팅은 정규분포 확률밀도함수의 유도, 증명, 성질에 관한 글 입니다.
고등학교에서는 정규분포 확률밀도함수의 형태 및 성질, 활용법만을 배우지 실제로 그 함수가 어떻게 유도되었는지에 대한 내용은 빠져있습니다.
그 이유는 대학과정에서 배우는 내용을 알아야 이해할 수 있기 때문인데요.
고등학생 때 그 함수 형태가 궁금했던 사람으로서 이 부분에 관련된 글을 알기쉽게 서술하면 좋을것 같아서 이렇게 포스팅하게됐습니다.
이 글이 필요한 학생은
1. 정규분포의 확률밀도함수가 어떻게 유도되는지 궁금한 학생
2. 정규분포 확률밀도함수의 성질을 알고싶은 학생
3. 정규분포 확률밀도함수의 역사적 배경에 대해 궁금한 학생
입니다.
제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.
그럼 포스팅 시작합니다.
정규분포 확률밀도함수와 그 성질
정규분포(Normal distribution; Gaussian distribution이라고도 함)를 따르는 확률밀도함수는 다음과 같이 주어집니다.
함수의 모양은 아래와 같습니다.
(위 그래프에서는 평균 m이 그리스 문자 μ로 표시돼 있습니다.)
이 함수는 다음과 같은 성질을 가집니다.
증명
1) 정규분포의 확률밀도함수가 나오게 된 경위
-드무아브르(de Moivre)의 이항분포(binomial distribution)
증명에 앞서 정규분포의 확률밀도함수가 나오게 된 경위에 대해 간략히 소개하겠습니다.
정규분포의 개념은 1738년 수학자 드무아브르(de Moivre)에 의해 처음 발견됐다고 합니다.
그는 그의 저서 “The Doctrine of Chances” 에서 (a+b)ⁿ을 전개했을 때 나오는 계수가, n이 점차 커짐에 따라 특정한 분포 형태를 따른다고 밝혔습니다. 이를 이항분포(binomial distribution)라 하고, 드무아브르는 n이 매우 커질 때 이항분포가 다음 식과 같이 표현됨을 증명했습니다.
-라플라스(Laplace)의 정규분포(normal distribution)
1774년, 프랑스 수학자 라플라스(Laplace)는 중심극한정리(central limit theorem)라는 통계학에서 매우 중요한 이론을 발표합니다. 이 이론의 요는, 이항분포에서 n의 값이 매우 클 때 확률변수는 정규분포를 따른다는 것입니다.
한편, 그는 정규분포 확률밀도함수를 구하는 과정에서 아래의 중요한 적분 결과를 구해냅니다.
이 결과를 가지고 그는 정규분포의 확률밀도함수의 정확한 형태를 완성시킵니다.
-가우스(Gauss)의 직관과 통찰력
그 후 1809년, 천재 수학자 가우스(Carl Fridrich Gauss)는 측정값과 실제값 간의 오차가 평균값 주변에서 발생한다는 것에 주목해서 ‘통계적 오차’를 정규분포의 확률밀도함수로 해석했습니다.
그는 이러한 개념과 함께 최소자승법(method of least squares)및 최우추정법(Maximum likelihood estimation)이라는 강력한 통계적 툴을 이끌어냅니다. 정규분포(normal distribution)를 가우시안 분포(Gaussian distribution)라 부르는 것도 최초 발견자 드무아브르에 비해 가우스의 공로가 누가 봐도 지대했기 때문입니다.
(그러나 앞서 밝혔듯이, 함수의 구체적인 형태를 발견한 수학자는 가우스가 아니라 라플라스입니다. 영미권이 세계의 헤게모니를 쥐면서 정규분포는 자연스레 가우시안 분포(Gaussian distribution)라 널리 알려졌으나, 현재 불어권에서는 정규분포를 라플라시안 분포(Laplacian distribution)라고 부르기도 합니다.)
2) 정규분포의 확률밀도함수의 유도
정규분포 확률밀도함수는 라플라스가 제시한 중심극한정리의 논리에 따라 대략적으로 e의 -ax² 승의 형태로 주어집니다.
드무아브르의 이항분포에서 불연속적이던 자연수 변량 n의 값이 매우 커짐에 따라 연속된(실수) 확률변수 x로 표현됨에 주목하시기 바랍니다.
또한 이 함수는 y축에 대해 대칭인 우함수이며(x 대신 -x를 집어넣으면 똑같은 결과가 나옴), x를 ±∞로 보내면 0으로 수렴하며, 실수 전 구간(-∞＜x＜+∞)에서 적분하면 √π/a 가 나옵니다.
함수가 우함수이기 때문에 이 함수를 따르는 확률변수들의 평균은 0이라는 걸 알 수 있습니다.
(확률밀도함수가 우함수면 평균이 0이 되는 이유는, 모든 확률변수들이 자신과 절대값은 같으나 부호가 반대인 다른 변수를 한 쌍씩 가지고 있기 때문입니다. 예를 들어 네 변수 -100, -50, +50, +100 의 평균은 부호가 반대인 것들끼리 서로 상쇄되어 0이 되죠.)
한편, a의 절대값이 커지면 커질수록 함수의 모양이 y축과 더 가까워집니다.(그림참고)
이로써 e의 -ax² 승에서의 a는 확률변수의 분산과 관련 된다는 것을 알 수 있습니다.
a가 작으면 작을수록 변수들은 평균 0으로부터 점점 멀어지기 때문에 분산이 크고,
a가 크면 클수록 변수들은 평균 0으로 점점 몰리기 때문에 분산이 작습니다.
-라플라스의 적분 증명 및 함수 표준화
이 증명은 고교 수학 범위를 벗어나므로, 수식으로 간략하게 소개만 하고 넘어가겠습니다.
좌표계에는 x,y 로 표현되는 직교좌표계 말고 극좌표계라는 또다른 좌표계가 있습니다.
극좌표계에서는 특정 한 점을 x, y로 표현하던 것을 원점으로부터 그 점까지의 거리 r과, 그 점과 x축이 양의 방향으로 이루는 각 θ로 표현합니다.
극좌표계에는 다음과 같은 성질이 있습니다.
극좌표계를 도입해 위 적분을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
(직교좌표계의 적분 범위 -∞
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