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재료역학 3.4장(2):예제3.4

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[Stress 10장] Ø: 비틀림각(Angle of Twist) 알아보기 (Angle of Twist of Circular Shaft) : 네이버 블로그

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5-2. 비틀림각, 동력 및 동력의 단위 :: Bird’s Life Hacks

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5-2 비틀림각 동력 및 동력의 단위

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비틀림 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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비틀림 상수[편집]

비틀림 변형 에너지[편집]

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

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[재료역학] 비틀림(Torsion)

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[재료역학] 비틀림(Torsion)

비틀림(Torsion)

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비틀림 각 (Torsional Angle) – 영구노트

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1 비틀림 각과 전단 변형률 사이의 관계

2 비틀림 각

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비틀림 각 (Torsional Angle) – 영구노트

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비틀림 각

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5-2. 비틀림각, 동력 및 동력의 단위

■ 비틀림각

앞 포스트의 그림을 이어서 보겠습니다.

(1) 원형축의 비틀림에 대한 설명

원형 축을 축 진행방향에서 바라봤을 때, 토크 T에 의해 비틀림이 발생하게 되고, 얼마나 비틀렸냐를 θ (문제에 따라 Φ 로도 표시) 로 표현합니다.

비틀림각 θ의 공식은 아래와 같습니다.

(2) 비틀림각 공식

G는 전단탄성계수로, 보통 문제에서는 단위가 GPa로 주어집니다.

위의 식을 통해 구한 세타값은 단위가 ‘rad’ 입니다. 문제에서 비틀림각을 rad로 물어볼 때도 있고, 몇 ‘도’ ( x° ) 인지 물어보거나, 문제 조건을 아예 ‘도’로 주는 경우가 있습니다. rad와 도의 관계는 아래와 같습니다.

(3) π와 도의 관계

그럼 단위를 ‘도’ 로 구해야 하는 경우, 비틀림각 세타를 아래와 같이 표현할 수도 있겠습니다만, 아래 식을 그대로 외우지는 말고, 위에 두 식을 각각 외워두도록 합시다.

*** 참고*** 문제 조건에 따라 쓰이는 탄성계수는 다릅니다.

E (종탄성계수 = 세로탄성계수 = 영(Young’s) 계수) : 수직응력 및 그 모멘트에 의한 변형 저항정도

및 그 모멘트에 의한 변형 저항정도 G (횡탄성계수 = 가로탄성계수 = 전단탄성계수) : 전단응력 에 의한 변형 저항정도

에 의한 변형 저항정도 K (체적탄성계수) : 체적변화율에 대한 압력의 변화량

위의 (2) 와 같이 전단탄성계수 G가 커질수록 비틀림각은 작아집니다. 전단응력에 의한 변형 저항을 나타내는 계수이기 때문입니다.

같은 개념으로, 나중에 보의 처짐 부분에서 다루겠지만, 처짐량, 처짐각은 E가 클수록 작습니다. (변형에 대한 저항 정도니까)

그리고 앞에서 배웠던 프아송비, 그리고 E, G, K의 관계는 반드시 꼭 알아두도록 합니다.

(4) 계수별 관계식

■ 토크와 동력

앞에서 토크는 ‘축’을 돌리는힘, 즉 축력이라고 설명했습니다.

동력 P과, 토크 T, 그리고 각속도 ω 사이에는 아래의 식이 성립합니다.

(5) 동력 관계식

이제 동력이 나오게 되면서 문제를 풀다 보면 각 기호의 의미, 그리고 단위가 굉장히 많이 헷갈릴 것입니다. 아래와 같이 표로 정리해보겠습니다.

토크와 동력 관련된 여러 식

동력 문제를 풀다보면 각속도 단위가 rev/s 로 나오기도 하고, ‘ x Hz로 돌고있다’ 는 표현이 나오기도 합니다.

또한 우리가 아는 모든 식을 응용해서, 문제에서 필요로 하는 값을 유추해야 하기도 합니다.

위의 내용들을 모르고 있으면 문제 풀 때 막히거나 헷갈릴 수 있으니, 외워두도록 합시다.

참고로 위에서 동력 P는 단위가 Nm/s이기 때문에 W가 되는데요,

간혹 W가 아닌 다른 단위로 문제가 나오기도 하고, 이 단위들은 기계기사 실기 및 소방기사에서도 줄기차게 나오므로 꼭 외워두도록 합시다.

참고로 1kgf = 9.8N 입니다.

<동력의 단위>

W = 1 J/s

1kW = 1.36 PS = 102 kgf·m/s

1PS = 75 kgf·m/s

1HP = 76 kgf·m/s

※ 끝까지 읽어주신분들을 위한 보너스

17년도쯤으로 기억합니다. 지역난방공사 인가 한국가스공사 전공 필기시험에 나온, 봉의 끝단 A에서의 비틀림각을 구하는 문제였습니다.

정답과 비슷비슷한 보기들이 4개인가 5개 나열되어있고 정답을 고르는 문제였습니다. (분모 숫자나, 우측에 분모 차수 헷갈리게 말장난)

당시에 집에와서 전공책 (GERE GOODNO) 을 펼쳐보니 예제로 친절하게 나와있더군요. 근데 풀이에도 결국에는 복잡한 적분을 해야하는 문제라 자세한 과정은 생략되어 있었습니다. (ㅋㅋ)

솔직히 제 기준으로 이건 그냥 답 안외웠으면 못푸는 문제였던걸로.. 참고만 해주세요.

위키백과, 우리 모두의 백과사전

비틀림(torsion) 또는 비틂은 물체에 돌림힘이 재하[1]되어 가해졌을 때 나타나는 (변형)상태이다. 비틀림은 비틀림 각( ϕ {\displaystyle \phi } ) 또는 재축 방향 단위 길이 당 비틀림 각 ( θ ≡ d ϕ d x ) {\displaystyle \left(\theta \equiv {\frac {d\phi }{dx}}\right)} 으로 측정되며, 비틀림으로 인하여 반지름 방향과 직각 방향으로 전단 응력이 발생하게 된다.

선형 탄성 재료로 된 단면 반지름 r {\displaystyle r} , 극관성 모멘트 I p {\displaystyle I_{p}} 인 원형 단면 봉이 돌림힘 T {\displaystyle T} 을 받을 때 발생하는 중심으로부터 반지름을 따라 잰 거리 ρ {\displaystyle \rho } 에 위치한 지점에서의 전단 응력은 다음과 같다.

τ = ρ r τ m a x = T ρ I p {\displaystyle \tau ={\rho \over r}\tau _{max}={T\rho \over I_{p}}}

재료의 전단 탄성 계수가 G {\displaystyle G} 이고, 부재의 길이가 L {\displaystyle L} 일 때, 비틀림 각은 다음과 같다.

ϕ = T L G I p {\displaystyle \phi _{}={TL \over GI_{p}}}

비틀림 상수 [ 편집 ]

비틀림 각은 비틀림 상수 J {\displaystyle J} 를 도입하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

ϕ = T L G J {\displaystyle \phi _{}={TL \over GJ}}

여기서 비틀림 상수는 다음과 같이 주어진다.

중실원형단면의 지름 d {\displaystyle d} = 2 r {\displaystyle =2r} r {\displaystyle r}

J = I p = π 2 r 4 = π 2 ( d 2 ) 4 = π 32 d 4 {\displaystyle J=I_{p}={\pi \over 2}r^{4}={\pi \over 2}({d \over 2})^{4}={\pi \over 32}d^{4}}

중공원환단면의 바깥쪽 지름 d o {\displaystyle d_{o}} d i {\displaystyle d_{i}}

J = I p = π 32 ( d o 4 − d i 4 ) {\displaystyle J=I_{p}={\pi \over 32}\left(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\right)}

얇은 두께의 관의 벽면 평균 중심선의 길이 L m {\displaystyle L_{m}} t {\displaystyle t} A m {\displaystyle A_{m}}

J = 4 A m 2 ∫ 0 L m d s t {\displaystyle J={\frac {4A_{m}^{2}}{\int _{0}^{L_{m}}{\frac {ds}{t}}}}}

벽면 중심선에 연하여 두께가 일정한 경우

J = 4 t A m 2 L m {\displaystyle J={\frac {4tA_{m}^{2}}{L_{m}}}}

비틀림 변형 에너지 [ 편집 ]

비틀림이 부재에 저장되는 탄성 변형 에너지는

U = T 2 L 2 G J {\displaystyle U={\frac {T^{2}L}{2GJ}}}

같이 보기 [ 편집 ]

참고 문헌 [ 편집 ]

Gere & Timoshenko (1997). Mechanics of Materials, 4th edition, PWS Publishing Company, pp. 187-241

[재료역학] 비틀림(Torsion)

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이번 포스팅에서는 비틀림(Torsion)에 대하여 알아보겠습니다.

비틀림(Torsion)

비틀림이란 봉의 길이방향 축에 대해 회전을 일으키려하는

모멘트에 의해 가해지는 현상을 말합니다.

비틀림

만약 재료가 선형 탄성이면, 전단에 대한 훅의 법칙을 사용하여

비틀림 현상을 표현할 수 있습니다.

선형 탄성(linear elastic) 봉의 비틀림(torsion)

위에서 언급한대로,

만약 재료가 선형 탄성이면 전단에 대한 훅의 법칙을 사용할 수 있습니다.

$$\tau = G\gamma$$

여기서 $G$는 전단탄성계수이고 $\gamma$는 전단변형률입니다.

전단변형률을 좀 더 풀어서 식을 쓰면 아래와 같습니다.

$$\tau _{max} = Gr\theta$$

$$\tau = G\rho\theta = \frac{\rho}{r}\tau _{max}$$

여기서 $\tau _{max}$는 봉의 바깥표면에서의 전단응력이고

$\tau$는 내부 임의의 점에서 전단응력이며, $\theta$는 비틀림변화율입니다.

비틀림(Torsion) 공식

전단응력을 알았으니, 우리는 전단응력과 토크 사이의 관계를 유도할 수 있습니다.

과정을 간단히 말하자면, 전단응력에 단면적을 곱하고, 모멘트 암을 곱해주면 됩니다.

우선 모멘트 요소는 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

$$dM = \tau\rho dA = \frac{\tau _{max}}{r} \rho ^{2} dA$$

이를 단면적에 대해 걸쳐 적분해주면 모멘트가 되겠죠.

$$T = \int_{A}^{} dM =\frac{\tau _{max}}{r} \int_{A}^{} \rho ^{2} dA = \frac{\tau _{max}}{r} I_{P}$$

여기서 $I_{P}=\int_{A}^{} \rho ^{2} dA$로써, 극관성모멘트를 나타냅니다.

극관성모멘트에 대한 내용은 아래 포스팅에 남겨두었으니 참고하세요.

비틀림각

토크 $T$를 구했으니, 이를 비틀림각과 관련지을 수 있습니다.

위에서 $\tau _{max} = Gr\theta$라 했고, $T=\frac{\tau _{max}}{r} I_{P}$이므로

대입하여 $\theta$에 대하여 정리하면 아래와 같이 비틀림각을 구할 수 있습니다.

$$\theta = \frac{T}{GI_{P}}$$

여기서 $\theta$는 비틀림변화율, 즉 단위 길이 당 라디안이므로

순수 비틀림을 받는 봉에서 총 비틀림 각 $\phi = \theta L$에 대하여 나타내면

아래와 같습니다.

$$\phi = \frac{TL}{GI_{P}}$$

여기까지 비틀림에 대해 알아보았습니다.

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