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[우프 중2수학] 39강 – 피타고라스 정리와 문제(2)

피타고라스 정리 연습문제 (개념 이해하기) | 기하학 | Khan Academy

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피타고라스 정리 (중등3학년)

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피타고라스 정리 연습문제 (개념 이해하기) | 기하학 | Khan Academy

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[중2-2] 10. 피타고라스의 정리 (개념+수학문제)

* 같이 보면 좋은 글

📄 도형의 닮음 (1) : 닮음의 뜻, 닮음비, 닮음의 성질

📄 도형의 닮음 (2) : 삼각형의 닮음조건

* 직각삼각형 길이의 관계 : 피타고라스의 정리

삼각형의 세 변의 길이를 작은 순서대로 a,b,c로 나열하면

c의 길이는 삼각형의 빗변의 길이와 같습니다.

이때, a,b,c사이에는 다음과 같은 관계가 성립합니다.

세 변의 길이가 자연수이면서 피타고라스의 정리를 만족하는 쌍으로는 여러 가지가 있습니다. 중학교에서는 다음 네 가지의 쌍을 숙지하면 좋습니다. (빨간색 표시를 한 피타고라스 세 쌍은 자주 다루는 값임)

i) 3,4,5

(3×3=9, 4×4=16, , 5×5=25, 9+16=25)

ii) 5,12,13

(5×5=25, 12×12=144, , 13×13=169, 25+144=169)

iii) 8,15,17

(8×8=64, 15×15=255, 17×17=289, 64+255=289)

iv) 7,24,25

(7×7=49, 24×24=576, 25×25=625, 49+576=625)
[참고] 삼각형의 길이의 비가 일정하면 닮음이므로 아래 자연수에 같은 수만큼 곱해져 있다면 그 도형도 직각삼각형입니다.

예) 6,8,10은 3,4,5에 각각 2를 곱했으므로 서로 닮음입니다. 따라서 직각삼각형입니다.

* 학습지 미리보기

* 첨부파일

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* 닫는 말

이번 학습지는 피타고라스의 정리를 이용하는 간단한 학습지로, 직각삼각형일 때 나머지 한변의 길이의 제곱을 구할 수 있는지, 직각삼각형을 찾을 수 있는지에 대한 문제를 주로 다루었습니다. 문제를 풀어보면서 피타고라스 정리에 대해 익혀봅시다.

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피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명

학교를 졸업한 지 오랜 시간이 지난 분들도 1학기 때 공부했던 근의 공식과 이 글에서 공부할 피타고라스의 정리는 들으면 기억이 난다고 할 거에요.

피타고라스의 정리는 이처럼 학교를 졸업한 지 몇 년이 지나도 기억나는 대표적인 공식이죠. 왜 기억할까요? 매우 오랫동안 매우 많은 시간을 공부했으니까요. 즉, 앞으로 수학 시간에 계속해서 나오는 아주 중요한 공식이라는 얘기예요.

이 글의 내용을 주의 깊게 보시면 앞으로 수학 시간에 헤매는 일은 줄어들 겁니다.

피타고라스의 정리

직각삼각형 ABC에서 각 꼭짓점의 대변의 길이를 각각 a, b, c라고 할 때, 빗변 c의 제곱은 다른 두 변 a, b의 제곱의 합과 같다.

a2 + b2 = c2

피타고라스의 정리의 증명

피타고라스 정리를 증명하는 방법은 10가지도 넘어요. 그 방법을 다 소개할 수는 없고, 몇 가지만 하죠.

피타고라스의 정리 증명 – 피타고라스의 증명

교과서에서도 설명하는 내용이고 가장 많이 이용하는 증명방법이에요. 핵심은 빗변이 아닌 두 변의 길이의 합을 한 변의 길이로 하는 정사각형을 만드는 거에요.

ΔABC에서 변 AC와 변 BC의 연장선을 그려서 한 변의 길이가 a + b인 정사각형을 만들어요.

그리고 그림처럼 점 A, E, G, B를 잡으세요. 그러면 큰 사각형은 작은 사각형 하나와 삼각형 네 개로 이루어지죠. 넓이를 구해볼까요?

(□CDFH의 넓이) = □AEGB + 4 × (ΔABC의 넓이) 가 돼요. 이 식에 길이를 넣어보면,

(a + b)2 = c2 + 4 × ½ab

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

a2 + b2 = c2

ΔABC에서 a2 + b2 = c2가 성립함을 알 수 있어요.

피타고라스의 정리 증명 – 바스카라의 증명

이번 증명의 핵심은 빗변의 길이를 한 변의 길이로 하는 정사각형을 만드는 거에요.

ΔABC와 합동인 삼각형 네 개를 붙여서 위 그림처럼 빗변을 한 변으로 하는 정사각형을 만듭니다. 큰 사각형은 작은 사각형 한 개와 삼각형 네 개로 이루어져 있습니다.

(□ABDE의 넓이) = □CFGH + 4 × (ΔABC의 넓이)

c2 = (b – a)2 + 4 × ½ab

c2 = a2 – 2ab + b2 + 2ab

a2 + b2 = c2

ΔABC에서 a2 + b2 = c2가 성립함을 알 수 있어요.

피타고라스의 정리를 증명하는 다른 방법은 유클리드의 증명, 가필드의 증명 – 피타고라스의 정리 증명에서 확인하세요.

피타고라스 정리의 역

정리와 역이 무슨 말인지는 알고 있죠? 2학년 때 배웠던 내용인데, 수학에서 정의, 정리, 증명, 명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역에서 확인할 수 있어요.

역은 가정과 결론을 바꾼 걸 말해요.

피타고라스의 정리: 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.

피타고라스 정리의 역: 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 a2 + b2 = c2이면 c가 빗변인 직각삼각형이다.

피타고라스의 정리에 자주 나오는 숫자들

피타고라스의 정리를 이용하는 문제에서 한 변의 길이를 구하는 건 공식에 넣어서 구하면 돼요. 식에 제곱이 들어있기 때문에 길이가 제곱근이 되는 경우도 있어요.

그런데 매번 공식에 넣어서 구하는 것도 귀찮잖아요. 그래서 피타고라스의 정리에서 자주 나오는 길이는 외워두면 편리해요.

세 변의 순서는 가장 짧은 변: 중간: 빗변의 순서에요.

세 변의 길이의 비가 3 : 4 : 5인 삼각형은 직각삼각형이에요. 32 + 42 = 52가 되거든요. 3cm, 4cm, 5cm인 경우만 되는 것이 아니라 길이의 비가 3:4:5인 경우 모두가 직각삼각형이에요. 6cm, 8cm, 10cm인 삼각형도 9cm, 12cm, 15cm인 삼각형도 직각삼각형이라는 거지요.

세 변의 길이의 비가 5:12:13인 경우도 직각삼각형이에요.

세 변의 길이의 비가 1:1: 인 경우도 직각삼각형이에요. 이 경우에는 두 변의 길이가 같으니까 직각이등변삼각형이죠.

세 변의 길이의 비가 1: :2인 경우도 직각삼각형이에요. 이 삼각형은 나중에 삼각비할 때 또 나오니까 꼭 외워두세요.

세 변의 길이가 6cm, xcm, 10cm인 삼각형이 있다. 이 삼각형이 직각삼각형일 때, x값들의 합을 구하시오.

직각삼각형이니까 피타고라스의 정리에 대입해보면 x을 구할 수 있어요. 그런데 문제에서 “값들의 합”이라고 했어요. 그러니까 x가 하나가 아니라는 뜻이에요.

세 변의 길이가 6, x, 10이에요. 10이 빗변의 길이라고 하면 식은 62 + x2 = 102가 돼요.

36 + x2 = 100

x2 = 64

x = 8 (x >0)

이번에는 10이 아니라 x가 빗변을 때를 구해보죠. 62 + 102 = x2

136 = x2

x =

x = (x > 0)

직각삼각형에서 빗변의 길이가 가장 기니까 6은 빗변이 될 수 없어요. 따라서 x값들의 합은 8 + 가 되겠네요.

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정리해볼까요 피타고라스의 정리 직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.

a 2 + b 2 = c 2

+ b = c 피타고라스 정리의 역: 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 a2 + b2 = c2이면 c가 빗변인 직각삼각형이다.

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