Como Se Escribe 927? The 146 Top Answers

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

Número’s TIP

Mayuscula

¡ Ha alcanzado el número máximo de consultas !

Si consideras que este aviso es injustificado, por favor,

contact us at [email protected] with the code BB60BAA0330BB8

Un sutantivo es una palabra que se refiere a una persona, un animal, un lugar, un sentimiento o una idea (e.g. hombre, perro, casa).

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

Número’s TIP

Mayuscula

¡ Ha alcanzado el número máximo de consultas !

Si consideras que este aviso es injustificado, por favor,

contact us at [email protected] with the code BB60BAA0330BB8

two hundred thirty six
936 is the nine hundred and thirty-sixth number.

Article updated on March 16, 2021

Tal como indica la RAE, la elección de cifras o de palabras en la escritura de los números depending on various factors:

Debemos utilizar las cifras cuando se trata de operaciones matemáticas, cómputos estadísticos, inventories, tablas, graphicsos o cualquier otro contexto en que el manejo de números es constante y constituye parte fundamental de lo escrito.

Por las mismas razones de concisión y claridad, también es most utilizar las cifras en carteles , etiquetas, titulares periodísticos y textos publicitarios .

En general, en los textos científicos y técnicos es most utilizar las cifras por su concisión y claridad.

También debemos usable las cifras para expresar cantidades o números en los siguientes casos:

Los números pospuestos al sustantivo al que se refieren (expresado o no mediante abreviatura) used para identificar un elemento concreto dentro de una serie : página 3 (o pág. 3), habitación 317 (o hab. 317), número 37 ( o núm. 37), Tabla 7, Gráfico 15, etc.

Los números seguidos de la abreviatura del concepto que cuantifican: 5 cts. (“Cinco Centimos”), 45 pags. (“cuarenta y cinco páginas”), 2 vols. (“dos volúmenes”).

Los números referidos a unidades de Medida, cuando van seguidos del símbolo correspondiente: Madrid dista 40 km de Guadalajara; Mañana se alcanzarán los 35 ºC.

Los porcentajes superiores a diez: En las ultimas elecciones vote el 84% de la población.

En algunos documents, como checks bancarios, contratos , letras de cambio, etc., y por razones de seguridad, la expresión en cifras va acompañada normalmente de la expresión en palabras : Páguese al portador de este check la cantidad de veinticinco mil trescientos treinta y oh euros.

Para indicar los números que cuantifican los elementos que componen una lista: «2 botellas de leche, 2 aguas y 6 Coca-Colas.», por ejemplo.

Cuando los números están formedos por una parte entera y otra decimal : «El índice de números es del 1.5 niños por mujer».

Los números que exigirían el empleo de cuatro o más palabras en su escritura con letras: «Se recibieron 32 423 solicitudes».

Según la Fundación del Español Urgente (Fundéu), con frecuencia cometemos errors al escribir las cifras. Nuestro desconocimiento no tendría mayor trascendencia (entendemos igualmente las cantidades leidas) si no fuera porque, al existir unas convenciones internacionales, estos errors afectan a las transacciones comerciales con el exterior y nos hacen menos competitivos.

Los años se escriben sin punto, coma ni espacio entre la cifra que marca los millares y la que indica las centenas (2018, no 2.018 o 2 018).

Cuando se escribe una cifra seguida de un símbolo, como el del porcentaje (%), lo recommendable it dejar un espacio de separación entre ambos (25 % de descuento).

Cifras y letras no deben mezclarse, a no ser que la cifra sea mayor que el millar o que sea un sustantivo: en este último caso, la pista nos la da la preposición de antes de la unidad (327 millionen de habitantes, 2 millardos de dollars, etc.). Este método abreviado no es valido para las cantidades en miles, ya que mil no es un sustantivo (la forma sustantiva es millar), por lo que no debe escribirse 154 mil personas o 12 mil millones, por la misma razón que no escribimos 30 y siete ni cincuenta y 4 (debe escribirse 154 000 personas y 12 000 millones (o doce mil millones).

Las cifras deben agruparse de tres en tres.

Los grupos de tres cifras se separate con espacio, no con punto ni con coma, como por ejemplo 10 000 (también se puede prescindir del espacio: 10000).

Los años, las páginas y los códigos postales deben enunciarse de forma corrida, aunque superen los tres dígitos: por ejemplo, año 2013, la página 1021 y el código postal 28030.

Para indicar decimales, se puede utilizar la coma o el punto; aunque internacionalmente se prefiere la coma (3.1415) y en España es lo correcto.

En los textos literarios se aconseja el uso de las letras para las cantidades inferiores a cien, para las cantidades que se escriben en una sola palabra (trescientos, mil) y para los números redondos que se pueden expresar en dos palabras (tres millones).

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

Número’s TIP

Mayuscula

¡ Ha alcanzado el número máximo de consultas !

Si consideras que este aviso es injustificado, por favor,

contact us at [email protected] with the code BB60BAA0330BB8

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

Número’s TIP

Mayuscula

¡ Ha alcanzado el número máximo de consultas !

Si consideras que este aviso es injustificado, por favor,

contact us at [email protected] with the code BB60BAA0330BB8

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

Número’s TIP

Mayuscula

¡ Ha alcanzado el número máximo de consultas !

Si consideras que este aviso es injustificado, por favor,

contact us at [email protected] with the code BB60BAA0330BB8

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

Número’s TIP

Mayuscula

¡ Ha alcanzado el número máximo de consultas !

Si consideras que este aviso es injustificado, por favor,

contact us at [email protected] with the code BB60BAA0330BB8

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

Número’s TIP

Mayuscula

¡ Ha alcanzado el número máximo de consultas !

Si consideras que este aviso es injustificado, por favor,

contact us at [email protected] with the code BB60BAA0330BB8

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

Número’s TIP

Mayuscula

¡ Ha alcanzado el número máximo de consultas !

Si consideras que este aviso es injustificado, por favor,

contact us at [email protected] with the code BB60BAA0330BB8

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

¡Euros, Pesos, Dólares y Números a letras en cardinal, ordinal, fractional, decimal …!

Número’s TIP

Mayuscula

¡ Ha alcanzado el número máximo de consultas !

Si consideras que este aviso es injustificado, por favor,

contact us at [email protected] with the code BB60BAA0330BB8

Carlos Trejo is a journalism graduate and researcher based in Austin, Texas. A longtime student of all things spiritual and philosophical, he is currently working towards becoming both a psychologist and a journalist.

Este artículo trata sobre un numero algebraico. Para otros usos de este término, véase Áureo (Desambiguación)

a+b es al segmento más largo a , como a es al segmento más corto b . El número áureo Surge de la Division en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud totales al segmento más largo, comoes al segmento más corto

[ 1 ] ​ Los segmentos AB y BC son Perpendiculares e iguales a la unidad. Con centro en O trazamos la circunferencia de radio 1/2. Finalmente, unendo A con O y prolongando obtenemos P. La longitud AP es el número áureo respecto a AB. (Euclides)

El número áureo (también llamado número de oro, número de Dios, razón extrema y media,[2]​ razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción[3]​) es un número irracional,[4]​ representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.

Su valor numérico, mediante radicales o decimales es:

φ = 1 + 5 2 = 1.618 033 988 749 894 … {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618\ 033\ 988\ 749\ 894\ldots }

También se representa con la letra griega tau (Τ τ),[5]​ por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque es más común encontrarlo representado con la letra fi (phi) (Φ,φ) . También se representa con la letra griega alfa minúscula.[6]​

Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal es infinita y no tiene periodo) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la Antigüedad, no como una expressión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de sus Propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (Φ2 = 2.61803398874988…) and su recíproco (1/Φ = 0.61803398874988…) tienen las mismas infinitas cifras decimales.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso screen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.

definition [edit]

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:

La longitud total, suma de los dos segmentos a y b, es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b. Escrito as ecuacion algebraica:

a + b a = a b {\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}

Siendo el valor del número áureo φ el cociente: ϕ = a / b {\displaystyle \phi =a/b} . Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total por la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor por la del menor.

Calculo del valor del número áureo [ edit ]

Dos números a y best están en proporción áurea si se cumple:

Deducción 1 2 Ecuaciones a + b a = a b {\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}} φ = a b {\displaystyle \varphi ={\frac {a }{b}}} Simplificando 1 + b a = a b {\displaystyle 1+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}} Sustituyendo 1 + φ − 1 = φ {\displaystyle 1+\varphi ^{-1}=\varphi } Multiplicando ( φ ) {\displaystyle (\varphi )} φ + 1 = φ 2 {\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}} Despejando φ 2 − φ − 1 = 0 {\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0} Positive solution φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}} {2}}}

ϕ = 1 + 5 2 = 1 . 6180339887498948482045868343656381177203…

que es el valor del número áureo, corresponds to a la relación a / b {\displaystyle a/b} .

Historia del número áureo[edit]

Algunos autores suggest que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existing documentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, it facil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas available. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy inprobable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.[7]​

Antiguedad [edit]

El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (ca. 300 AD C-265 AD), quien lo definió de la siguiente manera:

Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor. Los Elementos Definition 3 del Libro Sexto. Euclide’s definition 3 del Libro Sexto.

Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; es decir, es un irracional number.

Platón (ca. 428-347 AD) puede haber estudiado el número áureo; sin embargo, puede ser que se le atribuya el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griego Proclo escribió:

Eudoxo … multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen. A Commentary on the Primer Libro de los Elementos de Euclides. Procloen

Aqui a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusion de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón Consideró que los números irracionales, explored for los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, in particular los neoplatónicos.

Edad Moderna[edit]

En 1509 el matemático y teólogo italiano Luca Pacioli publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción), donde plantea cinco razones por las que estima apropiado Considerar divino al número áureo:

La unicidad; Pacioli compara el valor único del numero áureo con la unicidad de Dios. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalents. La autosimilitud asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro, el número áureo dios ser al dodecaedro.

En 1525, Alberto Durero publicó Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde description cómo trazar con regla y compás la espiral áurea basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

El astronomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló un modelo platónico del sistema solar utilizando los solidos platónicos, y se refirió al número áureo en terminos grandiosos:

La geometria tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras ; el otro, la division de una line between el extremo y su proportional. El primero lo podemos compare a una medida de plata; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa. Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cosmico). Johannes Kepler de).

El Primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras elementales). Ohm describe en una nota al pie:

Uno también acostumbra llamar a this division de una linea Arbitria en dos parts como estas la sección Dorada. The pure elementary mathematics (Las matemáticas puras elementales). Martin Ohm de).

A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.

En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ, del griego τομή, que significa ‘corte o sección’. Sin embargo, la moderna denominación Φ o φ la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias, ya que esta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el maximum valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr and Schooling are responsible for the appendices to the book literature The Curves of Life, by Sir Theodore Cook.

El número áureo en las matemáticas[edit]

Propiedades y representaciones [ edit ]

Ángulo de Plata[edit]

360 ∘φ + 1 ≈ 137 . 5 ∘ {\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{\varphi +{1}}}\approx 137.}5^{\circ }}

Propiedades aritméticas[edit]

φ = 1.618033988749894848204586834365638117720309… {\displaystyle \textstyle \varphi =1.618033988749894848204586834365638117720309…} número real positivo tal que:

φ 2 = φ + 1 {\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1\ }

φ posee además las siguientes propiedades, derivadas de la anterior:

φ − 1 = 1 φ {\displaystyle \varphi -1={\frac {1}{\varphi }}\ }

φ 3 = φ + 1 φ − 1 {\displaystyle \varphi ^{3}={\frac {\varphi +1}{\varphi -1}}\ }

φ 2 − 1 φ = 2 {\displaystyle \varphi ^{2}-{\frac {1}{\varphi }}=2\ }

Las potencias del number aureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias.

El caso más simple es: φ n = φ n − 1 + φ n − 2 {\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}\,} n un numero entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.

Una ecuacion recurrente de orden k tiene la forma: a 1 u n + k − 1 + a 2 u n + k − 2 + . . . + a k u n {\displaystyle a_{1}u_{n+k-1}+a_{2}u_{n+k-2}+…+a_{k}u_{n}\,}

donde a i {\displaystyle a_{i}\,} número real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es k = 2 {\displaystyle \scriptstyle k=2\,} a 1 = 1 {\displaystyle \scriptstyle a_{1}=1\,} a 2 = 1 {\displaystyle \scriptstyle a_{2}=1\,}

Pero podemos “saltar” la potencia inmediatamente anterior y written:

φ n = φ n − 2 + 2 φ n − 3 + φ n − 4 {\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-2}+2\varphi ^{n-3}+\varphi ^ {n-4}\,} k = 4 {\displaystyle \scriptstyle k=4\,} a 1 = 0 {\displaystyle \scriptstyle a_{1}=0\,} a 2 = 1 {\displaystyle \scriptstyle a_ {2}=1\,} a 3 = 2 {\displaystyle \scriptstyle a_{3}=2\,} a 4 = 1 {\displaystyle \scriptstyle a_{4}=1\,}

Si anulamos las dos potencias inmediatamente anteriores, including hay una formula recurrente de order 6:

φ n = φ n − 3 + 3 φ n − 4 + 3 φ n − 5 + φ n − 6 {\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-3}+3\varphi ^{n- 4}+3\varphi^{n-5}+\varphi^{n-6}\,}

General:

φ n = ∑ i = 0 k / 2 ( k 2 i ) φ [ n − ( k 2 + i ) ]] ; k = 2 j , n , i ∈ N {\displaystyle \varphi ^{n}=\sum _{i=0}^{k/2}{{\frac {k}{2}} \choose i}\ varphi ^{\left[\textstyle n-\left(\textstyle {\frac {k}{2}}+i\right)\right]};\qquad k=2j,\ n,\ i\in \mathbb {N} }

En Resumen, cualquier potencia del número áureo puede ser Considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,…, 2k; donde k es un numero natural. En la formula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de φ {\displaystyle \varphi } φ {\displaystyle \varphi }

Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significantes sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.

El número áureo 5 + 1 2 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}} cuerpo de números algebraicos Q ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} \left({\ sqrt {5}}\right)} 5 − 1 2 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}} ε − 1 {\displaystyle \varepsilon ^{-1}} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}

2 = 5 + 1 2 3 − 5 = 5 − 1 2 3 + 5 {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}{\sqrt { 3-{\sqrt {5}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}}

Representación mediante fracciones continuas[edit]

La expressión mediante fracciones continues:

φ = 1 + 1 φ ⟶ φ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + . . . {\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}\quad \longrightarrow \quad \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\ cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+…}}}}}}}}}

Esta iteration es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. It also means la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado posible de aproximabilidad mediante racionales.[8]​

Por ello se dice que φ {\displaystyle \varphi } es el número más alejado de lo racional o el número más irracional. Este es el motivo por el cual aparece en el teorema by Kolmogórov-Arnold-Moser.

Representación trigonométrica[edit]

φ = 1 + 2 sin ⁡ ( π / 10 ) = 1 + 2 sin ⁡ 18 ∘ {\displaystyle \varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }} φ = 1 2 csc ⁡ ( π / 10 ) = 1 2 csc ⁡ 18 ∘ {\displaystyle \varphi ={1 \over 2}\csc(\pi /10)={1 \over 2}\csc 18^{ \circ }} φ = 2 cos ⁡ ( π / 5 ) = 2 cos ⁡ 36 ∘ {\displaystyle \varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }} φ = 1 2 sec. ⁡ 2 5 π = 1 2 sec. ⁡ 72 ∘ {\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2}}\sec {\frac {2}{5}}\,\pi ={\frac {1 }{2}}\sec 72^{\circ }} φ = sin ⁡ ( 2 π / 5 ) sin ⁡ ( 1 π / 5 ) = sin ⁡ ( 72 ∘ ) sin ⁡ ( 36 ∘ ) {\displaystyle \varphi ={\frac {\sin(2\pi /5)}{\sin(1\pi /5)}}\,={\frac {\sin(72^{\circ })}{\sin (36 ^{\circ })}}}

It corresponden al hecho de que la diagonal de un pentágono regular (distancia entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el pentagram.

Representación mediante raíces anidadas [ edit ]

φ = 1 + φ ⟶ φ = 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ {\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+\varphi }}\quad \longrightarrow \quad \varphi ={\sqrt {1+{\ sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}

Esta formula caso specific de a identidad general publicada by Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917. El teorema general dice que la expresión

lim n → ∞ a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ⋯ + a n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2} + {\sqrt {a_{3}+{\sqrt {a_{4}+{\sqrt {\cdots +{\sqrt {a_{n}}}}}}}}}}}}}}

donde a i = a {\displaystyle a_{i}=a\,} , it igual a la mayor de las raíces de la ecuacion x 2 − x − a = 0 , {\displaystyle x^{2}-x-a=0, } o sea, 1 + 1 + 4 a 2 {\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}} .

Relación con la succession de Fibonacci[edit]

Si se denota el enésimo número de Fibonacci como F n , y al siguiente número de Fibonacci como F n + 1 , descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón oscila y esaltermentamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Example: 3 2 = 1.5 {\displaystyle \textstyle {\frac {3}{2}}=1.5} ; 8 5 = 1.6 {\displaystyle \textstyle {\frac {8}{5}}=1.6} ; y 21 13 = 1.61538461… {\displaystyle \textstyle {\frac {21}{13}}=1.61538461…} , lo que se acerca notable elements al número áureo. Entonces se tiene que:

lim n → ∞ F n + 1 F n = φ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi }

It is proposed for the study of the astronomo German Johannes Kepler, but more pasaron de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático escocés Robert Simson.

Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión addiva recurrente de orden 2 tiende al mismo limite. Por ejemplo, si tomamos dos números naturales arcionales, por ejemplo 3 and 7, the succession recurrente resulta: 3, 7, 10, 17, 27, 44, 71, 115, 186, 301, … que se acercan asintóticamente por exceso y por faulto al mismo limite: 44/27 = 1.6296296…; 71/44 = 1.613636…; 301/186 = 1.6182795.[9]​

A mediados del siglo XIX, el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una formula que apartemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. The formula permissione encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de produce todos los números anteriores. La fórmula de Binet depending on the exclusive number:

F n = 1 5 [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ]] = 1 5 [ φ n − ( 1 − φ ) n ] {\displaystyle F_{n}={\frac {1 } {\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1- { \sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]\quad ={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\varphi ^{n}-( 1 -\varphi )^{n}\right]} para n >0 y n es un número entero positivo.

El número áureo en la geometria[edit]

El triangulo de Kepler es un triangulo rectangulo formado por tres cuadrados con áreas en progression geométrica de acuerdo al número áureo.

El número áureo y la sección áurea están presents en todos los geometric objetos regulares o semirregulares en los que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos o que aparezca de aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

Relaciones between parts of the Pentagono.

Relaciones between the parts of the pentágono estrellado, pentáculo o pentagram.

Relations between the parts of the decágono.

Relaciones between the parts of the Dodecaedro and the Icosaedro.

El rectángulo áureo de Euclides[edit]

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides, en su proposición 2.11 de Los elementos, get su construction:

G C = 5 {\displaystyle GC={\sqrt {5}}}

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto:

G E = G C = 5 {\displaystyle GE=GC={\sqrt {5}}}

con lo que resulta evidente que

A E = A G + G E = 1 + 5 {\displaystyle AE=AG+GE=1+{\sqrt {5}}}

de donde, finals,

A E A D = 1 + 5 2 = φ {\displaystyle {\frac {AE}{AD}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi }

On the other hand, the Rectángulos AEFD and BEFC son Semejantes, de Modo que este ultimo es asimismo un Rectángulo áureo.

Generación de un rectángulo áureo a partir de otro

Other manner:

φ = ( 1 2 ) 2 + 1 + 1 2 {\displaystyle \varphi ={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+1}}+{\frac {1}{2}}}

En el pentagram [ edit ]

Los segmentos coloreados del pentagram poseen proporciones áureas.

El number aureo tiene un papel muy importante en los pentagonos regulares y en los pentagrams. Cada intersección de parts de un segmento se interseca con other segmento en una razón áurea.

El pentagram incluye diez triángulos isósceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triangulos se conocen como los triangulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetria de este símbolo, se observa que dentro del pentagono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, it is possible dibujar un pentagono por el exterior, que sería a su vez el pentagono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco lines del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto, el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al añadir infinitos pentagramas.

El teorema de Ptolomeo y el pentágono[edit]

You can calculate the numero áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentagono regular.

Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permissione trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema, se forma un cuadrilátero al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b2 = a2 + ab lo que implica:

b a = 1 + 5 2 . {\displaystyle {b \over a}={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\,.}

Pentagono estrellado[edit]

Aparce el número de la justa razón entre los segmentos parciales de los lados de un pentágono estrellado.[10]​

Trigonometry [ edit ]

El seno de 18º es la mitad del inverso del numero de la justa razón.[11]​

cos 36º es la mitad del número áureo. [12] ​

Typically 2 cos 36º – 2 sen 18º = φ – 1/φ.

Relación con los solidos platónicos[edit]

El número áureo is relacionado con los sólidos platónicos, in particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo.

Lot 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden expresarse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos:

(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

Lot 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1 también se pueden dar en términos similares:

(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

Los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coincide with los centros de las caras de un dodecaedro.

Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volume y su area total se pueden expresar también en términos del número áureo:

A = 3 15 + 20 φ ⋅ a 2 {\displaystyle A=3{\sqrt {15+20\varphi }}\cdot a^{2}} V = 4 + 7 φ 2 ⋅ a 3 {\displaystyle V= {\frac {4+7\varphi }{2}}\cdot a^{3}}

Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coincide with exact points con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro.

El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.

El número áureo en la naturaleza[edit]

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la section áurea y/o los números de Fibonacci:

Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228) que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta el parto y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independent de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuals y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteamiento recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; it is soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático. El cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectively. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field of December 14, 1912. [ 14 ]

El número áureo en el arte y en la cultura[edit]

Releases in the form of the Gran Pirámide de Guiza. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proportional al triángulo rectángulo ( 1. 5 + 1 2 , 5 + 1 2 ) { \displaystyle \textstyle \left(\ 1.\;{\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}},\;{\frac {{\sqrt {5}}+1 {2}}\right)} referencias), se apoya en la interpretación de un pasaje de Heródoto (Historiae, libro II, cap. 124) y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errors unavoidable a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales.

Other investigadores well known se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentionaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construction tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completeamente de interés geométrico.[26]​

No fruit, con base en mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14.2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y in la altura está en el orden de la disferencia real que debería existir between ambas posibilidades.

La relación between partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.). de Platón para estudiar las properties relatives de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectonicas. Dos rectángulos no semejantes se distinctive entre si por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. UN Cuadrado Tiene Módulo 1 y El Doble Cuadrado Módulo 2. Aquellos Rektángulos Cuyos Módulos Son Números In Enteros O Racionales Fueron -Delerados “Estáticos” y los que poseen móduosclacions -ecoocionalales euklidiane Euklidianos, O Sea, EXGLESSABLE Módulos, Euclidiane, O -EXGLESSASSABLE EXGESSSSSCLICICICICICICICICICICICICICICICICIONS, OHOSSSASSSASSALISONS, ESESSSABLE. dinámicos”. El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5. [ 27 ] ​ Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángulo de módulo 4 φ − 2 φ + 1 {\displaystyle {\tfrac {4 \varphi – 2}{\varphi +1}}} 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} [ 28 ] ​

Como dato added para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus lineas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus Columns se percibirían inclined hacia afuera y la linea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construction compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores, en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están in el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La linea que formarían los dinteles entre columns y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidads es un ángulo de 2.64 segments de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y ​​​​con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.[29]​

Véase también [edit]

References[edit]

bibliography [edit]

In order chronological:

Jarolimek (Vienna, 1890). The Mathematical Key to the Pyramid of Cheops.

Kleppisch, K. (1921). The Cheops Pyramid: A Monument to Mathematical Knowledge. Munich: Oldenburg.

The curves of life. Nueva York: Dover. ISBN 0-486-23701-X; ISBN 978-0-486-23701-5. Cook, Theodore Andrea (1979; original: 1914). Nueva York: Dover.

La Divina Proporcion. Tres Cantos: Ediciones Akal, SA ISBN 978-84-7600-787-7. Pacioli, Luca (1991). Tres Cantos: Ediciones Akal, S.A.

El Número de Plata. Barcelona: Poseidon, S.L. ISBN 978-84-85083-11-4. Ghyka, Matila (1992). Barcelona: Poseidon, S.L.

El Número de Plata. I Los Ritmos. II Los Ritos. Madrid: Ediciones Apóstrofe, SL ISBN 978-84-455-0275-4. Ghyka, Matila (2006). Madrid: Ediciones Apóstrofe, S.L.

La proporcion aurea. RBA Coleccionables SA ISBN 978-84-473-6623-1. Corbalán, Fernando (2010). RBA Coleccionables S.A.

La entrada de hoy del Cuaderno de Cultura Científica la vamos a iniciar con una cita literaria que mi compañera Marta Macho suele utilizar en sus magníficas conferencias sobre literatura y matemáticas. It is an extra quote from the famous novella Guerra y Paz (1869) by Escritor ruso León Tolstoy (1828-1910), en el capítulo XIX, libro tercero, firsta parte:

«…Cierto hermano masón le había revelado la siguiente profecía, relativa a Napoleón, sacada del Apocalipsis de San Juan Evangelista [más abajo se muestra la profecía]. Las letras del alfabeto francés, como los caracteres hebraicos, pueden expresarse por medio de cifras, y atribuyendo a las diez primeras letras el valor de las unidades y a las siguientes el de las decenas, ofrecen el significado siguiente: Escribiendo con este alfabeto en cifras las palabras L’empereur Napoléon, la suma de los números correspondientes daba por resultado 666, de lo que resultaba que Napoleón era la bestia de que hablaba el Apocalipsis. Además, al escribir con ese mismo alfabeto cifrado la palabra francesa “quarante deux”, es decir, el límite de 42 meses asignados a la bestia para pronunciar sus palabras orgullosas y blasfemas, la suma de las cifras correspondientes a la palabra última era también 666 , de lo que se infería que el poder napoleónico terminaba en 1812, fecha en que el emperador cumplía los cuarenta y dos años«

Es decir, en la cita se está asociando a Napoleón, más concretamente a la expression “L’empereur Napoleón”, con su valor numérico según la asignación que se menciona explícitamente en la cita, es decir, LE EMPEREUR NAPOLÉON = (20 + 5 + 5 + 30 + 60 + 5 + 80 + 5 + 110 + 80 = 400) + (40 + 1 + 60 + 50 + 20 + 5 + 50 + 40 = 266) = 666. Pero el 666 es el número de la Bestia, el diablo o anticristo, lo que se utiliza para manifestar el carácter maléfico, según quien realiza la reflexion, de Napoleon.

Esta cita literaria nos sirve para introducir los dos temas, el número de la bestia, el 666, y la numerología relacionada con este número, a los que vamos a dedicar dos entradas de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica. La primera, esta que estás leyendo, se centrara en el número 666 y algunas propiedades matemáticas del mismo.

Una de las citas más conocida y popular de la Biblia, que it la que se menciona en Guerra y Paz, it la que se referiere al número de la Bestia. La Cita pertenece al Apocalipsis de San Juan or Libro de las Revelaciones, del Nuevo Testamento.

«Todos, pequeños y grandes, ricos y pobres, libres y esclavos, se harán marcar sobre la mano derecha o sobre la frente y nada se podrá comprá o vender si no está marcado con el nombre de la Bestia o con el número de su nombre . Aquí se debe aplicar la sabiduría. ¡Que el hombre dotado de espíritu calcule el numero de la Bestia; es un número de hombre: su número es el seiscientos sesenta y seis.«

El número 666 se identifica con el anticristo o con el diablo, y es un símbolo muy utilizado por los cultos satánicos, junto con el pentagram invertido, la cabeza de cabra o la calavera.

Este número tiene un cierto protagonismo en la película de terror británica-estadounidense La profecía (1976), conducted by Richard Donner and interpreted by Gregory Peck and Lee Remick. It is a piece that reads the letter of the antique in pleno siglo XX. El anticristo es Damien, hijo de un diplomatico americano, por lo tanto, vinculado al mundo de la politica. A lo largo de la película se va descubriendo que el niño nació el 6 de junio (sexto mes), de 1971, a las 6 de la mañana y que tiene una marca de nacimiento con la forma de tres seises. The remake of 2006 from this film is very strong in EE.UU. on June 6 (06) 2006, on 06/06/06.

Other references to the world of culture include British heavy metal group Iron Maiden’s The Number of the Beast (1982) and the group’s Tercer group title. La cancion empieza citando el Apocalipsis de San Juan. Aqui os dejo con la cancion…

In order to actualize an actual number of 666 Satan, a manga was created by Seishi Kishimoto and published in the Revista Shonen Gangan.

La relación del número 666 con Satán o la llegada del Anticristo, a través de la cita del Apocalipsis, es lo que ha provocado que a lo largo de la historia se haya intentionado asociar este número, a través de la numerología, con diferentes personajes, from Nerón or Lutero to Bill Gates, Pasando from Napoleón or Hitler, together with the last entrance.

Pero desde las matemáticas también se ha mirado a este número satánico y se han mostrado propiedades matemáticas, algunas de las cuales mostraremos en esta entrada, relacionadas con el 666. Incluso el grand divulgador Martin Gardner escribió un pequeño artículo en su libro Juegos de y enigmas otros mundos sobre el número de la bestia y las propiedades matemáticas del mismo.

1.- El número de la bestia, el 666, es un número triangular, es la suma de los 36 primeros números (por cierto, que 36 = 6 x 6):

1 + 2 + 3 + … + 34 + 35 + 36 = 666.

Recordemos que los números triangulares son aquellos números que son iguales al número de objetos (or calculos) que tiene un triángulo equilátero como los que aparecen en la imagen. It decir, en la primera fila hay un objeto y cada fila tiene un objeto más que la fila anterior. Por lo tanto, cada numero triangular es la suma de los primeros números naturales, 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, etc.

Además, teniendo en cuenta que en el juego de la ruleta están los números desde el 0 al 36, entonces la suma de los números de la ruleta suman 666.

2.- La suma de los cuadrados de los 7 primeros números primos es de nuevo 666:

22+ 32+ 52+ 72+ 112+ 132+ 172= 666.

Además, puestos a jugar al poder místico o satánico de los números, esta propiedad matemática nos relaciona el número satánico 666 with el número místico 7.

3.- Además, el número 666 puede expresarse como una suma capicúa de los cubos de los 6 primeros números,

13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 53 + 43 + 33 + 23 + 13 = 666.

4.- Si se considera la suma alternada, suma-resta, de la potencia 6 de los 3 primeros números se vuelve a obtener el 666,

16 – 26 + 36 = 666.

5.- Otra curiosidad numerica del número de la Bestia es que es igual a la suma de sus cifras más la suma del cubo de sus cifras,

6 + 6 + 6 + 63 + 63 + 63 = 666.

6.- Si se consideran los dos números formedos por todos los dígitos básicos, salvo el 0, tanto en orden creciente, como decreciente, es decir, 123.456.789 and 987.654.321, entonces resulta que el 666 es un divisor de la suma de estos dos números.

If you get the numbers 123.456.789 and 987.654.321 you get them as the result 1.111.111.110, it is divisible by 666, de hecho, al dividir por este número queda 1.668.335.

7.- Pero dejemos un momento estas igualdades numéricas y volvamos al Apocalipsis de San Juan, pero al versículo 14, el siguiente al del número de la Bestia, que era el 13. En este aparece el número 144.000, que como menciona Gardner al dividirlo for 666 queda el número 216.216216216… en el que se repite el 216, and justamente 6 × 6 × 6 = 216.

8.- Juego de ingenio. Como a todas las personas nos gusta jugar, vamos a plantear un juego típico relacionado con el número 666. Set trata de Considerar las 9 cifras básicas, en orden ascendente o descendente, 123456789 o 987654321, e insertando los signos + o – en ellos, obtener el número 666. Por ejemplo,

123 + 456 + 78 + 9 = 666.

You can get 8 solutions in the sentido ascendente and 5 in the descendente.

9.- Como no podía ser de otra forma, también podemos relacionar el número de la Bestia con el número pi. Resulta que la suma de los 144 primeros decimales del número pi suman 666. Si queremos rizar un poco más el rizo, podemos observar que 144 = 12 × 12 = (6 + 6) × (6 + 6).

π =

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406

2862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594

Teniendo en cuenta esta propiedad, 2004 Ed Pegg Jr. y Chris Lomont, en la web de la MAA (Mathematical American Association), defined on los “números diabólicos” (aunque este término es ambiguo porque también se utiliza para otro tipo de números) como aquellos cuyos primeros decimales hasta un cierto número n suman 666.

Por lo tanto, the number π it is a number diabólico. También lo son la proporción áurea Φ, cuyos primeros 146 decimales suman 666, los mismos que para la raíz cuadrada de 3 o la raíz cúbica de 2, para la cual se necesitan 156 decimales, entre otros.

10. Más aún, podemos relacionarlo también con el teorema de Pitágoras. Recordemos que tres números (a, b, c) se dice qu forma una terna pitagórica si satisfacen la ecuacion pitagórica a2 + b2 = c2 , como por ejemplo (3, 4, 5) puesto que 32 + 42 = 52 (9 + 16 = 25).

La terna (216, 630, 666) es una terna pitagórica, que además de incluir al número de la Bestia, incluye al 216 = 6 × 6 × 6 y al 630 = 666 – (6 × 6). Y si lo escribimos todo junto it aún more diversitido:

(6 × 6 × 6)2 + (666 – 6 × 6)2 = 6662.

11.- El number 666 is also a number de Smith. Se conoce con el término números de Smith a aquellos números enteros tales que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de los números que forman su descomposición en números primos (escritos sin potencias). Por ejemplo, el 22 es un número de Smith puesto que se factoriza como 22 = 2 × 11, y 2 + 2 = 2 + 1 + 1.

El número de la Bestia se factoriza como 666 = 6 × 111 = 2 × 3 × 3 × 37, luego

6 + 6 + 6 = 18 = 2 + 3 + 3 + 3 + 7.

12.- También se puede relacionar el número de la Bestia con los cuadrados mágicos. Recordemos que un cuadrado mágico de orden n (el caso más sencillo es n = 3), it una distribución de los primeros n2 números (para orden 3, los 9 primeros números, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9), sobre las casillas de un cuadrado n x n, (en nuestro caso partial un cuadrado 3 x 3), de forma que la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal sea siempre la misma (para orden 3 series 15 , como se ve en el cuadrado mágico que se muestra más abajo, ya que 4 + 9 + 2 = 15, 4 + 3 + 8 = 15, 4 + 5 + 6 = 15, etc); a ese numero se le lama constante del cuadrado magico.

De forma más general, se pueden Considerar cuadrados magicos formed for números que no son consecutivos. El siguiente cuadrado magico 6 x 6 es diabólico, puesto que su constante magica es 666.

Otras entradas del Cuaderno de Cultura Científica dedicadas a los cuadrados mágicos son Habibi y los cuadrados mágicos (part 1; part 2 and part 3).

13.- El number 666 tiene la increíble propiedad de que al sumar los dígitos de elevar 666 a la potencia 47 el resultado es de nuevo 666. Pero además, esto ocurre también para la potencia 51.

66647 = 5049969684420796753173148798405564 7729415162952654081881176326689365404466 1603306865302888989271885967029756329465 6329465 9529465;

66651 = 993540757591385940334263511341295 9807238586374694310089971206913134607132 8296758253023455821491848096074897283890 0637634215694097683599029436416.

Si sumamos los dígitos de cada uno de los números, en ambos casos se obtiene 666. De hecho, el número 666 es el único entero mayor que 1 que cumple dicha propiedad.

Se conoce con el nombre hexakosioihexekontahexafobia la aversión o miedo irracional al número 666. Existen curiosas anécdotas relacionadas con este miedo al número de la Bestia.

She was born in a Los Angeles Times article of November 19, 1988, Ronald and Nancy Reagan, in a house in the Bel Air zone of Los Angeles, in the direction of 666 St Cloud Road era, and is in a Kambiara at number 668.

On June 5, 2006, a day before 6/6/06, a public announcement was made on BBCNews about a group of 2,000 Evangelical Christians from the Países Bajos, realized 24 hours ago para rezar en contra de las fuerzas del mal al día next, el día del diablo (06/06/06).

In 2003, the Autopista name was given to the northern highway in Colorado, Nuevo México and Utah. El nombre de US Ruta 666 era demasiado satánico para los Cristianos de esa zone, por lo que se cambio a US Ruta 491.

The locomotoras de los trenes Siemens ACS-64 from Amtrak (Coorporación Nacional de Ferrocarriles de Pasajeros de EE.UU.) tenían números between 600 and 665, y después between 667 and 670, dejando sin utilizar el 666.

Un ejemplo más, que he leido en la Wikipedia, it el caso de los números telefónicos de Honduras. A finales de la década de los años 1990 la empresa telefónica estatal de Honduras cambió los números de teléfono, pasando a tener 7 cifras, en lugar de las 6 que tenían antes, y al parecer el prefijo 666 le correspondió a la ciudad de El Progeso , cuyos habitantes se movilizaron para que la empresa les cambiara ese prefijo, hasta que lo consiguieron.

Para terminar con el número 666, el número de la Bestia, mencionar que según recientes estudios el número de la Bestia podría ser el 616, y no el 666.

En el Códice Ephraemi Rescriptus, que se encuentra en la Biblioteca Nacional de Francia (París), que it un manuscrito griego uncial (escrito en mayúsculas) del siglo V formado por 64 hojas del Antiguo Testamento y 145 hojas del Nuevo Testamento, aparecía el número 616 as número de la Bestia, as también en otros textos, pero estos fueron interpretados como errors de los escribanos a la hora de escribir el número.

Sin embargo, in el año 2005 se descubrió que en el Papiro 115, un fragmento del New Testamento escrito en griego y encontrado en Oxirrinco (Egipto) de alrededor del año 275 y que es el manuscrito más antiguo del Apocalipsis de San Juan, se puede leer que el número de la Bestia es el (escrito en griego) chi-iota-sigma, es decir, 616.

Aunque en la actualidad no esta claro a cual de los dos números le corresponde realmente el título de “número de la Bestia” según el Apocalipsis de San Juan, la verdad es que para nosotros siempre será el 666.

Bibliography

1.- Raúl Ibáñez, Numerología, cabala y otros enigmas, Geometrian barrenako ibilaldia / Un paseo por la geometria 2007/08, UPV-EHU, 2008.

2.- Marta Macho, Un paseo matemático por la literatura, Revista SIGMA 32, p. 173-194, 2008.

3.- Martin Gardner, Juegos y enigmas de otros mundos, Gedisa, 2000.

4.- Ed Pegg Jr. and Chris Lomont, Evil Numbers, MAA, 2004 [http://www.mathpuzzle.com/MAA/27-Evil%20Numbers/mathgames_09_04_04.html]

5.- Rajnish Kumar, Short Stories about Numbers, Universities Press, India, 2006.

6.- Lamberto García del Cid, Números notables, el 0, el 666 and other bestias numericas, RBA, 2010.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez is Professor of the Department of Matemáticas de la UPV/EHU and collaborator of the Cátedra de Cultura Cientifica