Cual Es La Raiz Cuadrada De 100? The 111 Latest Answer

Gracias por elegir Smartick para seguir aprendiendo matemáticas, ¿estás preparado para empezar con las raíces cuadradas? ¡Pues allá vamos!

En el post de esta semana vamos a aprender a calcular raíces cuadradas exactas y algunos ejemplos visuales donde se aplican, pues, como sabes, la visualización gráfica es siempre de gran ayuda para comprender y asimilar conceptos nuevos. Espero que te resulten muy útiles y disfrutes aprendiendo, ¡verás que sencillo es esto de las raíces cuadradas!

Para calcular la raiz cuadrada de un número, hay que encontrar el número que multiplicado por sí mismo nos da ese primer número. Si conocemos ya las potencias de grado 2 (calcular el cuadrado de un número), se trata de encontrar el número que elevado al cuadrado nos da el primer número.

Para representar la raíz cuadrada, el simbolo que utilizamos se dibuja así:

Veamos ahora algunos ejemplos de cómo calcular raíces cuadradas exactas, que son las raíces que nos dan como resultado un número exacto (sin decimales).

Raices cuadradas Exactas

Para calcular la raíz cuadrada de 9, hay que encontrar el número que multiplicado por sí mismo nos da 9. Pensemos un poco que seguro que lo conocemos. ¿Lo tienes ya? I agree! Como segmente adivinaste, ese number es el 3. Así que la raíz cuadrada de 9 es 3.

Si ya conocemos las potencias, podemos buscar el número que elevado al cuadrado nos da 9, y como 3 al cuadrado es 9, ese número que buscamos es el 3.

¿Has visto qué fácil? Puedes intentionar ahora tú calcular la raíz cuadrada de 16. ¿La encontraste ya? Eso es, como 4 al cuadrado es 16, la raíz cuadrada de 16 sera 4.

Veamos ahora algunos ejemplos visuales para entender mejor el concepto de raíz cuadrada.

Sample image 1

Como aprendiste en el post del cuadrado de un número, los números cuadrados se llaman así precisamente porque podemos representarlos en forma cuadrada, por ejemplo 3 al cuadrado podemos representarlo con 9 cuadraditos colocados en 3 filas de 3, así:

Por lo tanto, como la raíz cuadrada de 9 hemos calculado que es 3, podemos ver la raíz de 9 como el lado de un cuadrado de 9 cuadraditos, y ese lado es 3, como puedes observar en el dibujo anterior.

Reto del ajedrez

Te reto ahora a calcular el número de piezas de cada jugador en un juego de ajedrez. Seguro que lo results fácilmente.

Si sabemos que el tablero es cuadrado y tiene 64 casillas, para saber cuántas casillas tiene el tablero en cada fila necesitamos calcular la raíz de 64.

It decir, buscamos el número que multiplicado por sí mismo (o elevado al cuadrado) nos da 64. Y ese número es el 8. Así que el tablero tiene 8 casillas en cada fila (si te fijas en el dibujo del tablero que hay más abajo, tiene 8 casillas en cada lado).

Ahora sabemos que las piezas de un jugador ocupan 2 filas del tablero, así que necesitamos multiplicar el número de casillas de una fila por 2. ¿Tienes ya la respuesta al reto? ¡Claro! Entonces cada jugador tiene 16 piezas in the juego del Ajedrez.

Si observas el siguiente dibujo verás que son muy fáciles de entender todos esos calculos que hemos hecho para resolver el reto.

Sample image 2

Si quieres visualizar la raíz de 100, aquí te dejo un cuadrado muy colorido dividido en 100 cuadraditos, que tiene 10 de esos cuadraditos en cada lado, por lo que la raíz de 100 se puede observar que es 10.

¿Qué te ha parecido este post? ¿Ha sido sencillo aprender a calcular raíces cuadradas?

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Para seguir apprendiendo:

La raíz cuadrada es una operación matemática que, a partir de un número real positivo, devuelve otro número real positivo el cual multiplicado por sí mismo resulta en el número initial.

En other palabras, dado un número real positivo, la raíz cuadrada encuentra otro número real positivo por el cual multiplicado por sí mismo se obtiene el número dado.

Más allá de la raíz cuadrada

La diferencia entre una raíz cuadrada, cúbica y de grados mayores es el número pequeño que aparece al principio de la raíz, n, e indica el grado de la raíz. Este numero se llama índice.

Esquema de una raíz

Debido al gran uso de la raiz cuadrada, se supone que una raiz sin índice especificado es una raiz cuadrada. Por tanto, cuando veamos una raíz sin ningún número encima, podremos asociarlo a una raíz cuadrada:

Raiz

Aunque siempre es Preferred indicar el índice de la raíz para evitar confused y ser más específicos con la notación.

Las raides y las monedas

De la misma forma que las monedas tienen cara y cruz, las raíces también tienen dos lados:

La cara series el lado more conocido:

Raiz

La cruz series el lado menos conocido:

power

Aunque parezcan distintos a primera vista, como la cara y cruz de una moneda, sonequivalentes dado que ambos expresan una raíz pero uno contiene una potencia (cruz) y otro un radicando (cara).

Para entender que ambas expressiones representan el mismo contenido, dibujaremos dos formas de representar la raiz cuadrada. Teniendo en cuenta que ambas ecuaciones son equivalents, sus funciones estarán sobrepuestas y solo se verá una de las dos.

The result is the following:

Graphic

Pueden probar a representar tanto la expresión que lleva el radicando como la expresión que lleva la potencia y verán que las funciones coincide.

Entonces, podemos expresar una raíz de las dos formas. La forma más común de expresar una raiz es con el radicando pero también podemos expresar una raiz utilizando la potencia.

Ejemplos de raíz cuadrada

Calculation and result of the Algunas Raices Cuadradas:

example

Estamos acostumbrados a encontrar raíces naturales, pero también podemos encontrar raíces con decimales como las siguientes:

example

En todos los casos, los resultados son números reales positivos.

Muchas personas, al conocer que soy matemático, me dicen: “¿Te quieres creer que no recuerdo cómo se hacía la raíz cuadrada?”. Debe de ser que les caló muy hondo, porque me ha pasado muchas, muchas veces. La verdad es que no me soprende que no se acuerden. El processo que te lleva con lápiz y papel a calcular la raíz cuadrada de un número es de los menos transparentes que hay, de los que menos se entiende cómo funcionan.

En este artículo vamos a tratar de entenderlo, sí, pero vamos a hacer cosas more importantes: primero, entender qué es una raíz cuadrada; segundo, ver para que sirve; y, tercero, entender por que funciona el procedure. Y os adelanto una cosa: actualmente, el currículo educativo no incluye enseñar a los alumnos cómo se hacen las raíces cuadradas, aunque muchos professores continúan haciéndolo.

Te propongo esta sencilla actividad. Puedes utilizar la calculadora del móvil, en serio. Voy a plantearla as a dialogo contigo:

Yo: Una persona me ha dicho que hay un número que multiplicado por si mismo da 16.

Tu: Claro, El 4.

Yo: Exactly, y el menos cuatro también. Pero bien, vamos a fijarnos en los números positivos. Pues que sepas que otra persona me ha dicho que hay un número que multiplicado por si mismo da 9.

Tú: Muy sencillo, el 3. Y el -3, claro.

Yo: Right. Pues esta misma persona me ha commentado que hay un número que multiplicado por si mismo da 10.

Tú (después de pensarlo un poco): Será un número between 3 and 4, un número decimal.

Dejo el diálogo para no cansarte, pero este es un buen momento para utilizar la calculadora del movil, la sencilla, la que sale con el cacharro en vertical. Vamos a utilizar un método simple para encontrar ese número. Como me has dicho, en el diálogo hipotético, que tiene que estar between 3 and 4. Vamos a probar con los números intermedios, a ver si hay suerte.

Probando a dar con la raiz cuadrada de 10

– 3.5 x 3.5 by 12.25. El número que buscamos estará between 3 and 3.5.

– Elegimos el número a mitad de camino between 3 and 3.5: 3.25. Since 10.5625. Se pasa, así que el número que buscamos estará between 3 and 3,25.

-3.125 x 3.125 = 9.765625 so that is the number that is multiplied by the mismo da 10 that enter 3.125 and 3.25.

– Volvemos a intentionarlo con el punto medio, el 3,1875, y, esta vez, nos pasamos (10,16015625).

Podemos sacar ya algo en claro: que el número que buscamos empieza, seguro, por 3,1… about 3,162. No íbamos desencaminados. Podriamos haber sacado tantos decimales como la calculadora, haciendo muchos pasos, pero jamás habriamos dado con el número exacto. Tampoco ella lo hace, porque la raíz de diez es irracional y los números que hemos ido probando eran todos fracciones, racionales. Pero esa es otra historia.

Antes de continuar, podemos sacar dos conclusions. ¿Qué es la raíz cuadrada de una cantidad? It is the number that is multiplicado por si mismo da la cantidad por la que me preguntaban. La segunda: ¿como se calcula? La respuesta a esta puede ser, perfectamente, con la calculadora.

Y añado una pregunta nueva: ¿para qué sirve lo que hemos hecho? Primero, para responder satisfactoriamente a las dos preguntas del párrafo anterior. Pero también sirve para poder aproximar de cabeza raices cuadradas. It is necessary for the entrena la mente y porque las raíces cuadradas se utilizan para resolver distintos problemas.

¿Y para qué podrían servir, en el mundo real, las raíces cuadradas? Por ejemplo, para organizar objetos. Imagine que, en un arranque a lo Marie Kondo, quieres colocar tus calcetines perfectamente doblados en el fondo de un cajón cuadrado. En el mundo real, el de las cosas que se tocan y se cambian de sitio, the principal funcionalidad de la raíz cuadrada es organizar cosas en cuadrados. Pongamos que para tu sala de trofeos de pesca, un suponer, quieres compare una estantería cuadrada (tipo IKEA) y poner uno de estos trofeos en cada hueco. Si tienes 25, te valdrá en una estantería de lado 5, y si tienes 26, pues ya no porque la raíz cuadrada de 26 es 5, pero te sobra uno.

Calcetines ordered in 4×4. Shank Ali (Getty Images)

Pero la raíz cuadrada sirve para más cosas, porque se trata, como ya hemos visto, del processo inverso de elevar al cuadrado: al igual que la resta lo es de la suma, o la division de la multiplicación. Y tiene todo el sentido estudiarlo también desde esa perspective.

It is sense in the escuelas and it is in the official curricula. Lo que no está es lo que se ve en la siguiente imagen, un momento de la programación especial que estos días de confinamiento se emite en el canal Clan (puedes ver el vídeo completo aquí).

El procedure para obtener una raiz cuadrada con lapiz y papel es lo que no recuerda la gente. El como. Que no lo recuerden no debería tener terribles implicaciones porque, como decíamos, hace tiempo que salió de los currículos oficiales. Pero, sorpresa: se sigue enseñando. ¿Por que? Difícil saberlo. Posiblemente porque siempre se ha hecho, por una tradición mal entendida que nos lleva a los professores a seguir explicando las cosas que recordamos que hemos contado en otras ocasiones. La other possible explicación es que sigue apareciendo en los libros de texto. Y si está en el libro, muchos professores sienten que hay que enseñarlo.

Hasta aquí debería ser suficiente. Al igual que los currículos académicos ya no exigen saber hacer la operación de la raíz cuadrada, tampoco deberíamos martirizarnos con no recordar cómo nos lo enseñaron a nosotros. Y, además, ahora todos llevamos una calculadora encima.

Con papel y lapiz (aquí nos ponemos tecnicos)

Pero la pregunta verdaderamente interesante, y que no puede preguntarse a niños de 11 o 12 años porque no están en conditions de responderla, es: ¿por qué funciona ese procedimiento? Responder a esta pregunta podría llevar a que se explicase el algoritmo, que es lo que intentionaremos a continuación, aunque habría que hacerlo a una edad a la que el alumno tuviera suficiente capacidad de abstracción y madurez. Ese es el auténtico desafío, que vamos a tratar de lograr en lo que queda de artículo. Te advierto, eso sí, que me voy a poner un poco técnico. Si quieres intentionar revivir aquella class de matemáticas que te marcó, adelante.

Voy a realizar la raíz cuadrada al número 1234 (it alone un ejemplo).

1. Agrupo las cifras del número en bloques de dos, empezando por la derecha, porque lo vamos a hacer en dos pasos: uno para las decenas del resultado y otro para las unidades. Sabemos que nuestra solution va a tener dos cifras porque 10×10=100. It decir, los números con dos cifras tienen raíces menores a 10. Tampoco puede tener 3, porque el menor número de tres cifras es 100 y 100×100=10000, un número de 5 cifras.

2. Busco el número de decenas que multiplicadas por sí mismas quedan más cerca de 1200 y me olvido de momento del 34. Resto “9” porque 30×30=900. O Meer, podria haber puesto 900, y podria decir que me quedan por “cuadrar” 334.

3. Ahora viene el paso más oscuro: doblamos lo que tengamos en la caja de arriba, ponemos un 6 en una caja auxiliar y buscamos una cifra (llamémosla A) que, como cifra de las unidades (o meer, como 60 y A) y multiplicada por A quede lo más cercana posible al 334. ¿Por qué 60? Porque lo que estamos doblando no es un 3, es un 30.

4. Pero, ¿por que doblamos? Pues porque en realidad buscamos (30+A)x(30+A) yes it is igual a 30×30+30xA+Ax30+AxA = 900+60A+AxA. El 30×30=900 ya lo hemos “cuadrado” en el paso 2, lo que tenemos que encontrar ahora es el 60xA + AxA. Lo que hago ahora es porque saco factor común A en la expression anterior, 60xA+AxA = (60+A)xA, o sea “60 y A” por A, justo lo que hemos puesto.

5. El A que nos deja más cerca de 334 es 5, porque 65×5=325. Esto es teníamos que “cuadrar” 334, nos hemos quedado cerca porque sobran 9 unidades. Subo el 5. Podría parar aquí, y decir que el resto, lo que nos sobra, son 9 unidades, pero voy a dar un paso más y ajustar la raíz cuadrada a las décimas.

6. Escribo read 9 unidades que me sobraban como 900 centésimas. En dinero se entiende mejor, 9 euros son 900 centimos. También podría haber dicho que eran 90 décimas, pero recuerda que trabajamos en grupos de 2 cifras. Sigo operando como en el paso 3. Doblo 35 y busco una cifra B que al lado del 70 (“70B”xB) me lleve lo más cerca posible de las 900 centésimas. Resulta ser 1, y es una decima, porque 0.1×0.1=0.001, te lo juro, compruébalo. Lo subo a la caja Principal. Me sobran 199, pero no son 199 unidades, claro, son 199 centésimas, o sea, 1.99.

For volver al ejemplo de los calcetines, ¿qué quiere decir que la raiz cuadrada de 1234 es 35,1? Me vas a permissionir que me quede en el paso 5 y obvie las décimas. It is like si tuviéramos un cajón muy grande en el que quisiéramos guardar 1234 prendas de ropa interior.

Un cuadrado lado 35, 35×35, 1225, cuadraditos, en cada huequito, un par de calcetines, y guardo 9 en otro cajón. O los tiro, que es muy Marie Kondo, también.

The imagen anterior se puede “enriquecer” porque lo que hemos hecho no es ni más ni menos que encontrar el lado del mayor cuadrado que podemos organizar con 1234 objetos, y ha resultado ser 35 (y sobran 9). Y the cuadrado de 30+5 it the cuadrado de 30 más the cuadrado de 5 más dos veces 30×5:

Esta última imagen contiene la explicación a una de las fórmulas que más trabajo cuesta “que aprendan” en secundaria: el célebre “cuadrado del binomio” (el cuadrado de a+b es el cuadrado de a más el cuadrado de b más dos veces a por b) que tantos memes genera.

Búsqueda en Google del binomio del cuadrado

Toda la explicación anterior nos la podríamos ahorrar de una de estas maneras: haciendo la raíz cuadrada con calculadora (acceptable) o explicándolo a una edad en la que se puedan entender. Esto último implicaría enseñar procedimientos buscando la comprensión de las cosas que explicamos, y no solo porque siempre se haya hecho así o vengan en el libro.

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(4x4x4 = 64)

Por lo tanto, 4 elevators to the cubicle it is originally a 64 (y la raíz cubica de 64 to 4).

Tomemos el caso de la raíz cúbica de 27. En este caso, notaremos que la respuesta es 3, ya que 3 elevado al cubo (3 x 3 x 3) resulta igual a 27. La raíz cúbica de 27, pues, es 3.

3×3=9

9 x 3 = 27

(3x3x3 = 27)

Practicamente la mayoría de personas, excepto los estudiantes que se encuentran ahora aprendiendo a hacer raíces cúbicas, recurren al uso de una calculadora para poder resolver las que se le ponen por delante. No fruit, los experts in matemáticas matching in subrayar que existen una serie de trucos que allowen calcularlas de forma sencilla y sin emplear ningún tipo de dispositivo electrónico.

In concrete terms, in this sentido, establecen los siguientes:

-Facilita la resolution mental de esas raíces el saberse de memoria lo que son los cubos de los diez primeros números, es decir, del 1 al 10.

-Para poder adivinarlas siempre se puede optar por hacer calculos aproximativos.

-Separar el número cuestión de derecha a izquierda en grupos de tres cifras. De esta manera, si en el de más a la izquierda quedan una o dos cifras, se podrá saber ya que la raíz cúbica es inferior a 50.

A lo largo de la historia han existido mentes prodigiosas con una agilidad matemática innegable, que han sabido hacer calculos mentales de raíces cúbicas de números de muchas cifras. Este sería el caso, por ejemplo, de Shakuntala Devi (1929 – 2013), que fue conocida como la “mujer calculadora”. Esta recorrió el mundo desde su tierna infancia mostrando al mundo sus capacidades en ese sentido.

Tabla de conversion fracción/decimal

La tabla de conversión decimal/fraccion de Newark le muestra el equivalent decimal de las fracciones utilizadas más comúnmente junto con otras fracciones que expresan el mismo valor (por ejemplo, 2/4 y 3/6) así como el minimo común denominador.

Algo ha fallado. Espera un momento e inténtalo de nuevo.

Intentarlo de nuevo

Este artículo trata sobre la constante matemática. Para el código de additives alimentarios, véase Número E

e {\displaystyle {\text{e}}} Diez mil primeras cifras decimales del númeroen formato cartel

En matemáticas, la constante e {\displaystyle {\text{e}}\,} es uno de los números irracionales y los números trascendentes más importantes.[1]​ Es aproximadamente 2.71828 [2]​y aparece en diversas ramas de las matemáticas, as ser la base de los logaritmos naturales y form parte de las ecuaciones del interés compuesto y otros muchos problemas.

El número e {\displaystyle {\text{e}}\,} , conocido en ocasiones como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el calculo matemático.

Juega un papel importante en el cálculo y en el análisis matemático, en la definición de la función más importante de la matemática, ​ la función exponencial, así como π {\displaystyle \pi \,} lo es de la geometria y el número i {\displaystyle i\,} del análisis complejo y del álgebra.

El número e {\displaystyle {\text{e}}\,} , al igual que el número π {\displaystyle \pi \,} y el número áureo (φ), es un número irracional, no expresable mediante una razón de dos numeros enteros; o bien, no puede ser representado por un digit decimal exacto o un decimal period. Además, también como π {\displaystyle \pi \,} , es un número trascendente, es decir, que no puede ser raíz de ecuación algebraica alguna con coeficientes racionales.​ El valor de e {\displaystyle {\text{e}} \,} truncado a sus primeras cifras decimales es el siguiente:

e = 2 .718 281 828 459 045 235 360 … {\displaystyle {\text{e}}\ =2.718\;281\;828\;459\;045\;235\;360…}

history [edit]

and to represent the constant; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella. Leonhard Euler popularizó el uso de la lettrapara representar la constante; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella.

A diferencia de π {\displaystyle \pi \,} , la introducción del número e {\displaystyle {\text{e}}} en la matemática es relativamente reciente, lo cual tiene sentido si se considera que este último tuvo un origen analítico and no geometry, like the primer. En las palabras de Eli Maor:[5]​

π {\displaystyle \pi \,} A history of Pi, a model of the popular but clear and precise representation. The number e did less well. Not only is it more modern, but its history is closely linked to calculus, the field traditionally seen as the gateway to “higher” mathematics. The history of has been told at length, no doubt because its history dates back to ancient times, but also because much of it can be grasped without knowledge of advanced mathematics. Perhaps no book fared better than Petr Beckmann’s, a model of popular but clear and concise exposition. The number e did less well. Not only is it more modern, but its history is closely linked to calculus, the field traditionally seen as the gateway to “higher” mathematics. π {\displaystyle \pi\,} Historia de Pi by Petr Beckmann, a model of the popular exposition that is clear and concise. Al número e no le fue tan bien. No alone it de una época más moderna, sino también que su historia está cercanamente asociada con el calculo, el thema que es tradicionalmente visto como la puerta hacia matemáticas “más elevadas”. La historia deha sido extensivamente contada, sin duda no solo porque su historia se trae desde tiempos antiguos, sino también porque mucho de él puede ser entendido sin un conocimiento avanzado de las matemáticas. Quizá ningún libro fue mejor quede Petr Beckmann, un modelo de exposición popular pero también claro y preciso. Al númerono le fue tan bien. No alone it de una época más moderna, sino también que su historia está cercanamente asociada con el calculo, el thema que es tradicionalmente visto como la puerta hacia matemáticas “más elevadas”.

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier.[6] No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de esta. See what the Tabla for Escrita by William Oughtred is like. Unos años más tarde, en 1624, e {\displaystyle {\text{e}}} se ve nuevamente involucrado en la literatura matemática, aunque no del todo. Ese año, Briggs dio una proximación numérica a los logaritmos en base 10, pero no mencionó al número e {\displaystyle {\text{e}}} explicitamente en su trabajo.

La siguiente aparición de e {\displaystyle {\text{e}}} es algo dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo la hipérbola rectangular. Si reconoció la conexión con los logaritmos es una cuestión abierta a discussion, e incluso si lo hizo, no hubo razón para que tratara con e {\displaystyle {\text{e}}} explícitamente. Quien sí comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo fue Huygens allá por 1661, al estudiar el problema del área bajo la curva y x = 1 {\displaystyle yx=1} . El número e {\displaystyle {\text{e}}} es aquel valor de abscisa a tomar para que el área bajo esta curva a partir de 1 sea igual a 1. Esta es la propiedad que hace que e {\displaystyle {\ text{e}}} sea la base de los logaritmos naturales, y si bien no era comprendida del todo por los matemáticos de aquel entonces, de a poco iban acercándose a su comprensión.

Sin embargo, y tal vez inesperadamente, no es a través de los logaritmos que e {\displaystyle {\text{e}}} it descubierto, sino del estudio del interés compuesto, problema abordado por Jacob Bernoulli en 1683. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, divide the interests between 2, la cantidad obtenidas es 1 UM multiplicado por 1.5 dos veces, it decir 1 UM x 1.502 = 2.25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1.254 = 2.4414… En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x ( 1 + 1 12 ) 12 { \displaystyle (1+\textstyle {1 \over 12})^{12}} = 2.61303…UM. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin limite) y se Reduce la tasa de interés en el período, en un factor de 1 n {\displaystyle \textstyle { 1 \over n}} , the total de unidades monetarias obtenidas estará dado por la siguiente expression:

lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty}\left(1+{1 \over n}\right)^{n}.}

Bernoulli used the teorema del binomio para mostrar que dicho limite se encontraba between 2 and 3. Se puede Considerar esta la primera aproximación encontrada para e {\displaystyle {\text{e}}} . Incluso si acceptamos esta como una definition de e {\displaystyle {\text{e}}} , serie la primera vez que un número se define como un processo de límite. Con seguridad, Bernoulli no reconoció ninguna conexión entre su trabajo y los logaritmos. De aquí proviene la definition que se da de e {\displaystyle {\text{e}}} en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% annual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará C e R {\displaystyle Ce^{R}} UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e {\displaystyle {\text{e}}} en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e {\displaystyle {\text{e}}} fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminology common. Euler realizó varios aportes en relación a e {\displaystyle {\text{e}}} en los años siguientes, pero no fue hasta 1748 cuando publicó su Introductio in analysin infinitorum que dio un tratamiento definitivo a las ideas sobre e {\displaystyle {\ text{e}}} . Allí mostró que

e = 1 + 1 1 + 1 1 ⋅ 2 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + ⋯ {\displaystyle {\text{e}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1} {1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }

y dio una aproximación para e {\displaystyle {\text{e}}} de 18 cifras decimales, sin mostrar cómo la obtuvo. También dio su expresión como fracción continua reconociendo el patron que sigue dicha expresión. Fue esta caracterización la que le sirvió de base para concluir que e {\displaystyle {\text{e}}} es un número irracional, y la mayor parte de la comunidad acepta que Euler fue el primero en probar esta propiedad.

La pasión que guió a mucha gente a calcular más y más cifras decimales de π {\displaystyle \pi \,} nunca pareció replicarse de la misma manera para e {\displaystyle {\text{e}}} . Sin embargo, algunos se embarcaron en la tarea de calcular su expansión decimal y el primero en contribuir con esto fue William Shanks en 1854. Vale la pena destacar que Shanks fue un entusiasta aún mayor del cálculo de los decimales de π {\displaystyle \pi } . James Whitbread Lee Glaisher calculated the first 137 words of Shanks para el e {\displaystyle {\text{e}}} Eran corrected when he found an error, translated Korregido von Shanks, arrojó cifras decimales de e hasta el lugar 205 .De hecho, se necesita alrededor de 120 terms de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … for 200 decimal places.

Expansiones decimales aún mayores siguieron con los trabajos de Boorman en 1884, quien calculó 346 lugares y halló que su cómputo coincidía con el de Shanks hasta el lugar 187, pero luego divergían. En 1887 Adams estimó el logaritmo de e {\displaystyle {\text{e}}} en base 10 con 272 cifras precisionas.

En 1873, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar que e {\displaystyle {\text{e}}} es trascendente. A dicho logro llego usando un polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas empleadas, anteriormente, por Lambert. David Hilbert (también Karl Weierstraß y otros), propuso posteriormente variations y modificaciones de las primeras demostraciones.[7]​

definition [edit]

x y la gráfica y = 1/x, entre x = 1 y x = e es 1. El área entre el ejey la gráfica= 1/, entre= 1 ja 1.

La definition más común de e {\displaystyle {\text{e}}} es como el valor limite de la sucesión ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle (1+{\tfrac {1}{n}}))^ {n}} .[8]​ En simbolos,

e := lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle {\text{e}}:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{1 \over n}\right) ^{n}}

A veces se toma también como punto de partida, resultado de aplicar el teorema del binomio, la serie siguiente:

e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}

que se expande como

e = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ {\displaystyle {\text{e}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{ \frac {1}{3!}}+\cdots }

Otra definition habitual[9]​ dada a través del calculo integral es como solution de la ecuacion

∫ 1 x d t t = 1 , {\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=1,}

es decir que se define e {\displaystyle {\text{e}}} como el número para el que

∫ 1 e d t t = 1. {\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dt}{t}}=1.}

Propiedades matemáticas and applications [ edit ]

Análisis matemático [ edit ]

Exponential function [ edit ]

Main article: Función exponencial

Para cualquier x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } , la sucesión ( 1 + x n ) n {\displaystyle \left(1+{\tfrac {x}{n}}\right)^{n } } converge. Podemos denotar dicho limite con e x {\displaystyle {\text{e}}^{x}} :

e x := lim n → ∞ ( 1 + x n ) n . {\displaystyle {\text{e}}^{x}:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}

Se llama función exponencial a la función real cuya variable independent recorre el conjunto R {\displaystyle \mathbb {R} } de los números reales, y se definition como

f : R → R + x ↦ e x {\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} &\to \mathbb {R^{+}} \\x&\mapsto {\text{e}} ^{x}\end{aligned}}}

El rasgo más relevante de la función exponencial es que su función derivada (que existe en todo punto) agree con la propia función, es decir,

d d x e x = e x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}

Además, it la única función no idénticamente nula (a menos de multiplicación por constantes) con esta propiedad. Esto hace de la exponencial la función más importante del análisis matemático, y en particular para las ecuaciones diferenciales.

El desarrollo en serie de la función f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)={\text{e}}^{x}} se realiza mediante la fórmula de Maclaurin. Puesto que

f ( x ) = f ‘ ( x ) = f ″ ( x ) = . . . = f n + 1 ( x ) = e x , {\displaystyle f(x)=f^{‘}(x)=f^{”}(x)=…=f^{n+1}(x )={\text{e}}^{x},} f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = f ″ ( 0 ) = . . . = f n + 1 ( 0 ) = 1 , {\displaystyle f(0)=f^{‘}(0)=f^{”}(0)=…=f^{n+1}(0 )=1,}

The formula de Maclaurin is described as follows:

e x = ∑ k = 0 n f ( k ) ( 0 ) k ! x k + R k ( x ) = 1 + x 1 ! +×2 2 ! +×3 3 ! + . . . + x n n ! + O ( x n + 1 ) {\displaystyle {\text{e}}^{x}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(0)}{ k!}}\,x^{k}+R_{k}(x)=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+ {\frac {x^{3}}{3!}}+…+{\frac {x^{n}}{n!}}+O(x^{n+1})}

Suponiendo x=1, it is required the value aproximado del número

e ≈ 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + . . . + 1n ! {\displaystyle {\text{e}}\approx 1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+ …+{\frac {1}{n!}}}

Donde ≈ se entiende como un valor aproximado.[10]​

Problema de Steiner[edit]

x x {\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}} x = e {\displaystyle x={\text{e}}} El máximo global deocurre en

Este problema plantea encountered the maximum absolute de la funcion

f ( x ) = x 1 / x . {\displaystyle f(x)=x^{1/x}.}

Este máximo se da precisamente en e {\displaystyle {\text{e}}} .[11]​

Asimismo, 1 / e {\displaystyle 1/{\text{e}}} es el minimo absoluto de la función

f ( x ) = x x {\displaystyle f(x)=x^{x}\,}

definitely para x > 0 {\displaystyle x>0} . Más en general, la funcion

f ( x ) = x x n {\displaystyle \!\ f(x)=x^{x^{n}}}

alcanza su máximo global en 1 / e {\displaystyle 1/{\text{e}}} para n < 0 {\displaystyle n<0} ; y el minimo global se encuentra en e − 1 / n {\displaystyle {\text{e}}^{-1/n}} para n > 0 {\displaystyle n>0} .

La tetracion infinita

x x x ⋅ ⋅ ⋅ {\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}} ∞ x {\displaystyle {^{\infty }}x}

converge si y solo si e − e ≤ x ≤ e 1 / e {\displaystyle {\text{e}}^{-{\text{e}}}\leq x\leq {\text{e}}}^{ 1/{\text{e}}}} , for a teorema de Leonhard Euler.[12]​[13]​

Numbers complejos[edit]

El número e {\displaystyle {\text{e}}} presents an important paper in Euler’s formula related to the complete numbers:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x , {\displaystyle {\text{e}}^{ix}=\cos x+i\sin x,\,\!}

El caso especial con x = π {\displaystyle x=\pi } it conocido como identidad de Euler o fórmula mística de Euler

e i π + 1 = 0. {\displaystyle {\text{e}}^{i\pi }+1=0.\,\!}

de lo que se deduce que:

log e ⁡ ( − 1 ) = i π . {\displaystyle \log _{e}(-1)=i\pi .\,\!}

Además, using the leyes de la exponenciación, be required:

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = ( e i x ) n = e i n x = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{ n} = \ left({\text{e}}^{ix}\right)^{n}={\text{e}}^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)}

que es la formula de Moivre.

Esta formula llegó como una revelación a Benjamin Peirce, Professor de Harvard, quien la expuso ante sus alumnos, y manifestó su reconocimiento ante la maravillosa conexión de los cinco números más famosos de toda la matemática.[14]​

Probabilidad y estadística [ edit ]

El número e también aparece en applications a la teoría de probabilidades. Un ejemplo es el problema de los desarreglos, explored en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Raymond de Montmort, también conocido como el problema de los sombreros:[15]​ los n invitados a una fiesta dejan a la entrada sus sombreros con el mayordomo , quien los coloca luego en n compartmentos, cada uno con el nombre de uno de los invitados. Pero el mayordomo no conoce la identidad de los invitados, y entonces coloca los sombreros en los compartmentmentos al azar. The problem of De Montmort is related to the probabilities of entering the sea in the correct compartment. La respuesta es:

P ( n ) = 1 − 1 1 ! + 1 2 ! − 1 3 ! + ⋯ + ( – 1 ) n n ! = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k k ! . {\displaystyle P(n)=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{ \frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}

A medida que el número n de invitados tiende a infinito, P(n) se aproxima a 1/e. Más aún, el número de maneras en que se pueden colocar los sombreros en los compartmentmentos de forma que ninguno corresponda a su dueño es n!/e redondeado al entero más cercano, para cada positiveo n.[16] The resultado anterior puede reformse de la siguiente manera: sea P ( n ) {\displaystyle P(n)} la probabilidad de que una función aleatoria del conjunto 1, 2, …, n en sí mismo tenga al menos un punto fijo . Entons

lim n → ∞ P ( n ) = 1 − 1 e = 0.6321205588… {\displaystyle \lim _{n\to \infty}P(n)=1-{\frac {1}{e}} =0.6321205588 …}

Other aparición de e {\displaystyle {\text{e}}} en la probabilidad es en el siguiente problema: se tiene una secuencia infinita of variables aleatorias X 1 , X 2 …, with distribution uniforme en [0,1]. Sea V el menor entero n tal que la suma de las primaras n observaciones es mayor que 1:

N = min { n ∣ X 1 + X 2 + ⋯ + X n > 1} . {\displaystyle N=\min {\left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}}.}

Luego, E ( N ) = e {\displaystyle E(N)={\text{e))) .[17]

Sin embargo, el papel más relevante que juega el número e {\displaystyle {\text{e}}} en esta rama de la matemática viene dado a través de la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, que dependent on the integral Gaussiana:[19]​

ϕ ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 / 2 σ 2 . {\displaystyle \phi (x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,{\text{e}}^{-(x-\mu )^{2}/2\ Sigma ^{2}}.}

El role de esta distribution es central en la theory y la práctica.

Teoría de Números[edit]

Las siguientes dos relaciones son corolarios directos del teorema de los números primos[20]​

e = lim n → ∞ ( p n # ) p n {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}}\ #)}}}

donde p n {\displaystyle p_{n}} es n-esimo primo y p n # {\displaystyle p_{n}\#} es el primorial del n-esimo primo.

e = lim n → ∞ n π ( n ) / n {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}

donde π ( n ) {\displaystyle \pi (n)} la función contadora de primos.

Geometry [ edit ]

Spiral equiangular de ángulo α

Al igual que π {\displaystyle \pi } , e {\displaystyle {\text{e}}} puede interpretarse como un cociente entre cantidades ligadas a cierta curva del plano. Consideremos una curva con la propiedad de que cualquier semirrecta que nace en el origen corta a esta formando un ángulo de π / 4 {\displaystyle \pi /4} radianes (existen instrumentos que allowen trazar curvas con esta característica).[21]​ [22]​ Si tomamos dos puntos cualesquiera de la curva P 1 , P 2 {\displaystyle P_{1},P_{2}} con una separación angle de 1 radián, y r i = dist ⁡ ( P i , O ) , r 1 < r 2 , {\displaystyle r_{i}=\operatorname {dist} (P_{i},O),r_{1} 0. {\displaystyle r(\theta )=Ae^{\theta },\qquad \theta \in \mathbb {R} ,A>0.}

Más generalmente, si la curva es cortada formando un ángulo 0 < α ≤ π / 2 {\displaystyle 0<\alpha \leq \pi /2} , entonces su expresión en coordenadas polares es r ( θ ) = A e cot ⁡ ( α ) ⋅ θ . {\displaystyle r(\theta )=Ae^{\cot(\alpha )\cdot \theta }.} Other relevant manifestación de e en la geometry se da con la catenaria. La catenaria es la curva cuya forma es adoptedada por una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la gravedad. Queda determinada por la posición de sus extremos y su longitud. Irracionalidad and trascendencia [ edit ] Artículo principal: Demostración de que e es irracional El número real e {\displaystyle {\text{e}}} es irracional,[23]​ lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Euler en 1737. En su demostración, Euler se valió de la representación de e como fracción continua, que al ser infinita, no puede corresponder a un número racional. Sin embargo, la demostración más conocida fue dada por Fourier, y se basa en el desarrollo en serie del número. J. H. Lambert probó en 1768 que e p / q {\displaystyle {\text{e}}^{p/q}} es irracional si p q {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}} es un racional positivo. También es un trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros (ver Teorema de Lindemann-Weierstrass). Fue el Primer número trascendente que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (compare with el número de Liouville). La demostración de esto fue dada by Charles Hermite in 1873.[24] Se cree que e además es un número normal. Formulas que contienen al número e [edit] A continuation, se exhiben varias formas que involucran de diversas formas a e {\displaystyle {\text{e}}} : 1 e = ∑ k = 0 ∞ 1 − 2 k ( 2 k ) ! . {\displaystyle {\frac {1}{\text{e}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}.} [ 25 ] e = ∑ k = 0 ∞ 4 k + 3 2 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! . {\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1 )!}}.} e + 1 e − 1 = 2 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 18 + ⋱ . {\displaystyle {\frac {{\text{e}}+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1} {14+{\cfrac {1}{18+{\ddots }}}}}}}}}}.} e − 1 = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 5 + 1 1 + 1 1 + 1 9 + 1 1 + 1 1 + ⋱ . {\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}-1={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}} {5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\ ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}.} 2 = e 1 e 1 / 2 ⋅ e 1 / 3 e 1 / 4 ⋅ e 1 / 5 e 1 / 6 ⋅ e 1 / 7 e 1 / 8 ⋯ , {\displaystyle 2={\frac {{\text{ e}}^{1}}{{\text{e}}^{1/2}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/3}}{{\text{z }}^{1/4}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/5}}{{\text{e}}^{1/6}}}\cdot {\ frac {{\text{e}}^{1/7}}{{\text{e}}^{1/8}}}\cdots ,} la cual se obtiene de la identidad ln ⁡ 2 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 ⋯ {\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3 }}-{\frac {1}{4}}\cdots } e − 1 e = 2 ∏ k = 1 ∞ ( 1 + 1 k 2 π 2 ) . {\displaystyle {\text{e}}-{\frac {1}{\text{e}}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1 {k^{2}\pi ^{2}}}\right).} e + 1 e = 2 ∏ k = 1 ∞ ( 1 + 4 ( 2 k − 1 ) 2 π 2 ) . {\displaystyle {\text{e}}+{\frac {1}{\text{e}}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4 }{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right).} Identidad de Euler or formula mística de Euler e i π + 1 = 0. {\displaystyle {\text{e}}^{i\pi }+1=0.\,\!} Stirling formula: n! ≈ 2πn(ne)n. {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\text{e}}}\right)^{n}.} Gosper formula: − π 2 12 e 3 = ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 cos ⁡ ( 9 k π + k 2 π 2 − 9 ) . {\displaystyle -{\frac {\pi ^{2}}{12{\text{e}}^{3}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1} {k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right). } Representaciones de e [edit] El número e {\displaystyle {\text{e}}} puede ser representado como un número real en varias formas: como serie infinita, como producto infinito, como fracción continua o como limite de una sucesión. Como limit [edit] The Principal de Estas Representaciones, Particularmente en Los Cursos Básicos de Cálculo, es la Propia Definition de e {\displaystyle {\text{e}}} , es decir, el límite: e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.} En 1975, el suizo Felix A. Keller obtuvo el limite simétrico:[26]​[27]​ e = lim n → ∞ [ ( n + 1 ) n + 1 n n − n n ( n − 1 ) n − 1 ] . {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{ \frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right].} De la formula de Stirling se received e = lim n → ∞ n ⋅ ( 2 π n n ! ) 1 / n {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}} e = lim n → ∞ n n ! n {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}} [ 28 ] ​ Se mostró también que e = lim n → ∞ ( p n # ) p n {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}}\ #)}}} donde p n {\displaystyle p_{n}} es enésimo primo y p n # {\displaystyle p_{n}\#} es el primorial del enésimo primo. e = lim n → ∞ n π ( n ) / n {\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}} donde π ( n ) {\displaystyle \pi (n)} la función contadora de primos. Como serie o suma infinita[edit] e = 1 2 ∑ k = 0 ∞ k + 1 k ! {\displaystyle {\text{e}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}} e = 2 ∑ k = 0 ∞ k + 1 ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle {\text{e}}=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}} e = ∑ k = 0 ∞ 3 − 4 k 2 ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}} e = ∑ k = 0 ∞ ( 3 k ) 2 + 1 ( 3 k ) ! {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}} e = ∑ k = 1 ∞ k n B n ( k ! ) {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}}{B_ {n}(k!)}}} B n {\displaystyle B_{n}} n {\displaystyle n} número de Bell. Algunos ejemplos de this ultimate characterization: e = ∑ k = 1 ∞ k 2 2 ( k ! ) {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}}{2 (k!)}}} e = ∑ k = 1 ∞ k 3 5 ( k ! ) {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k ^{3}}{5(k!)}}} e = ∑ k = 1 ∞ k 4 15 ( k ! ) {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\ infty }{\frac {k^{4}}{15(k!)}}} e = ∑ k = 1 ∞ k 5 52 ( k ! ) {\displaystyle {\text{e}}=\sum _{ k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}}{52(k!)}}} e = ∑ k = 1 ∞ k 6 203 ( k ! ) {\displaystyle {\text{e }}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{6}}{203(k!)}}} e = ∑ k = 1 ∞ k 7 877 ( k ! ) { \displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{7}}{877(k!)}}} Como producto infinito[edit] El número e {\displaystyle {\text{e}}} puede expresarse también mediante productos infinitos "del tipo Wallis" de diversas formas,[29]​ incluyendo el producto de Pippenger[30]​[31]​ e = 2 ( 2 1 ) 1 / 2 ( 2 3 4 3 ) 1 / 4 ( 4 5 6 5 6 7 8 7 ) 1 / 8 ( 8 9 10 9 10 11 12 11 12 13 14 13 14 15 16 15 ) 1 / 16 ⋯ , {\displaystyle {\text{e}}=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3 }}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\; {\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\left({\frac {8}{9}}\;{\frac { 10}{9}}\;{\frac {10}{11}}\;{\frac {12}{11}}\;{\frac {12}{13}}\;{\frac {14} {13}}\;{\frac {14}{15}}\;{\frac {16}{15}}\right)^{1/16}\cdots ,} el producto de Catalan e = ( 2 1 ) 1 / 1 ( 4 1 3 ) 1 / 2 ( 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 ) 1 / 4 ( 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 ) 1 / 8 ⋯ , {\displaystyle {\text{e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {4}{1\cdot 3}}\ right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14 \cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots ,} and the product of Guillera[32]​[33]​ e = ( 2 1 ) 1 / 1 ( 2 2 1 ⋅ 3 ) 1 / 2 ( 2 3 ⋅ 4 1 ⋅ 3 3 ) 1 / 3 ( 2 4 ⋅ 4 4 1 ⋅ 3 6 ⋅ 5 ) 1 / 4 ⋯ , {\displaystyle {\text{e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left ({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,} donde el n-ésimo factor es la n-ésima raíz del producto ∏ k = 0 n ( k + 1 ) ( − 1 ) k + 1 ( n k ) , {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k +1}{n \choose k}},} como también el producto infinito e = 2 ⋅ 2 ( ln ⁡ ( 2 ) -- 1 ) 2 ⋯ 2 ln ⁡ ( 2 ) -- 1 ⋅ 2 ( ln ⁡ ( 2 ) -- 1 ) 3 ⋯ . {\displaystyle {\text{e}}={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1} \cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.} Como fracción continua [edit] El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada: e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + ⋯ , {\displaystyle {\text{e}}=2+{\cfrac { 1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{ \cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}}}}} }}}}}}}}},} lo que se describe e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , … , 2n , 1 , 1 , … ] {\displaystyle {\text{e}}=[2; 1,{\mathrm{2}},1,1,{\mathrm{4}},1,1,{\mathrm{6}},1,1,{\mathrm{8}},1,1, \ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ]} , developed by Leonhard Euler[34]​ (A003417 en OEIS). En fracción continua no normalizada se tiene e = 2 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + 7 7 + ⋯ {\displaystyle {\text{e}}=2+{\frac {2}{2+{\cfrac {3 }{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+{\cfrac {7}{7+\cdots }}}}}}}}} }}}}} En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas. Digitos conocidos[edit] El numero de digitos conocidos de e ha aumentado enormousmente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.[35]​[36]​ En 1949, J. von Neumann y su grupo utilizaron el ENIAC para obtener 2010 decimales. D. Shanks and J.W. Wrench Hallaron hasta 100.265 en 1961 con la Euler formula con un IBM 7090. Se emplearon 2,5 horas. Ya para 1994, R. Nemiroff y J. Bonnell habían llegado a 10.000.000 de decimales. En las últimas décadas, los ordenadores fueron capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. Así, por ejemplo, en el año 2000, utilizando el programa de cálculo PiFast33 en un ordenador Pentium III 800, se obtuvieron 12 884 901 000 cifras decimales, para lo que se necesitaron 167 horas. En la época computacional del cálculo de e las cifras se han disparado, no solo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords. Primeras cien cifras decimales [ editar ] Las cien primeras cifras de e {\displaystyle {\text{e}}} son: e ≈ 2 , 7182818284 {\displaystyle {\text{e}}\approx 2,7182818284} 5904523536 {\displaystyle 5904523536} 0287471352 {\displaystyle 0287471352} 6624977572 {\displaystyle 6624977572} 4709369995 {\displaystyle 4709369995} 9574966967 {\displaystyle 9574966967} 6277240766 {\displaystyle 6277240766} 3035354759 {\displaystyle 3035354759} 4571382178 {\displaystyle 4571382178} 5251664274 {\displaystyle 5251664274} e {\displaystyle {\text{e}}} Cuestiones abiertas sobre [ editar ] No se sabe si e {\displaystyle {\text{e}}} No se sabe si e e {\displaystyle {\text{e}}^{e}} No se sabe si π + e {\displaystyle \pi +e} π ⋅ e {\displaystyle \pi \cdot e} irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a nueve y con coeficientes enteros del orden 109. [ 47 ] ​ [ 48 ] ​ Véase también [edit] References[edit] El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0. bibliography [edit] Enlaces externos[edit]