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Déterminer l’intersection de deux plans – Terminale
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comment déterminer analytiquement l’intersection de deux plans
l’intersection est le plan P ( ou le plan Q) les deux plans sont confondues. ( il suffit que leurs vecteurs normaux respectifs soient colinéaires et qu’il …
Source: homeomath2.imingo.net
Date Published: 3/16/2021
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Fiche explicative de la leçon : Intersection de plans | Nagwa
Définition: Intersection de plans. Deux plans quelconques dans ℝ de vecteurs normaux non colinéaires ont pour intersection une droite.
Source: www.nagwa.com
Date Published: 5/20/2021
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Intersection de deux plans – Maxicours
Intersection de deux plans · 1. Position relative de deux plans. FIG 1 FIG 2 · 2. Caractérisation de l’intersection de deux plans sécants. Théorème · 3.
Source: www.maxicours.com
Date Published: 2/4/2021
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Tracer l’intersection de deux plans – GeoGebra
Tracer l’intersection de deux plans. Author: sarsky22. Topic: Intersection. GeoGebra Applet Press Enter to start activity …
Source: www.geogebra.org
Date Published: 8/22/2021
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Intersection de droites et plans
Intersection d’une droite et d’un plan … Soit la droite D donnée par { u x + v y + w z = d u ′ x + v ′ y + w ′ z = d ′ et le plan P donné par u ” x + v ” y + w …
Source: uel.unisciel.fr
Date Published: 1/6/2021
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Intersection de 2 plans – Forum Futura Sciences
Salut, voila en fait on me demande de faire des eq. cartésiennes de la droite c, intersection entre 2 plans. plan 1: 2x +2y +z -3 =0 plan 2: …
Source: forums.futura-sciences.com
Date Published: 6/24/2022
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comment déterminer analytiquement l’intersection de deux plans
Comment determiner analytiquement l’intersection de deux plans
L’espace est muni d’un repère orthonormé (O; ; ; ) .
Here are the deux plans P et Q that are defined by the equations cartésiennes:
P : ax + by + cz + d = 0
Q : a’x + b’y + c’z + d’ = 0
on peut determiner par le calcul leur crossing.
Les coordonnées ( x ; y ; z ) d’un point M appartenant à P Q doivent verifier le système :
Three cas peuvent se produce:
Les Coefficients ( a ;b ;c ; d ) Sont Proportionnels
Auxiliary coefficients ( a’ ;b’ ;c’ ; d’ ) dans ce cas, P Q = P = Q
l’intersection est le plan P (or le plan Q) les deux plans sont confondues.
( il suffit que leurs vecteurs normaux respectifs soient colinéaires et qu’il admettent au moins un point commun )
) are proportional to auxiliary coefficients ( ) in these cas, P Q = P = Q l’intersection est le plan P (or le plan Q) les deux plans are confondues. ( il suffit que leurs vecteurs normaux respectifs soient colinéaires et qu’il admettent au moins un point commun ) Les coefficients ( a ;b ;c ) sont proportionnels
Auxiliary coefficients ( a’ ;b’ ;c’ ) sans que cette proportionnalité s’étende pour d et d’ dans ce cas, P Q = , l’intersection est vide et les deux plans sont parallèles.
( il suffit que leurs vecteurs normaux respectifs soient colinéaires et qu’il existe un point qui appartienne à l’un des plan sans appartenir à l’autre )
) sont proportionnels auxiliary coefficients ( ) sans que cette proportionnalité s’étende pour et dans ce cas, P Q = , l’intersection est vide et les deux plans sont parallèles. ( il suffit que leurs vecteurs normaux respectifs soient colinéaires et qu’il existe un point qui appartienne à l’un des plan sans appartenir à l’autre ) les coefficients ( a ; b ; c ) ne sont proportionnels
Auxiliary coefficients ( a’ ;b’ ;c’ ) dans ce cas, P Q = D où D est une droite et il est possible d’exprimer les réels ( x ;y ;z ) en fonction d’un parameter ( x ou you z au choix ) et d’en déduire une représentation paramétrique de la droite D intersection de P et Q. On peut également determiner les coordonnées d’un vecteur normal de chaque plan , le vecteur directeur de la droite D intersection des deux plans est le produit vectoriel des deux vecteurs normaux précédents.
(il suffit que leurs vecteurs normaux respectifs ne soient pas colinéaires)
Examples :
Fiche explicative de la leçon : Intersection de plans
Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment trouver les points et droites d’intersection entre des droites et des plans dans l’espace.
Definition: Equation cartésienne d’un plan Un plan de l’espace ℝ peut être décrit de différentes façons. Example: l’équation cartésienne d’un plan est 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑐 𝑧 + 𝑑 = 0 . Ce plan a un vector normal ⃑ 𝑛 = ( 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ) , qui définit l’orientation du plan dans l’espace. Ce vecteur normal n’est pas unique. All other multiple scalaire non nul de ce vector, 𝜆 ⃑ 𝑛 , est également normal au plan. La constante 𝑑 n’a aucun effet sur l’orientation du plan, mais translate le plan de 𝑑 unités dans la direction du vector normal ⃑ 𝑛 .
Par example, pour le plan décrit par l’équation 𝑥 + 2 𝑦 + 3 𝑧 + 1 0 = 0 , 1 𝑥 + 2 𝑦 + 3 𝑧 + 1 0 = 0 , un vector normal ⃑ 𝑛 au plan est ( 1 ; 2 ; 3 ). All multiple scalaire non nul de ce vector est également un vector normal du plan, par example, ( − 1 ; − 2 ; − 3 ) or ( 5 ; 1 0 ; 1 5 ) .
Definition: Intersection de plans Deux plans quelconques dans ℝ de vecteurs normaux non colinéaires ont pour crossing une droite. This is the ensemble of points of solution from the system of equations of the plan: 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑐 𝑧 + 𝑑 = 0 , 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑐 𝑧 + 𝑑 = 0 .
Ce système de deux équations a trois inconnues : 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 . Consequently, the system aura soit une infinite de solutions, soit aucune solution. The première option decrit le cas où les deux plans sont sécants et la deuxième décrit le cas où les deux plans sont parallèles et ne se coupent jamais.
Comment determiner l’équation cartésienne de la droite d’intersection entre deux plans Éliminer une des trois variables (peu importe laquelle, mais on peut choisir 𝑧 par exemple) des deux équations et expresser une des deux variables restantes de manière explicite en fonction de l ‘other, for example, 𝑥 = 𝑓 ( 𝑦 ) . Éliminer la variable dependent 𝑦 des deux équations d’origine et expresser la variable indépendante 𝑥 en fonction de la variable restante 𝑧 , donc 𝑥 = 𝑔 ( 𝑧 ) . L’équation cartésienne de la droite d’intersection est alors 𝑥 = 𝑓 ( 𝑦 ) = 𝑔 ( 𝑧 ) .
Essays on determining the equation of the intersection of the two plans :
𝑥 − 4 𝑦 + 3 𝑧 − 4 = 0 , 2 𝑥 + 2 𝑦 − 9 𝑧 + 7 = 0 . ( ) ( ) 1 2
Nous devons tout d’abord éliminer une des trois variables. On peut éliminer 𝑧 in multipliant l’équation (1) par 3 and in l’additionnant à l’équation (2), ce qui donne 3 𝑥 − 1 2 𝑦 + 9 𝑧 − 1 2 = 0 + 2 𝑥 + 2 𝑦 − 9 𝑧 + 7 = 0 5 𝑥 − 1 0 𝑦 − 5 = 0 .
On peut isoler 𝑥 en ajoutant 1 0 𝑦 + 5 aux deux membres et en divisant par 5, ce qui donne
𝑥 = 2 𝑦 + 1 . ( ) 3
Nous devons maintenant éliminer la variable dependent 𝑦 des deux équations d’origine pour trouver une expression de 𝑥 en fonction de 𝑧 . On peut multiplier the deuxième équation par 2 et l’ajouter à la première, ce qui donne 𝑥 − 4 𝑦 + 3 𝑧 − 4 = 0 + 4 𝑥 + 4 𝑦 − 1 8 𝑧 + 1 4 = 0 5 𝑥 − 1 5 𝑧 + 1 0 = 0 .
On peut isoler 𝑥 en ajoutant ( 1 5 𝑧 − 1 0 ) aux deux membres et en divisant par 5, ce qui donne 𝑥 = 3 𝑧 − 2 .
Avec l’équation (3), nous avons maintenant deux expressions de 𝑥 , une en fonction de 𝑦 et une en fonction de 𝑧 : 𝑥 = 2 𝑦 + 1 , 𝑥 = 3 𝑧 − 2 .
Ces deux équations peuvent être réécrites comme une seule équation avec deux égalités : 𝑥 = 2 𝑦 + 1 = 3 𝑧 − 2 .
Il s’agit de l’équation cartésienne d’une droite dans l’espace.
Nous ne pouvons pas davantage réduire le système d’équations ou trouver des valeurs pour 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 qui résolvent de manière unique les équations car il y a une inconnue de plus que le nombre d’équations. Nous sommes dependant libres de choisir n’importe quelle valeur pour une variable et nous pouvons ainsi determiner les valeurs correspondantes des deux autres variables qui résolvent les équations.
Example: Poser 𝑥 = 1 dans l’équation ci-dessus donne 1 = 2 𝑦 + 1 = 3 𝑧 − 2 .
Avec la première partie de l’équation, on peut réarranger pour obtenir 𝑦 = 0 , et avec la deuxième partie, on peut réarranger pour obtenir 𝑧 = 1 .
Par conséquent, en posant 𝑥 = 1 , nous avons 𝑦 = 0 and 𝑧 = 1 , ce qui donne un point d’intersection entre les deux plans : ( 1 ; 0 ; 1 ) .
De même, on pourrait poser 𝑥 = 2 , à partir duquel on obtiendrait 𝑦 = 1 2 et 𝑧 = 4 3 , donnant un autre point d’intersection between two two plans 2 ; 1 2 ; 4 3 .
Nous ne sommes bien sûr pas obligés de choisir 𝑥 pour la variable à définir comme paramètre. Nous pourrions tout aussi liberment choice 𝑦 ou 𝑧 . Par example, choose 𝑦 = 1 dans l’équation cartésienne ci-dessus donne 𝑥 = 2 ( 1 ) + 1 = 3 𝑧 − 2 , que l’on peut à nouveau réarranger pour obtenir 𝑥 = 3 et 𝑧 = 5 3 ; donc 3 ; 1 ; 5 3 est un other point sur la droite d’intersection des deux plans.
Ce ne sont que quelques solutions de l’infinite de solutions au système d’équations qui forment la droite d’intersection des deux plans.
La forme cartésienne n’est pas la seule façon de décrire la droite d’intersection entre deux plans. An other option is to use an ensemble d’equations paramétriques avec an external paramètre qui definitely les 3 variables 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 séparément.
Definition: Equations paramétriques d’une dans l’espace Une droite dans l’espace peut être définie par un ensemble d’équations paramétriques 𝑥 = 𝑓 ( 𝑡 ) = 𝑥 + 𝑎 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 ( 𝑡 ) = 𝑦 𝑡, 𝑧 = ℎ (𝑡) = 𝑧 + 𝑐 𝑡, ù 𝑡 est un paramètre, 𝑥 𝑦 et 𝑧 sont les coordonnées d’un point situ composantes du estdrone la droite.
Puisqu’il y a une infinité de points sur la droite, il y a une infinité de choix de ( 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 ) pour les équations paramétriques de la droite.
Comment determiner les équations paramétriques de la droite d’intersection between two plans Expresser une des trois variables des équations des deux plans comme une fonction linéaire d’un paramètre 𝑡 , par example, 𝑥 = 𝑥 + 𝑎 𝑡 . Substituer cette expression dans les équations d’origine des plans et résoudre le système d’équations pour expresser les deux other variables en fonction du parameter 𝑡 .
Étudions un exemple de construction d’un ensemble d’équations paramétriques d’une droite d’intersection à partir des équations cartésiennes de deux plans.
Example 1: Determiner les équations paramétriques de la droite d’intersection de deux plans Determinez les équations paramétriques de la droite d’intersection des deux plans 𝑥 + 𝑧 = 3 et 2 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = − 2 . 𝑥 = 3 + 𝑡 , 𝑦 = 4 + 3 𝑡 , 𝑧 = − 𝑡 e t 𝑥 = 3 + 𝑡 , 𝑦 = 8 − 3 𝑡 , 𝑧 = − 𝑡 e t 𝑥 = 3 + 𝑡 , 𝑡 = 8 + 8 e t 𝑥 = 1 + 𝑡 , 𝑦 = 3 + 3 𝑡 , 𝑧 = 2 − 𝑡 e t 𝑥 = 3 + 𝑡 , 𝑦 = 4 − 3 𝑡 , 𝑧 = − 𝑡 e t choisir une équation paramétriqueter pour représen. Nous pouvons suivre cette method car nous avons en fait une “variable libre”. En ce qui concere le choix de l’equation paramétrique pour la variable, nous pouvons le faire de deux manières différentes. Nous pouvons choisir une paramétrisation générale, par example, 𝑥 = 𝑥 + 𝑎 𝑡 , puis définir les valeurs de 𝑥 et 𝑎 à une étape des calculs qui nous Arrange, ou nous pouvons définir la paramétrisation 𝑡ès 𝑧ès définir définir Response a la fin si nécessaire. Nous allons montrer les deux methods ici. Method 1: Definir une paramétrisation dès le départ En analysant les options presented dans la question, il peut sembler judicieux de définir 𝑧 = − 𝑡 car il semble probable cela permette d’arriver à la bonne réponse. Nous allons cependant définir 𝑧 = 𝑡 puis montrer que cela nous donne, en fait, une droite d’intersection équivalente, que nous pourrons ensuite ajuster pour determiner la bonne réponse parmi les options fournies. Si on substitue le paramètre choisi à 𝑧 dans l’équation du premier plan, on obtient 𝑥 + 𝑡 = 3 , ce qui donne 𝑥 = 3 − 𝑡 . Si on replacement maintenance 𝑥 et 𝑧 dans l’équation du deuxième plan, on obtient 2 ( 3 − 𝑡 ) − 𝑦 − 𝑡 = − 2 . Si on distribue dans les parenthèses et que l’on simplifie, on obtient 6 − 2 𝑡 − 𝑡 + 2 = 𝑦 , ce qui se simplifie par 𝑦 = 8 − 3 𝑡 . Par consequently, les équations paramétriques de 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 sont 𝑥 = 3 − 𝑡 , 𝑦 = 8 − 3 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 . e t Comme nous pouvons le voir, cela ne correspond à aucune des options proposed, mais cela doit être équivalent à l’une d’entre elles. Nous avons decrit une droite qui passe par le point ( 3 ; 8 ; 0 ) et de vecteur directeur ( − 1 ; − 3 ; 1 ) and nous devons maintenant identifier quelle option est équivalente à cette droite. Pour cela, nous pouvons d’abord Comparer les vecteurs directeurs de chacune des droites, puis identifier lequel des points décrits se situe également sur la droite. Dans ce cas particulier, ce n’est pas une operation trop difficile. Nous pouvons rapidement écarter les options B et E en raison des signs incoherents de 3 𝑡 et 𝑡 par rapport au vecteur directeur de notre droite. Les options restantes ont un vecteur directeur qui est un multiple de − 1 de celui de notre droite et qui est, par conséquent, équivalent à celui de notre droite d’intersection. Nous pouvons alors écarter l’option A parce qu’elle passe par un point de même coordonnée 𝑥 mais de coordonnée 𝑦 différente, ce qui laissez les options C et D. L’option C passe par le même point ( 3 ; 8 ; 0 ), donc ce doit être une solution. Enfin, nous devons verifier si l’option D est également une solution. Nous pouvons le faire en verifiant si (3; 8; 0) est un point sur cette droite: substitute la valeur 𝑡 = 2 dans chacune des équations paramétriques de cette droite donne le point (3; 9; 0). Cette équation n’est donc pas valide pour la droite d’intersection. Par consequently, the reaction is the option C. Method 2: Use a paramétrisation générale Rappelons que les équations paramétriques d’une dans l’espace sont de la forme 𝑥 = 𝑓 ( 𝑡 ) = 𝑥 + 𝑎 𝑡 , 𝑦. = 𝑥 = 𝑥 (𝑡) = 𝑦 + 𝑏 𝑡, 𝑧 = ℎ (𝑡) = 𝑧 + 𝑐 𝑡 ù 𝑡 𝑡 est un paramètre, 𝑥 et 𝑧 sont situation et 𝑎 , 𝑏 et 𝑐 sont les composantes du vecteur directeur de la droite, qui est colinéaire à la droite. Pour determiner l’ensemble des équations paramétriques de la droite d’intersection, nous devons définir une variable en fonction du parameter, substitute cette expression dans les équations des plans, puis réarranger les équations résultantes pour trouver les expressions des deux autres variables en fonction du Parameter. So 𝑥 = 𝑥 + 𝑎 𝑡 . Substituer cette expression dans les équations des plans donne 𝑥 + 𝑎 𝑡 + 𝑧 = 3 , 2 ( 𝑥 + 𝑎 𝑡 ) − 𝑦 − 𝑧 = − 2 . ( ) ( ) 4 5 Nous avons maintenant un système à deux équations en 𝑦 et 𝑧 , qui peut être « résolu » pour donner des expressions de 𝑦 et 𝑧 en fonction de 𝑡 . Dans l’équation (4), on peut réarranger pour obtenir one expression de 𝑧 en fonction de 𝑡 : 𝑧 = 3 − 𝑥 − 𝑎 𝑡 . Et substituer cette expression de 𝑧 dans l’équation (5) donne 2 ( 𝑥 + 𝑎 𝑡 ) − 𝑦 − ( 3 − 𝑥 − 𝑎 𝑡 ) = − 2 . Distribuer dans les parenthèses et insulator 𝑦 donne an expression de 𝑦 en fonction de 𝑡 : 𝑦 = 3 ( 𝑥 + 𝑎 𝑡 ) − 1 . Nous pouvons maintenant choisir des valeurs pour 𝑥 et 𝑎 , selon notre convenance, qui rendent les équations aussi simples que possible. Nous ne pouvons pas choisir 𝑎 = 0 , car le paramètre serait alors constant et ne définirait pas de manière unique chaque point de la droite, mais nous pouvons choisir n’importe quelle valeur de 𝑥 que nous souhaitons. Parmi la list des options proposed, quatre d’entre elles ont pour 𝑥 l’équation paramétrique 𝑥 = 3 + 𝑡 , donc essayons cette expression. Cela means que 𝑥 = 3 , 𝑎 = 1 . Substituer ces valeurs de 𝑥 et 𝑎 dans les expressions de 𝑦 et 𝑧 donne 𝑦 = 3 ( 3 + 𝑡 ) − 1 = 8 + 3 𝑡 . Et 𝑦 = 3 − 3 − 𝑡 = − 𝑡 . Nous avons alors un ensemble possible d’équations paramétriques pour 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 : 𝑥 = 3 + 𝑡 , 𝑦 = 8 + 3 𝑡 , 𝑧 = − 𝑡 , e t qui correspond to à la réponse C. Cela Confirme la réponse que nous a trouvée avec the première method, l’option C.
A dernière façon de décrire la droite d’intersection entre deux plans existe à utiliser une équation vectorielle.
Definition: Equation vectorielle d’une droite dans l’espace Une droite dans l’espace peut être définie sous forme vectorielle par l’équation ⃑ 𝑟 = ⃑ 𝑟 + 𝑡 ⃑ 𝑑 , où ⃑ 𝑟 = ( 𝑥 , 𝑦 力 ) est le vecteur position d’un point connu sur la droite, ⃑ 𝑑 est un vecteur non nul colinéaire à la droite et 𝑡 est un scalaire.
Comment on determining the vectorial equation of a third intersection between two plans Trouver a point de vector position ⃑ 𝑟 qui se situe sur les deux plans. On peut pour cela définir la valeur d’une variable, par example 𝑥 = 𝑥 , et résoudre les équations des deux plans pour determiner les valeurs correspondantes des deux autres variables, 𝑦 = 𝑦 et 𝑧 = 𝑧 . Determiner les vecteurs normaux à chaque plan, ⃑ 𝑛 et ⃑ 𝑛 , and extrayant les coefficients de leurs équations. Calculator le product vectoriel des vectors normaux ⃑ 𝑑 = ⃑ 𝑛 × ⃑ 𝑛 pour obtenir un vecteur ⃑ 𝑑 colinéaire à la droite d’intersection between the plans. L’équation vectorielle de la droite d’intersection est alors ⃑ 𝑟 = ⃑ 𝑟 + 𝑡 ⃑ 𝑑 , où 𝑡 est un scalaire.
Étudions un exemple d’utilization du produit vectoriel pour determiner le vector directeur de la droite d’intersection entre deux plans, puis l’equation vectorielle de cette droite.
Example 2: Determiner l’équation vectorielle de la droite d’intersection de deux plans Determinez l’équation vectorielle de la droite d’intersection des deux plans 𝑥 + 3 𝑦 + 2 𝑧 − 6 = 0 et 2 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 2 = 0 . ⃑ 𝑟 = ( 0 ; 2 ; − 1 2 ) + 𝑡 ( 5 ; 3 ; − 7 ) ⃑ 𝑟 = ( 0 ; 1 4 ; 1 2 ) + 𝑡 ( 2 ; − 3 ; 2 ) ⃑ 𝑟 = ( 0 ; 2 ; 0 ) + 𝑡 ( 2 ; − 3 ; 2 ) ⃑ 𝑟 = ( 0 ; 2 ; 0 ) + 𝑡 ( 5 ; 3 ; − 7 ) ⃑ 𝑟 = ( 0 ; 1 4 ; 1 2 ) + 𝑡 ( 5 ; 3 ; − 7 ) Réponse Pour trouver l’équation vectorielle de la droite d’intersection des deux plans, nous devons trouver le vecteur position ⃑ 𝑟 d’un point situé sur les deux plans, puis déterminer un vecteur directeur non nul ⃑ 𝑑 colinéaire a la droite d’intersection. L’équation vectorielle de la droite est alors ⃑ 𝑟 = ⃑ 𝑟 + 𝑡 ⃑ 𝑑 , où 𝑡 est un scalaire. Commençons par trouver le vector position ⃑ 𝑟 d’un point situé sur les deux plans. Nous commençons par choisir une variable comme paramètre et lui donnons une valeur de notre choix. Comme toutes les réponses proposed ont un vecteur constant avec une composante 𝑥 égale à zero, il est logique de définir 𝑥 = 0 . So it 𝑥 = 0 . Dans les équations des deux plans, on obtient 3 𝑦 + 2 𝑧 − 6 = 0 , − 𝑦 + 𝑧 + 2 = 0 . Sinous ne disposions pas d’options de réponses possibles, notre choix de valeur pour une variable aurait pu être invalide. Par example, si la droite d’intersection est parallel au plan 𝑦 𝑧 , la valeur de 𝑥 sera constante tout au long de la droite et problem differentte de la valeur choisie. Cependant, sit tel est le cas, il sera évident qu’il faut replacer la valeur choisie dans les équations des deux plans, car il n’y aura pas de solutions de points appartenant aux deux plans avec cette valeur, qui se trouve sur la droite d’intersection. Ce n’est pas le cas ici, donc nous avons maintenant deux équations pour 𝑦 et 𝑧 qui peuvent être résolues comme un système. D’après l’équation du deuxième plan, 𝑦 = 𝑧 + 2 . Substituer cette expression à 𝑦 dans l’équation du premier plan donne 3 ( 𝑧 + 2 ) + 2 𝑧 − 6 = 0 . Manifold in brackets and insulation 𝑧 donne 𝑧 = 0 . D’après l’équation ci-dessus, 𝑦 = 𝑧 + 2 , donc 𝑦 = 2 . Le vecteur position d’un point sur la droite d’intersection between the plans est donc ⃑ 𝑟 = ( 0 ; 2 ; 0 ) . Nous devons maintenant trouver un vecteur directeur colinéaire à la droite d’intersection des deux plans. Nous pouvons le faire en calculant le product vectoriel des vectors normaux de chaque plan. To find out the vectors normaux aux deux plans en lisant simplement reading coefficients of the variable in leurs équations 1 𝑥 + 3 𝑦 + 2 𝑧 − 6 = 0 , 2 𝑥 − 1 𝑦 + 1 𝑧 + 2 = 0 . Par consequently, deux vecteurs normaux aux plans sont relatedment ⃑ 𝑛 = ( 1 ; 3 ; 2 ) et ⃑ 𝑛 = ( 2 ; − 1 ; 1 ) . Nous pouvons maintenant évaluer le product vectoriel ⃑ 𝑛 × ⃑ 𝑛 en calculant le determinant de la matrice : ⃑ 𝑖 ⃑ 𝑗 ⃑ 𝑘 1 3 2 2 − 1 1 . Le determinant est | | | | ⃑ 𝑖 ⃑ 𝑗 ⃑ 𝑘 1 3 2 2 − 1 1 | | | | = ⃑ 𝑖 | | 3 2 − 1 1 | | − ⃑ 𝑗 | | 1 2 2 1 | | + ⃑ 𝑘 | | 1 3 2 − 1 | | = ⃑ 𝑖 ( 3 ⋅ 1 − 2 ⋅ ( − 1 ) ) − ⃑ 𝑗 ( 1 ⋅ 1 − 2 ⋅ 2 ) + ⃑ 𝑘 ( 1 ⋅ ( − 1 ) − 3 ⋅ 2 ) = ⃑ 𝑖 ( 3 + 2 ) − ⃑ 𝑗 ( 1 − 4 ) + ⃑ 𝑘 ( − 1 − 6 ) = 5 ⃑ 𝑖 + 3 ⃑ 𝑗 − 7 ⃑ 𝑘 = ( 5 , 3 , − 7 ) . Nous avons ainsi un vector directeur de la droite d’intersection des deux plans : ⃑ 𝑑 = ( 5 , 3 , − 7 ) . Par consequently, l’équation vectorielle de la droite d’intersection des deux plans est ⃑ 𝑟 = ⃑ 𝑟 + 𝑡 ⃑ 𝑑 = ( 0 , 2 , 0 ) + 𝑡 ( 5 , 3 , − 7 ) . Il s’agit de la réponse D.
Definition: Point d’intersection entre une droite et un plan Une droite et un plan non parallel se coupent en un seul point. Ce point est la solution unique au système des équations de la droite et du plan.
L’équation du plan, 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑐 𝑧 + 𝑑 = 0 , est a unique équation et l’équation de la droite, 𝑎 𝑥 + 𝑥 = 𝑏 𝑦 + 𝑦 peut être reformulée comme deux équations distinctes : 𝑎 𝑥 + 𝑥 = 𝑏 𝑦 + 𝑦 , 𝑎 𝑥 + 𝑥 = 𝑐 𝑧 + 𝑧 .
Il s’agit d’un système de trois équations unmistakably à trois inconnues qui n’a donc aucune solution (si la droite et le plan sont parallèles et ne se coupent pas), a unique solution (si la droite n’est pas contenue dans le plan et le coupe) or a infinite de solutions (si la droite est contenue dans le plan).
Comme pour all système de 𝑛 équations à 𝑛 inconnues, il existe plusieurs methods de resolution.
Example 3: Determiner l’intersection d’une droite et d’un plan à partir de leurs équations cartésiennes determinez le point d’intersection de la droite − 3 𝑥 = 4 𝑦 − 2 = 𝑧 + 1 et du plan − 3 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 3 . Answer Le point d’intersection ( 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 ) entre one droite et un plan est la solution unique au système des équations de la droite et du plan. Il existe plusieurs methods of resolution. Pour cet example, nous allons résoudre les équations algébriquement. At the beginning par réécrire l’équation de la droite comme deux équations distinctive, toutes les deux en fonction de 𝑧 : − 3 𝑥 = 𝑧 + 1 , 4 𝑦 − 2 = 𝑧 + 1 . Rearrange ces deux équations donne of the explicit expression de 𝑥 and 𝑦 in the function de 𝑧: 𝑥 = − 1 3 (𝑧 + 1), 𝑦 = 1 4 (𝑧 + 3). Substituer ces expressions à 𝑥 et 𝑦 dans l’équation du plan donne une équation uniquement en fonction de 𝑧 , que nous pouvons résoudre pour 𝑧 : − 3 − 1 3 ( 𝑧 + 1 ) + 1 4 ( 𝑧 + 3 ) + 𝑧 = 1 3 . Manifold in brackets and simplification 𝑧 + 1 + 𝑧 4 + 3 4 + 𝑧 = 1 3 9 𝑧 4 = 4 5 4 𝑧 = 5 . On substitute cette value de 𝑧 dans les équations de 𝑥 et 𝑦 , 𝑥 = − 1 3 ( 5 + 1 ) = − 2 . 𝑦 = 1 4 ( 5 + 3 ) = 2 . Par consequently, le point d’intersection between la droite et le plan est ( − 2 ; 2 ; 5 ) .
Le point d’intersection entre une droite et un plan peut aussi être à partir de leurs équations vectorielles.
Definition: Equation vectorielle d’un plan Un plan peut être défini par une équation vectorielle de la forme ⃑ 𝑛 ⋅ ⃑ 𝑟 = 𝑐 , où ⃑ 𝑟 est le vecteur position d’un point du plan, ⃑ 𝑛 est un vecteur constant qui est normal au plan et 𝑐 est un scalaire constant.
On rappelle également que l’équation vectorielle d’une droite dans ℝ est ⃑ 𝑟 = ⃑ 𝑟 + 𝑡 ⃑ 𝑑 , où ⃑ 𝑟 est le vecteur position d’un point sur la droite, ⃑ eur est un la colinéaire droite et 𝑡 est un scalaire.
La valeur du paramètre scalaire 𝑡 definitely de manière unique chaque point de la droite, de sorte que le point d’intersection between la droite et le plan correspondra à une valeur unique de 𝑡 . On peut trouver cette valeur de 𝑡 en posant le vector position ⃑ 𝑟 dans l’équation du plan égal au vector position ⃑ 𝑟 = ⃑ 𝑟 + 𝑡 ⃑ 𝑑 dans l’équation de la droite, car au point d’intersection (s il existe), les vecteurs positions seront égaux.
Par conséquent, nous devons determiner la valeur de 𝑡 qui résout l’équation : ⃑ 𝑛 ⋅ ⃑ 𝑟 + 𝑡 ⃑ 𝑑 = 𝑐 .
Étudions an example d’utilization de cette method pour determiner le point d’intersection entre une droite et un plan dans l’espace à partir de leurs équations vectorielles.
Example 4: Determiner les coordonnées du point d’intersection d’une droite et d’un plan Determinez les coordonnées du point d’intersection de la droite ⃑ 𝑟 = ( 8 ; 2 ; − 5 ) + 𝑡 ( − 7 ; − 9 ; 1 3 ) with plan ( 9 ; 4 ; − 5 ) ⋅ ⃑ 𝑟 = − 5 9 . Answer: Si la droite est secante au plan, il existe une valeur unique de 𝑡 pour laquelle le vecteur ⃑ 𝑟 est le même dans l’équation de la droite et dans celle du plan. Nous commençons par réécrire l’équation vectorielle de la droite comme un seul vecteur : ⃑ 𝑟 = ( 8 − 7 𝑡 , 2 − 9 𝑡 , − 5 + 1 3 𝑡 ) . Au point d’intersection, le vecteur position ⃑ 𝑟 sera le même dans les deux équations, on peut donc substitute le vecteur ⃑ 𝑟 de l’équation de la droite dans l’équation du plan. Cela donne ( 9 , 4 , − 5 ) ⋅ ( 8 − 7 𝑡 , 2 − 9 𝑡 , − 5 + 1 3 𝑡 ) = − 5 9 . Expanding the dot product, 9 ( 8 − 7 𝑡 ) + 4 ( 2 − 9 𝑡 ) − 5 ( − 5 + 1 3 𝑡 ) = − 5 9 . To simplify and determine 𝑡 , 7 2 − 6 3 𝑡 + 8 − 3 6 𝑡 + 2 5 − 6 5 𝑡 = − 5 9 − 1 6 4 𝑡 = − 1 6 4 𝑡 = 1 . Il s’agit de la valeur de 𝑡 au point d’intersection between droite et le plan. In the substituant in the equation of the word, ⃑ 𝑟 = ( 8 − 7 , 2 − 9 , − 5 + 1 3 ) = ( 1 , − 7 , 8 ) . Par consequently, le point d’intersection between la droite et le plan est ( 1 ; − 7 ; 8 ) .
Pour three plans differents dans l’espace, le nombre de scenarios possibles est plus élevé.
Si les 3 plans sont paralleles, il n’y a pas d’intersection entre eux. Si deux plans sont parallel entre eux et qu’un troisième ne l’est pas, alors ce troisième plan coupe les deux autres plans en deux droites d’intersection distinct. There are three plans that are not parallel between Europe, and that it is possible to have a couple at a seul point. En outre, si tous les plans sont non paralleles, ils peuvent se couper le long d’une droite. Si les trois plans sont non paralleles, le troisième plan peut aussi couper les deux autres plans séparément, formant trois droites d’intersection qui sont paralleles entre elles.
Étudions un exemple de recherche du seul point d’intersection entre trois plans dans le scenario 𝑐 ci-dessus.
Example 5: Determiner le point d’intersection de 3 plans Determinez le point d’intersection des plans − 5 𝑥 − 2 𝑦 + 6 𝑧 − 1 = 0 , − 7 𝑥 + 8 𝑦 + 𝑧 − 6 = 0 et 𝑥 − 3 𝑦 + 3 𝑧 + 1 1 = 0 . Réponse Dans cet exemple, il est indiqué qu’il y a un seul point d’intersection between three plans. Puisqu’un point d’intersection verifie les équations des trois plans, il existe a solution unique au système des trois équations. Comme all systems d’equations linéaires, il existe plusieurs methods de solution. Method 1 : Approche géométrique A method for determining the point d’intersection between the 3-plans. Nous pouvons le faire en determinant les équations paramétriques de la droite d’intersection between les deux premiers plans, en exprimant 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 en fonction d’un paramètre 𝑡 . Nous pourrons alor substitute ces expressions de 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 dans l’équation du troisième plan et résoudre l’équation résultante pour obtenir la valeur de 𝑡 . Substituer cette valeur de 𝑡 dans les équations paramétriques de la droite donnera les coordonnées 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 du point d’intersection between les 3 plans. Considérons les équations cartésiennes des deux premier plans : − 5 𝑥 − 2 𝑦 + 6 𝑧 − 1 = 0 , − 7 𝑥 + 8 𝑦 + 𝑧 − 6 = 0 . Nous pouvons trouver les équations paramétriques de la droite d’intersection entre ces deux plans en définissant une variable égale au paramètre 𝑡 puis en résolvant les équations résultantes pour obtenir des expressions des deux autres variables en fonction de 𝑡 . So 𝑧 = 𝑡 . Substituer cette expression à 𝑧 dans les équations des deux plans donne − 5 𝑥 − 2 𝑦 + 6 𝑡 − 1 = 0 , − 7 𝑥 + 8 𝑦 + 𝑡 − 6 = 0 . ( ) ( ) 6 7 On doit maintenant éliminer une variable des équations. Multiplier l’équation (6) par 4 and l’ajouter à l’équation (7) donne − 2 7 𝑥 + 2 5 𝑡 − 1 0 = 0 . On determining when 𝑥 , 𝑥 = 2 5 𝑡 − 1 0 2 7 . On peut maintenant substituted cette expression de 𝑥 dans l’équation (6) et déterminer 𝑦 : − 5 2 5 𝑡 − 1 0 2 7 − 2 𝑦 + 6 𝑡 − 1 = 0 𝑦 = − 5 + 6 𝑡 − 1 2 𝑦 = 3 7 𝑡 + 2 3 5 4 . Nous avons donc maintenant l’ensemble des valeurs de 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 des points qui se situent sur la droite d’intersection des deux premiers plans, expresses en fonction du paramètre 𝑡 . Si on substitue maintenant ces expressions à 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 dans l’équation du troisième plan, on peut déterminer 𝑡 , ce qui donnera la valeur de 𝑡 au point d’intersection entre les trois plans. L’équation du troisième plan est 𝑥 − 3 𝑦 + 3 𝑧 + 1 1 = 0 . On substitue les expressions paramétriques de 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 , 2 5 𝑡 − 1 0 2 7 − 3 3 7 𝑡 + 2 3 5 4 + 3 𝑡 + 1 1 = 0 . On determine maintenant 𝑡 , 5 0 𝑡 − 2 0 5 4 − 1 1 1 𝑡 + 6 9 5 4 + 1 6 2 𝑡 5 4 + 5 9 4 5 4 = 0 5 0 𝑡 − 2 0 − ( 1 1 1 𝑡 + 6 9 ) + 1 6 2 𝑡 + 5 9 4 = 0 1 0 1 𝑡 + 5 0 5 = 0 𝑡 = − 5 . Substituer cette valeur de 𝑡 dans les équations paramétriques de 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 donne 𝑥 = 2 5 𝑡 − 1 0 2 7 = − 1 2 5 − 1 0 2 7 = − 5 , 𝑦 = 3 7 𝑡 + 2 3 5 4 = − 1 8 5 + 2 3 5 4 = − 3 , 𝑧 = 𝑡 = − 5 . Par consequently, le point d’intersection between les 3 plans est (−5 ; −3 ; −5 ) . Method 2 : Règle de Cramer Nous commençons par réécrire le système d’équations comme une équation matricielle de la forme 𝐴 𝑋 = 𝐵 : − 5 𝑥 − 2 𝑦 + 6 𝑧 − 1 = 0 , − 7 𝑥 + 8 𝑦 + 𝑦 + 𝑦 6 = 0 , 𝑥 − 3 𝑦 + 3 𝑧 + 1 1 = 0 . En déplaçant les constantes − 1 , − 6 et 11 sur le membre droit et en réécrivant le membre gauche comme le produit d’une matrice 𝐴 et de la matrice solution 𝑋 = 𝑥 𝑦 𝑧 , on a − 5 − 2 6 − 7 8 1 1 − 3 3 𝑥 𝑦 𝑧 = 1 6 − 1 1 . La règle de Cramer stipule que 𝑥 = Δ , 𝑦 = Δ , 𝑧 = Δ Δ determinant de la matrice formée en remplaçant la colonne de 𝐴 associée à 𝑥 (la première colonne) par la matrice 𝐵 . Il convient de noter ici que les 3 plans se coupent en un seul point si, et seulement si, le determinant de la matrice Δ est non nul. Cela équivaut à l’existence d’une solution unique au système d’équations. Comme Δ , le determinant de la matrice 𝐴 , est commun aux 3 équations, calculons-le en premier : Δ = | | | | − 5 − 2 6 − 7 8 1 1 − 3 3 | | | | = − 5 | | 8 1 − 3 3 | | + 2 | | − 7 1 1 3 | | + 6 | | − 7 8 1 − 3 | | = − 5 ( 2 4 − ( − 3 ) ) + 2 ( − 2 1 − 1 ) + 6 ( 2 1 − 8 ) = − 1 3 5 − 4 4 + 7 8 = − 1 0 1 . Bien que cela était indiqué dans l’énoncé, nous avons maintenant Confirmé que les 3 plans doivent se couper en un seul point car le determinant Δ est non nul. Maintenant, pour trouver Δ , on calcule le determinant de la matrice formée en remplaçant la colonne de 𝐴 associée à 𝑥 par la matrice 𝐵 à droite de l’équation : Δ = | | | | 1 − 2 6 6 8 1 − 1 1 − 3 3 | | | | = 1 | | 8 1 − 3 3 | | + 2 | | 6 1 − 1 1 3 | | + 6 | | 6 8 − 1 1 − 3 | | = ( 8 ⋅ 3 − 1 ⋅ ( − 3 ) ) + 2 ( 6 ⋅ 3 − 1 ⋅ ( − 1 1 ) ) ) + 6 ( 6 ⋅ ( − 3 ) − 8 ⋅ ( − 1 1 ) ) = 2 7 + 5 8 + 4 2 0 = 5 0 5 . En substituant cette value de Δ dans la règle de Cramer, 𝑥 = Δ Δ = 5 0 5 − 1 0 1 = − 5 . On peut suivre le même raisonnement pour 𝑦 et 𝑧 : Δ = | | | | − 5 1 6 − 7 6 1 1 − 1 1 3 | | | | = − 5 | | 6 1 − 1 1 3 | | − 1 | | − 7 1 1 3 | | + 6 | | − 7 6 1 − 1 1 | | = − 5 ( 6 ⋅ 3 − 1 ⋅ ( − 1 1 ) ) − ( − 7 ⋅ 3 − 1 ⋅ 1 ) + 6 ( − 7 ⋅ ( − 1 1 ) − 6 ⋅ 1 ) = − 1 4 5 + 2 2 + 4 2 6 = 3 0 3 . En substituant cette valeur de Δ dans la règle de Cramer, 𝑦 = Δ Δ = 3 0 3 − 1 0 1 = − 3 . Et enfin, pour 𝑧 , Δ = | | | | − 5 − 2 1 − 7 8 6 1 − 3 − 1 1 | | | | = − 5 | | 8 6 − 3 − 1 1 | | + 2 | | − 7 6 1 − 1 1 | | + 1 | | − 7 8 1 − 3 | | = − 5 ( 8 ⋅ ( − 1 1 ) − 6 ⋅ ( − 3 ) ) + 2 ( − 7 ⋅ ( − 1 1 ) − 6 ⋅ 1 ) + ( − 7 ⋅ ( − 3 ) − 8 ⋅ 1 ) = 3 5 0 + 1 4 2 + 1 3 = 5 0 5 . En substituant cette valeur de Δ dans la règle de Cramer, 𝑧 = Δ Δ = 5 0 5 − 1 0 1 = − 5 . Donc, nous avons 𝑥 = − 5 , 𝑦 = − 3 et 𝑧 = − 5 . C’est la solution unique au système des équations des trois plans. Par conséquent, le point d’intersection entre les trois plans est ( − 5 ; − 3 ; − 5 ) .
Nous allons maintenant conclure notre présentation sur les points et les droites d’intersection entre des droites et des plans dans ℝ en rappelant quelques points clés.
Intersection de deux plans
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