Loi Des Exposants Exercices? The 48 Correct Answer

Vous pouvez define a character of the text legèrement au-dessus (exposant) or en dessous (indice) de la ligne de base normal du type :

Example: lorsque vous ajoutez une mark, un copyright ou un autre symbols à votre presentation, vous souhaiterez peut-être que le symbols apparaisse légèrement au-dessus du reste de votre texte. If you create a note on the bottom of the page, you want to say that it is fair to choose a meme with a name.

L’exposant de l’operation puissance [1] est un cipher ou un nombre qui, place à droite et en haut d’une valeur (appelée base), vous indique combien de fois vous devez multiplier la base par elle-même. Pour additionner des nombres élevés à une puissance, il faut en premier lieu calculer, de tête, à la main ou avec une calculatrice, chacune des puissances, puis on fait la somme. Quand il s’agit d’inconnues élevées à une puissance, l’addition est un peu plus compliquée, mais il suffit de respecter Certaines règles que l’on va voir.

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment effectuer des operations et des simplifications avec des expressions qui comportent des exposants rationnels.

Les exposants ont de nombreuses concrete applications – par example, at scientific level, on les retrouve dans la construction de l’échelle pH or de l’échelle de Richter ; on peut en retrouver en physique, avec la loi en carrée inverse de l’electromagnétisme, de la gravité ou de la demi-vie d’un matériau radioactif ; encore, leur usage est commune en ingénierie, lors de la prize de mesures et du calcul des quantities multidimensionalnelles ; enfin, on en retrouve aussi en informatique, quand on décrit la capacité de la mémoire telle que la RAM ou la ROM, en finance, avec l’intérêt composé, ou en biologie, lors de la description de la croissance ou de la propagation des bacteria ou des virus, pour n’en citer que quelques-uns des champs d’application.

Un exposant rationnel est un exposant sous la forme d’un nombre rationnel (c’est-à-dire un entier ou le quotient de deux nombres entiers).

Faisons d’abord un rappel de ce que sont les puissances entières. Pour les puissances entières positives, on a la definition suivante.

Définition: Exposants Positifs de nombres Entiers la forme générale d’Un base 𝑎 Élevée à la puissance 𝑛, où 𝑛 est and nombre entertier positif, est donnée par 𝑎 = 𝑎 × × ⋯          ,       où il y a 𝑛 facteurs de la base 𝑎 (c.-à-d. 𝑎 est multiplié par lui-même à plusieurs reprises et apparaît dans le produit 𝑛 fois).

For example, 3 = 3 × 3  est le carré du nombre 3 et 3 = 3 × 3 × 3  est le cube du nombre 𝑎 , et ainsi de suite.

Pour les puissances entières negatives, on prend l’inverse de l’exposant positif.

Definition : Exposants négatifs de nombres entiers La forme générale d’une base 𝑎 élevée à la puissance − 𝑛 , où 𝑛 est un nombre entier positif, est donnée par 𝑎 = 1 𝑎 .   

Example: 7 = 1 7 = 1 4 9    .

Rappelons que, pour determiner le produit de deux puissances qui ont la même base, on a la règle du produit pour les exposants, 𝑎 × 𝑎 = 𝑎 .     

En d’autres termes, si les bases sont les mêmes lorsqu’on multiplie, on peut ajouter les puissances. Par example, 4 × 4 = 4 = 4       , qui, en partant de la definition, est 4 apparaissant deux fois dans le product pour 4  et 3 fois pour 4  , soit a total de 5 fois dans the product. On a également une règle pour le produit de deux bases différentes 𝑎 et 𝑏 élevées à la même puissance, en particulier 𝑎 × 𝑏 = ( 𝑎 × 𝑏 ) .   

En d’autres termes, si les exposants sont les memes, alors on peut multiplier les bases d’abord, puis évaluer l’exposant du résultat. Example: 2 × 3 = ( 2 × 3 ) = 6 = 3 6     , ce qui est le résultat Attendu étant donné que 2 × 3 = 4 × 9 = 3 6   . Another option to consider is that it is the puissance that is distributed by the report on the multiplication of the exhibits.

On a également une règle pour augmenter 𝑎  à une autre puissance 𝑚 tel que ( 𝑎 ) = 𝑎 .    × 

En d’other terms, élever un nombre avec une base 𝑎 et un exposant 𝑛 à un autre exposant 𝑚 revient à élever 𝑎 à 𝑛 × 𝑚 . Example:  5  = 5 = 1 5 6 2 5    , ce qui est le résultat Attendu car  5  = 2 5 = 1 5 6 2 5    .

Les mêmes règles, telles que le produit d’une base avec des exposants différents ou le produit de deux bases différentes avec le même exposant, sont valides pout les exposants négatifs. Ceci parce qu’on a un exposant positive and prenant l’inverse.

On people’s words directement dans la definition. Par example, si on a la même base 𝑎 avec different exposants négatifs − 𝑛 et − 𝑚 , où 𝑛 et 𝑚 sont positifs, on peut l’écrire comme suit : 𝑎 × 𝑎 = 1 𝑎 × 1 𝑎 = 1 𝑎 × 1 𝑎 × 1 𝑎 × = 𝑎 = 𝑎 .             (    )    

De même, si on divise deux puissances différentes mais avec la même base 𝑎 , on obtient 𝑎 𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝑎 .        

Example: 5 5 = 5 = 5 = 2 5       . On note également que, pour un exposant zero et pour toute base non nulle 𝑎 , on a 𝑎 = 1  . On peut le voir directement à partir des règles ci-dessus en prenant le produit de 𝑎 élevé à 𝑛 et − 𝑛 : 𝑎 × 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 .       

Par contre, à partir de la definition de l’exposant negatif, 𝑎 × 𝑎 = 𝑎 × 1 𝑎 = 𝑎 𝑎 = 1 .       

Ainsi, auf a 𝑎 = 1  pour toute base non-nulle 𝑎 , comme prévu. In addition, there are products that differ from each other 𝑎 et 𝑏 élevées à la même puissance negativ : 𝑎 × 𝑏 = 1 𝑎 × 1 𝑏 = 1 𝑎 × 𝑏 = 1 ( 𝑎 × 𝑏 ) = ( 𝑎 × .        

Cela means également que lorsqu’on élève une fraction 𝑎 𝑏 à une puissance entière 𝑛 , on peut l’exprimer comme suit :  𝑎 𝑏  = 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 .      

Example:  3 2  = 3 2 = 9 4    .

En simplifiant des exposants rationnels avec des bases différentes, il est plus simple d’essayer d’écrire chaque puissance avec le même exposant en utilisant la propriété ( 𝑎 ) = 𝑎    ×  . Example: 4  peut être écrit comme 4 =  2  = 2      .

On top of that, it simplifies the exposants and the required bases in the function of factorization in the names of the first, so the base is a name. Cela nous permet de séparer l’expression avec des bases semblables et d’appliquer la règle du produit avec 𝑎 × 𝑎 = 𝑎      .

Consider an example in the Lequel on use les properties of the exposants avec an exposant negative pour simplifier and expression rationale algébrique.

Example 1: Simplifier des expressions rationalnelles algébriques en utilisant les propriétés des exposants avec des exposants negatis Simplifiez 4 5 × ( 6 3 ) × 3 2 2 5 × ( 2 1 )            . Réponse dans cet example, nous allons simplifier une expression algébrique rationnelle en utilisant les propriétés des exposants suivantes: (𝑎 × 𝑏) = 𝑎 × 𝑏,  𝑏 𝑎 𝑏, 𝑎 × 𝑎, (𝑎) = 𝑎, 𝑎 = 1 𝑎 . Étant donné que l’exposant 9 𝑛 apparaît beaucoup dans l’expression donnée, nousul essaierons d’écrire Les facts qui apparaissent peuvent être reformulés comme suit : 4 5 =  4 5  , ( 6 3 ) = 1 6 3 , ( 2 1 ) = 1 2 1 .                 , 2 1 = 3 × 7 .     Par conséquent, on a 4 5 =  3 × 5  =  3  × 5 = 3 × 5 .        Ainsi, en les utilisant, on peut écrire l’expression like 4 5 × ( 6 3 ) × 3 2 2 5 × ( 2 1 ) =  4 5  × × 3 2 2 5 × =  4 5  × 3 × 2 1 2 2 5 × 6 3 =  4 5 × 3 × 2 1 2 2 5 × 6 3  =  3 × 5 × 3 × 3 × 7 3 × 5 × 3 × 7  =  3 × 5 × 7 3 × 5 × 7  =  3  = 3 . ”             

Consider an other example, with the exposants being slightly different, which should be simplified and the properties of the exposants used.

Example 2: Simplifier des expressions rationale algébriques en utilisant les propriétés des exposants Simplifiez 4 × 2 5 2 × 5 0                 . Réponse dans cet example, nous allons simplifier une expression algébrique rationnelle en utilisant les propriétés des exposants suivantes: (𝑎 × 𝑏) = 𝑎 × 𝑏,  𝑏 𝑎 𝑏, 𝑎 × 𝑎, (𝑎) = 𝑎, 𝑎 = 1 𝑎 .          × ×    é Étant donné que l’Emposant 3 𝑛 Apparaît Beaucoup dans l’Expression donnée, node esaierons d’écrire les facteurs qui Apparaissent être reformulés suit: 4 = 4 × 4 , 2 5 = 2 5 × 2 5 = 2 5 2 5 , 2 = 2 × 2 =  2  × 2 , 5 0 = 5 0 × 5 0 = 5 0 5 0 .            . = 2 . 5 0 = 2 × 5 . 2 5 = 5 .    Par conséquent, l’expression peut être écrite comme 4 × 2 5 2 × 5 0 = 4 × 4 × ( 2 ) × 2 × = 4 × 4 × 2 5 × 5 0 ( 2 ) × 2 × 5 0 × 2 5 =  4 × 5 0 2 × 2 5  ×  4 2  × 2 5 5 0 =  2 × 2 × 5 2 × 5  ×  2 2  × 5 2 × 5 =  2 × 5 2 × 5  ×  2 2  × 1 2 = 1 × 2 × 1 2 = 2 = 4 . ”                      

Jusqu’à present, nous avons considered des exposants entiers. Mais que se passe-t-il si les exposants sont des fragments ? Rappelons d’abord ce qu’est la racine n – i è m e d’un nombre 𝑎 .

La racine n – i è m e d’un nombre réel 𝑎 , où 𝑛 est un nombre entier positif, est un nombre réel 𝑟 qui, lorsqu’élevé à la puissance 𝑛 , donne 𝑎 : 𝑟 = 𝑎 . 

Si 𝑎 < 0 and 𝑛 est un nombre pair, alors aucune racine réelle n'existe. Ainsi, on note la racine positive comme 𝑟 = √ 𝑎  , pour toutes les valeurs entières positives de 𝑛 . Si 𝑛 est pair, alors on an other racine réelle définie par − 𝑟 , car ce nombre élevé à la puissance de 𝑛 donne aussi 𝑎 : ( − 𝑟 ) = ( − 1 ) × 𝑟 = 𝑟 = 𝑎 ,    puisque ( − 1 ) = 1  lorsque 𝑛 est pair. Ainsi, si 𝑛 est pair et 𝑎 > 0 , les racines réelles sont ± 𝑟 . Si 𝑛 est impaired, on a toujours une racine réelle unique, 𝑟 .

Par example, les racines carrées de 9 sont 3 et − 3 vu que 3 × 3 = − 3 × − 3 = 9 , mais la racine carrée de − 9 n’existe pas. En outre, la racine cubique de 27 est 3 et la racine cubique de − 2 7 est − 3 .

Definition : La racine n-ième et l’exposant 1/n Un exposant fragmentnaire 1 𝑛 , où 𝑛 est un nombre entier, d’un nombre 𝑎 peut être exprimé en termes de racine n – i è m e d’un nombre comme suit 𝑎 = √ 𝑎 .   

For example 3 6 = √ 3 6 = 6   .

Consider an example in lequel on use ceci for simplifier an expression.

Example 3: Simplifier une expression élevée à un exposant rationalnel Simplifiez −  6 4 𝑎 𝑏        , où 𝑎 et 𝑏 sont des constantes positives. Réponse Dans cet exemple, nous allons simplifier une expression élevée à un exposant rationnel. Nous utiliserons la property des exposants qui stipule que ( 𝑎 ) = 𝑎 .    ×  Remarks par noter que 6 4 = 2 .  Par conséquent, l’expression peut être écrite comme −  6 4 𝑎 𝑏  = − ( 6 4 ) ×  𝑎  ×  𝑏  = −  2  ×  𝑎  ×  𝑏 −  = 𝑏  × 𝑏 = − 2 𝑎 𝑏 . ”

Considérons à present an example in dans lequel to simplify an expression élevée à un exposant rationale.

Example 4: Simplifier an expression élevée à un exposant rationnel Développez  −  𝑎 + 1 𝑎         , où 𝑎 est une constante réelle. 𝑎 + 2 𝑎 + 1   𝑎 – 𝑎 – 2 𝑎 – 1 𝑎  𝑎 – 𝑎 – 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎  𝑎 𝑎 𝑎 – 2 𝑎 + 1    Réponse -Dans Cet Exemple , Nous Allons Simplify Easier -Simplification Une Une Une Une Une Une Une Une Une Une Une Une Une Une Une Une Une Une Une. Expression élevée à un exposant rationalnel. Nous allons utiliser la propriété des puissances suivante ( 𝑎 ) = 𝑎 ,    ×  et le fait que 1 = 1  pour tout exposant rationnel 𝑝 . Par conséquent, l’expression peut être écrite comme  −  𝑎 + 1 𝑎   = ( − 1 )   𝑎 + 1 𝑎   = −  𝑎 + 1 𝑎  = −  𝑑 = 𝑎 − 2 𝑎 − 1 𝑎 .                        Ce qui donne l’Option B.

Encore une fois, les memes règles que nous avons établies sur les exposants entiers s’appliquent pour les exposants rationnels et nous pouvons les utiliser pour écrire un nombre élevé à toute puissance rationnelle. Un nombre rationnel 𝑛 peut être exprimé par 𝑛 = 𝑝 𝑞 , où 𝑝 et 𝑞 sont des nombres entiers et 𝑞 est non-nul.

Définition: Exposant fractionnaire un Exposant fractionnaire 𝑞 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 et 𝑞 Sont des nombres entertier et 𝑞 ≠ 0, d’un nombre 𝑎 peut être Exprimé par  = √ √,       en supposant qu’une racine réelle  √ 𝑎 exists.

On peut le voir à partir de la propriété ( 𝑎 ) = 𝑎    ×  et la racine q – i è m e d’un nombre 𝑎 (en supposant qu’une racine existe) comme 𝑎 =  𝑎  =  √ 𝑎         ou, de manière équivalente, 𝑎 = ( 𝑎 ) =  √ 𝑎  .       

Afin de simplifier des expressions numériques avec des bases differenttes et des exposants rationnels, il est plus simple d’écrire les bases en fonction de leur factorization en nombres premiers, si la base est un nombre entier. Cela nous permet de separate l’expression avec des bases semblables et d’appliquer la propriété du produit pour les exposants avec 𝑎 × 𝑎 = 𝑎      .

Consider an example in this example to do it fairely for a simplifier in an expression.

Example 5: Simplifier an expression qui content des nombres entiers élevés à des exposants rationnels Simplifiez ( 3 6 ) × ( 2 1 ) × ( 8 ) ( 4 8 6 ) × ( 4 2 )          . Réponse Dans cet exemple, nous allons simplifier une expression qui content des nombres entiers élevés à des exposants rationnels. Nous allons utiliser les propriétés of the exposant suivantes: (𝑎 × 𝑏) = 𝑎 × 𝑏 𝑎 𝑏  𝑏 𝑏 𝑏, 𝑎 × 𝑎 = 𝑎, (𝑎) = 𝑎, 𝑎 = 1             ×     On peut also decomposer les bases en facteurs premiers : 3 6 = 3 × 2 , 2 1 = 3 × 2 , 4 6 = 2 × 3 , 4 2 = 2 × 3 × 7 .     En appliquant la puissance correspondante à chacune de ces bases, on obtient ( 3 6 ) =  3 × 2  =  3  ×  2  = 3 × 2 , ( 2 1 ) = ( 3 × 7 ) = 3 × 7 , ( 8 ) =  2  = 2 , ( 4 8 6 ) =  2 × 3  = 2 ×  3  = 2 × 3 , ( 4 2 ) = ( 2 × 3 × 7 ) = 2 × 3 × 7 . ”  Ainsi, en utilisant ceci, l’expression donnée peut être écrite comme ( 3 6 ) × ( 2 1 ) × ( 8 ) ( 4 8 6 ) × ( 4 2 ) = 3 × 2 × 3 × 7 × 2 2 × 3 × 2 × 3 × 7 =  2 × 2 2 × 2  ×  3 × 3 3 × 3  ×  7 7  = 2 × 3 × 7 = 2 × 3 × 7 = 1 2 × 1 3 × 1 7 = 1 8 4 . ”                     

Sil la base est un nombre decimal ou one fraction, so to doit écrire la base comme une fraction, puis decomposer le numérateur et le dénominateur en leurs facteurs premiers. Maintenance, voyons quelques exemples de cela.

Example 6: Simplifier an expression numérique élevée à des exposants rationnels Simplifiez ( 0 , 2 5 ) ( 1 , 8 ) 8      . Réponse Dans cet exemple, nous allons simplifier une expression numérique élevée à des exposants rationnels. Nous allons utiliser les propriétés of the exposant suivantes: (𝑎 × 𝑏) = 𝑎 × 𝑏 𝑎 𝑏  𝑏 𝑏 𝑏, 𝑎 × 𝑎 = 𝑎, (𝑎) = 𝑎, 𝑎 = 1             ×     Écrivons d’abord chaque base sous forme de fragment et exprimons le dénominateur et le numerateur en fonction de leur 1 4 = 1 2 , 1 , 8 = 9 5 = 3 5 , 8 = 2 .    En appliquant la puissance correspondante à chacune de ces bases, on obtient ( 0 , 2 5 ) =  1 2  = 1 ( 2 ) = 1 2 , ( 1 , 8 ) =  3 5  = ( 3 ) 5 = 3 5 , 8 =  2  = 2 .                        Ainsi, en utilisant ceci, l’expression peut être écrite, comme ( 8 2 × 2 × 5 = 3 2 × 5 = 8 1 8 0 0 .                    

Example 7: Simplifier an expression numérique élevée à des exposants rationnels Simplifiez ( 0 , 8 ) × ( 3 6 ) × 5 ( 3 0 ) × ( 1 , 2 5 )            . Réponse Dans cet exemple, nous allons simplifier une expression numérique élevée à des exposants rationnels. Nous allons utiliser les propriétés of the exposant suivantes: (𝑎 × 𝑏) = 𝑎 × 𝑏 𝑎 𝑏  𝑏 𝑏 𝑏, 𝑎 × 𝑎 = 𝑎, (𝑎) = 𝑎, 𝑎 = 1             ×     Écrivons d’abord chaque base sous forme de fraction, puis exprimons le dénominateur et le numér ers: mio de position leur 4 5 = 2 5 , 3 6 = 3 × 2 , 3 0 = 2 × 3 × 5 , 1 , 2 5 = 5 4 = 5 2 .     En appliquant la puissance correspondante à chacune de ces bases, on obtient ( 0 , 8 ) =  2 5  =  2  5 = 2 5 , ( 3 6 ) =  3 × 2  =  3  ×  2  = 3 × 2 , ( 3 0 ) = ( 2 × 3 × 5 ) = 2 × 3 × 5 , ( 1 , 2 5 ) =  5 2  = 5 ( 2 ) = 5 2 . ”          Ainsi, en utilisant cela, l’expression peut être écrite comme ( 0 , 8 ) × ( 3 6 ) × 5 ( 3 0 ) × ( 1 , 2 5 ) = × 3 × 2 × 5 2 × 3 × 5 × = 2 × 3 × 2 × 5 × 2 2 × 3 × 5 × 5 × 5 =  2 × 2 × 2 2  ×  3 3  ×  5 5 × 5 × 5  = 2 × 3 × 5 = 2 × 3 × 5 = 8 × 9 × 2 5 = 1 8 0 0

Enfin, consider an example in dans lequel to doit simplifier and expression algébrique contenant des exposants rationnels et négatifs.

Example 8: Simplifier une expression algébrique impliquant des exposants rationnels et négatifs en utilisant les propriétés des exposants Determinez la forme la plus simple de ( 1 6 ) × 2 7 ( 1 4 4 ) × √ 8 1           . Answer Dans cet exemple, nous allons simplifier une expression algébrique qui content des exposants rationnels et négatifs. Nous allons utiliser les propriétés of the exposant suivantes: (𝑎 × 𝑏) = 𝑎 × 𝑏 𝑎 𝑏  𝑏 𝑏 𝑏, 𝑎 × 𝑎 = 𝑎, (𝑎) = 𝑎, 𝑎 = 1 𝑎,              ×     avec le fait que 1 = 1  pour tout nombre rationnel 𝑝 . Supposons que 𝑥 est un nombre rationnel et commençons par séparer les exposants de chacun des facteurs: (1 6) =  1 6 , 2 7 = 2 7 × 2 7, (1 4 4) =  1 4 4 .                     3 .      En appliquant les puissances correspondantes aux bases, on obtient 1 6 =  2  = 2 , 2 7 =  3  = 3 , 1 4 4 =  2 × 3  =  2  ×  3  = 2 × 3 . ” 1 =  1 6  × 2 7 × 2 7  1 4 4  × 9 =  1 6 × 2 7 1 4 4  ×  1 2 7 × 9  =  2 × 3 2 × 3  × 1 3 × 3 = 1 × 1 3 = 1 2 7 .-

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Attention, à ne pas confondre ! Pour l’article homonyme, voir : Puissance (physique).

2 On that que 4 = 2

La puissance d’un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même un Certain nombre de fois, en fonction de l’exposant.

Examples :

2 2 = 2 × 2 = 4 : on multiply 2 par lui-même 2 fois

= 2 × 2 = 4 : on multiplie 2 par lui-même 2 fois 23 = 2 × 2 × 2 = 8 : 3 fois

Il ne faut pas confondre avec la multiplication :

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8 : on fait 3 fois la multiplication de 2 par lui-même

= 2 2 2 = : on fait 3 fois la multiplication de 2 par lui-même 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 : on fait 3 fois l’addition de 2 par lui-même

En général, an se lit «a exposant n» or «a à la puissance n». Les deux expressions peuvent être utilisées. For example, 68 se lit “six exposant huit” or “six à la puissance huit”. Dans l’autre sens, on dit également que 68 est une puissance de 6.

Une puissance avec un exposant égal à deux peut also se dire «au carré»: 7 2 se lit «sept au carré».

se lit «sept au carré». Une puissance avec un exposant égal à trois peut also se dire «au cube»: 73 se lit «sept au cube».

Les puissances de 10 [ Modifier | wiki code modifier ]

Les puissances de 10 sont des cas particuliers. Elles permettent d’écrire des grands nombres.

102= 10 × 10 = 100 (deux zéros après 1) 103= 10 × 10 × 10 = 1,000 (three zéros) 104= 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000 (quatre zéros)

On remarque que le nombre de zeros present dans le résultat correspond à l’exposant (ceci ne marche que pour les puissances de 10). Ceci est bien pratique pour represententer un nombre. Ainsi, un million (1 000 000) peut s’écrire 106.

On the other hand, it is necessary for the names to be written that are not included in the multiples of 10 comme ceci:

5,000 = 5 × 1,000 = 5 × 103.

Certaines calculatrices affe ce cipher sous la forme “5E+3” or “5e+3”, c’est une abréviation de 5 fois 10 exposant 3, qui vaut 5 000.

C’est à ne pas confondre avec 53, que les calculatrices affichet 5^3 and qui vaut 5 × 5 × 5 = 125.

See also Lecture des grands nombres.

Les exposants negatifs [ modifier | wiki code modifier ]

Les exposants négatifs permettent eux d’écrire des nombres très petits (entre 0 et 1), notamment lorsqu’il s’agit de puissances de 10.

Si l’on prend un nombre entier N positive, et un nombre quelconque x, x − N = 1 x N {\displaystyle x^{-N}={\frac {1}{x^{N}}}} . En effet, la puissance avec un exposant negatif d’un nombre est l’inverse (1 divided par) ce nombre à la même puissance positive.

For example écrit par :

0.1 = 10-1 0.01 = 10-2 0.001 = 10-3 et ainsi de suite.

On Appelle Notation Scientifique, la Notation de la Forme a × 10n or a est un nombre décimal avec un seul chiffre différent de zero avant la virgule.

Examples :

4.23×10 2 ;

; 2.01×104.

Ainsi, le nombre 79 800 peut s’écrire :

at full power: 798 × 10 2 ;

; in écriture scientific: 7.98 × 104.

Pour en savoir plus, lire l’article : Notation scientifique.

Operations avec les puissances [ Modifier | wiki code modifier ]

Comment Manipulator des nombres élevés à une Certaine puissance ? Plus concretely, combien vaut, par example, 136 × 137 ?

est-ce que c’est 13 6 + 7 = 13 13 (= 302 875 106 592 253) ?

= 13 (= 302 875 106 592 253) ? or bien 13 6 × 7 = 13 42 (= 61 040 881 526 285 814 362 156 628 321 386 486 455 989 674 569) ?

= 13 (= 61 040 881 526 285 814 362 156 628 321 386 486 455 989 674 569) ? ou addition autre chosen?

Il existe une règle qui permet de trouver la réponse : il faut transformer la multiplication en addition (et donc la division en soustraction) ! Ainsi, si on note a, b et z trois nombres :

za × zb = za + b : la multiplication (entre les deux z) devient and addition (entre a et b). z a z b {\displaystyle {\frac {z^{a}}{z^{b}}}} za – b : la division (entre les deux z) devient une soustraction (entre a et b).

Ici, la base (z) est la meme pour les deux nombres que l’on cherche à “réunir”. On ne peut pas manipuler aussi facilement des nombres dont c’est seulement la puissance qui est identique : cela ne marche que pour ceux dont la base est identique ! Ainsi, on peut appliquer notre règle de calcul à 136 × 137 (même base : 13), mais pas à 136 × 116 (même puissance : 6, mais pas la même base : 13 ≠ 11) !

Ecriture et signification d’une puissance de dix

Ecriture d’une puissance de dix

Un nombre correspondant à une puissance de dix s’écrit sous la forme 10a où a est un nombre relatif (c’est à dire un nombre entier qui peut être soit positif, soit négatif).

Ce nombre (10a) peut se lire de deux façons différentes: “10 puissance a” or “10 exposant a”.

Quelques examples de puissances de dix : 102 ; 1036 ; 10-5

Meaning d’une puissance de dix

Lorsque l’exposant (a) est positif, when la puissance de dix 10a correspond au nombre 1 suivi d’un nombre de zéros correspondant au chiffre a. Examples of Quelques: 10 3 correspond to au nombre 1 suivi de 3 zéros donc 10 3 = 1 000

Correspondence of a number 1 Suivi of 3 zeros donc 10 = 1 000 105 Correspondence of a number 1 Suivi of 5 zeros donc 105 = 100 000 écrivant avec le chiffre 1 précédé d’un nombre de zéros correspondant au chiffre a, le premier zéro se trouvant à gauche de la virgule. Examples of Quelques: 10 -3 corresponds to a number of 1 before 3 zeros and corresponds to 10 -3 = 0.001

corresponds to a number of 1 before 3 zeros donc 10 = 0.001 10-5 corresponds to a number of 1 before 5 zeros donc 10-5 = 0.00001

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Method d’écriture d’un nombre sous forme d’une puissance de dix

Source est la method à suivre ?

Cette écriture n’est possible que pour des nombres qui ne sont composés que d’un seul cipher “1” accompagné d’un ou plusieurs “0”

Cas où le nombre Nest est un entier Etape 1 : compter le nombre de zero qui suivent le cipher “1”. On notera ce nombre “b”.

Step 2: écrire sous forme d’une puissance de dix, que l’on peut alors écrire sous la forme N = 10b En résumé:

Examples of using the method: Example 1: 10000 10000 comporte quatre ciphers zero, soit b = 4

ainsi, 10000 = 104 Example 2 : 1 000 000 000 1 000 000 000 comporte neuf ciphers zero, soit b = 9

Donc 1 000 000 000 = 109 Cas où le nombre N est un decimal inférieur à 1 Etape 1 : compter le nombre de null qui precèdent le cipher “1”. On notera ce nombre “b”

Stage 2 : écrire sous forme d’une puissance de dix, que l’on peut alors écrire sous la forme N = 10-b En résumé:

Source examples : Example 1 : 0.0001 Etape 1 : 0.0001 comporte quatre chiffres zéro, soit b = 4

Step 2 : ainsi 0.0001 = 10-4 Example 2 : 0.000000001 Step 1 : 0.000000001 comporte neuf ciphers zero, soit b = 9

Step 2: donc 0.000000001 = 10-9

Valeur des premieres puissances de dix

Le tableau ci-dessous reprend l’écriture des puissances de dix allant de 10 puissance -10 à 10 puissance 10 :

10 Puissance 10 10 Puissance 9 10 Puissance 8 10 Puissance 7 10 Puissance 6 10 Puissance 5 10 Puissance 4 10 Puissance 3 10 Puissance 2 10 Puissance 1 10 Puissance 0 10 Puissance -1 10 Puissance -2 10 Puissance -10 Puissance -3 10 Strength -5 10 Strength -6 10 Strength -7 10 Strength -8 10 Strength -9 10 Strength -10 1010 = 10 000 000 000 109 = 1 000 000 000 108 = 100 000 000 107 = 10 0 0 0 6 0 0 0 6 105 = 100,000 104 = 10,000 103 = 1,000 102 = 100 101 = 10 100 = 1 10-1 = 0.1 10-2 = 0.01 10-3 = 0.001 10-4 = 0.0001 10 -5 = 0.00001 10-6 = 0.000001 10-7 = 0.0000001 10-8 = 0.00000001 10-9 = 0.000000001 10-10 = 0.0000000001

Remarks :

10 0 = 1 donne all simplement le cipher 1

= 1 donne tout simplement le cipher 1 l’utilization des puissances de dix devient clairement interesting des que les valeurs manipulées sont très grandes ou très petites.

Les prefixes associated with the puissances de dix

Les prefixes qui permettent des defined les multiples et sous-multiples d’une unité de base sont tous associés à des puissances de dix.

Le tableau ci-dessous reprend les prefixes les plus connus et les puissances de dix qui leur sont associées :

1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 Z (zetta) E (exa) P (peta) T ( tera) G (giga) M (méga) k (kilo) h (hecto) da (déca) d (déci) c (centi) m (milli) µ (micro) n (nano) p (pico) f (femto) a (atto) z (zepto)

Des prefixes ont été ajoutées aux units de base du Système International afin de pouvoir plus facilement manier de grands nombres. La plupart du temps, ces prefixes sont utilisés en lieu et place des ordres de grandeur. On parlera d’un kilo pour exprimer une grandeur d’ordre 103 or d’un mega pour exprimer une grandeur d’ordre 106. Nous comptons 20 prefixes aux unités de grandeur. Ces derniers sont apparus pour la plupart au cours du 20e siècle mais Certains existent depuis le 18e siècle ! C’est souvent in le domaine de l’informatique que vous entende parler de ces ordres de grandeur. En effet, si l’on parle d’ 1 examètre, on préférera utiliser l’appellation de 105.7 années lumières. Depending on how you use the USB key or the long floppy disks, you can be sure that you can only measure these capacities in terms of gigabits or terabits.

Le système international d’unités, abrégé en SI, est le système décimal des units de mesures le plus utilisé au monde. L’ensemble des unités associées aux dimensions fondamentales constitute the système international d’unités. Il s’agit du système MksA (mètre, kilogramme, seconde, ampere), mais le Kelvin, le mole et le candela font aussi partie de ce système. Ces unités sont appelées unités légales. Elles sont universales et connues de par le monde entier. Vous pouvez consulter notre article sur les units de mesures pour en savoir plus.

Yocto

Le yocto represents 10-24 fois l’unité de base, soit un quatrillionieme. It is represented by a small y.

cepto

Le zepto, de symbole petit z est l’avant dernière grandeur la plus petite du Système International. Il represent a millième de billionieme de billionieme de l’unité de base, soit 10-21.

atto

L’atto est un billionieme de billionieme. It represents 10-18 for the unit of the base of the International System. Il se note avec un petit a comme symbols.

femto

The small femto symbol represents the 10-15 fois l’unité du Système International. C’est donc un millionieme de billionieme. Son origine est le mot femten, du danois qui signifie quinze.

pico

Le pico represents 10-12 units. C’est donc un billième d’unité du Système International. Cette appellation provided de l’Italy piccolo qui signifie petit. Son symbole est le petit p.

Nano

Cette unité, created in 1960, Tire Son Origine du Mot Nain en Grec, Nanos. Elle represent 10-9 units of the International System, soit a billionième d’unité. It is represented by a small number of symbols.

Micro

Le prefixe micro representative un millionieme d’unité du Système International, soit 10-6. Il est represented par la lettre µ, mu, en grec. Son nom provient du mot microscopique, qui signifie un élément tellement petit qu’on ne peut le voir qu’au microscope.

Milli

The prefixe milli represents 10-3 units of the International System, soit a millième. It is represented by a small m.

centi

Le centi representative un centième d’unité, soit 10-2. C’est donc un centième qui se note avec un petit c.

deci

Le deci, de symbole petit d, est l’unité qui represente un dixième de l’unité de base du Système International. C’est donc 10-1 fois cette unité.

L’unité de base

Entre le deci est le deca se trouve l’unité de base du Système International. Cette dernière est égale aux nombres includes between 0 and 10. Elle se note en ordre de grandeur 100, ce qui est égal à 1.

deca

Le prefixe déca, de symbols da est à ne pas confondre avec le déci. It represents bien 101, soit one dizaine de l’unité de base du Système International et non pas 10-1.

hecto

Le prefixe hecto sert à designer une unité de l’order de grandeur 102. Il representative donc une centaine de l’unité de base du Système International. Cette unité est peu couramment utilisée au quotidien. C’est in le domaine de l’agroalimentaire qu’elle prend all son sens. Son symbole est un petit h.

kilo

Le kilo est l’unité qui represente le millier. D’ordre de grandeur 102, c’est l’une des plus utilisée dans notre vie quotidienne. Elle se note avec the symbols k and represent a millier d’unités de base.

Mega

L’unité définie par le mega se note avec un grand M et representative un million d’unités de base du Système International, c’est donc 106.

giga

Le giga est un prefixe utilisé fréquemment en informatique. Il represente 109, c’est à dire un milliarde d’unités du système international. Son symbole est un grand G.

peta

Le suffixe péta est la pour representative un billard, ou million de billions de l’unité de base. C’est donc un nombre d’ordre de grandeur 1015. Il se note avec un grand P en guise de symbols.

Ex

What represents a trillion of the unit of the base of the Système International, so it is a billion of billions. Son ordre de grandeur est 1018. Il est express par le symbole d’une grande lettre E.

zeta

Le zetta, est l’expression of 1021 units from the base of the Système International. C’est donc un billiard de billiard, also appelé trillion. C’est une grandeur extrêmement grande et elle est l’avant dernière plus grande qui existe. Elle se note avec un grand Z.

Yotta

Le yotta est l’unité la plus grande qui existe au monde, elle representative un quadrillion, ou un billiard de billions, soit 1024 units de base. Cela means qu’un yotta est égal à un 1 suivi de vingt-quatre 0 ! Il se note avec un grand Y.

Quelques règles de calculs faisant intervenir des puissances de dix

Multiplications faisant intervenir des puissances de dix

Lors d’une multiplication entre deux puissances de dix, les chiffres se trouvant en exposant sont all simplement additionnés. Cela suit donc la règle suivante : 10a x 10b = 10a+ b Examples of applications : Example 1 : 102 x 106 = 102+ 6 = 108 (Car 2 + 6 = 8) Example 2 : 10 -2 x 10 6 = 10 -2 + 6 = 10 4 (Car -2 + 6 = 4) Example 3 : 10-2 x 10-6 = 10 -2+(- 6) = 10 -2 -6 = 10 -8 (Car -2 – 6 = -8) Cas des puissances de dix élevées à un exposant Cela suit donc la règle suivante : (10 a )b = 10 a x b Application examples : Example 1 : (10 3)2 = 10 3 x 2 = 10 6 Example 2 : (10 -3 )2 = 10 (- 3) x 2 = 10 -6 Example 3: (10 -3 )-2 = 10 (-3) x (-2) = 10 6

Divisions faisant intervenir des puissances de dix Lors d’une division entre deux puissances de dix, il s’agit de soustraire l’exposant de la puissance de dix se trouvant au dénominateur à l’exposant de la puissance de dix se trouvant au numerateur. Cela suit donc la règle suivante : 10 a / 10 b = 10 a – b Examples of applications : Example 1 : 10 2 / 10 6 = 10 2 – 6 = 10 -4 Example 2 : 10 -2 : 10 6 = 10 – 2- 6 = 10 -8 Example 3 : 10 -2 : 10 -6 = 10 -2-(- 6) = 10 -2 + 6 = 10 4 Cas des inverses de puissances de dix Lorsqu’il s’agit de calculer l’inverse d’une puissance de dix, il s’agit tout simplement de prendre l’opposé du chiffre se trouvant en exposant de la puissance de dix. Cela suit donc la règle suivante :

Source examples of applications:

Example 1 :

Example 2 :

Applications of the Puissances de dix

Ecriture scientific des valeurs

L’écriture scientifique est une technique utilisée pour representative les nombre décimaux en les exprimant d’une Certaine façon. L’écriture scientifique est de la forme a x 10n. Dans cette écriture, le nombre a est un nombre décimal comprises between 1 and 10 exclusive. Ce nombre est appelé mantisse. Le petit nest un entier relative que l’on appeal l’exposant. Le cipher avant la virgule est donc unique et non nul. Il est parfois suivi de decimales, d’autant que la precision sera élevée. Astuce: Le nombre 0 ne peut-être represented avec la notation scientifique. La notation scientific peut also aids les operations car on peut facilement multiplier les mantisses ou addener les exposants. An other notation peut also se retrouver, notamment dans les calculatrices scientifiques ou sur les ordinateurs. La lettre e comme exposant replaces le 10n. Example 4e−3 = 4 × 10−3 = 0.004.

Ainsi, l’ensemble des examples cités dans ce chapter montrent clairement l’un des grands intérêts de l’utilisation des puissances de dix : elles permettent de simplifier l’écriture de très grandes valeurs ou de très petites valeurs. Ainsi, elles apportent un gain de temps considérable dans l’écriture des petites et grandes valeurs, et limited également le risque d’erreur lors de la manipulation de ces données.

Par consequently, elles sont très utilisées lorsqu’il s’agit d’exprimer une grandeur en notation scientifique. L’écriture en scientifique notation consists of very simple à écrire une valeur sous la forme : a*10 b

ou

a est un nombre includes between 0 and 10 (0 ≤ a < 10) best and only relative Estimate d'un order de grandeur Les ordres de grandeur sont des puissances de 10 qui servent à expresser des nombres très grands. It is not allowed to pour aid to represent a grandeur with a simple name that requires an approximation. Il represente la puissance de 10 la plus proche du nombre exact. Dans le cadre où une grandeur sera multipliée par 10, il conviendra de dire qu'elle a augmenté d'une grandeur. L'utilization of the ordres de grandeur also facilitates les comparaisons between different elements tels que des planètes ou encore des rayons d'atomes. Elle permet also de savoir quel type d'appareil de mesure choice pour réaliser des expériences. L'ordre de grandeur vous permettra also de verifier la coherence de vos calculs. L'ordre de grandeur de the distance Terre-Lune est de 108m, car la distance Terre-Lune est de 384 000 km. L'ordre de grandeur d'une molécule d'eau est de 10-10m, car sa taille est de 0.4 nm. Par ailleurs, elles presented également un intérêt pour expresser un order de grandeur. En effet, plutôt que de thunder une valeur précise, on estime un ordre de grandeur pour cette valeur en lui attribute la puissance de dix la plus proche. En representative of the écriture de la notation scientifique : a*10 b Si 0 ≤ a < 5 if l'order de grandeur de a*10 best 10 b est Si 5 ≤ a < 10 as l'ordre de grandeur de a*10 best 10 b+1 Prenons l'exmple du rayon du soleil: 695 700 km. 695 700 km = 6,957 * 105 km = 6,957 * 108 m The order of grandeur pour le rayon du soleil sera 109 m. Remarks :

0 to 210). Visualization des puissances entières de 2, depuis 1 jusqu’à 1024 (2à 2).

En arithmétique, a puissance de deux designe un nombre noté sous la forme 2n ou n est un entier naturel. Elle représente le produit du nombre 2 répété n fois avec lui-même, c’est-à-dire : 2 × ⋯ × 2 ⏟ n f a c t e u r s {\displaystyle \underbrace {2\times \cdots \times 2} _{n\ \ mathrm {facteurs} }} .

Ce cas particulier des puissances entières de deux se généralise dans l’ensemble des nombres réels, par la fonction exponential de base 2, don’t la fonction réciproque est le logarithme binaire.

Par Convention et pour assurer la continuité de cette fonction exponentielle de base 2, la puissance zero de 2 est price égale à 1, c’est-à-dire que 20 = 1.

Comme 2 est la base du système binaire, les puissances de deux sont courantes en informatique. Sous forme binaire elles s’écrivent toujours “10000…0”, comme c’est le cas pour une puissance de dix écrite dans le système décimal.

Suivant le domaine d’activité, une puissance de deux se note :

2k

2^n

2 **n/a

2 [3] N/A

2 ↑ n (Notation des Puissances itérées de Knuth)

(Notation des Puissances itérées de Knuth) Kraft(2,n)

Power(2,n)

1<

Comment simplifier des exposants ?

On peut aussi simplifier les exposants en écrivant leurs bases en fonction de leur factorisation en nombres premiers, si la base est un nombre entier. Cela nous permet de séparer l’expression avec des bases semblables et d’appliquer la règle du produit avec 𝑎 × 𝑎 = 𝑎      .

Lois des exposants (avec exemples et exercices résolus)

Quand additionner les exposants ?

Pour multiplier deux puissances d’un même nombre, on additionne les exposants.

Lois des exposants (avec exemples et exercices résolus)

Exercices Mathématiques secondaire 3 – Loi des exposants – Exercice de math

Exercices Mathématiques secondaire 3 – Loi des exposants – Exercice de math

Exercices Mathématiques secondaire 3 – Loi des exposants – Exercice de math

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See some more details on the topic loi des exposants exercices here:

Exercices sur les lois des exposants

Exercices sur les lois des exposants. 1. Réduisez les expressions suivantes sans utiliser la calculatrice et en laissant la réponse en.

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Source: cybersavoir.csdm.qc.ca

Date Published: 1/22/2021

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Les lois des exposants | Secondaire | Alloprof

Les propriétés et lois des exposants fixent les règles à appliquer lors d’opérations contenant des exposants. La puissance de quotient est un exemple.

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Source: www.alloprof.qc.ca

Date Published: 11/18/2022

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EXERCICES

EXERCICES. LOI DES EXPOSANTS. MATH 306. D. Tremblay 2012©. 1. Nom : Groupe :______. # 1 Calcule les puissances : a) 53 = ______ b) -53 =______.

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Source: math306.yolasite.com

Date Published: 5/24/2021

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lois des exposants – rappel – corrigé

Voici un bref rappel sur les différentes lois des exposants. Il est très important de comprendre ces lois avant de continuer la matière.

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Source: recitmst.qc.ca

Date Published: 12/13/2021

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Lois des exposants (avec exemples et exercices résolus)

Lois des exposants (avec exemples et exercices résolus) · 1.1 Première loi: puissance d’exposant égale à 1 · 1.2 Deuxième loi: puissance d’exposant égale à 0 · 1.3 …

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Date Published: 2/20/2022

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1.3 Les exposants | Math 9 – WordPress.com

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Source: math9efc.wordpress.com

Date Published: 4/29/2021

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Exercices sur les exposants

Question 7. Combiner les exposants dans les expressions suivantes pour obtenir une expression comportant un seul exposant entier ou fractionnaire positif. a) 21 …

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Source: www.mathsl.org

Date Published: 12/20/2021

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Bloc 3 : A – Lois des exposants – Pages

Rappels des lois des exposants : Page 2. Bloc 3 – Le nombre. Page 2. Rappel: Les nombres sans exposant ont en réalité l’exposant 1. Important: Soustraction ( …

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Source: sites.nbed.nb.ca

Date Published: 1/10/2022

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Calculatrice de la Puissance (l’exposant) d’un nombre

calculator

Please note: This calculator requires Javascript to work

Qu’est-ce qu’un puissance d’un nombre?

Un puissance d’un nombre est le nombre de fois pour multiplier un nombre par lui-même.

Écrivez un exposing sous forme de nombre élevé. Dans le nombre 24 (2 pour l’exposant 4, or 2 pour la puissance de 4), le “4” est l’exposant. Le «2» is the multiplier of lui-même 4 fois. Dans ce cas, 2 • 2 • 2 • 2 = 16.

Formule – comment résoudre pour un exposant

Trouvez la puissance d’un nombre en multipliant ce nombre par lui-même le nombre d’exposants fois.

number2 = number x number

number3 = number x number x number

number4 = number x number x number x number

example

32 = 3 • 3 = 9

95 = 9 • 9 • 9 • 9 • 9 = 59,049

510 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 9 765 625

Les rules de calcul sur les puissances

Produce with la meme base

Pour multiplier des bases similaires, gardez la base la meme et addez les exposants.

xa • xb = x(a + b)

Example: 73 • 75 = 7(3 + 5) = 78 = 5 764 801

Puissance à un puissance (exposant d’un exposant)

Pour calculator un exposant d’un exposant, multiply the exposants ensemble.

(xa)b = x(a•b) = xab

Example: (43)2 = 4(3 • 2) = 46 = 4 096

Division des nombres avec des exposants (quotients avec la même base)

Pour diviser deux bases avec la même exposant, soustrayez l’exposant du dénominateur de l’exposant du numerateur.

xa ÷ xb = x(a – b)

Example: 57 ÷ 53 = 5(7 – 3) = 54 = 625

Nombres multiplied to an exposant

Les nombres multipliés à une puissance peuvent tous deux être élevés à cette puissance.

(xy)z = xz yz

Example: (9x)5 = 95×5 = 59 049×5

divider and exponent

For diviser une fragment élevée à une exposant, donnez l’exposant au numérateur et au denominateur.

(x ÷ y)z = xz ÷ yz

Example: (7 ÷ 5)4 = 74 ÷ 54 = 2.401 ÷ 625 = 3.8416

Puissance à exposant 0

Tout nombre de puissance de 0 est 1.

x0 = 1

Example: 4500 = 1

exhibits negative

Les exposants negatifs peuvent être convertis en 1 divisé par le baseexposant

x – a = 1 ÷ 1a

Example: 6-4 = 1 ÷ 64 = 1 ÷ 1 296 = 0 0007716

Division avec un exposant negative

Les names avec des exposants negatifs comme dénominateur peuvent être changés en numerateur et l’exposant rendu positif.

1 ÷ x – a = xa

Example: 1 ÷ 3-4 = 34 = 81

Tableau of the exhibit

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Source and other resources

Définition de exposant

EXHIBITOR, s. m. (Algebre.) Ce terme a différentes Acceptances selon les différens objets auxquels on le rapporte. On dit, l’exposant d’une raison, l’exposant du rang d’un terme dans une suite, l’exposant d’une puissance.

L’exposant d’une raison (il faut entender la géométrique, car dans l’Arithmétique ce qu’on pourroit appeller de ce nom, prend plus particulierement celui de différence) : l’exposant donc d’une raison géométrique est le quotient de la division du conséquent par l’antécédent. Ainsi dans la raison de 2 à 8, l’exposant est 8 2 = 4 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {8}{2}}=4} ; dans celle de 8 à 2, l’exposant est 2 8 = 1 4 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {2}{8}}={\frac {1}{4}}} , &c. Voyez share.

C’est l’égalité des exposans de deux raisons qui les rend elles-mêmes égales, & qui établit entr’elles ce qu’on appelle proportion. Chaque consequently est alors le produit de son antécédent par l’exposant commun. Il semble donc, pour le dire en passant, qu’ayant à trouver le quatrieme terme d’une proportion géométrique, au lieu du circuit qu’on prend ordinairement, il seroit plus simple de multiplier directement le troisieme terme par l’exposant de la Premiere Raison, au moins quand celui-ci est un nombre entier. Par example, dans la proportion commencée 8.24∷17.*, le quatrieme terme se trouveroit tout-d’un-coup, en multipliant 17 par l’exposant 3 de la premiere raison ; au lieu qu’on prescrit de multiplier 24 par 17, & puis de diviser le produit par 8. Il est vrai que les deux methods exigent également deux operations, puisque la recherche de l’exposant assume elle-même une division ; mais dans celle qu’on suggest, ces deux operations, s’exécutant sur des terms moins composés, en seroient plus courtes & plus faciles. Voyez Regle de Trois.

L’exposant du rang est, comme cela s’entend assez, le nombre qui express le quantieme est un terme dans une suite quelconque. On dira, par example, que 7 est l’exposant du rang du terme 13 dans la suite des impairments ; que celui de all other terms T de la meme suite est T + 1 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {T+1}{2}}} ; & plus généralement que l’exposant du rang d’un terme pris où l’on voudra dans une progression arithmétique quelconque, dont le premier terme est design par p, & la difference par d, est T − p d + 1 {\displaystyle \ scriptstyle {\frac {T-p}{d}}+1} .

On nomme exposant, par rapport à une puissance, un cipher (en caractere minuscule) qu’on place à la droite & un peu au-dessus d’une quantité, soit numérique, soit algébrique, pour designer le nom de la puissance à laquelle on veut faire entender qu’elle est élevée. Dans a 4 {\displaystyle \scriptstyle a^{4}} , par example, 4 est l’exposant qui marque que a est supposé élevé à la quatrieme puissance.

Souvent, au lieu d’un cipher, on employee une lettre; & c’est ce qu’on appelle exposant indéterminé. an n {\displaystyle \scriptstyle a^{n}} is an élevé à une puissance quelconque désignée par n. Dans a n {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{n}]{a}}} , n designe le nom de la racine qu’on take extraite de la grandeur a, &c.

Autrefois, pour representative la quatrieme puissance de a, on écrivoit aaaa ; Expression incommode, & pour l’auteur, & pour le lecteur, sur-tout lorsqu’il s’agissoit de puissances fort élevées. Descartes vint, qui à cette répétition fastidieuse de la même racine substitua la racine simple, surmontée vers la droite de ce chiffre qu’on nomme exposant, lequel annonce au premier coup-d’œil combien de fois elle est censée répétée après elle-même .

Outre l’avantage de la briéveté & de la netteté, cette expression a encore celui de faciliter extrèmement le calcul des puissances de la même racine, en le réduisant à celui de leurs exposans, lesquels pouvant d’ailleurs être pris pour les logarithmes des puissances auxquelles ils se rapportent, les font participer aux commodités du calcul logarithmique. Dans l’exposé qui va suivre du calcul des exposans des puissances, nous aurons soin de ramener chaque résultat à l’expression de l’ancienne method, comme pour servir à la new de demonstration provisionnelle ; renvoyant pour a demonstration plus en forme à l’article Logarithme, qui est en droit de la revendiquer.

Multiplication. Faut-il multiplier a m {\displaystyle \scriptstyle a^{m}} par a n {\displaystyle \scriptstyle a^{n}} ? On fait la somme des deux exposans, & l’on écrit a m + n {\displaystyle \scriptstyle a^{m+n}} . En effet que m = 3 {\displaystyle \scriptstyle m=3} , & n = 2 {\displaystyle \scriptstyle n=2} ; a m + n = a 3 + 2 = a 5 = a a a a a = a a a × a a {\displaystyle \scriptstyle a^{m+n}=a{3+2}=a^{5} =aaaaa=aaa\times aa} .

Division. Pour diviser a m {\displaystyle \scriptstyle a^{m}} par a n {\displaystyle \scriptstyle a^{n}} , on prend la différence des deux exposans, & l’on écrit a m − n {\displaystyle \scriptstyle a ^{m-n}} . En effet que m = 5 {\displaystyle \scriptstyle m=5} , & n = 2 {\displaystyle \scriptstyle n=2} ; a m − n = a 5 − 2 = a 3 = a a a = a a a a a a a {\displaystyle \scriptstyle a^{m-n}=a^{5-2}=a^{3}=aaa ={\frac {aaaaa}{aa }}} .

Si n = m {\displaystyle \scriptstyle n=m} , l’exposant réduit devient 0, & le quotient est a 0 = 1 {\displaystyle \scriptstyle a^{0}=1} ; Auto (au lieu de n, Substituant m qui lui est égale par supposition) a 0 = a m − m = a m a m = 1 {\displaystyle \scriptstyle a^{0}=a^{m-m}={\frac {a^{ m}}{a^{m}}}=1} .

Si n > m {\displaystyle \scriptstyle n>m} , l’exposant du quotient sera négatif. Example: m = 2 {\displaystyle \scriptstyle m=2} , & n = 5 {\displaystyle \scriptstyle n=5} ; a m − n = a 2 − 5 = a − 3 {\displaystyle \scriptstyle a^{m-n}=a^{2-5}=a^{-3}} . Mais qu’est-ce que a − 3 {\displaystyle \scriptstyle a^{-3}} ? Pour le savoir, interrogeons l’ancienne méthode. a − 3 {\displaystyle \scriptstyle a^{-3}} est donné pour l’expression de a a a a a a a = 1 a a a = 1 a 3 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {aa}{aaaaa}}={\frac { 1}{aaa}}={\frac {1}{a^{3}}}} . Ce qui fait voir qu’une puissance negative équivaut à une fraction, dont le numérateur étant l’unité, le dénominateur est cette puissance même devenue positive : comme réciproquement une puissance positive équivaut à une fraction, dont le numérateur est encore l’unité, & le dénominateur cette même puissance devenue negativ. En général a ± n = 1 a ∓ m {\displaystyle \scriptstyle a^{\pm n}={\frac {1}{a\mp m}}} ​​. On peut donc sans inconvenient substitute l’une de ces deux expressions à l’autre : ce qui a quelquefois son utilité.

Elevation. Pour élever a m {\displaystyle \scriptstyle a^{m}} à la puissance dont l’exposant est n, on fait le produit des deux exposans, & l’on écrit a m × n {\displaystyle \scriptstyle a^{m\ times n}} … En effet que m = 2 {\displaystyle \scriptstyle m=2} , & n = 3 {\displaystyle \scriptstyle n=3} ; a m × n = a 2 × 3 = a 6 = a a a a a a = a a × a a × a a {\displaystyle \scriptstyle a^{m\times n}=a^{2\times 3} =a^{6}=aaaaaa= aa\times aa\times aa} .

Extraction. Comme cette operation est le contraire de la précédente; pour extraire la racine n de a m {\displaystyle \scriptstyle a^{m}} , on voit qu’il faut diviser m par n, & écrire a m n {\displaystyle \scriptstyle a^{\frac {m}{n}} } . En effet que m = 6 {\displaystyle \scriptstyle m=6} , & n = 3 {\displaystyle \scriptstyle n=3} ; a m n = a 6 3 = a 2 = a a = a a a a a a a 3 {\displaystyle \scriptstyle a^{\frac {m}{n}}=a^{\frac {6}{3}} =a^{2}= aa={\sqrt[{3}]{aaaaaa}}} .

On peut donc bannir du calcul les signes radicaux qui y jettent souvent tant d’embarras, & traiter les grandeurs qu’ils affectent comme des puissances, dont les exposans sont des nombres rompus. Auto a n = a 1 n {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}} , a − m n = a − m n {\displaystyle \ scriptstyle {\sqrt[{n}]{a^{-m}}}=a^{\frac {-m}{n}}} , &c.

On ne dit rien de l’addition, ni de la soustraction ; parce que ni la somme, ni la différence de deux puissances de la même racine, ne peuvent se rappeller à un exposant commun, & qu’elles n’ont point d’expression plus simple que celle-ci, a m ± a p n {\displaystyle \scriptstyle a^{m}\pm apn} . Mais elles ont d’ailleurs quelques propriétés particulieres, que je ne sache pas avoir jusqu’ici été remarquées, quoiqu’elles puissent trouver leur application. Elles ne seront point déplacées en cet article.

Premiere proprietary. La différence de deux puissances quelconques de la meme racine, est toûjours un multiple exact de cette racine diminuée de l’unité, c’est-à-dire que a m − a n a − 1 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {a^{ m}-a^{n}}{a-1}}} donne toûjours un Quotient Exact.

4 3 − 4 1 3 = 64 − 4 3 = 60 3 = 20 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {4^{3}-4^{1}}{3}}={\frac {64-4} {3}}={\frac {60}{3}}=20} without a break. 4 3 − 4 0 3 = 64 − 1 3 = 63 3 = 21 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {4^{3}-4^{0}}{3}}={\frac {64-1} {3}}={\frac {63}{3}}=21}

Observe en passant que dans le premier example 4 3 − 4 1 = 60 = 3 × 4 × 5 ¯ {\displaystyle \scriptstyle 4^{3}-4^{1}=60={\overline {3\times 4 \ times 5}}} . Ce qui n’est point un hasard, mais une propriété constante de la difference des troisieme & premiere puissances, laquelle est toûjours égale au produit Continue des trois termes consécutifs de la progression naturelle, dont le moyen est la premiere puissance même ou la racine. a 3 − a 1 = a − 1 ¯ × a × a + 1 ¯ {\displaystyle \scriptstyle a^{3}-a^{1}={\overline {a-1}}\times a\times {\ swipe {a+1}}} .

Second property. La différence de deux puissances quelconques de la même racine is a multiple exact de cette racine augmentée de l’unité, quand la différence des exposans des deux puissances est un nombre pair ; c’est-à-dire que a m − a n a + 1 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {a^{m}-a^{n}}{a+1}}} donne un quotient exact, quand m − n {\displaystyle \scriptstyle m-n} expresses a pair of numbers. 4 3 − 4 1 5 = 64 − 4 5 = 60 5 = 12 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {4^{3}-4^{1}}{5}}={\frac {64-4} {5}}={\frac {60}{5}}=12} , sans remainders, parce que 3 − 1 = 2 {\displaystyle \scriptstyle 3-1=2} , pair of numbers. More 4 3 − 4 0 5 = 64 − 1 5 = 63 5 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {4^{3}-4^{0}}{5}}={\frac {64-1}{ 5}}={\frac {63}{5}}} leave un remainders, parce que 3 − 0 = 3 {\displaystyle \scriptstyle 3-0=3} n’est pas un nombre pair.

Troisieme propriété. La somme de deux puissances quelconques de la même racine est un multiple exact de cette racine augmentée de l’unité, quand la difference des exposans des deux puissances est un nombre impair ; c’est-à-dire que a m + a n a + 1 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {a^{m}+a^{n}}{a+1}}} donne un quotient exact, quand m − n {\displaystyle \scriptstyle m-n} express a nombre impairment. 4 3 + 4 0 5 = 64 + 1 5 = 65 5 = 13 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {4^{3}+4^{0}}{5}}={\frac {64+1} {5}}={\frac {65}{5}}=13} , sans remainders, parce que 3 − 0 = 3 {\displaystyle \scriptstyle 3-0=3} , affect nombre. More 4 3 + 4 1 5 = 64 + 4 5 = 68 5 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {4^{3}+4^{1}}{5}}={\frac {64+4}{ 5}}={\frac {68}{5}}} leave un remainders, because 3 − 1 = 2 {\displaystyle \scriptstyle 3-1=2} n’est pas un nombre impair.

demonstration commune.

Si l’on compare a m ± a n {\displaystyle \scriptstyle a^{m}\pm a^{n}} , considered d’une part comme dividende avec a ± 1 {\displaystyle \scriptstyle a\pm 1} , considered de l’autre comme diviseur, il en résulte quatre combinaisons différentes ; savoir,

a m + a n a − 1 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {a^{m}+a^{n}}{a-1}}} a m − a n a − 1 {\displaystyle \scriptstyle { \frac {a^{ m}-a^{n}}{a-1}}} a m − a n a + 1 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {a^{m}-a^{n} }{a+1}}} a m + a n a − 1 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {a^{m}+a^{n}}{a-1}}}

Maintenant, si l’on vient à effectuer sur chacune la division indiquée, on trouvera (& c’est une suite des lois générales de la division algébrique)

1°. Que dans toutes les hypothèses, les termes du quotient (assumed, exact) sont par ordre les puissances consécutives & décroissantes de a, depuis & y includes a m − 1 {\displaystyle \scriptstyle a^{m-1}} jusqu’à a n { \displaystyle \scriptstyle a^{n}} inclusive ; d’où il suit que le nombre des termes du quotient exact, ou, ce qui est la même choose, l’exposant du rang de son dernier terme est m − n {\displaystyle \scriptstyle m-n} .

2°. Que dans les deux premieres hypothèses les terms du quotient ont tous le signe +, & que dans les deux dernieres ils ont alternativement & dans le même ordre les signs + & − ; de sorte que le signe + appartient à ceux dont l’exposant du rang est affect, & le signe − à ceux dont l’exposant du rang est pair.

3°. Que, pour rendre la division precisione, le dernier terme du quotient doit avoir le signe − dans les premiere & troisieme hypothèses, & le signe + dans la seconde & dans la quatrieme.

The figure suivante met sous les yeux le résultat des deux derniers article. La ligne supérieure represents the order of the signs qui impactent les divers terms du quotient, relativement aux quatre different hypothèses; l’inférieure mark le signe que doit avoir dans chacune le dernier terme du quotient, pour rendre la division precisione.

I. Hypothesis. Second. Troisieme. quaternary + . + . + . &c. + . + . + . &c. + . − . + . − . &c. + . − . + . − . &c. − + − +

La seule inspection de la figure fait voir que la division precisione ne peut avoir lieu dans la premiere hypothèse, puisqu’elle exige le signe-au dernier terme du quotient, & que tous y ont le signe+ ; que par une raison contraire elle a toûjours lieu dans la seconde ; qu’elle l’a dans la troisieme, quand l’exposant du rang du dernier terme, où (suprà) m − n {\displaystyle \scriptstyle m-n} est pair ; & dans la quatrieme, quand m − n {\displaystyle \scriptstyle m-n} est affect.

J’ai remarqué (& d’autres sans doute l’auront fait avant moi) que la difference des troisieme & premiere puissances de la même racine est égale au produit Continue de trois termes consécutifs de la progression naturelle, dont le moyen est la premiere puissance même ou la racine… r 3 − r 1 = r − 1 ¯ × r 1 × r + 1 ¯ {\displaystyle \scriptstyle r^{3}-r^{1}={\overline {r-1}} \times r^{1}\times {\overline {r+1}}} .

Cette propriété au reste dérive d’une autre ultérieure. Les exposans des deux puissances étant quelconques, pourvû que leur différence soit 2, on a généralement r m − r n = r − 1 × r n × r + 1 {\displaystyle \scriptstyle r^{m}-r^{n}={r -1}\times r^{n}\times {r+1}} ; … & la demonstration en est aisée. Auto dans le second membre le produit des extrèmes est r r − 1 {\displaystyle \scriptstyle rr-1} : or si l’on multiplie le terms moyen r n {\displaystyle \scriptstyle r^{n}} par r r − 1 {\ displaystyle \scriptstyle rr-1} , on Aura r n + 2 − r n {\displaystyle \scriptstyle r^{n+2}-r^{n}} : more r n + 2 = r m {\displaystyle \scriptstyle r^{n +2}=r^{m}} , puisque (par supposition) m − n = 2 {\displaystyle \scriptstyle m-n=2} , d’où m = n + 2 {\displaystyle \scriptstyle m=n+2} .

Ceci est peu de choose en soi : mais n’en pourroit-on pas faire usage, pour résoudre avec facilité toute équation d’un degré quelconque, qui aura ou à qui on pourra donner cette forme x m − x n − a = 0 {\ displaystyle \scriptstyle x^{m}-x^{n}-a=0} , de sorte que m − n {\displaystyle \scriptstyle m-n} y soit = ​​2, & dont une des racines sera un nombre entier.

En effet, cherchant tous les diviseurs ou facteurs de a, & pour plus de commodité les disposant par ordre deux à deux, de façon que chaque paire contienne deux facteurs correspondans de a, comme on voit ici ceux de 12 … 1 . 2 . 3 12 6 4 {\displaystyle \scriptstyle {\begin{matrix}1~~.~2~.~3\\12~~~6~~~4\end{matrix}}} … on est assûré qu’il s’en trouvera une paire qui sera x − 1 ¯ × x + 1 ¯ x n {\displaystyle \scriptstyle {\begin{matrix}{\overline {x-1}}}\times {\overline {x+1}}\ \x^{n}\end{matrix}}} . Choissant donc dans la ligne inférieure (que je presumed contenir les plus grands facts) ceux qui sont des puissances du degré n, ou bien il ne s’en trouvera qu’un, & dès-là sa nieme racine sera la valeur de x, ou il s’en trouvera plusieurs; & alor les comparant avec leurs co-facteurs, on se determinera pour celui dont le co-facteur est le produit de sa nieme racine diminuée de l’unité par la meme racine augmentée de l’unité. For example,

Soit l’équation à résoudre… x 5 − x 3 − 3000 = 0 {\displaystyle \scriptstyle x^{5}-x^{3}-3000=0} , on trouve que les facts de 3000 sont par ordre,

1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 8th . 10 . 12 . 3000 1500 1000 750 600 500 375 300 250 15 . 20 . 24 . 25 . 30 . 40 . 50 . 200 150 125 125 100 75 60

En Consultant, si on le juge nécessaire, la table des puissances, on trouve que la ligne inférieure ne content que deux cubes, 1000 & 125. Le premier ne peut convenir, parce que son co-facteur est 3, & que ( 1000 3 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{3}]{1000}}} étant 10) il devroit être 10 − 1 ¯ × 10 + 1 ¯ = 9 × 11 = 99 {\displaystyle \scriptstyle {\overline {10- 1}}\times {\overline {10+1}}=9\times 11=99} : mais le second convient parfaitement, parce que d’un côté sa racine cubique étant 5, de l’autre son co-facteur est 24 = 4 × 6 = 5 − 1 ¯ × 5 + 1 ¯ {\displaystyle \scriptstyle 24=4\times 6={\overline {5-1}}\times {\overline {5+1}}} … An a donc x = 5 {\displaystyle \scriptstyle x=5} .

Reste à trouver le moyen de donner à toute équation proposed la forme requisite, c’est-à-dire de la réduire à ses premier, troisieme, & dernier termes ; de façon que les deux premiers soient sans coefficiens, & les deux derniers negativ. C’est l’affaire des Algébristes, & pour eux une chance précieuse d’employer utilement l’art des transformations, s’il va jusque-là.

Il est au moins Certain que dans les cas où l’on pourra ainsi transformer l’équation, the method qu’on suggest ici aura lieu, pourvû qu’une des racines de l’équation soit un nombre entier. On convient que cette méthode ne s’étend jusqu’ici qu’à un très-petit nombre de cas, puisqu’on n’a point encore, & qu’on n’aura peut-être jamais de méthode générale pour réduire les équations à la forme & à la condition don’t il s’agit : mais on ne donne aussi la method don’t il s’agit ici, que comme pouvant être d’usage en quelques Occasions. Article by M. Rallier des Ourmes.

Il ne nous reste qu’un mot à ajoûter à cet excellent article, sur le calcul des exposans. Que signifie, dira-t-on, cette expression a − m {\displaystyle \scriptstyle a^{-m}} ? Source idée nice presente-t-elle à l’esprit ? Le voici. Il n’y a jamais de quantités negatives & absolutes en elles-mêmes. Elles ne sont telles, que relativement à des quantités positives dont on doit ou dont on peut assumed qu’elles sont retranchées ; ainsi a − m {\displaystyle \scriptstyle a^{-m}} ne designe quelque choose de distinct, que relativement à une quantité a n {\displaystyle \scriptstyle a^{n}} expressée ou sousentendue ; en ce cas a − m {\displaystyle \scriptstyle a^{-m}} marque que si on vouloit multiplier a n {\displaystyle \scriptstyle a^{n}} par a − m {\displaystyle \scriptstyle a^{-m }} , il faudroit retrancher de l’exposant n autant d’unités qu’il y en a dans m ; Voilà pourquoi a − m {\displaystyle \scriptstyle a^{-m}} équivaut à a 1 m {\displaystyle \scriptstyle a^{\frac {1}{m}}} , or à une divisron par a m {\displaystyle \scriptstyle a^{m}} : a − m {\displaystyle \scriptstyle a^{-m}} n’est autre choose qu’une maniere d’exprimer a 1 m {\displaystyle \scriptstyle a^{\frac { 1}{m}}} , plus commode pour le calcul. De même a 0 {\displaystyle \scriptstyle a^{0}} n’indique autre choose que a m × a − m {\displaystyle \scriptstyle a^{m}\times a^{-m}} ou a m a m {\displaystyle \scriptstyle {\frac {a^{m}}{a^{m}}}} ; a 0 {\displaystyle \scriptstyle a^{0}} indique, suivant la notion des exposans, que la quantité a ne doit plus se trouver dans le calcul ; & en effet elle ne s’y trouve plus : comme a − m {\displaystyle \scriptstyle a^{-m}} indique que la quantité a doit se trouver dans le calcul avec m dimensions de moins, & qu’en général elle doit abaisser de m dimensions la quantity algébrique or elle entre par voie de multiplication. Voyez negative.

Passons aux Exposans Fractionaires. Que means a 1 2 {\displaystyle \scriptstyle a^{\frac {1}{2}}} ? Pour en avoir une idée nettle, je take a = b b {\displaystyle \scriptstyle a=bb} ; donc a 1 2 {\displaystyle \scriptstyle a^{\frac {1}{2}}} est la même choose que ( b b ) 1 2 {\displaystyle \scriptstyle (bb)^{\frac {1}{2} }} : or dans ( b b ) 3 {\displaystyle \scriptstyle (bb)^{3}} , par example, l’exposant indique que b doit être écrit un nombre de fois triple du nombre de fois qu’il est écrit dans the product (bb) ; & comme il y est écrit deux fois (bb), il s’ensuit que ( b b ) 3 {\displaystyle \scriptstyle (bb)^{3}} indique que b doit être écrit 6 fois ; donc ( b b ) 3 {\displaystyle \scriptstyle (bb)^{3}} est égal à b 6 {\displaystyle \scriptstyle b^{6}} ; donc par la même raison ( b b ) 1 2 {\displaystyle \scriptstyle (bb)^{\frac {1}{2}}} indique que b doit être écrit la moitié de fois de ce qu’il est écrit dans la quantité b ; donc il doit être écrit une fois ; donc ( b b ) 1 2 = b {\displaystyle \scriptstyle (bb)^{\frac {1}{2}}=b} ; donc a 1 2 = b = a {\displaystyle \scriptstyle a^{\frac {1}{2}}=b={\sqrt {a}}} .

Il n’y aura pas plus de difficé pour les exposans radicaux, dont très-peu d’auteurs ont parlé. Que means, for example, a 2 {\displaystyle \scriptstyle a^{\sqrt {2}}} ? Pour le trouver, on remarquera que 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}} n’est point un vrai nombre, mais une quantité dont on peut approcher aussi près qu’on veut, sans l’atteindre jamais ; ainsi supposons que p q {\displaystyle \scriptstyle {\frac {p}{q}}} Expression of a fraction par laquelle when approaching the continuation of 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}} ; a 2 {\displaystyle \scriptstyle a^{\sqrt {2}}} aura pour valeur approchée la quantity a p q {\displaystyle \scriptstyle a^{\frac {p}{q}}} , dans laquelle p & q seront des Nombres entiers qu’on pourra rendre aussi Exacts qu’on voudra, jusqu’à l’exactitude absolutely exclusive. Ainsi a 2 {\displaystyle \scriptstyle a^{\sqrt {2}}} indique proprement la limite d’une quantité, & non une quantité réelle ; c’est la limite de a élevé à un exposant fragmentnaire qui approche de plus en plus de la valeur de 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}} . Voyez exponential, limit, etc. (Ö)

EXPOSANT, (Jurisp.) est le terme usité dans les lettres de chancellerie pour designer l’impétrant, c’est-à-dire celui qui demande les lettres, & auquel elles sont accordées. On l’appelle exposant, parce-que ces lettres énoncent d’abord que de la part d’un tel il a été exposé telle choose ; & dans le narré du fait, en parlant de celui qui demande les lettres, on le qualifie toûjours d’exposant ; & dans la partie des lettres qui content la disposition, le roi mande à ceux auxquels les lettres sont adressées, de remettre l’exposant au meme état qu’il étoit avant un tel acte : si ce sont des lettres de rescision, ou si ce sont d’autres lettres, de faire joüir l’exposant du benéfice desdites lettres. Voyez Les Styles de Chancellerie. (A)

Lois des exposants (avec exemples et exercices résolus)

Lois des exposants (with examples and exercises)

Le lois des exposants sont ceux qui s’appliquent à ce nombre qui indique combien de fois un nombre de base doit être multiplié par lui-même. Les exposants sont également appelés pouvoirs. Potentialization is a mathematical operation formed by a base (a), an exposition (m) and a power (b), a result of the operation.

Sont généralement utilisés Exponenten lorsque de très grandes quantités sont utilisées, car ceux-ci ne sont que des abréviations represent la multiplication de ce nombre un Certain nombre de fois. Les exposants peuvent être à la fois positives et negatifs.

index

1 Explication des lois des exposants 1.1 Première loi: puissance d’exposant égale to 1 1.2 Deuxième loi: puissance d’exposant égale to 0 1.3 Troisième loi: exposant négatif 1.4 Quatrième loi: multiplication des pouvoirs à part loi.réme loi.réme loi.réme loi.réme des Cinquième loi.réme loi.réme loi Compétences sur un pied d’égalité 1.6 Sixieme loi: multiplication des pouvoirs avec a base different 1.7 Septième loi: répartition of compétences sur a base different 1.8 Huitième loi: pouvoir d’un pouvoir 1.9 Neuvième loi: exposant fragmentnaire

2 exercises résolus 2.1 exercise 1 2.2 exercise 2

3 references

Explication des lois des exposants

Comme indiqué plus haut, les exposants sont une abréviation represent the multiplication des nombres eux-mêmes plusieurs fois, où l’exposant ne porte que sur le nombre de gauche. For example:

23 = 2*2*2 = 8

Dans ce numéro de cas 2 est la base de la puissance, qui sera multipliée 3 fois, comme indiqué par l’exposant, située dans le coin supérieur droit de la base. Il y a different manières de lire l’expression: 2 élevé à 3 or 2 élevé au cube.

Les exposants indiquent also le nombre de fois où ils peuvent être divisés, et pour différencier cet exposant opération de multiplication prend le signe moins (-) devant lui-même (négative), ce qui signifie que l’exposant est le dénominateur fraction. For example:

2- 4 = 1/ 2*2*2*2 = 1/16

Cela ne devrait pas être confondu avec le cas où la base est negativ, car elle dépendra de l’exposant est impair ou même pour determiner si la puissance sera positif ou negativ. Donc, vous devez:

– Si l’exposant est pair, le pouvoir sera positive. For example:

(-7)2 = -7 * -7 = 49.

– Si l’exposant est impairment, le pouvoir sera negatif. For example:

(-2)5 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32.

Il y a un cas particulier dans lequel si l’exposant est égale à 0, la puissance est égale à 1. Il est également possible que la base soit égale à 0; dans ce cas, en fonction de l’exposition, le pouvoir sera indeterminé ou non.

Pour effectuer des operations mathématiques avec les exposants, il est necessaire de suivre plusieurs rules ou règles facilitant la recherche de la solution pour ces operations.

Premiere loi: puissance exposant égale à 1

Lorsque l’exposant est 1, le résultat sera la meme valeur de la base: a1 = a

des examples

91 = 9.

221 = 22.

8951 = 895.

Deuxième loi: puissance exposant égale à 0

Lorsque l’exposant est 0, si la base est different de zero, le résultat sera:0 = 1.

des examples

10 = 1

3230=1.

10950 = 1.

Troisième loi: exposingly negative

Comme l’exposé est négatif, le résultat sera a fraction, où le pouvoir sera le dénominateur. Par example, si m est positive, alors un-m= 1 / am.

des examples

– 3-1 = 1/3.

– 6-2 = 1/62 = 1/36.

– 8-3 = 1/83 = 1/512.

Quatrième loi: Multiplication des pouvoirs à base égale

For the multiplier, the strengths are the base and the differences from 0, the base is the maintenance and the exponents are: am * unn = am + n.

des examples

– 44 * 43 = 44+3 = 47

– 81 * 84 = 81 + 4 = 85

– 22 * ​​29 = 22 + 9 = 211

Cinquième loi: division des pouvoirs à base égale

Pour diviser les puissances dont les bases sont égales et différentes de 0, la base est maintenue et les exposants sont soustraits comme suit: am / an = am-n.

des examples

– 92 / 91 = 9 (2 – 1) = 91.

– 615 / 610 = 6 (15 – 10) = 65.

– 4912 / 496 = 49 (12 – 6) = 496.

Sixieme loi: Multiplication des pouvoirs avec a base differente

Dans cette loi, nous avons le contraire de ce qui est expressed dans le quatrième; c’est-à-dire que s’il y a des bases differentes avec des exposants égaux, les bases sont multipliées et l’exposant est maintenu: am * bm = (a * b) m.

des examples

– 102 * 202 = (10 * 20)2 = 2002.

– 4511 * 911 = (45*9)11 = 40511.

An other form of representative cette loi est lorsqu’une multiplication est élevée à un pouvoir. Ainsi, l’exposant appartiendra à chacun des termes suivants: * b)m= am * bm.

des examples

– (5 * 8)4 = 54 * 84 = 404.

– (23 * 7)6 = 236 * 76 = 1616.

Septième loi: division of the pouvoirs avec des bases differentes

S’il y a des bases differenttes mais avec des exposants égaux, les bases sont divisées et l’exposant est maintenu: am / bm = (a / b)m.

des examples

– 303/23 = (30/2)3 = 153.

– 4404 / 804 = (440/80)4 = 5.54.

De meme, lorsqu’une division est élevée à un pouvoir, l’exposant appartiendra à chacun des termes suivants: b) m = am / bm.

des examples

– (8/4)8 = 88 / 48 = 28.

– (25/5)2 = 252 / 52 = 52.

Il y a un cas où l’exposant est negatif. Donc, pour être positive, the value of the numerator is reversed with the cell of the dénominateur, of the manière suivante:

– (a / b)-n = (b / a)n = bn / an.

– (4/5)-9 = (5/4)9 = 59/44.

Huitième loi: pouvoir d’un pouvoir

Lorsque cela a une puissance élevée à un autre -es de puissance, deux exposants à la fois, la base est maintenue et multiplier les exposants: (am)n= am *n.

des examples

– (83)2 = 8 (3*2) = 86.

– (139)3 = 13 (9*3) = 1327.

– (23810)12 = 238(10 * 12) = 238120.

Neuvieme loi: Exposant Fractionnaire

Si le pouvoir a une fraction comme exposant, il est résolu en le transformant en une nieme racine, où le numérateur reste un exposant et le dénominateur représente l’index de la racine:

example

Exercises résolus

Exercise 1

Calculates the operations between the different bases:

24*44/82.

solution

En appliquant les règles des exposants, dans le numerateur, les bases sont multipliées et l’exposant est maintenu, comme ceci:

24 * 44 / 82 = (2 * 4)4 / 82 = 84 / 82

Maintenant, comme nous avons les memes bases mais avec des exposants différents, la base est maintenue et les exposants sont soustraits:

84/82 = 8(4 – 2) = 82

exercise 2

Calculating the operations between large forces and another force:

(32)3*(2*65)-2*(22)3

solution

En appliquant les lois, vous devez:

(32)3*(2*65)-2*(22)3

=36 * 2-2 * 2-10 * 26

=36 * 2(-2) + (- 10) * 26

=36*2-12*26

=36 * 2(-12) + (6)

=36 * 26

=(3*2)6

=66

=46.656

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