Raiz Cuadrada De 45? The 230 Detailed Answer

Algunas Consideraciones iniciales a tener en cuenta son que: Cualquier número entero puede reescribirse separando las unidades del resto de cifras de la siguiente forma: n = 10 a + b , c o n a , b ∈ Z {\displaystyle n=10a+b,\ con \a,b\in \mathbb{Z} } e . g . n = 4132 = 413 × 10 + 2 {\displaystyle e.g.\ n=4132=413\times 10+2} Cualquier número par puede representarse como el producto de 2 por otro número entero (dado que cuenta con al menos un 2 en su Descomposición factorial, siempre se puede sacar como factor común): p = 2 k , c Ö n k ∈ Z {\displaystyle p=2k,\ con\ k\in \mathbb {Z} } e . g . p = 36 = 2 × 18 {\displaystyle e.g.\ p=36=2\times 18} Cualquier número impar puede representarse como el consecutivo de un número par (al restarle una unidad, quedará un número par, que al tener al menos un 2 en su descomposición factorial, podrá a su vez sacarse como factor común): q = 2 k + 1 , c Ö n k ∈ Z {\displaystyle q=2k+1,\ con\ k\in \mathbb {Z} } e . g . q = 37 = 2 × 18 + 1 {\displaystyle e.g.\ q=37=2\times 18+1} El producto de cualquier número entero por un número par será par (al contar con al menos con un 2 en su descomposición factorial aportado por el factor par): p n = 2 k n = 2 ( k n ) , c Ö n k ∈ Z {\displaystyle pn=2kn=2(kn),\ con\ k\in \mathbb {Z} } e . g . 16 × 33 = 528 , 34 × 16 = 544 {\displaystyle e.g.\ 16\times 33=528,\quad 34\times 16=544} El producto de dos números impares será impar (al no contar con ningún 2 en su descomposición Factorial): i 1 i 2 = ( 2k 1 + 1 ) ( 2k 2 + 1 ) = 4k 1k 2 + 2k 1 + 2k 2 + 1 = 2 ( 2k 1k 2 + k 1 + k 2 ) + 1 , c O n k 1 , k 2 ∈ Z {\displaystyle i_{1}i_{2}=(2k_{1}+1)(2k_{2}+1)=4k_{1}k_{ 2} +2k_{1}+2k_{2}+1=2(2k_{1}k_{2}+k_{1}+k_{2})+1,\ con\ k_{1},k_{2 }\ in \mathbb{Z}}e. g . 57 × 13 = 741 {\displaystyle e.g.\ 57\times 13=741} La suma de un número par no cambia la paridad del número entero original: n p + p = 2 k 1 + 2 k 2 = 2 ( k 1 + k 2 ) , c O n k 1 , k 2 ∈ Z {\displaystyle n_{p}+p=2k_{1}+2k_{2}=2(k_{1}+k_{2}),\ con\ k_{ 1} ,k_{2}\in \mathbb {Z} } n i + p = ( 2 k 1 + 1 ) + 2 k 2 = 2 ( k 1 + k 2 ) + 1 , c o n k 1 , k 2 ∈ Z {\displaystyle n_{i}+p=(2k_{1}+1)+2k_{2}=2(k_{1}+k_{2})+1,\ con\ k_{1},k_ {2}\in \mathbb{Z}} e. g . 12 + 304 = 316 , 623 + 52 = 675 {\displaystyle e.g.\ 12+304=316,\quad 623+52=675} La suma de un número impar sí cambia la paridad del número entero original: n p + i = 2 k 1 + 2 k 2 + 1 = 2 ( k 1 + k 2 ) + 1 , c O n k 1 , k 2 ∈ Z {\displaystyle n_{p}+i=2k_{1}+2k_{2}+1 =2 (k_{1}+k_{2})+1,\ con\ k_{1},k_{2}\in \mathbb{Z} } n i + i = ( 2 k 1 + 1 ) + ( 2 k 2 + 1 ) = 2 ( k 1 + k 2 + 1 ) , c O n k 1 , k 2 ∈ Z {\displaystyle n_{i}+i=(2k_{1}+1)+(2k_{2} +1)= 2(k_{1}+k_{2}+1),\ con\ k_{1},k_{2}\in \mathbb{Z} } e . g . 212 + 3 = 215 , 23 + 17 = 40 {\displaystyle e.g.\ 212+3=215,\quad 23+17=40} Teniendo en cuenta lo anteriormente expuesto, se puede proceder a demostrar las propiedadedes enumeradas más arriba: Dado un entero acabado en 0 ( n = 10 a {\displaystyle n=10a} n 2 = ( 10 a ) 2 = 100 a 2 {\displaystyle n^{2}=(10a)^{2}=100a^{2} } e .g .a = 3 → 30 2 = 900 {\displaystyle e.g.\ a=3\rightarrow 30^{2}=900} Dado un entero acabado en 1 o 9 ( n 1 = 10 a + 1 ; n 2 = 10 a + 9 {\displaystyle n_{1}=10a+1;\ n_{2}=10a+9} n 1 2 = ( 10 a + 1 ) 2 = 100 a 2 + 20 a + 1 = 10 ( 10 a 2 + 2 a ) + 1 = 10 ( 2 ( a ( 5 a + 1 ) ) ) + 1 {\displaystyle n_{1}^{2}=(10a+1)^{2}=100a^{ 2}+20a+1=10(10a^{2}+2a)+1=10(2(a(5a+1)))+1} Si a ( 5 a + 1 ) {\displaystyle a(5a+ 1 )} 2 ( a ( 5 a + 1 ) ) = 2 ( 2 k ) = 4 k {\displaystyle 2(a(5a+1))=2(2k)=4k} a {\displaystyle a} 5 a + 1 {\displaystyle 5a+1} e .g .a = 2 → 21 2 = 441 = ( 4 × 22 ) × 10 + 1 {\displaystyle eg\ a=2\rightarrow 21^{2}=441=( 4 \times 22)\times 10+1} n 2 2 = ( 10 a + 9 ) 2 = 100 a 2 + 180 a + 81 = 10 ( 10 a 2 + 18 a + 8 ) + 1 = 10 ( 2 ( 5 a 2 + 9 a + 4 ) ) + 1 = 10 ( 2 ( a ( 5 a + 9 ) + 4 ) ) + 1 {\displaystyle n_{2}^{2}=(10a+9)^{2}=100a^{2}+180a+81=10(10a^{2}+18a+ 8 )+1=10(2(5a^{2}+9a+4))+1=10(2(a(5a+9)+4))+1} Similarly as caso anterior, si ( 5 a 2 + 9 a + 4 ) {\displaystyle (5a^{2}+9a+4)} 2 ( 5 a 2 + 9 a + 4 ) = 2 ( 2 k ) = 4 k {\displaystyle 2(5a^ { 2}+9a+4)=2(2k)=4k} a {\displaystyle a} 5 a 2 {\displaystyle 5a^{2}} 9 a {\displaystyle 9a} ( 5 a 2 + 9 a + 4 ) {\displaystyle (5a^{2}+9a+4)} a {\displaystyle a} 5 a 2 {\displaystyle 5a^{2}} 9 a {\displaystyle 9a} ( 5 a 2 + 9 a ) { \ display style (5a^{2}+9a)} e . g . a = 2 → 29 2 = 841 = ( 4 × 21 ) × 10 + 1 {\displaystyle e.g.\ a=2\rightarrow 29^{2}=841=(4\times 21)\times 10+1} Dado un entero acabado en 2 u 8 ( n 1 = 10 a + 2 ; n 2 = 10 a + 8 {\displaystyle n_{1}=10a+2;\ n_{2}=10a+8} n 1 2 = ( 10 a + 2 ) 2 = 100 a 2 + 40 a + 4 = 10 ( 10 a 2 + 4 a ) + 4 = 10 ( 2 ( 5 a 2 + 2 a ) ) + 4 {\displaystyle n_{1}^{ 2}=(10a+2)^{2}=100a^{2}+40a+4=10(10a^{2}+4a)+4=10(2(5a^{2}+2a))+ 4} e .g .a = 7 → 72 2 = 5184 = ( 2 × 259 ) × 10 + 4 {\displaystyle eg\ a=7\rightarrow 72^{2}=5184=(2\times 259)\times 10+4} n 2 2 = ( 10 a + 8 ) 2 = 100 a 2 + 160 a + 64 = 10 ( 10 a 2 + 16 a + 6 ) + 4 = 10 ( 2 ( 5 a 2 + 8 a + 3 ) ) + 4 {\displaystyle n_{2}^{2}=(10a+8)^{2}=100a^{2}+160a+64=10(10a^{2}+16a+6)+ 4=10(2(5a^{2}+8a+3))+4} e . g . a = 7 → 78 2 = 6084 = ( 2 × 304 ) × 10 + 4 {\displaystyle eg\ a=7 \rightarrow 78^{2}=6084=(2\times 304)\times 10+4} Dado un entero acabado en 3 o 7 ( n 1 = 10 a + 3 ; n 2 = 10 a + 7 {\displaystyle n_ {1}=10a+3;\n_{2}=10a+7}n 1 2 = ( 10 a + 3 ) 2 = 100 a 2 + 60 a + 9 = 10 ( 10 a 2 + 6 a ) + 9 = 10 ( 2 ( 5 a 2 + 3 a ) ) + 9 {\displaystyle n_{1}^{2}=(10a + 3)^{2}=100a^{2}+60a+9=10(10a^{2}+6a)+9=10(2(5a^{2}+3a))+9} De forma similar to a las vistas anteriormente, si a ( 5 a 2 + 3 a ) {\displaystyle a(5a^{2}+3a)} 2 ( 5 a 2 + 3 ) = 2 ( 2 k ) = 4 k {\displaystyle 2 ( 5a^{2}+3)=2(2k)=4k} a {\displaystyle a} 5 a 2 + 3 a {\displaystyle 5a^{2}+3a} a {\displaystyle a} 5 a 2 + 3 a {\displaystyle 5a^{2}+3a} a = 5 → 53 2 = 2809 = ( 4 × 70 ) × 10 + 9 {\displaystyle a=5\rightarrow 53^{2}=2809=(4\ times 70)\ times 10+9} n 2 2 = ( 10 a + 7 ) 2 = 100 a 2 + 140 a + 49 = 10 ( 10 a 2 + 14 a + 4 ) + 9 = 10 ( 2 ( 5 a 2 + 7 a + 2 ) ) + 9 {\displaystyle n_{2}^{2}=(10a+7)^{2}=100a^{2}+140a+49=10(10a^{2}+ 14a +4)+9=10(2(5a^{2}+7a+2))+9} Igualments, si a ( 5 a 2 + 7 a + 2 ) {\displaystyle a(5a^{2}+ 7a +2)} 2 ( 5 a 2 + 7 a + 2 ) = 2 ( 2 k ) = 4 k {\displaystyle 2(5a^{2}+7a+2)=2(2k)=4k} a { \ displaystyle a} 5 a 2 + 7 a + 3 {\displaystyle 5a^{2}+7a+3} a {\displaysty le a} 5 a 2 + 7 a {\displaystyle 5a^{2}+7a} e . g . a = 5 → 57 2 = 3249 = ( 4 × 81 ) × 10 + 9 {\displaystyle e.g.\ a=5\rightarrow 57^{2}=3249=(4\times 81)\times 10+9} Dado un entero acabado en 4 o 6 ( n 1 = 10 a + 4 ; n 2 = 10 a + 6 {\displaystyle n_{1}=10a+4;\ n_{2}=10a+6} n 1 2 = ( 10 a + 4 ) 2 = 100 a 2 + 80 a + 16 = 10 ( 10 a 2 + 8 a + 1 ) + 6 = 10 ( 2 ( 5 a 2 + 4 a ) + 1 ) + 6 {\displaystyle n_{ 1}^{2}=(10a+4)^{2}=100a^{2}+80a+16=10(10a^{2}+8a+1)+6=10(2(5a^{2 }+4a)+1)+6} e .g .a = 4 → 44 2 = 1936 = ( 2 × 81 + 1 ) × 10 + 6 {\displaystyle eg\ a=4\rightarrow 44^{2}= 1936=(2×81+1)×10+6} n 2 2 = ( 10 a + 6 ) 2 = 100 a 2 + 120 a + 36 = 10 ( 10 a 2 + 12 a + 3 ) + 6 = 10 ( 2 ( 5 a 2 + 6 a + 1 ) + 1 ) + 6 {\displaystyle n_{2}^{2}=(10a+6)^{2}=100a^{2}+120a+36 =10(10a^{2}+12a+3)+6=10(2(5a^{2}+6a+1)+1)+6} eg a = 4 → 46 2 = 2116 = ( 2 × 105 + 1 ) × 10 + 6 {\displaystyle e.g.\ a=4\rightarrow 46^{2}=2116=(2\times 105+1)\times 10+6} Dado un entero acabado en 5 ( n = 10 a + 5 {\displaystyle n=10a+5} n 2 = ( 10 a + 5 ) 2 = 100 a 2 + 100 a + 25 = 100 ( a 2 + a ) + 25 = 100 ( a ( a + 1 ) ) + 25 {\displaystyle n^{2}=(10a+5)^{2}=100a^{ 2} +100a+25=100(a^{2}+a)+25=100(a(a+1))+25} Al tratarse el factor a ( a + 1 ) {\displaystyle a(a+1 ) e. g . a = 8 → 85 2 = 7225 = ( 8 × 9 ) × 100 + 25 {\displaystyle eg\ a=8\rightarrow 85^{2}=7225=(8\times 9)\times 100+25}

En los cursos anteriores ya habías calculated el cuadrado de algún número. Aunque durante este curso vamos a ver potencias de exponente cualquier número natural o cero, en este apartado vamos a repasar los cuadrados de los números del 0 al 15.

En la siguiente tabla están los cuadrados de dichos números. Dichos resultados son los llamados CUADRADOS PERFECTOS.

Module de Aprendizaje #3

Area: Mateticas

Pedagogical Group: middle school.

Semana: From May 10th to 14th, 2021

Educational name of the guide: Miss Melissa Artiga

Correo: [email protected]

1) Theme of the theme:

Conocer las propiedades de raíces cuadradas.

Encontrar raíces cuadradas principales y sus opuestos.

Aproximar raises cuadradas y encontrar raises exactas.

Desarrollar habilidades para la simplificación de raíces cuadradas. (Radical)

2) Desarrollo

SIMPLIFICACIÓN DE RAICES CUADRADAS

Simplificar una raíz cuadrada no es tan complicado como parece. Para hacerlo, solo tienes que factorizar el número y sacar las raíces de todos los cuadrados perfectos que encuentres del signo radrad.

EJEMPLO: SIMPLIFICAR MEDIANT FACTORIZATION

Entiente the concept of factorization. El objetivo de la simplificar una raíz cuadrada it volver a escribirla en una forma más comprensible y que pueda usarse en problemas matemáticos. La factorización descompone un número grande en dos o más factores más pequeños, por ejemplo, cambiar 9 and 3 x 3. Una vez que hallemos estos factors, podremos volver a escribir la raíz cuadrada en una forma más simple, en ocasiones incluso convirtiéndola en un enter normally. Example: √9 = √(3×3) = 3. Sigue los pasos a continuación para aprender este process en raíces cuadradas más complicadas.

Vuelve a escribir la raíz cuadrada como un problema de multiplicación. Write to do debajo del signo de la raíz cuadrada y not te olvides de incluir ambos factors. For ejemplo, si quieres simplificar √98, sigue el paso anterior para averiguar que 98 ÷ 2 = 49, de modo que 98 = 2 x 49. Vuelve a written “98” en la raíz cuadrada original utilizando esta información: √98 = √ (2×49)

Repeat con uno de los números restantes. Antes de poder simplificar la raíz cuadrada, seguimos factorizando hasta que la hayamos descompuesto en dos partes identicas. Esto tendrá sentido si piensas en lo que significa una raíz cuadrada: el término √(2 x 2) significa “el número que puedes multiplicar consigo mismo para que sea igual a 2 x 2”. Como es obvio, ¡este número es 2! Con este objetivo en mente, repitamos los pasos anteriores para nuestro problema √(2 x 49):

2 ya está factorizado al número más bajo posible (en otras palabras, it uno de esos números primos en la lista anterior). Ignoremos de momento y tratemos de divider 49.

No es posible divider 49 enter 2, enter 3 or enter 5. Puedes probarlo por tu cuenta utilizando una calculadora o una división larga. Debido a que esto nos da un número entero, lo ignoreremos y seguiremos intentionando.

49 puede dividirse equitativamente entre siete. 49 ÷ 7 = 7, so that 49 = 7 x 7.

Now that the problem is written: √(2 x 49) = √(2 x 7 x 7).

Termina de simplificar al “obtener” un número entero. Una vez que hayas descompuesto el problema en dos factors identicos, puedes convertirlo en un número entero regular fuera de la raíz cuadrada. Deja todos los demas factors dentro de la raiz cuadrada. Example: √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2).

Incluso si it possible seguir factorizando, no it necesario hacerlo una vez que hayas encontrado dos factors identicos. Example: √(16) = √(4 x 4) = 4. Si siguiéramos factorizando, terminaríamos con la misma respuesta pero tendríamos que hacer más trabajo: √(16) = √(4 x 4) = √(2 x 2 x 2 x 2) = √(2 x 2)√(2 x 2) = 2 x 2 = 4.

EJEMPLO: SIMPLIFICAR CONOCIENDO LOS CUADROS PERFECTOS

Memoriza algunos cuadrados perfectos. Si elevas un número al cuadrado o lo multiplicas por si mismo crearás un cuadrado perfecto. Por ejemplo, 25 es un cuadrado perfecto, pues 5 x 5, o 52, es igual a 25. Si memorizas por lo menos los primeros diez cuadrados perfectos, podrás reconocer y simplificar rápidamente las raíces cuadradas perfectas. Estos son los diez primeros cuadrados perfectos:

1^2 = 1

2^2 = 4

3^2 = 9

4^2 = 16

5^2 = 25

6^2 = 36

7^2 = 49

8^2 = 64

9^2 = 81

10^2 = 100

Halla la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto. Si reconoces a cuadrado perfecto debajo de un símbolo de raíz cuadrada, puedes convertirlo inmediatamente en su raíz cuadrada y deshacerte del signo delradical (√). Por ejemplo, si ves el número 25 debajo del signo de la raíz cuadrada, sabrás que la respuesta es 5 porque 25 es un cuadrado perfecto. Esta es la misma lista que en el paso anterior, alone que va de la raíz cuadrada hacia la respuesta:

√1 = 1

√4 = 2

√9 = 3

√16 = 4

√25 = 5

√36 = 6

√49 = 7

√64 = 8

√81 = 9

√100 = 10

Factoriza los numbers en cuadrados perfectos. Utiliza los cuadrados perfectos a tu beneficio cuando sigas el method de factorización o de simplificación de raíces cuadradas. Si notas una forma de factorizar un cuadrado perfecto, podras ahorrar tiempo y esfuerzo. Estos son algunos consejos:

√50 = √(25 x 2) = 5√2. Si los últimos dos digitos de un terminan en 25, 50 o 75, siempre puedes factorizar a 25.

√1700 = √(100 x 17) = 10√17. Si los ultimos dos digitos terminan en 00, siempre puedes factorizar a 100.

√72 = √(9 x 8) = 3√8. Por lo general, reconocer los multiplos de new it util. Existe un truco para esto: si todos los digitos en un número suman nueve, entonces nueve sera siempre un factor.

√12 = √(4 x 3) = 2√3. No existe un truco especial en este punto, pero generalmente it fácil verificar si un número pequeño es divisible entre 4. Tenlo en mente cuando busques factors.

EJEMPLO: SIMPLIFICAR CONOCIENDO LA TERMINOLOGIA

Ten en cuenta que el símbolo radical (√) es el que indica la raíz cuadrada. For example, in the problem √25, “√” is the symbol radical.

Ten en cuenta que el radicando es el número que se encuentra dentro del símbolo radical. Deberas hallar la raíz cuadrada de este número. Por ejemplo, en el caso del problema √25, “25” es el radicando.

Ten en cuenta que el coeficiente es el numero que se encuentra fuera del símbolo radical. Este es el número por el que se multiplica la raíz cuadrada y se ubica a la derecha del símbolo √. Por ejemplo, en el caso del problema 7√2, “7” is the coefficient.

Ten en cuenta que un factores un número que puede dividirse equitativamente de otro número. Por ejemplo, 2 es un factor de 8, porque 8 ÷ 4 = 2, pero 3 no es un factor de 8 pues 8÷3 da como resultado a un número entero. Como en otro ejemplo, 5 es a factor de 25 porque 5 x 5 = 25.

Comprende el significado de simplificar una raiz cuadrada. Simplificar una raíz cuadrada simplemente significant factorizar todos los cuadrados perfectos en el radicando, moverlos a la izquierda del símbolo RADICAL y dejar el otro factor dentro del este último. Si el número es un cuadrado perfecto, the símbolo RADICAL desaparecerá una vez que escribas su raíz. Example: √98 simplifies 7√2.

Determina en qué conjuntos encaja el número.

Números irracionales: Decimal, no exact numbers or no periods

Hay seis conjuntos de números en común.

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Determina en qué conjuntos encajan los números.

Números irracionales: Decimal, no exact numbers or no periods

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Numeros naturales

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (numero cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa an elemento en un conjunto (ordinal).

The conjunto de los números naturales is formed by:

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…}

Numeros enteros

Los numeros enteros son del tipo:

= {…−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…}

Nos permissions expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar etc.

Numeros racionales

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

Los números decimales (accurate to decimal, periódico puro y periódico mixto) Son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, portanto no se pueden expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es

, que se define como la relation between the longitud de la circunferencia y su diámetro.

= 3.141592653589…

Other números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la formula de la catenaria, que it la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459…

El numbero aureo,

, used by artists of all the epochs (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) and the properties of the obras.

Real numbers

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, except la radicación de índice par y radicando negativo y la division por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Numeros imaginarios

Un number imaginario se denota por bi, donde :

b it is a number real

i es la unidad imaginaria:

Los números imaginarios allow calcular raíces con índice par y radicando negativo.

x2 + 9 = 0

Numeros complejos

Un número complejo en forma binómica es a + bi.

El number a es la parte real del number complejo.

El número it is la parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduces a un número real, ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduced a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de los números complejos se designa por

La raíz cuadrada de 5 es el número real positivo que, cuando es multiplicado por sí mismo, da el número 5. Este número es notable en parte porque aparece en la fórmula para el número áureo. Puede ser denotado como √5.

La raíz cuadrada de 5 es un número irracional algebraico.[1]​

Valor numerico [edit]

The raíz cuadrada de 5 correcta es: 2.2360679755 (Secuencia n.º A002163 del OEIS).

El cual puede ser redondeado a 2,236 with an accuracy of 99.99%. In April 1994, su valor numérico en decimal había sido computado (digitalizado) por lo menos a un million de dígitos.[2]​

Como fracción continua [edit]

Se puede expresar como la fracción continua [2; 4, 4, 4, 4, 4…]. The succession of most approximations racionales es:

2 1 , 7 3 , 9 4 , 20 9 , 29 13 , 38 17 , 123 55 , 161 72 , 360 161 , 521 233 , 682 305 , 2207 987 , 2889 1292 , ⋯ {\displaystyle}{\color {OliveGreenstyle frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {Olive Green}{\frac {9}{4}}},{\frac {20}{9}} , {\frac {29}{13}},{\color {OliveGreen}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}},{\color {OliveGreen}{\frac { 161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {OliveGreen}{\frac {682}{305}}},{ \ frac {2207}{987}},{\color {Olive Green}{\frac {2889}{1292}}},\cdots }

Las converts de la fracción continua están coloreadas; sus numeradores tienen la secuencia n.º A001077 del OEIS y sus denominadores tienen la secuencia n.º A001076 del OEIS. Los other terms no coloreados son semiconvergentes.

Método babilónico [edit]

Cuando se calcula 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} por el método babilónico, comenzando con r 0 = 2 y usando r n+1 = (r n + 5/r n ) / 2, el n-ésimo approximante r n es igual a la 2n-ésima convernte de la sucesión convernte:

2 1 = 2.0 , 9 4 = 2.25 , 161 72 = 2.23611 … , 51841 23184 = 2.2360679779 … {\displaystyle {\frac {2}{1}}=2.0,\quad { \frac {9}{4}}= 2.25,\quad {\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad {\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ l dots }

Relación del número áureo y la succession de Fibonacci[edit]

La diagonal √5/2 de un medio cuadrado (el que tienen como medida sus lados 1 y 0.5) forman la base para la construction geométrica del rectángulo áureo

El número áureo φ es la media aritmética de 1 y la raíz cuadrada de 5.[3]​ La relación algebraica between la raíz cuadrada de 5, el número áureo y el número áureo conjugado (Φ = 1/φ = φ − 1) is expressed in the following formulas:

5 = φ + Φ = 2 φ − 1 = 2 Φ + 1 {\displaystyle {\sqrt {5}}=\varphi +\Phi =2\varphi -1=2\Phi +1}

φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

Φ = 5 − 1 2 {\displaystyle \Phi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}

(Véase la sección abajo para su interpretación geométrica como descomposiciones de un rectángulo raíz-5.)

La raíz cuadrada de 5 entonces calcula naturalmente en la expression cerrada para los sucesión de Fibonacci, una forma de la forma que se escriba generalmente en términos del número áureo:

F ( n ) = φ n − ( 1 − φ ) n 5 . {\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}\,.}

Geometry [ edit ]

Geométricamente, la raíz cuadrada de 5 corresponds to a la diagonal de un rectángulo cuyos lados tengan una longitud de 1 y 2, o a la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos sean 1 y 2, como se puede comprobar con el teorema de Pitágoras. Tal rectángulo puede ser obtenido partiendo en dos un cuadrado, o poniendo dos cuadrados iguales juntos. Junto con la relación algebraica entre √5 y φ, esto forma la base para la construcción geométrica del rectángulo áureo de un cuadrado, y para la construcción de un pentágono regular dado su lado (puesto que el cociente lado-a-diagonal en un pentágono regularly it φ).

Formando un ángulo recto diedro con los dos cuadrados iguales que parten en dos un rectángulo de 1:2, puede ser visto que √5 correspond to también al cociente entre la longitud de un borde del cubo y la distancia más corta a uno de sus vértices del opuesto uno, al atravesar la superficie del cubo (la distancia más corta cuando se atraviesa a través del interior del cubo, correspond to a la longitud de la diagonal del cubo, que es la raíz cuadrada de 3 veces el borde).

El número √5 puede estar algebraica y geométricamente relacionado con la raíz cuadrada de dos y la raíz cuadrada de tres, como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de medida √2 y √3, probándolo otra vez de.el disadvantage :

( 2 ) 2 + ( 3 ) 2 = x 2 {\displaystyle ({\sqrt {2}})^{2}+({\sqrt {3}})^{2}=x^{2}} 2 + 3 = x 2 {\displaystyle 2+3=x^{2}\,\!} x = 2 + 3 {\displaystyle x={\sqrt {2+3}}} x = 5 {\displaystyle x= {\sqrt {5}}}

Los triángulos rectángulos de tales proporciones se pueden encontrar dentro de un cubo: los lados de cualquier triángulo definido por el punto de centro de un cubo, una de esos vértices, y el punto medio de un lado situado en una las caras que contienen ese vértice y frente a ella, estan en el cociente √2:√3:√5. Esto sigue de las relaciones geométricas entre un cubo y las cantidades √2 (cociente borde-a-cara-diagonal, o la distance between los bordes opuestos), √3 (cociente borde-a-cubo-diagonal) y √5 (la relation mencionada arriba).

Un rectángulo con las proporciones 1:√5 de lado se llama un rectángulo raíz-cinco y es parte de la serie de rectángulos dinámicos, con su base en √1 (= 1), √2, √3, √4 (= 2 ). iguales (de dimensiones Φ × 1), o en dos rectángulos áureos de diversos tamaños (de dimensiones Φ × 1 y 1 × φ).[5] Puede también ser descompuesto como la unión de dos rectángulos áureos iguales (de dimensions 1 × φ) cuya intersección forme un cuadrado. Todo esto puede ser visto como la interpretación geométrica de las relaciones algebraicas entre √5, φ y Φ mencionados arriba. El rectángulo raíz-5 se puede construir con un rectángulo de 1:2 (el rectángulo raíz-4), o directamente de un cuadrado de una forma similar al que está para el rectángulo áureo demostrado en la illustración, pero extender el arco de la Length 5 / 2 {\displaystyle {\sqrt {5}}/2} a ambos lados.

Trigonometry [ edit ]

As √2 y √3, la raíz cuadrada de cinco aparece extensiveen en las formulas para las constantes trigonométricas exactas, y como tal el cómputo de su valor es importante para generar trigonométricas tablas. Puesto que √5 está geométricamente ligada a los semi-cuadrados y a los pentágonos, también aparece con frecuencia en los fórmulas para las características geométricas de las figuras derivadas de ellas, por ejemplo en el fórmula para el VOLUME de un dodecaedro.

Aproximación diofántica [edit]

El teorema de Hurwitz en aproximación diofántica indica que cada número irracional x se puede aproximar mediante infinitos números racionales m/n expresados ​​​​en forma irreducible de una manera tal que

| x – m n | < 1 5 n 2 {\displaystyle \left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}} } y ese √5 es el mejor posible, en el sentido que para cualquier constante más grande que √5, hay algunos números irracionales x para los cuales solo es posible un número finito de tales aproximaciones existentes.[6]​ Se relaciona de cerca con esto el teorema[7]​ que de alguna de las tres convergents consecutivas p i /q i , p i+1 /q i+1 , p i+2 /q i+2 , de un α del número, for lo menos una de las tres inecuaciones tiene: | α - p i q i | < 1 5 q i 2 , | α - p i + 1 q i + 1 | < 1 5 q i + 1 2 , | α − p i + 2 q i + 2 | < 1 5 q i + 2 2 {\displaystyle \left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{ 2 }},\qquad \left|\alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^ { 2}},\qquad \left|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2} ^{2}}} Y la √5 en el denominador es la most posible vinculación, puesto que las converntes del número áureo se diferencian en el lado izquierdo arbitrage cerca del valor en el lado derecho. En particularmente, uno no puede obtener un limite vinculativo Considerando secuencias de cuatro o más converntes consecutivas.[7]​ Algebra[edit] El anillo Z [ − 5 ] {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \left[\,{\sqrt {-5}}\,\right]} contains the formulas a + b − 5 {\displaystyle \ scriptstyle a \,+\,b{\sqrt {-5}}} , donde a y b enteros. Este anillo es un ejemplo con frecuencia citado de an anillo conmutativo que no sea un dominio de factorización única. El number 6 tiene dos factorizaciones no equales dentro de este anillo: 6 = 2 ⋅ 3 = ( 1 − − 5 ) ( 1 + − 5 ) . {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).} Identidades de Ramanujan[edit] La raíz cuadrada de 5 aparece en las varias identidades de Ramanujan que implican fracciones continuas de Rogers-Ramanujan.[8]​[9]​ For example: 1 1 + e − 2 π 1 + e − 4 π 1 + ⋱ = ( 5 + 5 2 − 5 + 1 2 ) e 2 π / 5 = e 2 π / 5 ( φ 5 − φ ) . {\displaystyle {\cfrac {1}{{}\quad 1+{\cfrac {e^{-2\pi }}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}}{1+{\ begin{matrix}\\\ddots \end{matrix}}\qquad \qquad {}}}}}\quad {}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}} }{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left( {\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).} 1 1 + e − 2 π 5 1 + e − 4 π 5 1 + ⋱ = ( 5 1 + [ 5 3 / 4 ( φ − 1 ) 5 / 2 − 1 ] 1 / 5 − φ ) e 2 π / 5 . {\displaystyle {\cfrac {1}{{}\quad 1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\begin{matrix}\\\ddots \end{matrix}}\qquad \qquad {}}}}}\quad {}}}=\left({{ \sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right) e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.} 4 ∫ 0 ∞ x e − x 5 cosh ⁡ x d x = 1 1 + 1 2 1 + 1 2 1 + 2 2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + 3 2 1 + ⋱ . {\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{ {}\quad 1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}}{1+{\cfrac {2^{2}}}{1+{\cfrac {2 ^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\begin{matrix}\\\ddots \end{matrix}} \qquad \qquad {}}}}}}}}}}}}}\quad {}}}.} Distintas expressions [ edit ] Binary: 10.0011110001101111... Decimal: 2.23606797749978969... Hexadecimal: 2.3C6EF372FE94F82C... Continuous fractions: 2 + 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 ⋱ {\displaystyle 2+{\cfrac {1}{4+{ \cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}} Véase también [edit]

Gracias por elegir Smartick para seguir aprendiendo matemáticas, ¿estás preparado para empezar con las raíces cuadradas? ¡Pues allá vamos!

En el post de esta semana vamos a aprender a calcular raíces cuadradas exactas y algunos ejemplos visuales donde se aplican, pues, como sabes, la visualización gráfica es siempre de gran ayuda para comprender y asimilar conceptos nuevos. Espero que te resulten muy útiles y disfrutes aprendiendo, ¡verás que sencillo es esto de las raíces cuadradas!

Para calcular la raiz cuadrada de un número, hay que encontrar el número que multiplicado por sí mismo nos da ese primer número. Si conocemos ya las potencias de grado 2 (calcular el cuadrado de un número), se trata de encontrar el número que elevado al cuadrado nos da el primer número.

Para representar la raíz cuadrada, el simbolo que utilizamos se dibuja así:

Veamos ahora algunos ejemplos de cómo calcular raíces cuadradas exactas, que son las raíces que nos dan como resultado un número exacto (sin decimales).

Raices cuadradas Exactas

Para calcular la raíz cuadrada de 9, hay que encontrar el número que multiplicado por sí mismo nos da 9. Pensemos un poco que seguro que lo conocemos. ¿Lo tienes ya? I agree! Como segmente adivinaste, ese number es el 3. Así que la raíz cuadrada de 9 es 3.

Si ya conocemos las potencias, podemos buscar el número que elevado al cuadrado nos da 9, y como 3 al cuadrado es 9, ese número que buscamos es el 3.

¿Has visto qué fácil? Puedes intentionar ahora tú calcular la raíz cuadrada de 16. ¿La encontraste ya? Eso es, como 4 al cuadrado es 16, la raíz cuadrada de 16 sera 4.

Veamos ahora algunos ejemplos visuales para entender mejor el concepto de raíz cuadrada.

Sample image 1

Como aprendiste en el post del cuadrado de un número, los números cuadrados se llaman así precisamente porque podemos representarlos en forma cuadrada, por ejemplo 3 al cuadrado podemos representarlo con 9 cuadraditos colocados en 3 filas de 3, así:

Por lo tanto, como la raíz cuadrada de 9 hemos calculado que es 3, podemos ver la raíz de 9 como el lado de un cuadrado de 9 cuadraditos, y ese lado es 3, como puedes observar en el dibujo anterior.

Reto del ajedrez

Te reto ahora a calcular el número de piezas de cada jugador en un juego de ajedrez. Seguro que lo results fácilmente.

Si sabemos que el tablero es cuadrado y tiene 64 casillas, para saber cuántas casillas tiene el tablero en cada fila necesitamos calcular la raíz de 64.

It decir, buscamos el número que multiplicado por sí mismo (o elevado al cuadrado) nos da 64. Y ese número es el 8. Así que el tablero tiene 8 casillas en cada fila (si te fijas en el dibujo del tablero que hay más abajo, tiene 8 casillas en cada lado).

Ahora sabemos que las piezas de un jugador ocupan 2 filas del tablero, así que necesitamos multiplicar el número de casillas de una fila por 2. ¿Tienes ya la respuesta al reto? ¡Claro! Entonces cada jugador tiene 16 piezas in the juego del Ajedrez.

Si observas el siguiente dibujo verás que son muy fáciles de entender todos esos calculos que hemos hecho para resolver el reto.

Sample image 2

Si quieres visualizar la raíz de 100, aquí te dejo un cuadrado muy colorido dividido en 100 cuadraditos, que tiene 10 de esos cuadraditos en cada lado, por lo que la raíz de 100 se puede observar que es 10.

¿Qué te ha parecido este post? ¿Ha sido sencillo aprender a calcular raíces cuadradas?

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Para seguir apprendiendo: