Raiz Cuadrada De 60? Quick Answer

La raíz cuadrada de 5 es el número real positivo que, cuando es multiplicado por sí mismo, da el número 5. Este número es notable en parte porque aparece en la fórmula para el número áureo. Puede ser denotado como √5.

La raíz cuadrada de 5 es un número irracional algebraico.[1]​

Valor numerico [edit]

The raíz cuadrada de 5 correcta es: 2.2360679755 (Secuencia n.º A002163 del OEIS).

El cual puede ser redondeado a 2,236 with an accuracy of 99.99%. In April 1994, su valor numérico en decimal había sido computado (digitalizado) por lo menos a un million de dígitos.[2]​

Como fracción continua [edit]

Se puede expresar como la fracción continua [2; 4, 4, 4, 4, 4…]. The succession of most approximations racionales es:

2 1 , 7 3 , 9 4 , 20 9 , 29 13 , 38 17 , 123 55 , 161 72 , 360 161 , 521 233 , 682 305 , 2207 987 , 2889 1292 , ⋯ {\displaystyle}{\color {OliveGreenstyle frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {Olive Green}{\frac {9}{4}}},{\frac {20}{9}} , {\frac {29}{13}},{\color {OliveGreen}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}},{\color {OliveGreen}{\frac { 161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {OliveGreen}{\frac {682}{305}}},{ \ frac {2207}{987}},{\color {Olive Green}{\frac {2889}{1292}}},\cdots }

Las converts de la fracción continua están coloreadas; sus numeradores tienen la secuencia n.º A001077 del OEIS y sus denominadores tienen la secuencia n.º A001076 del OEIS. Los other terms no coloreados son semiconvergentes.

Método babilónico [edit]

Cuando se calcula 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} por el método babilónico, comenzando con r 0 = 2 y usando r n+1 = (r n + 5/r n ) / 2, el n-ésimo approximante r n es igual a la 2n-ésima convernte de la sucesión convernte:

2 1 = 2.0 , 9 4 = 2.25 , 161 72 = 2.23611 … , 51841 23184 = 2.2360679779 … {\displaystyle {\frac {2}{1}}=2.0,\quad { \frac {9}{4}}= 2.25,\quad {\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad {\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ l dots }

Relación del número áureo y la succession de Fibonacci[edit]

La diagonal √5/2 de un medio cuadrado (el que tienen como medida sus lados 1 y 0.5) forman la base para la construction geométrica del rectángulo áureo

El número áureo φ es la media aritmética de 1 y la raíz cuadrada de 5.[3]​ La relación algebraica between la raíz cuadrada de 5, el número áureo y el número áureo conjugado (Φ = 1/φ = φ − 1) is expressed in the following formulas:

5 = φ + Φ = 2 φ − 1 = 2 Φ + 1 {\displaystyle {\sqrt {5}}=\varphi +\Phi =2\varphi -1=2\Phi +1}

φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

Φ = 5 − 1 2 {\displaystyle \Phi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}

(Véase la sección abajo para su interpretación geométrica como descomposiciones de un rectángulo raíz-5.)

La raíz cuadrada de 5 entonces calcula naturalmente en la expression cerrada para los sucesión de Fibonacci, una forma de la forma que se escriba generalmente en términos del número áureo:

F ( n ) = φ n − ( 1 − φ ) n 5 . {\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}\,.}

Geometry [ edit ]

Geométricamente, la raíz cuadrada de 5 corresponds to a la diagonal de un rectángulo cuyos lados tengan una longitud de 1 y 2, o a la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos sean 1 y 2, como se puede comprobar con el teorema de Pitágoras. Tal rectángulo puede ser obtenido partiendo en dos un cuadrado, o poniendo dos cuadrados iguales juntos. Junto con la relación algebraica entre √5 y φ, esto forma la base para la construcción geométrica del rectángulo áureo de un cuadrado, y para la construcción de un pentágono regular dado su lado (puesto que el cociente lado-a-diagonal en un pentágono regularly it φ).

Formando un ángulo recto diedro con los dos cuadrados iguales que parten en dos un rectángulo de 1:2, puede ser visto que √5 correspond to también al cociente entre la longitud de un borde del cubo y la distancia más corta a uno de sus vértices del opuesto uno, al atravesar la superficie del cubo (la distancia más corta cuando se atraviesa a través del interior del cubo, correspond to a la longitud de la diagonal del cubo, que es la raíz cuadrada de 3 veces el borde).

El número √5 puede estar algebraica y geométricamente relacionado con la raíz cuadrada de dos y la raíz cuadrada de tres, como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de medida √2 y √3, probándolo otra vez de.el disadvantage :

( 2 ) 2 + ( 3 ) 2 = x 2 {\displaystyle ({\sqrt {2}})^{2}+({\sqrt {3}})^{2}=x^{2}} 2 + 3 = x 2 {\displaystyle 2+3=x^{2}\,\!} x = 2 + 3 {\displaystyle x={\sqrt {2+3}}} x = 5 {\displaystyle x= {\sqrt {5}}}

Los triángulos rectángulos de tales proporciones se pueden encontrar dentro de un cubo: los lados de cualquier triángulo definido por el punto de centro de un cubo, una de esos vértices, y el punto medio de un lado situado en una las caras que contienen ese vértice y frente a ella, estan en el cociente √2:√3:√5. Esto sigue de las relaciones geométricas entre un cubo y las cantidades √2 (cociente borde-a-cara-diagonal, o la distance between los bordes opuestos), √3 (cociente borde-a-cubo-diagonal) y √5 (la relation mencionada arriba).

Un rectángulo con las proporciones 1:√5 de lado se llama un rectángulo raíz-cinco y es parte de la serie de rectángulos dinámicos, con su base en √1 (= 1), √2, √3, √4 (= 2 ). iguales (de dimensiones Φ × 1), o en dos rectángulos áureos de diversos tamaños (de dimensiones Φ × 1 y 1 × φ).[5] Puede también ser descompuesto como la unión de dos rectángulos áureos iguales (de dimensions 1 × φ) cuya intersección forme un cuadrado. Todo esto puede ser visto como la interpretación geométrica de las relaciones algebraicas entre √5, φ y Φ mencionados arriba. El rectángulo raíz-5 se puede construir con un rectángulo de 1:2 (el rectángulo raíz-4), o directamente de un cuadrado de una forma similar al que está para el rectángulo áureo demostrado en la illustración, pero extender el arco de la Length 5 / 2 {\displaystyle {\sqrt {5}}/2} a ambos lados.

Trigonometry [ edit ]

As √2 y √3, la raíz cuadrada de cinco aparece extensiveen en las formulas para las constantes trigonométricas exactas, y como tal el cómputo de su valor es importante para generar trigonométricas tablas. Puesto que √5 está geométricamente ligada a los semi-cuadrados y a los pentágonos, también aparece con frecuencia en los fórmulas para las características geométricas de las figuras derivadas de ellas, por ejemplo en el fórmula para el VOLUME de un dodecaedro.

Aproximación diofántica [edit]

El teorema de Hurwitz en aproximación diofántica indica que cada número irracional x se puede aproximar mediante infinitos números racionales m/n expresados ​​​​en forma irreducible de una manera tal que

| x – m n | < 1 5 n 2 {\displaystyle \left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}} } y ese √5 es el mejor posible, en el sentido que para cualquier constante más grande que √5, hay algunos números irracionales x para los cuales solo es posible un número finito de tales aproximaciones existentes.[6]​ Se relaciona de cerca con esto el teorema[7]​ que de alguna de las tres convergents consecutivas p i /q i , p i+1 /q i+1 , p i+2 /q i+2 , de un α del número, for lo menos una de las tres inecuaciones tiene: | α - p i q i | < 1 5 q i 2 , | α - p i + 1 q i + 1 | < 1 5 q i + 1 2 , | α − p i + 2 q i + 2 | < 1 5 q i + 2 2 {\displaystyle \left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{ 2 }},\qquad \left|\alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^ { 2}},\qquad \left|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2} ^{2}}} Y la √5 en el denominador es la most posible vinculación, puesto que las converntes del número áureo se diferencian en el lado izquierdo arbitrage cerca del valor en el lado derecho. En particularmente, uno no puede obtener un limite vinculativo Considerando secuencias de cuatro o más converntes consecutivas.[7]​ Algebra[edit] El anillo Z [ − 5 ] {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \left[\,{\sqrt {-5}}\,\right]} contains the formulas a + b − 5 {\displaystyle \ scriptstyle a \,+\,b{\sqrt {-5}}} , donde a y b enteros. Este anillo es un ejemplo con frecuencia citado de an anillo conmutativo que no sea un dominio de factorización única. El number 6 tiene dos factorizaciones no equales dentro de este anillo: 6 = 2 ⋅ 3 = ( 1 − − 5 ) ( 1 + − 5 ) . {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).} Identidades de Ramanujan[edit] La raíz cuadrada de 5 aparece en las varias identidades de Ramanujan que implican fracciones continuas de Rogers-Ramanujan.[8]​[9]​ For example: 1 1 + e − 2 π 1 + e − 4 π 1 + ⋱ = ( 5 + 5 2 − 5 + 1 2 ) e 2 π / 5 = e 2 π / 5 ( φ 5 − φ ) . {\displaystyle {\cfrac {1}{{}\quad 1+{\cfrac {e^{-2\pi }}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}}{1+{\ begin{matrix}\\\ddots \end{matrix}}\qquad \qquad {}}}}}\quad {}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}} }{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left( {\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).} 1 1 + e − 2 π 5 1 + e − 4 π 5 1 + ⋱ = ( 5 1 + [ 5 3 / 4 ( φ − 1 ) 5 / 2 − 1 ] 1 / 5 − φ ) e 2 π / 5 . {\displaystyle {\cfrac {1}{{}\quad 1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\begin{matrix}\\\ddots \end{matrix}}\qquad \qquad {}}}}}\quad {}}}=\left({{ \sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right) e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.} 4 ∫ 0 ∞ x e − x 5 cosh ⁡ x d x = 1 1 + 1 2 1 + 1 2 1 + 2 2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + 3 2 1 + ⋱ . {\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{ {}\quad 1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}}{1+{\cfrac {2^{2}}}{1+{\cfrac {2 ^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\begin{matrix}\\\ddots \end{matrix}} \qquad \qquad {}}}}}}}}}}}}}\quad {}}}.} Distintas expressions [ edit ] Binary: 10.0011110001101111... Decimal: 2.23606797749978969... Hexadecimal: 2.3C6EF372FE94F82C... Continuous fractions: 2 + 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 ⋱ {\displaystyle 2+{\cfrac {1}{4+{ \cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}} Véase también [edit]

(4x4x4 = 64)

Por lo tanto, 4 elevators to the cubicle it is originally a 64 (y la raíz cubica de 64 to 4).

Tomemos el caso de la raíz cúbica de 27. En este caso, notaremos que la respuesta es 3, ya que 3 elevado al cubo (3 x 3 x 3) resulta igual a 27. La raíz cúbica de 27, pues, es 3.

3 x 3 = 9

9 x 3 = 27

(3x3x3 = 27)

Practicamente la mayoría de personas, excepto los estudiantes que se encuentran ahora aprendiendo a hacer raíces cúbicas, recurren al uso de una calculadora para poder resolver las que se le ponen por delante. No fruit, los experts in matemáticas matching in subrayar que existen una serie de trucos que allowen calcularlas de forma sencilla y sin emplear ningún tipo de dispositivo electrónico.

In concrete terms, in this sentido, establecen los siguientes:

-Facilita la resolution mental de esas raíces el saberse de memoria lo que son los cubos de los diez primeros números, es decir, del 1 al 10.

-Para poder adivinarlas siempre se puede optar por hacer calculos aproximativos.

-Separar el número cuestión de derecha a izquierda en grupos de tres cifras. De esta manera, si en el de más a la izquierda quedan una o dos cifras, se podrá saber ya que la raíz cúbica es inferior a 50.

A lo largo de la historia han existido mentes prodigiosas con una agilidad matemática innegable, que han sabido hacer calculos mentales de raíces cúbicas de números de muchas cifras. Este sería el caso, por ejemplo, de Shakuntala Devi (1929 – 2013), que fue conocida como la “mujer calculadora”. Esta recorrió el mundo desde su tierna infancia mostrando al mundo sus capacidades en ese sentido.

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Cubos y raíces cúbicas

Para entender las raíces cúbicas, primero tienes que entender los cubos…

Cómo calcular el cubo de un número

Para hacer el cubo de un número, solo multiplícalo 3 veces …

Example: ¿Cuánto es 3 al cubo?

3 al cubo = = 3 × 3 × 3 = 27

Note: written “3 al cubo” así: 33

(el “3” pequeño dice que el número se multiplica tres veces)

Dice from 03 to 63

0 al cubo = 03 = 0 × 0 × 0 = 0 1 al cubo = 13 = 1 × 1 × 1 = 1 2 al cubo = 23 = 2 × 2 × 2 = 8 3 al cubo = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 4 al cubo = 43 = 4 × 4 × 4 = 64 5 al cubo = 53 = 5 × 5 × 5 = 125 6 al cubo = 63 = 6 × 6 × 6 = 216

Raiz cubica

La raiz cúbica va in la other dirección:

3 al cubo es 27, así que la raíz cúbica de 27 es 3

3 27

La raíz cúbica de un numero es …

… el valor precisiono que, al elevarlo al cubo, since el número original.

La raíz cúbica de 27 es …

… 3, porque cuando hacemos el cubo de 3 nos da 27.

Note: cuando veas una “raíz” piensa: “conozco el árbol, pero ¿cuál es la raíz que lo ha producido?” In this case the arcol is “27”, and the cubic cell is “3”.

Aquí tienes más cubos y raíces cubicas:

4 64 5 125 6 216

Example: ¿Cuál es la raíz cúbica de 125? Bueno, acabamos de ver que 125 = 5 × 5 × 5 (si multiplicas 5 tres veces sale 125) … … así que la respuesta es 5

El símbolo de la raíz cúbica

Este es el símbolo especial para “raíces cúbicas”, es el símbolo “radical” (el de las raíces cuadradas) con un tres pequeño encima para indicar que es una raíz cúbica.

Se usa así: (se lee “la raíz cúbica de 27 es igual a 3”)

También puedes hacer la raíz cúbica de números negativos

Mira esto:

You have the cubo de 5 sale 125: +5 × +5 × +5 = +125 You have the cubo de −5 sale 125: −5 × −5 × −5 = −125

Así que la raíz cúbica de −125 es −5

Perfect dice

Los cubos perfectos son los cubos de los números enteros:

Dice

Perfectos 0 0 1 1 2 8 3 27 4 64 5 125 6 216 7 343 8 512 9 729 10 1000 11 1331 12 1728 13 2197 14 2744 15 3375

It fácil calcular la raíz cúbica de un cubo perfecto, but it muy difícil calcular otras raíces cúbicas.

Example: ¿cuál es la raíz cúbica de 30? Bueno, 3 × 3 × 3 = 27 and 4 × 4 × 4 = 64, así que adivinamos que la respuesta está between 3 and 4. Probamos con 3.5: 3.5 × 3.5 × 3.5 = 42.875

Probabilities with 3.2: 3.2 × 3.2 × 3.2 = 32.768

Probamos con 3.1: 3.1 × 3.1 × 3.1 = 29.791 Nos vamos acercando, pero despacito … ahora saco la calculadora, ella me dice: 3.1072325059538588668776624275224… … pero las cifras siguen y siguening sin úpat haya. ¡Así que la respuesta de la calculadora alone it una approximation!

(Sigue leyendo: este tipo de números se llamanradicales, son un tipo especial de números irracionales)

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Note: están en inglés).

Gracias por elegir Smartick para seguir aprendiendo matemáticas, ¿estás preparado para empezar con las raíces cuadradas? ¡Pues allá vamos!

En el post de esta semana vamos a aprender a calcular raíces cuadradas exactas y algunos ejemplos visuales donde se aplican, pues, como sabes, la visualización gráfica es siempre de gran ayuda para comprender y asimilar conceptos nuevos. Espero que te resulten muy útiles y disfrutes aprendiendo, ¡verás que sencillo es esto de las raíces cuadradas!

Para calcular la raiz cuadrada de un número, hay que encontrar el número que multiplicado por sí mismo nos da ese primer número. Si conocemos ya las potencias de grado 2 (calcular el cuadrado de un número), se trata de encontrar el número que elevado al cuadrado nos da el primer número.

Para representar la raíz cuadrada, el simbolo que utilizamos se dibuja así:

Veamos ahora algunos ejemplos de cómo calcular raíces cuadradas exactas, que son las raíces que nos dan como resultado un número exacto (sin decimales).

Raices cuadradas Exactas

Para calcular la raíz cuadrada de 9, hay que encontrar el número que multiplicado por sí mismo nos da 9. Pensemos un poco que seguro que lo conocemos. ¿Lo tienes ya? I agree! Como segmente adivinaste, ese number es el 3. Así que la raíz cuadrada de 9 es 3.

Si ya conocemos las potencias, podemos buscar el número que elevado al cuadrado nos da 9, y como 3 al cuadrado es 9, ese número que buscamos es el 3.

¿Has visto qué fácil? Puedes intentionar ahora tú calcular la raíz cuadrada de 16. ¿La encontraste ya? Eso es, como 4 al cuadrado es 16, la raíz cuadrada de 16 sera 4.

Veamos ahora algunos ejemplos visuales para entender mejor el concepto de raíz cuadrada.

Sample image 1

Como aprendiste en el post del cuadrado de un número, los números cuadrados se llaman así precisamente porque podemos representarlos en forma cuadrada, por ejemplo 3 al cuadrado podemos representarlo con 9 cuadraditos colocados en 3 filas de 3, así:

Por lo tanto, como la raíz cuadrada de 9 hemos calculado que es 3, podemos ver la raíz de 9 como el lado de un cuadrado de 9 cuadraditos, y ese lado es 3, como puedes observar en el dibujo anterior.

Reto del ajedrez

Te reto ahora a calcular el número de piezas de cada jugador en un juego de ajedrez. Seguro que lo results fácilmente.

Si sabemos que el tablero es cuadrado y tiene 64 casillas, para saber cuántas casillas tiene el tablero en cada fila necesitamos calcular la raíz de 64.

It decir, buscamos el número que multiplicado por sí mismo (o elevado al cuadrado) nos da 64. Y ese número es el 8. Así que el tablero tiene 8 casillas en cada fila (si te fijas en el dibujo del tablero que hay más abajo, tiene 8 casillas en cada lado).

Ahora sabemos que las piezas de un jugador ocupan 2 filas del tablero, así que necesitamos multiplicar el número de casillas de una fila por 2. ¿Tienes ya la respuesta al reto? ¡Claro! Entonces cada jugador tiene 16 piezas in the juego del Ajedrez.

Si observas el siguiente dibujo verás que son muy fáciles de entender todos esos calculos que hemos hecho para resolver el reto.

Sample image 2

Si quieres visualizar la raíz de 100, aquí te dejo un cuadrado muy colorido dividido en 100 cuadraditos, que tiene 10 de esos cuadraditos en cada lado, por lo que la raíz de 100 se puede observar que es 10.

¿Qué te ha parecido este post? ¿Ha sido sencillo aprender a calcular raíces cuadradas?

You will need to prepare and practice more matemáticas from primary, adapt to your level, in Smartick and try free new methods of preparation.

Para seguir apprendiendo:

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Intentarlo de nuevo

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Para calcular la raiz cuadrada de un número, hay que encontrar el número que multiplicado por sí mismo nos da ese primer número. Si conocemos ya las potencias de grado 2 (calcular el cuadrado de un número), se trata de encontrar el número que elevado al cuadrado nos da el primer número.

Para representar la raíz cuadrada, el simbolo que utilizamos se dibuja así:

Veamos ahora algunos ejemplos de cómo calcular raíces cuadradas exactas, que son las raíces que nos dan como resultado un número exacto (sin decimales).

Raices cuadradas Exactas

Para calcular la raíz cuadrada de 9, hay que encontrar el número que multiplicado por sí mismo nos da 9. Pensemos un poco que seguro que lo conocemos. ¿Lo tienes ya? I agree! Como segmente adivinaste, ese number es el 3. Así que la raíz cuadrada de 9 es 3.

Si ya conocemos las potencias, podemos buscar el número que elevado al cuadrado nos da 9, y como 3 al cuadrado es 9, ese número que buscamos es el 3.

¿Has visto qué fácil? Puedes intentionar ahora tú calcular la raíz cuadrada de 16. ¿La encontraste ya? Eso es, como 4 al cuadrado es 16, la raíz cuadrada de 16 sera 4.

Veamos ahora algunos ejemplos visuales para entender mejor el concepto de raíz cuadrada.

Sample image 1

Como aprendiste en el post del cuadrado de un número, los números cuadrados se llaman así precisamente porque podemos representarlos en forma cuadrada, por ejemplo 3 al cuadrado podemos representarlo con 9 cuadraditos colocados en 3 filas de 3, así:

Por lo tanto, como la raíz cuadrada de 9 hemos calculado que es 3, podemos ver la raíz de 9 como el lado de un cuadrado de 9 cuadraditos, y ese lado es 3, como puedes observar en el dibujo anterior.

Reto del ajedrez

Te reto ahora a calcular el número de piezas de cada jugador en un juego de ajedrez. Seguro que lo results fácilmente.

Si sabemos que el tablero es cuadrado y tiene 64 casillas, para saber cuántas casillas tiene el tablero en cada fila necesitamos calcular la raíz de 64.

It decir, buscamos el número que multiplicado por sí mismo (o elevado al cuadrado) nos da 64. Y ese número es el 8. Así que el tablero tiene 8 casillas en cada fila (si te fijas en el dibujo del tablero que hay más abajo, tiene 8 casillas en cada lado).

Ahora sabemos que las piezas de un jugador ocupan 2 filas del tablero, así que necesitamos multiplicar el número de casillas de una fila por 2. ¿Tienes ya la respuesta al reto? ¡Claro! Entonces cada jugador tiene 16 piezas in the juego del Ajedrez.

Si observas el siguiente dibujo verás que son muy fáciles de entender todos esos calculos que hemos hecho para resolver el reto.

Sample image 2

Si quieres visualizar la raíz de 100, aquí te dejo un cuadrado muy colorido dividido en 100 cuadraditos, que tiene 10 de esos cuadraditos en cada lado, por lo que la raíz de 100 se puede observar que es 10.

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