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R2. 2-3 나무와 B- 트리

2–3 tree – Wikipedia

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Upgrading :: [해결 전략] 6. 트리 응용 (AVL 트리 / 2-3 트리)

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2-3 Trees | (Search, Insert and Deletion) - GeeksforGeeks — 2-3 Trees | (Search, Insert and Deletion) – GeeksforGeeks

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33살에 공부를 시작

보잘것 없지만
많은 사람들과 공유하고 싶다
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13-1 2-3 트리

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트리 2-3 트리 2-3 트리의 노드 AVL은 균형 트리 (Balanced Tree)를 지향 – ppt download

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Wikipedia

2–3 tree Type tree Invented 1970 Invented by John Hopcroft Time complexity in big O notation Algorithm Average Worst case Space O(n) O(n) Search O(log n) O(log n) Insert O(log n) O(log n) Delete O(log n) O(log n)

In computer science, a 2–3 tree is a tree data structure, where every node with children (internal node) has either two children (2-node) and one data element or three children (3-nodes) and two data elements. A 2–3 tree is a B-tree of order 3.[1] Nodes on the outside of the tree (leaf nodes) have no children and one or two data elements.[2][3] 2–3 trees were invented by John Hopcroft in 1970.[4]
2–3 trees are required to be balanced, meaning that each leaf is at the same level. It follows that each right, center, and left subtree of a node contains the same or close to the same amount of data.

Definitions [ edit ]
We say that an internal node is a 2-node if it has one data element and two children.

We say that an internal node is a 3-node if it has two data elements and three children.

A 4-node, with three data elements, may be temporarily created during manipulation of the tree but is never persistently stored in the tree.

2 node

3 node

We say that T is a 2–3 tree if and only if one of the following statements hold:[5]
T is empty. In other words, T does not have any nodes.

is empty. In other words, does not have any nodes. T is a 2-node with data element a . If T has left child p and right child q , then p and q are 2–3 trees of the same height; a is greater than each element in p ; and a is less than each data element in q .

is a 2-node with data element . If has left child and right child , then T is a 3-node with data elements a and b , where a < b . If T has left child p , middle child q , and right child r , then p , q , and r are 2–3 trees of equal height; a is greater than each data element in p and less than each data element in q ; and b is greater than each data element in q and less than each data element in r . is a 3-node with data elements and , where . If has left child , middle child , and right child , then Properties [ edit ] Every internal node is a 2-node or a 3-node. All leaves are at the same level. All data is kept in sorted order. Operations [ edit ] Searching [ edit ] Searching for an item in a 2–3 tree is similar to searching for an item in a binary search tree. Since the data elements in each node are ordered, a search function will be directed to the correct subtree and eventually to the correct node which contains the item. Let T be a 2–3 tree and d be the data element we want to find. If T is empty, then d is not in T and we're done. Let t be the root of T . Suppose t is a leaf. If d is not in t , then d is not in T . Otherwise, d is in T . We need no further steps and we're done. Suppose t is a 2-node with left child p and right child q . Let a be the data element in t . There are three cases: If d is equal to a , then we've found d in T and we're done. is equal to , then we've found in and we're done. If d < a {\displaystyle d a {\displaystyle d>a} T to q and go back to step 2. Suppose t is a 3-node with left child p , middle child q , and right child r . Let a and b be the two data elements of t , where a < b {\displaystyle a b {\displaystyle d>b} T to r and go back to step 2.

Insertion [ edit ]
Insertion maintains the balanced property of the tree.[5]
To insert into a 2-node, the new key is added to the 2-node in the appropriate order.

To insert into a 3-node, more work may be required depending on the location of the 3-node. If the tree consists only of a 3-node, the node is split into three 2-nodes with the appropriate keys and children.

Insertion of a number in a 2–3 tree for 3 possible cases

If the target node is a 3-node whose parent is a 2-node, the key is inserted into the 3-node to create a temporary 4-node. In the illustration, the key 10 is inserted into the 2-node with 6 and 9. The middle key is 9, and is promoted to the parent 2-node. This leaves a 3-node of 6 and 10, which is split to be two 2-nodes held as children of the parent 3-node.

If the target node is a 3-node and the parent is a 3-node, a temporary 4-node is created then split as above. This process continues up the tree to the root. If the root must be split, then the process of a single 3-node is followed: a temporary 4-node root is split into three 2-nodes, one of which is considered to be the root. This operation grows the height of the tree by one.

Parallel operations [ edit ]
Since 2–3 trees are similar in structure to red–black trees, parallel algorithms for red–black trees can be applied to 2–3 trees as well.

See also [ edit ]

Addition. 2-3 Trees

이미지는 전부 직접 제작한 것입니다. 퍼가실 때에는 반드시 출처를 명시해주세요.

Add1. 2-3 Trees

– 차수가 2 또는 3인 노드를 가지는 트리 (자식이 2 or 3)

> AVL은 균형 트리를 지향

> 2-3 트리는 완전 균형 트리를 지향

> AVL 트리에 비해 상대적으로 단순한 논리

– 2-노드

> 자식 노드가 2개이고 키가 1개인 노드

> 이진 탐색트리처럼 하나의 데이터 k1와 두 개의 자식노드를 가짐

– 3-노드

> 자식노드가 3개이고 키가 2개인 노드

> 2개의 데이터 k1, k2와 3개의 자식 노드를 가짐

> 왼쪽 자식(Left Child), 중간 자식(Middle Child), 오른쪽 자식(Right Child)

> 키 크기는 12 < 50 < 65 < 90 < 100 * 왼쪽 서브 트리에 있는 데이터들은 모두 k1보다 작은 값 * 중간 서브 트리에 있는 값들은 모두 k1보다 크고 k2보다 작음 * 오른쪽에 있는 데이터는 모두 k2보다 큼 - 2-3 트리 insertion 예 > 이진 탐색트리와 마찬가지로 리프노드에 삽입

> 키 39의 삽입

* 이진 탐색트리라면 40보다 작으므로 40의 L Child 노드를 만들어 삽입

* 2-3 트리에서 리프는 3-노드일 수 있으므로, 키 39인 레코드와 키 40인 레코드가 합쳐져서 하나의 노드

> 키 38의 삽입

* 하나의 노드에 세 개의 키가 들어감. 3- 노드의 키는 두 개까지만 허용.

* 중간 키 39를 지닌 레코드가 부모 노드로 올라감

* 작은 키 38과 큰 키 40이 좌우로 분리(Split)

> 키 37의 삽입

> 키 36의 삽입

* 리프노드에 키 36, 37, 38이 존재. 중간 키 37이 부모노드로 올라가고 나머지는 분리

* 부모 노드의 키가 30, 37, 39 로 바뀜

* 중간 키인 37을 그 위 부모노드로 올리고 자신은 키 30인 노드와 39인 노드로 분리

* 키 39인 노드는 키 37, 50인 부모노드의 중간 자식으로

* 키 36은 키 30의 오른쪽 자식으로, 키 38은 키 39의 왼쪽 자식으로 들어감

> 키 35, 34, 33 까지 삽입 후 키 32의 삽입

* 중간 키 33이 부모노드로

* 부모노드의 중간 키 33이 그 위로

* 루트 노드의 키가 3개

* 새로운 루트를 만들어 자신의 중간 키 37을 올림

* 나머지 키를 분리하여 키 33과 키 50인 노드로 split

– 2-3 트리 deletion 예

> 왼쪽 또는 오른쪽 자매노드를 살핌

> 하나라도 3-노드가 있으면 빌려오되, 반드시 부모노드를 거쳐서 빌려옴

> 키 1, 4로 구성된 왼쪽 자매노드의 키 4인 레코드가 부모 노드로 올라가는 대신 부모노드의

키 5인 레코드가 삭제된 키 10의 자리로 들어감

> 키 5의 삭제

* 왼쪽, 오른쪽 3-노드가 없어 노드 자체가 삭제됨

* 따라서 자식 노드가 두 개로 줄어들어 부모 노드도 2-노드로 바뀌어야 함

* 부모 노드의 키 중 하나가 삭제된 노드의 자매 노드로 이동

* 여기서는 부모 노드의 왼쪽 키가 삭제된 노드의 왼쪽 자매 노드로 이동

* 물론, 부모노드의 오른쪽 키가 오른쪽 자매로 이동할 수 있음

* 키 20인 노드를 삭제한 최종 결과

> 키 40의 삭제

* 키 80 노드로부터 빌릴 키가 없으므로 키 40인 노드는 삭제

* 부모 노드인 키 45 노드는 더이상 2-노드 상태를 유지할 수 없어 삭제된 노드의 자매노드인

키 80 노드로 합쳐짐

> 키 45의 삭제

* 키 35인 루트 노드가 2-노드 상태를 유지할 수 없어 왼쪽 자매 노드와 합쳐짐

* 루트 노드 자체가 삭제되고 트리 높이가 감소 -> 그러나 균형 상태 유지

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[Data Structure] 2-3 Tree

2-3 Tree

차수가 2 또는 3인 노드를 가지는 트리이다.

완전 균형 트리이다.

많이 쓰이진 않지만, B/B+ 트리, T 트리의 기본 구조이다.

2 Node 3 Node

Search(탐색)

2 Node

X = key → 탐색 종료

X < key → 왼쪽 서브 트리 탐색 X > key → 오른쪽 서브 트리 탐색

3 Node

X = 왼쪽 key or 오른쪽 key → 탐색 종료

X < 왼쪽 key → 왼쪽 서브 트리 탐색 X > 왼쪽 key and X < 오른쪽 key → 중간 서브 트리 탐색 X > 오른쪽 key → 오른쪽 서브 트리 탐색

Insertion(삽입)

2 Node에 삽입할 경우

2 노드는 3 노드가 되고 작은 데이터가 왼쪽 데이터, 큰 데이터가 오른쪽 데이터가 된다.

3 Node에 삽입할 경우

3 노드가 2개의 2 노드로 분리된다. 가장 작은 데이터는 왼쪽 2 노드, 가장 큰 데이터는 오른쪽 2 노드, 중간 데이터는 부모 노드로 간다. 이때 만약 부모 노드도 3 노드라면 계속해서 분리된다.

Deletion(삭제)

3 Node의 데이터를 삭제할 경우

3 노드가 리프 노드일 경우: 그냥 데이터를 삭제한다.

3 노드가 리프 노드가 아닐 경우

왼쪽과 오른쪽 자식 노드가 둘 다 2 노드인 경우: 두 자식 노드를 머지하고 데이터를 삭제한다.

왼쪽과 오른쪽 자식 노드 중 하나가 3 노드인 경우

삭제할 데이터가 왼쪽 데이터라면 왼쪽 데이터를 왼쪽 서브 트리 중 제일 큰 데이터 or 중간 서브 트리 중 가장 작은 데이터와 바꾸고 데이터를 삭제한다

삭제할 데이터가 오른쪽 데이터라면 오른쪽 데이터를 중간 서브 트리 중 가장 큰 데이터 or 오른쪽 서브 트리 중 가장 작은 데이터와 바꾸고 데이터를 삭제한다.

2 Node의 데이터를 삭제할 경 우

형제 노드 중 3 노드가 있을 경우

2 노드가 왼쪽에 있을 경우

중간 형제 노드가 3 노드라면 부모 데이터 중 가장 작은 데이터를 2 노드로 옮기고 중간 형제 노드 데이터 중 가장 작은 데이터를 부모 노드로 옮긴다.

중간 형제 노드가 2 노드라면 부모의 데이터 중 가장 작은 데이터를 중간 형제 노드로 옮긴다.

2 노드가 오른쪽에 있을 경우

중간 형제 노드가 3 노드라면 부모 데이터 중 가장 큰 데이터를 2 노드로 옮기고 중간 형제 노드 데이터 중 가장 큰 데이터를 부모 노드로 옮긴다.

중간 형제 노드가 2 노드라면 부모의 데이터 중 가장 큰 데이터를 중간 형제 노드로 옮긴다.

2 노드가 중간에 있을 경우

왼쪽 형제 노드가 3 노드라면 부모 데이터 중 가장 작은 데이터를 2 노드로 옮기고 왼쪽 형제 노드 데이터 중 가장 큰 데이터를 부모 노드로 옮긴다.

오른쪽 형제 노드가 3 노드라면 부모 데이터 중 가장 큰 데이터를 2 노드로 옮기고 오른쪽 형제 노드 데이터 중 가장 작은 데이터를 부모 노드로 옮긴다.

형제 노드 중 3 노드가 없을 경우

부모 노드의 데이터를 2 노드의 왼쪽이나 오른쪽 형제 노드로 옮긴다.

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2–3 tree – Wikipedia

자료구조 2-3트리 2-3-4트리 : 네이버 블로그

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[Data Structure] 2-3 Tree :: 최블랙의 개발로그

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2-3 Trees | (Search, Insert and Deletion) – GeeksforGeeks

13-1. 2-3 트리 :: 취미로 공부하기

B-트리, B+트리, 2-3 트리, 2-3-4 트리

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