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2018수능수학가형 29,30번 짝수형 문제풀이(대학수학능력시험)

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2018수능 수학 가형(짝수).pdf 0.54MB 2018수능 수학 가형(짝수)_답지.pdf 0.08MB

안녕하세요. 푸디헬스입니다.

2018 수능 수학 29번 오답률은 약 94%, 30번 오답률은 약 95%로 수험생들이 실전에서 어려워했던 문제입니다. 앞으로 얼마 남지 않은 수능 대비를 위해 전년도 수능 기출문제 분석은 필수입니다. 그럼 이문제를 실전에서 어떻게 접근하는지 같이 한번 풀어보겠습니다.

29번입니다.

발문에서 평면 $ x+2z-5=0 $라고 하였습니다. 여기서 문자 $y$가 없습니다. 그러므로 주어진 평면은 $y$축과 평행합니다.(이조건은 매우 중요합니다.) 그러므로 주어진 구와 평면을 3차원으로 나타내 보겠습니다.

( x축 : 빨강, y축 : 초록, z축 : 파랑)

그럼 평면 $C$는 빨간색과 같이 나오게 됩니다.

그런데 원 $C$의 중심은 $xz$평면에서 원 $x^2+z^2=6$과 직선 $x+2z-5=0$이 만나는 점의 중점이므로

$x+2z-5=0$과 수직이고 원점을 지나는 직선$z=2x$와 직선$x+2z-5=0$과의 교점이 점 $C$의 중심이 됩니다.

x축, z축입니다. (x, z)

그래서 $z=2x$과 $x+2z-5=0$를 연립하면 원$C$의 중점은 (1, 0, 2)가 되고 원점과의 거리는 $\sqrt{5}$이고 구의 반지름은 1이므로 원 $C$ 의 반지름은 1이 됩니다.

원 C위의 점 중 y좌표가 최소인 점을 P라고 하였으므로 원 $C$의 중점이 $(1, 0, 2)$이고 반지름이 1이므로 점 $P$는

$(1, -1, 2)$가되고, 점 $P$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발을 $Q$라고 하였으므로 점 $Q$는 $(1, -1, 0)$이 됩니다.(주어진 평면이 y축과 평행하기 때문에 원 C가 y축과 평행합니다.)

그리고 발문에서 원 C 위를 움직이는 점 X라고 명시해놓았으므로 발문에서 시키는 대로 $X$를 $(x, y, z)$로 잡습니다.

점 X(x, y, z) P(1, -1, 2) Q(1, -1, 0)이므로

$\vec{PX} +\vec{QX} = (x-1, y+1,z-2)$ $+ (x-1, y+1, z) = 2(x-1, y+1, z-1)$이되고

그러면 $|\vec{PX}+\vec{QX}|^2$=$4{(x-1)^2+4(y+1)^2+4(z-1)^2}$이됩니다. 그러므로 점 $X$와 $A(1, -1, 1)$사이의 거리가 가장 먼 거리를 구하면됩니다.

점$A(1, -1, 1)$와 평면 $x+2z-5=0$ 사이의 거리를 구하면

$\overline{AH} = \frac{|1+2-5|}{\sqrt{1+4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\overline{AC} =\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$

$\overline{CH}^2 = \overline{AH}^2-\overline{AC}^2 = \frac65$

저희가 구하려는 값은 $|\vec{PX}+\vec{QX}|^2$=$4{(x-1)^2+4(y+1)^2+4(z-1)^2}= 4\overline{AX}^2_{MAX}$ 입니다.

그러므로 삼각형 XAH에서 $\overline{AX}^2_{MAX} = {\overline{XH}_{MAX}}^2+\overline{AH}^2$ $=\lbrace1+\sqrt{\frac65}\rbrace^2+\lbrace\frac{2}{\sqrt{5}}\rbrace^2=3+\frac25\sqrt{30}$ 이 됩니다.

그러므로 $4\overline{AX}^2_{MAX} =12+\frac85\sqrt{30}$ 입니다.

$a = 12$ 이고 $b = \frac85$이므로

$10(a+b) = 10(12+\frac85) = 136$

30번입니다.

$f(x)$그래프는 저희가 잘 아는 그래프이고 발문에서 어떤 홀수 $k$라고하였으므로, 가장 쉬운 숫자 1을 넣겠습니다.

그러고 나서 $g(t)$를 살펴보면 적분 값 안이 $f(x)cos({\pi}x)$입니다. 발문의 처음에서 주어졌듯이 $f(x)$는 $t$값에 따라 변하고, $g(t)$함수도 $k$값에 따라 변하므로 $f(x)cos({\pi}x)$를 함수 식으로 풀기에는 복잡합니다.

그리고 조건 발문에서 $t=\alpha$에서 극솟값 이라고 하였으므로, 저희는 함숫값이 작아지는 순간의 점만 조사해보면 됩니다. 이 까지의 발문에 명시되어있는 단어를 토대로 저희는 이 문제를 식으로 풀어야 하는 것이 아니라 그림으로 풀어야 한다 는 것을 발문을 통해 알 수 있습니다. 발문에서 어떤 홀수 $k$라하였으므로, $k$에는 가장 쉬운 숫자 1을 넣고, 그에 알맞게 $f(x)$는 $t=1$을 넣어서 그림을 그렸습니다.(왜냐하면 저희는 함숫값이 가장 작아지는 순간의 점을 조사해야 하기 때문에 $t=1$을 넣어 $f(x)$를그리면 $f(x)cos({\pi}x)$가 1에서 가장 작은 함숫값을 가지기 때문입니다.) 그러면 이와 같은 그림이 그려집니다.

이 그래프에서 저희는 $f(x)cos({\pi}x)$에서 $t$값을 1에서 9까지 넣으면서($k=1$을 넣었으므로 적분 구간은 1~9입니다.) 극솟값을 조사해야합니다.

그리고 그 개수를 조사하면되는데 위의 그림을 보면 $\int_1^{9}$ $f(x)cos({\pi}x)$값이 $x=1$에서 최솟값을 가진다는 것을 알 수 있습니다.( 왜냐하면 $f(x)$는 커지고 $cos({\pi}x)$는 작아 지기 때문입니다.)

대략적인 그림을 그리면 이와 같이 나옵니다.

$f(x)cos({\pi}x)$는 빨간 선 그래프처럼 그려지고 이때 넓이가 가장 작으므로 ($f(x)$에 $t=2$를 넣은 그래프와 $t=1$일때를 비교해보면 $t=1$일때 $\int_1^{9}$ $f(x)cos({\pi}x)$값이 극소가 된다는 것을 눈으로 쉽게 확인할 수 있습니다. 아래의 그래프를 봐주세요.)

$t=2$일때는 $f(x)cos({\pi}x)$는 빨간색 그래프처럼 그려집니다. 그러므로 적분 값이 양수가 됩니다. 발문에서 원하는 조건에 맞지 않습니다. (문제에서 원하는 조건은 적분 값이 음수입니다. $g(\alpha)<0$) 그러므로 저희는 홀수 값(1, 3, 5, 7, 9)일 때 $\int_1^{9}$ $f(x)cos({\pi}x)$값이 극소를 가진다는 것을 알 수 있습니다. $t=1$을 넣었으므로 즉 $k$, $k+2$, $k+4$, $k+6$, $k+8$일때 극소값을 가집니다. 그러므로 $ m = 5$가되고 $\sum_{i=1}^n \alpha_i = 5k + 25 =45$이므로 $k=5$가 됩니다. 계산을 간단하게 하기 위해 $t=1$을 넣고 $k-\pi^2\sum_{i=1}^mg(\alpha_i)$을 계산하면 $5$ $- \pi^2 \lbrace g(\alpha_1)+g(\alpha_2)+g(\alpha_3)+g(\alpha_4)+g(\alpha_5) \rbrace$ $cos({\pi}x)$의 대칭성을 이용하여 $g(\alpha_1) = g(\alpha_5)$ $= \int_0^{1}$ $f(x)cos({\pi}x)dx = \int_0^{1} xcos({\pi}x)dx = -\frac{2}{\pi^2}$ $g(\alpha_2) = g(\alpha_3) = g(\alpha_4)$ $= \int_0^{2}$ $f(x)cos({\pi}x)dx = 2\int_0^{1} f(x)cos({\pi}x)dx = -\frac{4}{\pi^2}$ 그러므로 $5$ $- \pi^2 \lbrace g(\alpha_1) + g(\alpha_2) + g(\alpha_3) + g(\alpha_4) + g(\alpha_5) \rbrace $ $= 21$ 그러므로 정답은 21이 됩니다. 복잡해 보이는 문제였지만 발문의 순서대로 풀어보면 그리 어렵지 않게 풀리는 문제였습니다. 이 문제에서 얻어갈 것 어떤 홀수, 실수 t에 관하여라는 표현은 너무 광범위하므로 조건에 맞게 쉬운 숫자를 넣으면 문제를 이해하기에도 계산하기에도 훨씬 수월해진다는 것입니다. 그럼 지금까지 2018 대학 수학능력 시험 수학 가형 29번 30번 풀이를 마치겠습니다. 나머지 문제풀이를 원하시는 분은 댓글 남겨주시면 바로 올려드리겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다. 2018수능 수학 가형 21번 풀이 반응형

2018학년도 수능수학 난이도, 가형·나형 킬러문항 30번 미적분 <종로학원>

[서울=뉴스핌] 강명연 기자 = 플랫폼 택시 탄력요금제 도입을 놓고 논란이 커지고 있다. 심야시간 택시 공급 부족을 해결하기 위한 대안으로 나온 카드지만 정부가 고수해 온 정책과는 정면으로 배치되기 때문이다. 요금 통제 등 직접적인 개입을 유지하는 동시에 수요 공급에 따른 가격 조정이라는 시장 논리를 선택적으로 도입하겠다는 발상이라는 의미다. 택시 공공성을 인정해 지원을 확대하거나 시장에 맡길지 논의가 필요하다는 지적이 나온다. ◆ 소비자 부담 최소화·추가요금 배분 불투명…택시기사 유인 실효성 있을까 24일 업계 일각에서는 정부가 추진하는 택시 운임 탄력요금제 도입 대신 택시의 대중교통 지정을 비롯한 공적 기능 확대가 필요하다는 주장이 나오고 있다. 국토교통부는 최근 발표한 올 하반기 업무계획에서 플랫폼 택시에 대해 탄력요금제 도입을 추진하고 있다. 심야시간에 요금을 일정 범위 내에서 탄력적으로 받을 수 있도록 해 공급 확대를 유도한다는 취지다. 기존 요금의 25~50% 범위에서 추가 요금을 받는 방안이 유력하다. 문제는 탄력요금제 도입으로 택시 부족이 해결될 수 있을지다. 국토부는 시범운영으로 배차 완료 건수가 확대됐다고 설명한다. 하지만 구체적인 운영 결과 언급은 피하고 있다. 택시업계는 비슷한 일자리 대비 수익이 낮아 신규 유입이 줄어드는 어려움을 겪고 있다. 자연스럽게 택시기사 연령이 높아지면서 심야시간 근무 비중도 급격하게 줄었다. 이런 점을 감안, 공급이 부족한 시간대를 특정해 요금을 올리면 기사들이 몰리지 않겠냐는 논리로 나온 게 이번 대책이다. 하지만 정부 대책은 자체 모순을 안고 있다는 지적이다. 소비자 부담이 크게 늘어나서는 안 된다는 전제 때문이다. “택시 기사를 유인하되 승객의 요금 지불 수용성이 높아야 한다”는 조건을 충족하는 적정선을 찾아야 하는 것이다. 만약 요금을 25~50% 올려 받아도 기사들이 몰리지 않을 경우 정부 목표인 택시 부족이 해결되지 않는다. 이렇게 되면 소비자는 서비스 개선 없이 요금만 더 지불할 우려가 있다. 특히 추가 요금이 오롯이 택시기사에게 가지 않을 가능성이 높다는 게 변수다. 앞서 카카오모빌리티는 작년 8월 배차 성공률을 높이고 호출비를 추가로 부과하는 ‘스마트호출’ 제도를 도입했지만 업계 반발로 철회한 바 있다. 택시요금 인상인 데다 스마트호출비의 상당부분을 카카오가 가져가기 때문에 기사의 수익 확대 효과는 미미하다는 이유였다. 이번 탄력요금제도 마찬가지다. 추가요금을 어떻게 나눌지 구체적인 내용은 나오지 않았지만 플랫폼사가 택시기사를 유인할 만큼 수익성을 높여줄지는 미지수다. 탄력요금을 어떤 기준으로 부과하는지에 대한 알고리즘 역시 또 다른 뇌관이 될 수 있다. ◆ 요금 통제하면서 재정 부담은 기피…정치논리 배제된 요금 결정 필요성도 탄력요금제가 기존 요금체계와 배치된다는 것도 문제다. 심야시간으로 한정하고 있지만 결국 요금을 인상한다는 게 핵심이기 때문이다. 그 동안 정부는 택시의 공공성을 감안, 요금을 강력하게 통제해왔다. 버스, 지하철처럼 시민의 발이 되는 주요 수단이라는 이유다. 하지만 택시를 대중교통으로 인정하지는 않는다. 표면적으로 대규모 수송이 아니라는 근거를 들지만 결국 막대한 재정 부담을 피하기 위해서다. 근로시간 대비 낮은 임금을 받는 택시기사와 저수익 구조에 고착된 택시회사가 감당하는 손해를 정부가 보전하기는 어렵다는 것이다. 그러면서 시민의 부담을 가중시키지 않기 위해 낮은 요금을 유지하는 정책을 지속해왔다. 박근혜 정부 시절 택시를 대중교통으로 지정하는 방안을 추진하다 좌초된 것도 이런 이유에서다. 결국 택시요금 합리화와 지원 강화라는 선택지가 정부에게 주어진 셈이다. 재정지원이 만만치 않다면 최소한 정치논리에 좌우될 수밖에 없는 지자체에 요금을 맡기는 게 아니라 제3의 기구를 통해 합리적인 요금 수준을 결정하는 게 바람직하다는 지적이다. 유정훈 아주대 교통시스템공학부 교수는 “택시요금을 무작정 올리는 건 기사들도 반대하기 때문에 다양한 관점에서 봐야 하는 문제”라며 “정치 이슈 때문에 결정이 어려운 지자체 일임할 께 아니라 최저임금위원회처럼 독립적인 위원회에서 결정되는 방식으로 가야 한다”고 말했다. [email protected]

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