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[마더텅] 2020학년도 수능 가형 30번 (풀이 : 최희남 선생님)

2020 수능 수학가형 30번 짝수형(대학수학능력시험)

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2020 수능 수학가형 30번 짝수형 (대학수학능력시험)

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수학 칼럼(6)-2020학년도 수능 가형 30번에 관하여 - 오르비 — 수학 칼럼(6)-2020학년도 수능 가형 30번에 관하여 – 오르비

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백인대장 최형윤T 2021년도 수능 가형 30번
학교쌤 2021년도 수능 가형 30번
최희남T 2021년도 수능 가형 30번
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2020 수능 수학가형 30번 짝수형(대학수학능력시험)

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2020 수능 수학가형 30번 짝수형 (대학수학능력시험)

오직 한 점에서 만나는 점의 $x$좌표를 $p$라고 하자.

그럼 오직 한 점에서 만나므로, 점 $p$에서의 함숫값과 기울기가 각각 같다.

$t^3 ln(p-t) = 2e^{p-a}$ ······· 함숫값

$y = t^3ln(x-t)$을 미분 $y’ = t^3 \frac{1}{x-t}$

$y = 2e^{x-a}$을 미분 $y’ = 2e^{x-a}$

$t^3 \frac{1}{p-t} = 2e^{p-a}$ ·······점 $p$에서의 기울기가 같다.

이 두조건을 합치면 아래와 같이 된다.

$t^3 \frac{1}{p-t} = 2e^{p-a} = t^3ln(p-t)$

① $t^3 \frac{1}{p-t} = 2e^{p-a}$

$e^{p-a} = \frac{t^3}{2} (p-t)^{-1}$ 양변에 $ln$을 취한다.

$p-a = 3lnt -ln(p-t) – ln2$

$ a = f(t) = p + ln(p-t) -3ln(t) + ln2$ 양변을 $t$에 대해 미분.

$f'(t) = \frac{dp}{dt} -3\frac{1}{t} + \frac{1}{p-t}(\frac{dp}{dt} -1)$ ······· ㄱ.

② $t^3 \frac{1}{p-t} = t^3 ln(p-t)$

$\frac{1}{p-t} = ln(p-t)$ 양변을 t에 관해 미분.

$\frac{1}{p-t}(\frac{dp}{dt} – 1) = -(p-t)^{-2} (\frac{dp}{dt} – 1 )$ 양변을 $(p-t)^2$을 곱한다.

$p – t = -1$

여기서 구한 식을 ㄱ.에 대입하고 $t = \frac13$을 대입하면

$f'(\frac13) =\frac{dp}{dt} – 3 \times 3 – (\frac{dp}{dt} -1) = -9 + 1 = -8$

$(f'(\frac13))^2 = 64$가 되어 정답은 64가 된다.

2020 대학수학능력시험에서 오답률 1위를 차지했지만, 어렵지 않은 음함수의 미분법 계산문제였다.

수능이 해가 지날수록 쉬워지는 듯하다.

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수학 칼럼(6)-2020학년도 수능 가형 30번에 관하여

볼록성이 다른 두 함수에서 한 함수를 고정시킨 채 다른 함수의 그래프를 평행이동하여 고정 시킨 함수의 그래프와 접하게 할 때 이동의 표현을 다른 변수를 도입하여 표현하는 문제에 대한 고찰(1)

두 함수 y=e^x 와 y=lnx 의 그래프는 만나지 않습니다.

y=lnx 를 고정시킨 채 y=e^x 을 x축의 양의 방향으로 k 만큼 평행이동해 가다 보면 두 함수의 그래프가 한 점에서 만날 때가 한 번 존재합니다.

즉, y=e^x-k와 y=lnx가 접할 때 k 의 값은 유일합니다.

이때 상수 k를 새로운 변수 t에 대한 두 함수 f(t) , g(t) 의 합으로 표현해 보겠습니다.

k=f(t)+g(t)

이렇게 만들어진 문제가 바로 2020학년도 수능 가형 30번 입니다.

강공님 풀이의 역순으로 정리해 보았습니다. (밤에 모든 게시글을 찾아보더라도 찾아서 댓글로 게시글 링크걸겠습니다. 닉이 강공님이 아닐수도 있습니다. 죄송)

저는 주요 기출 문항은 항상 변형합니다. 저렇게 만든 문제에 풀이를 적용시켜 보았습니다.

정말 주요문항은 난이도를 단계별로 제작하는데 1단계(가장쉬움) 문제에 적용되지 않고 2단계, 3단계 문제에는 적용되었습니다.

적용되는 문항 부터 문제 및 해설을 달아 보겠습니다.

첫번째 문제입니다.

지수함수와 이차함수의 관계로 설정해 보았습니다. 아주 잘 적용되었습니다. 원래 제가 하는 항등식을 이용하는 방법에서는 이 문제가 그리 쉽게 풀리지는 않았습니다. 그런데.. 풀이가

설명하는 글 제외하면 딱 한줄이면 풀리더군요..

다음은 수능 문제와 같은 설정인 지수함수와 로그함수입니다.

해설은 다음과 같습니다. 수능 문제와 이 문제는 원래 저의 풀이에서도 간단하게 풀리긴 합니다. 풀이는 마지막에 소개하겠습니다.

강공님의 풀이로는 이렇게 간단 명료하게…

이것이 평가원의 출제의도였는지는 모르겠으나 문제를 완전 해부해 버렸네요…

그런데 다음 문제에서는 적용이 되지 않는거 같습니다. 그 차이점은 함수에 있습니다. 이차함수와 일차함수의 관계인데 이차함수의 계수가 변수t^2이 곱해져서 기본함수에 변수 t가 포함되어 있습니다.

원래 기존의 방법
[접점의 y좌표가 같다.] [접선의 기울기가 같다.]
로 계산하면 쉽게 풀립니다.

언급했듯이 변형 문항중 가장 쉬운 난이도의 문제였습니다.

그런데 이 문제는 기본함수에 변수 t와 x가 함께 포함되어 평행이동 만으로는 식을 변형해 나갈 수 없는거 같습니다.

위 문제들은 지수함수가 있어어 지수함수 기본 꼴에 곱해진 다른 식이든 상수는 밑변환 공식으로 지수로 올려버릴 수 있어서 기분함수끼리의 평행이동으로 설정이 가능했습니다.

감사합니다.

랑데뷰 수학 황보백 선생

참 원래 30번에 대한 저의 풀이는…

관련 개념은 글 앞부분 문제 생성 원리와 비슷하여 생략하겠습니다.

2021학년도 수능 수학 가형 30번 해설

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30번 문항 역시 어렵습니다. 그런데 이번 30번의 특징은 꽤나 특별합니다. 이런 류의 문제는, 수학을 정말 잘하는 최상위권은 오히려 금방 풀어내는 문제지만, 다수의 학생들은 건드려볼 시간도 없었을 것이고 풀어내기 까다롭습니다. 게다가 마지막에 $f(x)$ 를 결정하는 식 세우는 방법이 일종의 테크닉인데, 최근 기출문제에서도 제 기억이 맞다면 2020학년도 6월 평가원 (가)형 21번에 쓰였던 것 말고 없었던 것 같습니다. 이 때문에 시험장에서 30번을 맞았다면 거의 1등급일 가능성이 농후할 듯 싶습니다. 총체적으로 이번 수학 (가)형은 어려운 시험이 맞습니다. 시간이 흐름에 따라 서서히 수능 난이도도 상향 평준화 되는 듯 합니다.

1. (가) 조건

(가)조건에 의하면 실수 전체에서 정의된 함수 $g(x)$의 극대가 되는 $x$의 개수가 열린구간 $(0,1)$에서 $3$이라 했으니, 일단 미분을 해봐야 합니다.

$$\begin{align*} g'(x)=f(\mathrm{sin}^2\pi x)&=f'(\mathrm{sin}^2\pi x)\,2\,\mathrm{sin}\pi x \cdot \mathrm{cos}\pi x\cdot \pi

\\&=\pi f'(\mathrm{sin}^2\pi x)\,\mathrm{sin}2\pi x \end{align*}$$

극대를 찾기 위해 $g'(x)=0$ 이 되는 $x$값을 찾아야겠죠? 일단 함수를 두 부분으로 쪼갰을 때 $\mathrm{sin}2\pi x=0$ 을 먼저 조사하면, 이는 주기가 $1$인 사인함수이므로 아래 [그림 1]과 같이
[그림 1]
$x=\displaystyle\frac{1}{2}$ 에서 부호가 한 번 바뀝니다. 그런데 극대가 되는 $x$의 개수가 3이라고 했네요. 극대는 증가하다가 감소하는 곳에서 발생하므로, 다시말해 도함수의 부호가 양수에서 음수가 될 때에 해당합니다. 이를 만족하기 위해서는, 도함수의 부호가 $$+\rightarrow -\rightarrow + \rightarrow – \rightarrow + \rightarrow -$$

로 증가 – 감소 – 증가 – 감소 – 증가 – 감소로 5번이 바뀌어야 합니다. 따라서 도함수를 그렸을 때 도함수의 근(중근이 아닌 근)이 5개 존재한다는 뜻이죠. 그런데 $g'(x)$에서 우리는 $x=\displaystyle\frac{1}{2}$ 하나만 찾았으니, $f'(\mathrm{sin}^2\pi x)$ 에서 4개의 근이 나와야 한다는 결론을 얻습니다.

$f'(\mathrm{sin}^2\pi x)=0$ 이 되는 $x$값은 당연하게도 치환(Substitution)을 사용해야 합니다. 치환은 수학에서 손에 꼽힐 정도로 아주 강력한 도구입니다. 고등학교 수준에서는 합성함수가 나왔을 때 십중팔구 치환을 이용하는게 짱입니다. 이번 수능 28번 문제도 합성함수이고, 30번도 합성함수입니다. 모두 치환을 이용해서 풀어야 하는 문제이지요. 치환을 할 때는 근의 모양과 범위가 바뀐다는 사실만 주의깊게 기억하고 사용하면 됩니다. 치환 후에는 다음과 같이 이차함수의 $x$절편을 찾는 문제로 귀결됩니다.

$$f'(\mathrm{sin}^2\pi x)=f'(t)=0$$

$f(x)$가 최고차항 계수가 1인 삼차함수라 했으니, $f'(x)$는 최고차항 계수가 3인 이차함수입니다. 이 때 이차함수의 근은 $t=\mathrm{sin}^2\pi x$ 이고 $x$의 값이 4개가 나오려면, $f'(t)=0$이 서로 다른 두 실근을 가져야만 함을 알 수 있습니다. $f'(t)=0$이 허근을 가지면 $x$가 존재하지 않고, 중근을 가지면 $x$가 최대 2개까지밖에 안나오기 때문이죠. $f'(t)=0$의 두 근을 $t_1,t_2\;\;(t_1

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2021년도 수능 가형 30번

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