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[부분집합의 개수 ❶] 부분집합의 개수에 대한 이해 : 네이버 블로그
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[5분 고등수학] 부분집합의 개수 쉽게 구하는 법
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부분집합의 개수 구하는 공식 총 정리
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부분집합의 개수 – JW MATHidea
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- Summary of article content: Articles about 부분집합의 개수 – JW MATHidea 부분집합의 개수 1. 집합의 원소의 개수 집합 A의 원소가 유한개일 때, 집합 A의 원소의 개수를 n(A)로 나타낸다. ※ n(A)에서 n은 개수를 뜻하는 … …
- Most searched keywords: Whether you are looking for 부분집합의 개수 – JW MATHidea 부분집합의 개수 1. 집합의 원소의 개수 집합 A의 원소가 유한개일 때, 집합 A의 원소의 개수를 n(A)로 나타낸다. ※ n(A)에서 n은 개수를 뜻하는 … ■ 부분집합의 개수 1. 집합의 원소의 개수 집합 A의 원소가 유한개일 때, 집합 A의 원소의 개수를 n(A)로 나타낸다. ※ n(A)에서 n은 개수를 뜻하는 ‘number’의 첫 글자이다. A={1,2,3,4,5}일 때, n(A)=5 공집..
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[수2 이론] 부분집합의 개수 :: winner
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[부분집합의 개수 ❶] 부분집합의 개수에 대한 이해
[부분집합의 개수 ❶] 부분집합의 개수에 대한 이해부분집합의 개수는 다음 두 편의 글로 완성됩니다.
[부분집합의 개수 ❶] 부분집합의 개수에 대한 이해 [부분집합의 개수 ❷] 특정한 원소를 포함하거나 배제하는 부분집합의 개수에 대한 이해부분집합
집합의 포함 관계가 A⊂ B일 때, 집합 A를 집합 B의 부분집합이라 한다.
예컨대, {1, 2}⊂{1, 2, 3}이므로 집합 {1, 2}는 집합 {1, 2, 3}의 부분집합이다.
ø⊂{1, 2, 3}이므로 공집합 ø 역시 집합 {1, 2, 3}의 부분집합이다.
그렇다면 집합 {1, 2, 3}의 부분집합은 어떻게 구하는가?
다음 그림처럼, 원소가 0개, 1개, 2개, 3개인 것을 차례로 구하면 된다. 모두 8개이다.
ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
진(짜)부분집합
이때 {1, 2, 3}의 진부분집합은 {1, 2, 3}의 부분집합 8개 중에서 자기자신 {1, 2, 3}을 빼면 된다.
즉, ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
그 이유는 A⊂ B에 A = B인 경우도 포함되어 있기 때문이다.
진부분집합은 진짜 부분집합이란 뜻으로 자기자신을 빼주면 된다. 이건 ‘내 쫄다구’라고 할 때, ‘나 자신’은 ‘내 쫄다구’가 아닌 것과 같다.
부분집합을 구하는 다른 방법은 없을까? 있다. 다음 그림처럼 수형도로 그려 부분집합을 구할 수 있다.
잘 보면 알겠지만, 포함(O)과 배제(X)의 또다른 모습이다.
부분집합의 개수
‘집합 T의 원소가 n개일 때, T의 부분집합의 개수는 2n개이다.’라는 것을 우리는 알고 있다.
예컨대, 집합 {1, 2, 3}의 원소가 3개이므로 {1, 2, 3}의 부분집합은 모두 23(= 8)개이다.
그렇다면 23(= 2 × 2 × 2)은 어떻게 나온 것일까?
다음 벤 다이어그램은 집합 A가 집합 B의 부분집합, 즉 A⊂ B임을 보여주고 있다.
이때 B = {1, 2, 3}의 부분집합 A는, 원소 1, 2, 3이 보라색 부분에 들어갈 것인지, 파란색 부분에 들어갈 것인지에 따라 결정된다.
만약 보라색 부분(A)에 들어가면 부분집합의 원소가 되고, 파란색 부분(B)에 들어가면 부분집합의 원소가 되지 않는다. 여기서
1이 들어갈 수 있는 곳은 A와 B 2가지
2가 들어갈 수 있는 곳 역시 A와 B 2가지
3이 들어갈 수 있는 곳 역시 A와 B 2가지
이므로 B = {1, 2, 3}의 부분집합의 개수는 2 × 2 × 2가 되는 것이다.
이 개념을 확장하면, 확률의 조합(Combination)으로도 증명할 수 있으나 여기서는 생략한다. 멘붕되실 분들이 있을 듯 하여… ㅎ 예컨대, 집합 T의 원소가 5개이면 T의 부분집합의 개수는 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25이 된다.
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[5분 고등수학] 부분집합의 개수 쉽게 구하는 법
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어떤 집합 A가 있을 때, 집합 A의 부분집합의 개수를 구하는 방법을 알아봅시다. 간단한 예시에서 시작해봅시다. 아래와 같은 집합이 있다고 합시다.
$A=\left \{ 1 \right \}$
부분집합의 개수가 몇개일까요. 1개라고 하신 분들도 있을텐데, 정답은 2개입니다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이기 때문입니다. 따라서 집합 A의 부분집합은 아래와 같습니다.
$\varnothing , \left \{ 2 \right \}$
이번엔 원소를 하나 늘려봅시다. 아래와 같은 집합이 있다고 합시다.
$B=\left \{ 1,2 \right \}$
부분집합은 몇개일까요. 몇개 되지 않으니 쉽게 구할 수 있습니다.
$\varnothing ,\left \{ 1 \right \},\left \{ 2 \right \},\left \{ 1,2 \right \}$
4개입니다. 원소를 하나만 더 늘려봅시다. 아래와 같은 집합이 있다고 합시다.
$C=\left \{ 1,2,3 \right \}$
부분집합은 몇개일까요. 세는 것이 불가능한건 아니지만 살짝 귀찮아집니다. 머리를 써봅시다. 아래와 같은 표를 만들어봅시다.
1 2 3 포함 여부 O O O X X X
부분집합을 만든다고 할 때, 숫자 입장에서 생각해보면 각 숫자가 포함되거나 포함되지 않거나 두가지 경우가 있습니다. 만들 수 있는 부분집합의 수는 $2^{3}$입니다. 셋다 포함되지 않는 경우는 어쩌죠? 바로 ‘공집합’입니다.
이 원리를 이용하면 집합의 크기가 아무리 커도 부분집합의 개수를 단번에 구할 수 있습니다. 원소의 개수가 n개인 집합이 있다고 합시다. 부분집합의 개수는 몇개일까요?
$2^{n}$ 개 입니다.
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부분집합의 개수
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■ 부분집합의 개수
1. 집합의 원소의 개수
집합 A의 원소가 유한개일 때, 집합 A의 원소의 개수를 n(A)로 나타낸다.
※ n(A)에서 n은 개수를 뜻하는 ‘number’의 첫 글자이다.
A={1,2,3,4,5}일 때, n(A)=5
공집합 ∅에 대하여 n(∅)=0이다.
2. 부분집합의 개수
집합의 원소의 개수에 따라 부분집합의 개수는 일정한 규칙을 갖는다. 그러므로 직접 다 구해 보지 않고도 그 개수를 구할 수 있다.
집합 A={1, 2, 3, 4, …, n}일 때
(1) A의 부분집합의 개수 =
(2) A의 진부분집합의 개수 =
(3) A의 특정한 원소 p개를 반드시 포함하는 (혹은 포함하지 않는) 부분집합의 개수 =
▶ 특정한 원소를 포함하거나 포함하지 않는 경우 특정한 원소를 제외하고 부분집합을 구하면 된다. 포함하는 경우는 제외한 부분집합를 구해서 부분집합에 다 넣어 주면 되고 포함하지 않는 경우는 그대로 구하기만 하면 되기 때문에 포함하는 경우나 포함하지 않는 경우의 부분집합의 개수는 같다.
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