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[재료역학] 보의 처짐각 & 처짐량 공식 유도
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보의 처짐 곡선 방정식
보의 처짐각 & 처짐량
보의 종류와 처짐각 & 처짐량
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![[재료역학] 보의 처짐각 & 처짐량 공식 유도](https://img1.daumcdn.net/thumb/R800x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2Fcqrjm7%2FbtqQE98xmX3%2F5aWMYMoxS62vOdGvhCKikk%2Fimg.png)
7-2. 보의 처짐 (보의 처짐량, 처짐각) :: Bird’s Life Hacks
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7-2 보의 처짐 (보의 처짐량 처짐각)
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다시 보는 재료역학 (15) – 보의 처짐(Deflection) : 네이버 블로그
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처짐량
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보의 처짐과 사용성
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자동화기계설계 실무 활용서: 현장 실무 활용서 6 – 테크노공학기술연구소 – Google Sách
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- Most searched keywords: Whether you are looking for 자동화기계설계 실무 활용서: 현장 실무 활용서 6 – 테크노공학기술연구소 – Google Sách Updating 본서는 자동화기계설계 분야에 입문하는 초보 엔지니어 및 비전공자들을 위한 실무 활용서로서 동 출판사의 [현장 실무 활용서 시리즈] 제 6편이다.자동화는 이미 우리 실생활 곳곳에서 속속 이루어지고 있으며 자동화에 따라 단기적으로는 고용 감축등이 예상될 수는 있지만 중장기적으로는 창조적이고 혁신적인 신제품 개발과 그 연관 산업의 발전을통해 이들 인력을 흡수할 수 있을 것으로 본다.제조 산업 현장에서 대우받는 자동화설계 엔지니어가 되기 위해서는 다양한 기술 분야의 전문지식을경험하고 습득하여 설계개발, 제조, 기술영업 등의 분야까지 수행할 수 있는 프로젝트 매니저(ProjectManager)로서 자질과 남들보다 뛰어난 실무 수행 능력을 갖추는 것이 필요하다.특히 이제 시작하는 입문자들은 우선적으로 기계제도에 대한 충분한 이해와 더불어 도면을 해독하고그릴 수 있는 기본적인 능력과 자동화설계시에 적용되는 수많은 자동화 요소들의 사용 용도의 이해와설계 적용에 무리가 없도록 실무 능력을 계속해서 키워나가야하며 새로운 기술연마에 정진해야 할 것이다.
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스크류 컨베이어 – 김병철 – Google Sách
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- Most searched keywords: Whether you are looking for 스크류 컨베이어 – 김병철 – Google Sách Updating 그동안의 환경, 발전, 소각설비 등에 소요되는 Screw Conveyor를 설계한 경험과 “CEMA”규격에 준하여 주로테크(주)의 기술 표준을 만들고 초보자들도 쉽고 빠르게 이해할 수 있도록 스크류 컨베이어를 설명하는 책이다.
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[재료역학] 보의 처짐각 & 처짐량 공식 유도
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이번 포스팅에서는 보의 처짐 공식 유도하는 법에 대해 알아봅시다.
보의 처짐 곡선 방정식
우선 처짐 공식을 유도하기위해 처짐 곡선 방정식부터 유도해봅시다.
처짐 곡선은 좌표 x에 대한 처짐량의 함수로 나타낼 수 있으며,
보의 각 지점에서 발생하는 처짐은 그 점에서의 곡률반경과 모멘트의 함수로써
아래와 같이 표현됩니다.
이 곡률에 관한 방정식과 보의 처짐 사이의 관계는 s1, s2점을 살펴보면 알 수 있는데요.
s1점에서 그은 접선과 x축이 이루는 각을 θ,
s2점에서 그은 접선과 x축이 이루는 각을 θ-dθ라 하면
그럼 각 s1-O-s2가 이루는 각은 dθ가 되죠.
즉, ds=ρdθ의 관계가 성립합니다. 따라서
그런데 여기서 실제 보의 처짐은 small deformation이기 때문에
라 할 수 있으므로,
위와 같이 정리됩니다. 따라서 보의 처짐 곡선 방정식은 아래와 같습니다.
보의 처짐각 & 처짐량
아래 외팔보에 대해 처짐 공식을 구해봅시다.
길이 L인 보의 끝점에 힘 P가 작용하고, 그에 따라 보의 시작점에
반력 P와 저항모멘트 M이 작용하고 있는 상태입니다.
위에서 유도한 처짐 곡선의 방정식을 이용해 처짐량을 유도해보죠.
우선, 모멘트 M=PL이므로,
적분하면
여기서 x=0일 때 보의 시작점에선 처짐각이 0이므로 C1 = 0입니다.
dy/dx는 보의 처짐각도이므로, 정리하여 나타내면 아래와 같습니다.
그럼 보의 끝점에서 처짐각을 알아보죠.
보가 아래방향으로 처지므로, 여기서 각도의 부호는 -가 맞습니다.
처짐량을 구하기 위해 다시 한번 적분하면
이 때, x=0이면 보의 시작점에선 처짐량 또한 0이므로 C2 = 0입니다.
따라서, 보의 처짐량 y는 아래와 같습니다.
하중 P에 의한 끝점에서의 처짐량 y(L)은 아래와 같습니다.
보가 아래방향으로 처지므로, 위 식값에서 처짐량의 부호는 (-)가 맞습니다.
정리하자면,
보의 처짐각 y'(x) & 처짐량 y(x) 공식
끝점 L에서의 처짐각 y'(L) & 처짐량 y(L)
보의 종류와 처짐각 & 처짐량
여러 종류 보의 처짐각(θ)과 처짐량(δ)을 아래에 나타내었습니다.
경우에 맞게 활용할 수 있을거예요!
이상으로 보의 처짐각과 처짐량에 대해 알아보았습니다.
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7-2. 보의 처짐 (보의 처짐량, 처짐각)
처짐량, 처짐각의 정의부터 설명하는게 맞겠지만 일단 공식 정리차원에서..생략하고 바로 본론으로 들어가겠습니다.
보에서는 처짐각, 처짐량이 모두 아래의 형태로 표현이 됩니다.
하중 자리에는 문제에 주어진 조건에 따라 모멘트 / 집중하중 / 분포하중 이 들어가며, 보의 길이 ℓ 에 차수 n만 주의해주시면 됩니다.
참고로 처짐각의 단위는 rad 라는 것을 꼭 주의하도록 합니다
그럼 먼저 가장 간단한 보 3개의 처짐각/처짐량 에 대해 알아보겠습니다. 모두 max 값입니다.
보의종류 처짐각 θ (단위 rad) 처짐량 δ (단위 : 길이)
위와 같이 외팔보에 가해지는 하중 종류 (우력(모멘트) / 집중하중 / 균일하중) 에 따라서 처짐각, 처짐량의 길이 차수, 분모상수가 달라집니다.
이를 쉽게 외우는 방법이 바로 그 유명한 위을복 강사님의 우집균 12 23 34 / 12 23 68 입니다. 막상 외우려고 하면 정말 쉽게 외워집니다. 위의 표와 아래 표를 같이 매칭해서 외우면 쉽습니다.
그럼 가장 간단하고 기본적인 보의 처짐각과 처짐량을 알아봤으니, 여러종류의 보에서의 값들도 알아보겠습니다.
아래의 내용에서 처짐량/처짐각이 max인 것도 있고, 끝단에서의 값도 있는데, 제 경험상으로는 위치에 상관 없이 일단 저 식만 외워놓으면 문제는 다 풀 수 있었던 것 같습니다.
(보통은 아래 형태의 보가 나왔을 때 외운값을 대입하면 다 풀 수 있었습니다. 문제에서들도 보통 저 아래의 값들만 요구하는 경우가 대부분입니다.)
※ 아래 모든 보의 길이는 ℓ 입니다.
보의종류 처짐량 처짐각 (일부만적음) 비고 분포하중을 집중하중 W로 환산하면 ωℓ/2 이므로, 첫 식에 대입하면 집중하중 W 관점 표현도 가능합니다.
그럼 위의 값들을 외우고 있을 때 간단하게 풀 수 있는 문제를 하나만 소개드려 보겠습니다.
(실제 책의 풀이는 원론적으로 B.M.D를 이용해 구하는 문제로,,, 저라면 못풀었을 것 같습니다.)
Q. 길이가 ℓ 인 외팔보 AB가 보의 일부분 b 위에 ω의 균일 분포하중이 작용되고 있을 때 이 보의 자유단 A의 처짐량은 얼마인가?
■ 풀이
#재료역학보,재료역학,보의처짐,보의처짐량,처짐량,처짐각,처짐각단위,보의종류,보종류별처짐량,처짐량정리,처짐각정리
보의 처짐과 사용성
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보 경간이 길어지면 보에 생기는 휨모멘트와 처짐이 매우 커지게 됩니다. 구조체는 작용하는 하중에 대해 안정성이 있어야 하지만 사용성도 갖추어야 합니다. 사용성은 구조물 의 변형과 관련됩니다. 아무리 무너지지 않고 저항할 수 있다고 해도 과도하게 처지거나 휘어진다면 많은 문제가 발생할 수 있습니다. 보에서의 처짐량을 살펴보겠습니다.
▶ 휨응력
▶ 보의 구조적 역할
▶ 보 경간과 춤
단순보의 처짐
단순보의 처짐량을 계산하는 식을 보면 처지는 정도는 경간의 네 제곱에 비례하고 탄성계수와 단면2차모멘트에 반비례합니다.
단순보 처짐량의 계산
처짐량은 경간에 매우 큰 영향을 받는데, 경간을 두 배로 늘리면 처지는 정도는 16배나 커집니다. 이 처짐량을 줄이려면 탄성계수와 단면2차모멘트를 키워야 합니다.
탄성계수는 응력-변형도 곡선의 기울기를 나타내기 때문에 사용하는 재료와 관련됩니다. 변형이 잘 안 되는 재료를 써야 한다는 뜻입니다.
단면2차모멘트(Moment of inertia)는 단면 각 부분의 미소(微小)면적 dA에 어떤 축까지의 거리의 제곱을 전단면에 걸쳐 더한 값으로 정의됩니다. 정의가 조금 복잡하기도 하고 수학의 적분 개념을 이해해야 식을 유도할 수 있습니다. 보는 보통 단면을 직사각형으로 만드는데 이 직사각형 단면의 단면2차모멘트값은 bh³/12으로 계산됩니다. 이 단면2차모멘트로 부재 단면의 저항능력을 판단할 수 있고 어느 방향으로 강한지 알 수 있습니다.
처짐과 단면2차모멘트는 반비례 관계가 있습니다. 따라서 단면2차모멘트를 키우면 처짐을 줄일 수 있습니다. 단면2차모멘트는 단면 폭에 비례하지만 높이의 세제곱에 비례합니다. 그래서 보의 성능을 높이려면 폭을 키우는 것보다는 높이를 키우는 것이 훨씬 유리합니다.
보의 저짐량의 지지조건에 따라 달라진다.
지지조건과 하중이 달라지면 처지는 정도가 달라집니다. 등분포하중을 받는 단순보와 비교해볼 때 양쪽을 고정단으로 바꾸면 처지는 정도가 5배 정도 작아집니다. 한쪽만 자유단으로 해서 캔틸레버로 만들면 대략 10배 정도 더 처지게 됩니다. 지지조건이나 하중이 달라지더라도 탄성계수와 단면2차모멘트가 미치는 영향은 똑같습니다. 어떤 경우라도 처지는 정도는 탄성계수와 단면2차모멘트에 반비례합니다. 그래서 탄성계수와 단면계수를 곱한 값 EI를 휨강성(Flexual rigidity)이라고 부릅니다.
사용성
보의 처짐이 심하면 여러 가지 문제가 생깁니다. 보 밑 아래층에는 다양한 형태의 칸막이 벽이 설치되기도 하는데, 예를 들어 조적 벽체가 보 하부에 있다면 보가 처지면서 균열을 일으킬 수도 있습니다. 게다가 하부에 있는 문이나 창에 변형을 일으켜 개폐하기 어려워질 수도 있습니다.
따라서 구조설계기준에서는 부재의 형태에 따른 최대처짐량을 규정하고 있습니다. 구조기준에 따르면 과도한 처짐에 의해 손상되기 쉬운 비구조 요소를 지지하거나 부착한 바닥은 경간길이/480을 넘지 않아야 합니다.
만일 경간이 6,000이라면 6,000 ÷ 480 = 12.5mm 이상 쳐지지 않아야 합니다.
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