Top 50 최대 전단 응력 공식 Top Answer Update

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최대 전단력이 작용하는 지점에서의 평균 전단응력은 τavg=Vmax/A 이므로 다음과 같습니다.

03장 응력과 변형률의 해석 part 5 (주응력과 최대전단응력) : 고체역학 , 재료역학

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[보에서의 응력]Ⅱ. 전단응력공식과 최대전단응력 : 네이버 블로그

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수학,기계공학 (っ‾ ▽ ‾)っ…★ : 네이버 블로그

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최대 전단 응력 공식

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05.주응력과 최대 전단응력1

>>> 주응력과 최대 전단응력1 강의 바로가기 <<< 앞 선 챕터 4의 평면응력에 대한 내용을 통해 물체 내부의 임의의 평면에서 수직응력과 전단응력을 구할 수 있었다. >>> 주응력, 최대 전단응력 주요 공식 바로가기 <<< 1. 주응력 그러나 설계자의 입장에서 볼 때, 가장 중요하게 고려해야 할 것은 최대 수직응력과 최대 전단응력이다. 그러므로 아래의 응력 변환 방정식을 이용하여 식.1 응력 변환방정식 최대 수직응력, 최대 전단응력을 구해보자!! 수직응력의 최댓값, 최솟값은 수직응력을 미분하였을 때, 미분값이 '0'이 되는 '각도'에서의 면에서 발생한다. 즉, 식.2 수직응력의 미분 식.2의 미분값을 '0'으로 두면 식.3 이 때, 식.1과 식.2를 비교하면 식.4 가 됨을 주목하라. 따라서 식.5 이 된다. 이와 같이 전단응력이 '0'이 되는 각도(θp)에서의 평면을 주평면(主:가장 중요할 주, Principal planes) 이라 한다. 그리고 주평면에서의 수직응력을 주응력(Principal stresses)이라 한다. 식.3에서 tan 함수는 180도 주기를 가진다. 그러므로 우변의 값이 정해지면 2θp의 값은 180도의 간격으로 두 개의 값이 존재한다. 이는 곧 θp가 90도 간격으로 두 개의 값이 존재한다는 말이며 즉, 두 개의 주평면은 직교한다. 식.3을 θp에 관해 정리하면 식.6 주평면 각도 이 되고 이것을 식.1의 수직응력식에 대입하면 아래 식.7과 같이 주응력(Principal Stress)을 구하는 방정식을 얻을 수 있다. 식.7 주응력 방정식 그림.1 평면응력, 주응력 >>> 주응력, 최대 전단응력 주요 공식 바로가기 <<< 2. 최대 전단응력 마찬가지로 최대 전단응력도 식.1의 전단응력을 미분하였을 때, '0'이 되는 각도에서의 평면에서 발생한다. 즉, 식.8 전단응력의 미분 식.8의 미분값을 '0'으로 두면 식.9 이 된다. 식.9와 식.3의 우변을 비교하면 반대 부호를 가지는 역수임을 알 수 있고 음의 역수 관계이기 때문에 2θp, 2θt는 90도 차이를 갖는다. (tan곡선을 생각해 보자.) 따라서, 주평면(θp)과 최대 전단응력 평면(θτ)은 45도만큼 기울어져 있다. 식.9를 θτ에 대해 정리하면 식.10 최대 전단응력 각도 이 되고 식.1의 응력 변환방정식에 대입하면 식.11 최대 전단응력 방정식(평면 내) 최대 전단응력(Maximum Shear Stress) 방정식이 된다. 또한 식.11을 식.7에 대입하면 아래 식.12가 되는데 식.12 식.12를 통해 최대 전단응력은 최대 주응력과 최소 주응력의 차이의 절반과 같음을 알 수 있다. 그리고 식.7에서 최대 전단응력과 최소 전단응력을 합하면 아래 식.13이 된다. 식.13 따라서 직교평면 상에서 수직응력의 합은 항상 일정한 것임 알 수 있다. 챕터 6 주응력과 최대 전단응력2에서 계속됩니다. >>> 주응력, 최대 전단응력 주요 공식 바로가기 <<< 반응형

[재료역학] 평면응력 (3) 최대전단응력공식 유도

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지난 글에서 유도한 응력의 변환방정식은 아래와 같습니다.

$\sigma_{x’}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}+\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta$

$\tau_{x’y’}=-\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\sin 2\theta+\tau_{xy} \cos 2\theta$

최대전단응력공식을 유도할때는 두번째 식이 사용됩니다. 변수는 $\theta$ 입니다. $\theta$로 미분한 함수가 0이 되는 $\theta$ 에서 극값이 발생합니다.

두번째 식을 $\theta$ 로 미분하면 아래와 같습니다.

$\frac{d\sigma_{x’}}{d \theta}=-(\sigma_{x}-\sigma_{y})\cos 2\theta-2\tau_{xy}\sin 2\theta=0$

아래와 같이 변형합니다.

$\frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta}=-\frac{ \frac{(\sigma_{x}-\sigma_{y})}{2} }{\tau_{xy} }$

좌변은 탄젠트입니다.

$\tan 2\theta=-\frac{ \frac{(\sigma_{x}-\sigma_{y})}{2} }{\tau_{xy}}$

위 등식을 만족하는 $\theta$ 를 구할 필요는 없습니다. 아래그림의 $\theta_{1}$과 $\theta_{2}$가 위 등식이 만족한다는 것을 알면 됩니다. (어떤 교제는 다른 방식으로 각도를 잡기도 합니다. 결과는 같습니다.)

또한 $\theta_{1}$과 $\theta_{2}$는 90도 차이임을 알 수 있습니다.

$\theta=\theta_{1}$일 때 전단응력의 변환방정식은 아래와 같이 변형됩니다. 위 그림에서 $\sin 2\theta_{1}$과 $\cos 2\theta_{1}$을 구하여 넣어주었습니다.

$\tau_{max}=-\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}

\frac{\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}}{\sqrt{\left ( \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \right )^{2}+\tau_{xy}^{2}}}

+\tau_{xy}

\frac{-\tau_{xy}}{\sqrt{\left ( \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \right )^{2}+\tau_{xy}^{2}}}$

아래와 같이 계산해줍니다.

$\tau_{max}=-

\frac{ \left (\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \right )^{2}+\tau_{xy}^{2} }{\sqrt{\left ( \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \right )^{2}+\tau_{xy}^{2}}}$

아래와 같이 변형합니다.

$\tau_{max}=-\sqrt{\left ( \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \right )^{2}+\tau_{xy}^{2}}$

$\theta=\theta_{2}$일 때도 같은 방법으로 구하면 아래와 같습니다.

$\tau_{max}=\sqrt{\left ( \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \right )^{2}+\tau_{xy}^{2}}$

부호규약을 적용하여 최대전단응력만 나타내면 아래와 같습니다.

최대전단응력 상태에서 수직응력은 어떤 값을 가질까요? $\theta_{1}$과 $\theta_{2}$에서 수직응력을 구하면 아래와 같습니다. 수직응력변형공식에 위에서 구한 사인과 코사인 값을 대입해서 구하면 됩니다.

$\sigma_{x’}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}$

$\sigma_{y’}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}$

위 응력은 x방향과 y방향의 평균응력입니다. $\sigma_{avg}$라고 부릅니다. 따라서 최대전단응력상태에서 요소는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

이번에는 주응력과의 관계를 알아봅시다. 주응력이 발생하는 각도는 아래와 같습니다.

$\tan 2\theta=\frac{\tau_{xy}}{\frac{(\sigma_{x}-\sigma_{y})}{2}}$

최대 전단응력이 발생하는 각도는 아래와 같습니다.

$\tan 2\theta=\frac{\tau_{xy}}{\frac{(\sigma_{x}-\sigma_{y})}{2}}$

탄젠트값의 부호가 다르다는 것은 90도 차이임을 의미합니다. $2\theta$가 90도 차이이므로 $\theta$는 45도 차이입니다.

아래는 요약입니다.

1. 최대전단응력은 전단응력 변환공식을 미분한 값이 0이 될 때 발생하며, 발생 각도와 최대전단응력은 아래와 같다.

$\tan 2\theta=-\frac{ \frac{(\sigma_{x}-\sigma_{y})}{2} }{\tau_{xy}}$

$\tau_{max}=-\sqrt{\left ( \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \right )^{2}+\tau_{xy}^{2}}$ (at $\theta_{1}$)

$\tau_{max}=\sqrt{\left ( \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \right )^{2}+\tau_{xy}^{2}}$ (at $\theta_{2}$)

2. $\theta_{1}$과 $\theta_{2}$는 90도 차이이고, 최대전단응력상태에서 주응력은 $\sigma_{avg}$ 이므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.

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【재료역학】 단순보 사각단면 ‘최대’전단응력 문제풀이

대학을 갈 때에도

직장을 갈 때에도

여러 조건이나 이유를 대지만,

사랑만큼은 그러지 말자.

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 재료역학에서 단순보의 사각단면에서 ‘최대’전단응력에 관한 문제풀이입니다. 잘 보시면 ‘최대’라는 단어에 강조를 했음을 알 수 있습니다. 보에서의 단순 전단력/응력이 아니라 ‘최대’전단응력을 구하는 것입니다. 이 부분이 헷갈려서 많은 분들이 문제풀이를 해매지만, 이 글을 보신 여러분들은 그러지 않으실 수 있도록 자세히 적어보겠습니다. 열공하시길 바랍니다!
[문제]
그림의 단순보(simple beam) 같이 직사각형 단면에 집중하중이 작용할 때 발생하는 최대전단응력을 구하여라.
[문제이해]
위에서도 말했듯이 재료역학 문제를 풀면서 위와 같이 생긴 그림을 많이 보았겠지만, 이번 문제는 ‘최대’전단응력을 구하라고하는 문제입니다. 아래의 풀이내용을 보면 답답할 정도로 간단하게 푸는 것을 보실 수 있을텐데, 이번 포스팅에서는 ‘최대전단응력’과 ‘전단응력’의 단어를 구분할 줄 알게되는 시간이 되면 좋을 것 같습니다.
[문제풀이]
우선, 좌측의 그림을 보겠습니다. 이때 최대 전단력은 2P/3라는 것을 바로 알 수 있습니다. 그래도 힘 평형, 모멘트 평형으로 반력을 구해보겠습니다.

이렇게 반력 R`B가 더 크고, 이 힘의 크기가 단순보 내에서 가장 크게 작용하는 전단력이 됩니다.

그리고 사각단면의 ‘최대’전단응력은 아래의 공식을 통해 바로 구할 수 있습니다.

이렇게 ‘최대’전단응력을 구할 수 있습니다. 이상!

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[보에서의 응력]Ⅱ. 전단응력공식과 최대전단응력 : 네이버 블로그

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최대 전단 응력 공식

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