Top 46 다층 퍼셉트론 Xor Trust The Answer

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다층퍼셉트론(MLP) 텐서플로우 구현 – XOR

[인공지능]다층 퍼셉트론으로 XOR문제 해결하기

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7장 다층 퍼셉트론

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퍼셉트론 – XOR (exclusive OR) 문제

진리표

분류기 퍼셉트론

XOR (exclusive OR) 문제

XOR 문제 해결

다층 퍼셉트론

연습 XOR 문제 해결

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퍼셉트론 - XOR (exclusive OR) 문제 :: Atmosphere — 퍼셉트론 – XOR (exclusive OR) 문제 :: Atmosphere

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[인공지능]다층 퍼셉트론으로 XOR문제 해결하기

이 책에 있는 내용을 정리 한 것임.

2 퍼셉트론의 과제

사람의 뇌가 작동하는 데 1,000억 개나 되는 뉴런이 존재해야 하는 이유는 하나의 뉴런만으로는 아무것도 할 수 없기 때문입니다. 퍼셉트론도 마찬가지입니다. 단 하나의 퍼셉트론으로는 많은 것을 기대할 수가 없습니다. 지금부터는 퍼셉트론의 한계와 이를 해결하는 과정을 보며 신경망의 기본 개념을 확립해 보겠습니다. 먼저 그림 6-2를 볼까요?

그림 6-2

사각형 종이에 놓인 검은점 두 개와 흰점 두 개

사각형 종이에 검은점 두 개와 흰점 두 개가 놓여 있습니다. 이 네 점 사이에 직선을 하나 긋는다고 합시다. 이때 직선의 한쪽 편에는 검은점만 있고, 다른 한쪽에는 흰점만 있게끔 선을 그을 수 있을까요?

그림 6-3

선으로는 같은 색끼리 나눌 수 없다: 퍼셉트론의 한계

여러 개의 선을 아무리 그어보아도 하나의 직선으로는 흰점과 검은점을 구분할 수 없습니다.

앞서 배운 선형 회귀와 로지스틱 회귀를 통해 머신러닝이 결국 선이나 2차원 평면을 그리는 작업이란 것을 배웠습니다. 따라서 이와 같은 개념인 퍼셉트론 역시 선을 긋는 작업이라고 할 수 있습니다. 그런데 이 예시처럼 경우에 따라서는 선을 아무리 그어도 해결되지 않는 상황이 있습니다.

3 XOR 문제

이것이 퍼셉트론의 한계를 설명할 때 등장하는 XOR(exclusive OR) 문제입니다.

XOR 문제는 논리 회로에 등장하는 개념입니다. 컴퓨터는 두 가지의 디지털 값, 즉 0과 1을 입력해 하나의 값을 출력하는 회로가 모여 만들어지는데, 이 회로를 ‘게이트(gate)’라고 부릅니다.

표 6-1은 AND 게이트, OR 게이트 그리고 XOR 게이트에 대한 값을 정리한 것입니다. AND 게이트는 x1와 x2 둘 다 1일 때 결괏값이 1로 출력됩니다. OR 게이트는 둘 중 하나라도 1이면 결괏값이 1로 출력됩니다. XOR 게이트는 둘 중 하나만 1일 때 1이 출력됩니다.

AND 진리표 OR 진리표 XOR 진리표 x1 x2 결괏값 x1 x2 결괏값 x1 x2 결괏값 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

표 6-1

AND, OR, XOR 게이트에 대한 진리표

표 6-1을 각각 그래프로 좌표 평면에 나타내 보겠습니다. 결괏값이 0이면 흰점으로, 1이면 검은점으로 나타낸 후 조금 전처럼 직선을 그어 위 조건을 만족할 수 있는지 보겠습니다.

그림 6-4

AND, OR, XOR 진리표대로 좌표 평면에 표현한 뒤 선을 그어 색이 같은 점끼리 나누기(XOR은 불가능)

AND와 OR 게이트는 직선을 그어 결괏값이 1인 값(검은점)을 구별할 수 있습니다. 그러나 XOR의 경우 선을 그어 구분할 수 없습니다.

이는 인공지능 분야의 선구자였던 MIT의 마빈 민스키(Marvin Minsky) 교수가 1969년에 발표한 <퍼셉트론즈(Perceptrons)>라는 논문에 나오는 내용입니다. ‘뉴런 → 신경망 → 지능’이라는 도식을 따라 ‘퍼셉트론 → 인공 신경망 → 인공지능’이 가능하리라 꿈꾸던 당시 사람들은 이것이 생각처럼 쉽지 않다는 사실을 깨닫게 됩니다. 알고 보니 간단한 XOR 문제조차 해결할 수 없었던 것입니다. 이 논문 이후 인공지능 연구가 한동안 침체기를 겪게 됩니다. 10여 년이 지난 후에야 이 문제가 해결되는데, 이를 해결한 개념이 바로 다층 퍼셉트론(multilayer perceptron)입니다.

7장 다층 퍼셉트론

앞서 종이 위에 각각 엇갈려 놓인 검은점 두 개와 흰점 두 개를 하나의 선으로는 구별할 수 없다는 것을 살펴보았습니다. 언뜻 보기에 해답이 없어 보이는 이 문제를 해결하려면 새로운 접근이 필요합니다.

어릴 적 친구들에게 장난처럼 들었던 문제인데 의외로 기발한 해답에 기억에 오래 남는 것이 하나 있습니다. 바로 ‘성냥개비 여섯 개로 정삼각형 네 개를 만들 수 있는가’라는 문제였습니다.

그림 7-1

성냥개비 여섯 개로 정삼각형 네 개를?

골똘히 연구해도 답을 찾지 못했던 이 문제는 2차원 평면에서만 해결하려는 고정관념을 깨고 피라미드 모양으로 성냥개비를 쌓아 올리니 해결되었습니다.

그림 7-2

차원을 달리하니 쉽게 완성!

인공지능 학자들은 인공 신경망을 개발하기 위해서 반드시 XOR 문제를 극복해야만 했습니다. 이 문제 역시 고정관념을 깬 기발한 아이디어에서 해결점이 보였습니다. 그림 7-3은 전혀 새로운 방법으로 이를 해결하는 모습을 보여 줍니다.

그림 7-3

XOR 문제의 해결은 평면을 휘어주는 것!

로 종이를 휘어 주는 것이 답이었습니다. 즉, 좌표 평면 자체에 변화를 주는 것입니다. XOR 문제를 해결하기 위해서 우리는 두 개의 퍼셉트론을 한 번에 계산할 수 있어야 합니다. 이를 가능하게 하려면 숨어있는 층, 즉 은닉층(hidden layer)을 만들면 됩니다.

그림 7-4

퍼셉트론에서 다층 퍼셉트론으로

입력층과 은닉층의 그래프를 집어넣어 보면 그림 7-5와 같습니다. 은닉층이 좌표 평면을 왜곡시키는 결과를 가져옵니다.

그림 7-5

은닉층의 공간 왜곡(https://goo.gl/8qEGHD 참조)

입력 값(input)을 놓고 파란색과 빨간색의 영역을 구분한다고 할 때, 그림 7-5의 왼쪽 그림을 보면 어떤 직선으로도 이를 해결할 수 없습니다. 하지만 은닉층을 만들어 공간을 왜곡하면 두 영역을 가로지르는 선이 직선으로 바뀝니다.

1 다층 퍼셉트론의 설계

다층 퍼셉트론이 입력층과 출력층 사이에 숨어있는 은닉층을 만드는 것을 도식으로 나타내면 그림 7-6과 같습니다.

그림 7-6

다중 퍼셉트론의 내부

가운데 숨어있는 은닉층으로 퍼셉트론이 각각 자신의 가중치(w)와 바이어스(b) 값을 보내고, 이 은닉층에서 모인 값이 한 번 더 시그모이드 함수(기호로 σ라고 표시합니다)를 이용해 최종 값으로 결과를 보냅니다. 은닉층에 모이는 중간 정거장을 노드(node)라고 하며, 여기서는 n1과 n2로 표현하였습니다.

n1과 n2의 값은 각각 단일 퍼셉트론의 값과 같습니다.

n1 = σ(x1w11 + x2w21+b1)

n2 = σ(x1w12 + x2w22 + b2)

위 두 식의 결괏값이 출력층으로 보내집니다. 출력층에서는 역시 시그모이드 함수를 통해 y 값이 정해집니다. 이 값을 y out이라 할 때 식으로 표현하면 다음과 같습니다.

이제 각각의 가중치(w)와 바이어스(b)의 값을 정할 차례입니다. 2차원 배열로 늘어놓으면 다음과 같이 표시할 수 있습니다. 은닉층을 포함해 가중치 6개와 바이어스 3개가 필요합니다.

한 노드당 바이어스 하나를 주는구나..

2 XOR 문제의 해결

앞서 우리에게 어떤 가중치와 바이어스가 필요한지를 알아보았습니다. 이를 만족하는 가중치와 바이어스의 조합은 무수히 많습니다. 이를 구하는 방법은 8장에서 소개할 예정입니다. 지금은 먼저 다음과 같이 각 변숫값을 정하고 이를 이용해 XOR 문제를 해결하는 과정을 알아보겠습니다.

이것을 도식에 대입하면 다음과 같습니다.

그림 7-7

다중 퍼셉트론의 내부에 변수를 채워보자.

이제 x1의 값과 x2의 값을 각각 입력해 y 값이 우리가 원하는 값으로 나오는지를 점검해 보겠습니다.

x1 x2 n1 n2 yout 우리가 원하는 값 0 0 σ(0 * (-2) + 0 * (-2) + 3) ≈ 1 σ(0 * 2 + 0 * 2 – 1) ≈ 0 σ(1 * 1 + 0 * 1 – 1) ≈ 0 0 0 1 σ(0 * (-2) + 1 * (-2) + 3) ≈ 1 σ(0 * 2 + 1 * 2 – 1) ≈ 1 σ(1 * 1 + 1 * 1 – 1) ≈ 1 1 1 0 σ(1 * (-2) + 0 * (-2) + 3) ≈ 1 σ(1 * 2 + 0 * 2 – 1) ≈ 1 σ(1 * 1 + 1 * 1 – 1) ≈ 1 1 1 1 σ(1 * (-2) + 1 * (-2) + 3) ≈ 0 σ(1 * 2 + 1 * 2 – 1) ≈ 1 σ(0 * 1 + 1 * 1 – 1) ≈ 0 0

표 7-1

XOR 다층 문제 해결

TIP

≈ 기호는 ‘거의 같다’를 의미하는 것으로 이해하면 됩니다.

표 7-1에서 볼 수 있듯이 n1, n2, y를 구하는 공식에 차례로 대입하니 우리가 원하는 결과를 구할 수 있었습니다. 숨어있는 두 개의 노드를 둔 다층 퍼셉트론을 통해 XOR 문제가 해결된 것입니다.

3 코딩으로 XOR 문제 해결하기

이제 주어진 가중치와 바이어스를 이용해 XOR 문제를 해결하는 파이썬 코드를 작성해 볼까요?

먼저 표 7-1에서 n1의 값을 잘 보면 입력 값 x1, x2가 모두 1일 때 0을 출력하고 하나라도 0이 아니면 1을 출력하게 되어 있습니다. 이는 표 6-1에서 배운 AND 게이트의 정반대 값을 출력하는 방식입니다. 이를 NAND(Negative And) 게이트라고 부릅니다.

그리고 n2의 값을 잘 보면 x1, x2에 대한 OR 게이트에 대한 답입니다.

NAND 게이트와 OR 게이트, 이 두 가지를 내재한 각각의 퍼셉트론이 다중 레이어 안에서 각각 작동하고, 이 두 가지 값에 대해 AND 게이트를 수행한 값이 바로 우리가 구하고자 하는 Y_out임을 알 수 있습니다.

정해진 가중치와 바이어스를 numpy 라이브러리를 사용해 다음과 같이 선언하겠습니다.

import numpy as np w11 = np.array([-2, -2]) w12 = np.array([2, 2]) w2 = np.array([1, 1]) b1 = 3 b2 = -1 b3 = -1

이제 퍼셉트론 함수를 만들어 줍니다. 0과 1 중에서 값을 출력하게 설정합니다.

def MLP(x, w, b): y = np.sum(w * x) + b if y <= 0: return 0 else: return 1 각 게이트의 정의에 따라 NAND 게이트, OR 게이트, AND 게이트, XOR 게이트 함수를 만들어 줍니다. # NAND 게이트 def NAND(x1, x2): return MLP(np.array([x1, x2]), w11, b1) # OR 게이트 def OR(x1, x2): return MLP(np.array([x1, x2]), w12, b2) # AND 게이트 def AND(x1, x2): return MLP(np.array([x1, x2]), w2, b3) # XOR 게이트 def XOR(x1, x2): return AND(NAND(x1, x2),OR(x1, x2)) 이제 x1과 x2 값을 번갈아 대입해 가며 최종 값을 출력해 봅시다. if __name__ == '__main__': for x in [(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)]: y = XOR(x[0], x[1]) print("입력 값: " + str(x) + " 출력 값: " + str(y)) 모두 정리하면 다음과 같습니다. import numpy as np # 가중치와 바이어스 w11 = np.array([-2, -2]) w12 = np.array([2, 2]) w2 = np.array([1, 1]) b1 = 3 b2 = -1 b3 = -1 # 퍼셉트론 def MLP(x, w, b): y = np.sum(w * x) + b if y <= 0: return 0 else: return 1 # NAND 게이트 def NAND(x1, x2): return MLP(np.array([x1, x2]), w11, b1) # OR 게이트 def OR(x1, x2): return MLP(np.array([x1, x2]), w12, b2) # AND 게이트 def AND(x1, x2): return MLP(np.array([x1, x2]), w2, b3) # XOR 게이트 def XOR(x1, x2): return AND(NAND(x1, x2),OR(x1, x2)) # x1, x2 값을 번갈아 대입하며 최종값 출력 if __name__ == '__main__': for x in [(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)]: y = XOR(x[0], x[1]) print("입력 값: " + str(x) + " 출력 값: " + str(y)) 우리가 원하는 XOR 문제의 정답이 도출되었습니다. 이렇게 퍼셉트론 하나로 해결되지 않던 문제를 은닉층을 만들어 해결했습니다. 은닉층을 여러 개 쌓아올려 복잡한 문제를 해결하는 과정은 뉴런이 복잡한 과정을 거쳐 사고를 낳는 사람의 신경망을 닮았습니다. 그래서 이 방법을 ‘인공 신경망’이라 부르기 시작했고, 이를 간단히 줄여서 신경망이라고 통칭합니다.

퍼셉트론 – XOR (exclusive OR) 문제

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진리표

컴퓨터 디지털 회로 gate 논리

AND: 둘다 1 이면 1

OR: 둘 중 하나라도 1 이면 1

XOR: 둘 중 하나만 1이면 1

분류기 퍼셉트론

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XOR (exclusive OR) 문제

그림처럼, 각각 두 개씩 다른 점이 있다고 할 때, 하나의 선을 그어 색깔별로 분류하는 방법을 생각해 보자.

어떠한 한 개의 직선으로도 분류할 수 없다…. 1969년 Marvin Minsky 가 발견

XOR 문제 해결

1990년대 다층 퍼셉트론(multilayer perceptron)으로 해결

아래 그림과 같이 2차원 평면 공간을 3차원으로 확장해서 분류할 수 있음.

즉, 차원 확장과 좌표 평면 변환 이용

XOR 문제를 해결하기 위해서는 2개의 퍼셉트론을 한번에 계산할 수 있어야 함.

은닉층(hidden layer)을 가진 다층 퍼셉트론을 구현하여 가능.

다층 퍼셉트론

1. 각 퍼셉트론의 가중치(w)와 바이어스(b)를 은닉층의 노드(n)로 보냄.

2. 은닉층으로 들어온 w, b에 시그모이드 함수를 적용하여 최종 결과값을 출력함

w와 b를 구하기 위해서 행렬로 표현하면,

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연습: XOR 문제 해결

아래 예제를 통해서, XOR 진리표를 구할 수 있는지 연습해 보자.

먼저 각 노드 n1, n2를 구하고, 최종 y 출력값을 계산한다.

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03. 퍼셉트론의 한계와 다층 퍼셉트론

02. 단순한 논리회로와 퍼셉트론 구현하기

2.4 퍼셉트론의 한계

2.4.1 XOR 게이트

XOR 게이트는 배타적 논리합이라는 논리 회로이다.
[그림 2-5] XOR 게이트의 진리표
[그림 2-6] OR 게이트

먼저 퍼셉트론이 시각화된 OR 게이트를 살펴 보자. 원 (0,0)과 나머지 삼각형 점에 대해 Linear separation이 가능하다.

직선에 따라 0을 출력하는 영역과 1을 출력하는 영역이 나뉘게 된다.

XOR 게이트

XOR 게이트는 원과 삼각형을 직선 하나로 나뉠 수가 없다.

2.4.2 선형과 비선형
[그림 2-8] 곡선으로 나눌 수 있다.

퍼셉트론은 직선 하나로 나눈 영역만 표현할 수 있다는 한계가 있다.
[그림 2-8]과 같은 곡선의 영역을 비선형 영역, 직선의 영역을 선형 영역이라고 한다.

선형, 비선형은 기계학습 분야에서 자주 쓰이며 [그림 2-6]과 [그림 2-8]과 같은 이미지를 떠올리면 된다.

2.5 다층 퍼셉트론

2.5.1 기존 게이트 조합하기

XOR 게이트를 만드는 방법은 여러 가지가 있으며, 위에서는 AND, NAND, OR 게이트를 조합하였다.

‘다층 퍼셉트론’을 사용하여 XOR를 표현할 수 있다.
[그림 2-11] 조합된 XOR 게이트
[그림 2-12] XOR 게이트의 진리표

2.5.2 XOR 게이트 구현하기

import numpy as np def AND(x1,x2): x=np.array([x1,x2]) w=np.array([0.5,0.5]) b=-0.7 tmp=np.sum(w*x)+b if tmp>0: return 1 else: return 0 def NAND(x1,x2): x=np.array([x1,x2]) w=np.array([-0.5,-0.5]) b=0.7 tmp=np.sum(w*x)+b if tmp>0: return 1 else: return 0 def OR(x1,x2): x=np.array([x1,x2]) w=np.array([0.7,0.7]) b=-0.5 tmp=np.sum(w*x)+b if tmp>0: return 1 else: return 0 def XOR(x1,x2): s1 = NAND(x1,x2) s2 = OR(x1,x2) y = AND(s1,s2) return y

input and output

print(XOR(0,0)) print(XOR(0,1)) print(XOR(1,0)) print(XOR(1,1)) 0 # 0 출력 1 # 1 출력 1 # 1 출력 0 # 0 출력
[그림 2-13] XOR의 퍼셉트론

AND, OR 퍼셉트론은 형태가 단층인데 반해, XOR은 2층 퍼셉트론이 된다. 이처럼 층이 여러 개인 퍼셉트론을 다층 퍼셉트론이라고 한다. 0층에서 1층으로 신호가 전달되고, 이어서 1층에서 2층으로 신호가 전달된다.

2.7 정리

퍼셉트론은 입출력을 갖춘 알고리즘이다. 입력을 주면 정해진 규칙에 따른 값을 출력한다.

퍼셉트론에서는 ‘가중치’와 ‘편향’을 매개변수로 사용한다.

퍼셉트론으로 AND, OR 게이트 등의 논리 회로를 표현할 수 있다.

XOR 게이트는 단층 퍼셉트론으로는 표현할 수 없다.

2층 퍼셉트론을 이용하면 XOR 게이트를 표현할 수 있다.

단층 퍼셉트론은 직선형 영역만 표현할 수 있고, 다층 퍼셉트론은 비선형 영역도 표현할 수 있다.

다층 퍼셉트론은 (이론상) 컴퓨터를 표현할 수 있다. (블로그엔 따로 정리하지 않았습니다.)

– 다음 글: 04. 딥러닝 신경망(Neural Network) – 활성화 함수, 계단 함수, 시그모이드 함수, ReLU의 모든 것

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[인공지능]다층 퍼셉트론으로 XOR문제 해결하기

퍼셉트론 – XOR (exclusive OR) 문제 :: Atmosphere

1.2 다층퍼셉트론(MLP) 개념과 XOR 구현 : 네이버 블로그

03. 퍼셉트론의 한계와 다층 퍼셉트론

03. 퍼셉트론의 한계와 다층 퍼셉트론

[인공지능]다층 퍼셉트론으로 XOR문제 해결하기

퍼셉트론 – XOR (exclusive OR) 문제

03. 퍼셉트론의 한계와 다층 퍼셉트론

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