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SPSS로 배우는 통계 – 8. 대응 표본 t 검정
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대응 표본 t 검정 (pared sample t test) 개요
SPSS에서 대응 표본 t 검정하기
SPSS에서 대응 표본 t 검정하기 – 과제 파일
대응 표본 t 검정(paired t-test) – 공돌이의 수학정리노트
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독립 표본 t-검정으로 해석
대응 표본 t-검정으로 해석
대응표본 t 검증 :: R 기초 통계 :: 마인드스케일
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R 기초 통계
명수강중
대응표본이란
대응표본 t-test의 논리
대응표본 t-test 실시하기
목차
SPSS를 활용한 쉬운 통계 6.대응표본 t검정
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spss 통계분석 #7. t-test ② 대응표본 t-검정(Paired Samples t-test)
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SPSS로 배우는 통계 – 8. 대응 표본 t 검정
변수의 척도가 범주형인지 연속형인지에 따라 데이터를 분석하는 방법이 다릅니다. 가설의 독립변수가 범주형이고 종속변수가 연속형일 때 사용할 수 있는 검정 방법은 t-test입니다. 독립변수는 성별 또는 나이대와 같은 범주형 데이터이고 종속 변수는 평균을 산출할 수 있는 연속형 데이터입니다. t 테스트는 두 개의 표본 평균 간의 차이를 검정합니다.
대응 표본 t 검정 (pared sample t test) 개요
동일한 표본의 A 시점과 B 시점을 비교 검정합니다. 예를 들면, 새로운 교수법을 평가하기 위해 하나의 실험집단을 대상으로 중간고사 시험 성적과 기말고사 시험 성적을 비교합니다. 문제는 동일한 표본을 유지하기 위해 얼마의 간격으로 시점을 정해야 할 지를 정하는 것입니다.
SPSS에서 대응 표본 t 검정하기
1. 가설의 설정
“체력증진을 위해 개발된 새로운 프로그램을 고등학교 2학년 학생 150명을 대상으로 한 학기 동안 적용하였습니다. 체력증진 프로그램을 적용하기 전후 학생들의 체력에 차이가 있는가”
연구가설을 설정하고, 가설 검증을 위한 귀무가설과 대립가설을 설정합니다.
연구가설
새로운 체력 증진 프로그램에 따라 학생들의 체력을 증진시킬 것이다.
귀무가설
새로운 체력 증진 프로그램 적용 전과 후의 학생들의 체력은 같다
대립가설
새로운 체력 증진 프로그램 적용 전과 후의 학생들의 체력은 같지 않다
연구 결과가 귀무가설을 채택할지 또는 기각할지 확인하기 위해 대응 표본 t 검정을 사용합니다.
2. SPSS에서 대응표본 t 검정 설정하기
1) 메뉴바에서 “분석 >> 평균 비교 >> 대응 표본 T 검정”을 선택합니다.
2) 대응표본 T 검정 창에서 변수1은 사전체력을 변수 2는 사후체력을 설정합니다. 옵션은 그대로 두고 확인을 누릅니다.
3. 대응 표본 t 검정 분석하기
대응 표본 통계량(Paired Sample Statistics) 표에서 사전체력의 평균은 64.067이고, 사후체력의 평균은 68.245입니다. 대응 표본 검정표(Paired Samples Test)에서 t값은 -2.943이고 유의확률(Sig. 2-tailed) p값은 0.004 입니다. 따라서, p값이 0.05보다 작으므로 귀무가설을 기각할 수 있습니다. 논문에서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
“사전체력과 사후체력의 차이에 대한 대응 표본 t 검정 결과, 학생들의 사전체력(64.067)과 사후체력(68.245) 간에는 유의미한 차이가 있는 것으로 나타났다(t = -2.943, p <. 01). 따라서 새로 개발된 체력증진 프로그램은 효과가 있는 것으로 판단된다." 4. 테스트 파일 SPSS에서 대응 표본 t 검정하기 - 과제 파일 1. 가설의 설정 "당뇨병 환자를 위해 새로 개발된 약의 효과를 검정하기 위해 30명에게 사전 당뇨 수치를 검사한 후, 한 달 간 신약을 복용한 후 사후 검사를 실시하였습니다. 당뇨병 환자를 위해 신약의 효과를 검정하시오 (수치가 낮을수록 의미가 있습니다." 연구가설을 설정하고, 가설 검증을 위한 귀무가설과 대립가설을 설정합니다. 연구가설 신약은 효과가 있을 것이다. 귀무가설 신약은 효과가 없다 대립가설 신약은 효과가 있다. 연구 결과가 귀무가설을 채택할지 또는 기각할지 확인하기 위해 독립표본 t 검정을 사용합니다. 2. SPSS에서 대응 표본 t 검정 설정하기 3. 대응 표본 t 검정 분석하기 대응 표본 통계량(Paired Sample Statistics) 표에서 사전검사의 평균은 82.60이고, 사후검사의 평균은 78.03입니다. 대응 표본 검정표(Paired Samples Test)에서 t값은 2.462이고 유의확률(Sig. 2-tailed) p값은 0.02입니다. 따라서, p값이 0.05보다 작으므로 귀무가설을 기각할 수 있습니다. 논문에서 다음과 같이 쓸 수 있습니다. "사전검사와 사후검사의 차이에 대한 대응 표본 t 검정 결과, 당뇨병 환자들의 사전검사(82.60)과 사후검사(78.03) 간에는 유의미한 차이가 있는 것으로 나타났다(t = -2.462, p < .05). 따라서 새로 개발된 신약은 효과가 있는 것으로 판단된다."
대응 표본 t 검정(paired t-test)
어떤 집단의 before / after를 비교하려고 할 때는 어떤 통계 기법을 사용할 수 있을까?
이 포스팅은 Primer of Biostatistics, S. Glantz, 7판을 참고하여 작성하였습니다.
Prerequisites
이 포스팅을 더 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.
Motivation
이전의 포스팅 중 t-value의 의미와 스튜던트의 t-test에서는 두 표본 그룹을 통계적으로 비교하는 방법 중 하나로 t-test를 소개한 바 있다. 이 때 소개한 t-test를 독립 표본 t-검정(independent sample t-test)이라고도 부르는데, 그 이유는 서로 독립적으로 추출한 두 샘플 그룹 간의 비교를 수행하기 때문이다.
그런데, 간혹 실험을 수행하다보면 동일 피험자에 대해 before / after를 비교해보고 싶은 때가 생긴다. 가령, 다이어트 약의 효능이라던가 금연 효과 같은 실험이 그렇다고 할 수 있다. 만약 동일 피험자에 대해 before / after를 통계적으로 비교할 수 있다면, 각 사람에 대한 효과를 확인할 수 있으므로 더 민감하게 처치 효과를 확인해볼 수 있을 것이다.
이렇듯 동일 피험자들에 대한 before / after 를 통계적으로 비교해볼 수 있게 하는 모수 통계 기법으로 대응 표본 t-검정(paired t-test)를 소개하고자 한다.
paired t-test 설명
앞서 Motivation 파트에서는 동일 피험자에게 수행한 처치에 대해 before / after 비교가 가능하다면 더 효과적으로 처치 효과에 대한 검증이 가능하다고 하였는데, 이 말의 의미가 어떤 것인지 예시를 들어가며 구체적으로 더 알아보도록 하자.
아래의 그림 1은 이뇨제(소변이 더 잘나오게 하는 약)의 효과를 확인해보기 위한 실험 결과를 도시해놓은 것이다.
그림 1. 이뇨제의 처치 효과를 관찰하기 위한 실험 결과
이 그림은 Primer of biostatistics, 7th ed., S. Glantz의 Figure 9-1을 참고하여 만든 것 입니다.
그림 1을 보면 왼쪽(A) 그림과 오른쪽(B) 그림에서 차이점을 쉽게 확인할 수 있다. 줄이 그어져있는지 여부이다. 왼쪽(A) 그림은 플라시보(placebo)와 약물(drug) 그룹이 서로 독립적으로 추출된 표본 그룹임을 상정한 경우이다. 반면, 오른쪽(B) 그림은 동일한 표본 그룹의 피험자들에게 플라시보(placebo)와 약물(drug)을 한번씩 처치하여 실험이 진행된 것을 상정하고 있다.
독립 표본 t-검정으로 해석
그림 1의 왼쪽(A)의 상황에서 t-test를 진행해보도록 하자.
두 그룹의 평균은 각각 994.4와 1046.6이다. 그리고 각 그룹의 표준편차는 113.0046과 132.7983이므로 t-value를 계산해보면
\[t=\frac {\bar{X}_1 – \bar{X}_2} {\sqrt{s_1^2/{n_1^2} + s_2^2/{n_2^2}}}=-0.9467\]
이다. 여기서 $n_1, n_2$는 모두 10이다.
자유도(degree of freedom)는 $n_1+n_2-2=18$이다. 양측검정 t-test를 한다고 했을 때 유의한 t-value의 기준은 $t_{0.05}=-2.101$이다. 따라서 우리에게 주어진 $t$ 값인 $-0.9467$은 $-2.101$에 한참 못미치는 수치라고 할 수 있다. 즉, 이런 방식으로 통계 분석이 진행된다면 이 약은 이뇨제로써 작용하지 못한다고 결론지을 수 밖에 없다.
대응 표본 t-검정으로 해석
그런데 그림 1의 오른쪽(B) 상황을 보면 이 실험 결과가 어떻게 보이는지 차근히 살펴보자. 총 10명의 피험자 중 2명만이 투약 후 소변량이 감소했고 8명은 소변량이 증가한 것을 볼 수 있다. 이렇게 개개인에게 발휘된 처치 효과를 놓고 보면 이 약은 분명 이뇨제로써 잘 작용한다고 결론을 바꿀 수 있을 것이다.
따라서 우리는 그림 1의 오른쪽(B)에서 볼 수 있는 before / after의 차이에 관한 effect를 통계량으로 만들어보자.
t-value의 의미와 스튜던트의 t-test 편에서 t-value의 근본적 의미는 “차이/불확실도”라고 언급한 바 있었다. 간략하게만 복습하자면 표본 평균은 항상 오차를 수반하고 있으므로 발생하는 오차를 염두하면서 평균값 차이에 관한 지표를 만들어야 한다고 설명했다. 따라서 이번에도 마찬가지의 논리로 다음과 같이 t-value를 생각할 수 있다.
\[\text{(paired test) }t = \frac{\text{차이값의 평균}}{\text{차이 평균의 표준 오차}}\]
차이(difference)라는 의미에서 차이값의 평균을 $\bar{d}$라고 이름 붙이면 다음과 같이 t-value를 표현할 수 있다.
\[t=\frac{\bar{d}}{s_{\bar{d}}}\]
여기서 $\bar{d}$에 대한 표준오차로써 $s_{\bar{d}}=s_d/\sqrt{n}$이다.
생각해보면 independent t-test나 paired sample t-test나 논리는 차이를 불확실성으로 나눠준다는 점에서 같다.
실제로 paired t-test를 염두하여 문제를 풀어보자.
플라시보와 투약 시의 일일 소변량은 다음과 같다.
\[\text{플라시보}= [788, 859, 928, 957, 994, 1034, 1049, 1078, 1110, 1147]\] \[\text{투약 시} = [849, 879, 910, 1019, 1145, 1003, 1114, 1162, 1201, 1184]\]
따라서 플라시보 – 투약 의 차이값을 구하면 다음과 같다.
\[d = \text{플라시보}-\text{투약}=[-61, -20, 18, -62, -151, 31, -65, -84, -91, -37]\]
그러므로 $\bar{d}$는 위 $d$의 평균이므로 다음과 같고,
\[\bar{d} = -52.2\]
$s_{\bar{d}}$는 $d$의 표준 편차를 $d$의 개수의 제곱근으로 나눠준 것이므로
\[s_{\bar{d}} = \frac{s_d}{\sqrt{n}}=\frac{57.4723}{\sqrt{10}}=16.9094\]
따라서, t-value는
\[\text{(paired test) }t=\frac{-52.2}{16.9094}=-3.0870\]
임을 알 수 있다.
이 값은 유의한 차이라고 볼 수 있는 t-value의 기준인 $t_{0.05}=-2.2622$(자유도: 9, 양측검정)에 비해서 더 작은 값이므로 플라시보와 투약 조건 간에 유의한 소변량의 차이를 보인 것이라고 판단내릴 수 있다.
참고문헌
대응표본 t 검증
대응표본이란?
두 집단의 자료를 쌍으로 묶을 수 있을 때 예) 남편과 아내, 쌍둥이, before & after
두 집단의 자료를 쌍으로 묶어야 하기 때문에, 독립표본과는 달리 두 집단의 자료 갯수가 동일해야 함
대응표본 t-test의 논리
쌍을 이루고 있는 두 값의 차이를 구함
모집단에서 차이의 평균은 0이라고 귀무가설을 세움
그렇다면 표본에서도 차이의 평균은 0에 가까울 것
표본에서 구한 차이의 평균이 0보다 심각하게 크다면, 귀무가설이 옳을 확률은 희박
그렇다면 귀무 가설을 기각하게 되고, 두 집단 간 차이가 유의미하다고 말하는 것
대응표본 t-test 실시하기
dat_M 과 dat_F 가 순서대로 짝지어져 있다고 가정(예: 117과 121, 108과 101 등등)
dat_M = c ( 117 , 108 , 105 , 89 , 101 , 93 , 96 , 108 , 108 , 94 , 93 , 112 , 92 , 91 , 100 , 96 , 120 , 86 , 96 , 95 ) dat_F = c ( 121 , 101 , 102 , 114 , 103 , 105 , 101 , 131 , 96 , 109 , 109 , 113 , 115 , 94 , 108 , 96 , 110 , 112 , 120 , 100 )
paired=T 를 하여 대응표본 t-test:
m = t.test ( dat_M , dat_F , paired = T ) m
Paired t-test data: dat_M and dat_F t = -2.9869, df = 19, p-value = 0.007578 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -13.6059 -2.3941 sample estimates: mean of the differences -8
통계적으로 유의미한 차이가 있음(p < 0.05) 효과 크기의 계산과 결과 보고는 독립표본 t-검증과 동일.
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