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[인공지능,머신러닝,딥러닝] (기초) 미분 인공지능 학습

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딥러닝 속 수학 기초 + 경사법 수치미분 파이썬

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경사법 수치 미분

파이썬 구현

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신경망에서 미분이 필요한 이유 1 미분 순간 변화율 기울기

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딥러닝에 필요한 수학

딥러닝에 수학이 필요한가

수학의 어떤 개념이 필요한가

딥러닝의 각 단계에 필요한 수학

정리

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딥러닝 속 수학 기초 + 경사법 수치미분 파이썬

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기본적인 딥러닝의 단계를 크게 4가지로 나누어 알아보고

딥러닝 단계

1. 데이터 가공 (통계)

2. 모델 설계 (선형대수)

3. 모델 트레이닝 (미분&적분)

4. 모델 테스트

딥러닝의 기초를 하기 위해 알아야할

선형대수

선형대수.pdf 0.19MB

통계

통계.pdf 1.30MB

미적분

미분과적분.pdf 0.26MB

중 미적분을 알아보자

첨부된 파일을 확인하면 날개념 들을 볼 수 있다.

📌 1. 데이터 가공

딥러닝에서 모델을 학습시키기 위해서는 데이터를 수집하고 모델에 입력할 수 있도록 가공하는 과정을 거쳐야 한다.

이에 있어서 학습에 필요한 데이터, 필요 없는 데이터를 구별해, 트레이닝과 테스트에 유리하도록 변환해 주어야 한다

여기서 통계의 정규화 지식이 필요하다.

정규화란?

관계형 데이터베이스의 설계에서 중복을 최소화하기 데이터를 구조화하는 프로세스를 정규화라고 함. 함수의 종속성을 이용해 연관성 있는 속성들을 분류하고, 각 릴레이션들에서 이상현상이 생기지 않도록 하는 과정을 말함.

딥러닝에서 모든 데이터 포인트가 동일한 정도의 스케일(중요도)로 반영되도록 해주는게 정규화의 목표이다.

간단히 말해서 데이터 단위의 불일치로 인해 일어날 수 있는 문제점을 해결하는 방법중 하나이다. 표준화의 방법도 있다. – 정규화

데이터를 특정 구간으로 바꾸는 척도법임

(측정값 – 최소값) / (최대값 – 최소값)

데이터 군 내에서 특정 데이터가 가지는 위치를 볼 때 사용됨

현재 데이터가 어느 위치에있는지 파악하기 좋다 – 표준화

데이터를 0을 중심으로 양쪽으로 분포시키는 방법임.

평균을 기준으로 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 값으로 변환됨.

학교 <확률과 통계> 시간에 배우는 표준화( 측정값 – 평균 / 표준편차 )도 단위차이의 문제에서 벗어날 수있게 해주는 종류중 하나이다.

가장 일반적인 정규화 방식은 MIN-MAX 정규화이다.

(다른 방법으로는 Z-Score 정규화 방법도 있다.)

두 정규화의 방식은 다음 포스팅에서 알아보자 (?

📌 2. 모델 설계

데이터를 알맞게 모았다면 딥러닝이 읽을 수 있도록 데이터의 형식을 맞춰줘야 한다.

여기서 데이터 형식과 데이터 연산 방식에 있어서 선형대수 지식이 필요하다 .

📌 데이터 형식

이해하기 좋을 그림을 가져왔다2

선형대수에서 크게 스칼라(0차), 벡터(1차), 행렬(2차), 텐서(N)의 4가지의 형식을 가진다.

딥러닝에서 다루는 데이터는 텐서(N차)인데

텐서가 0차원 : 스칼라

텐서가 1차원 : 벡터

텐서가 2차원 : 행렬

이라고 볼 수 있다.

딥러닝에서 이러한 텐서를 이용하여 연산 수행을 통해 모델을 학습시키게 된다.

📌데이터 연산

위에서 언급했던바와 같이 딥러닝에서 다루는 데이터는 **텐서** 이다.

이를 연산하기 위해 **행렬의 연산** 이 쓰인다

행렬의 연산과정은 고등학교에서 배우는 과정이지만 2015교육과정을 기점으로 사라졌다. 사실

나도 배운적 없다

행렬의 연산 중 곱셈은 다음과 같다.

이해하기 좋을 그림을 가져왔다2

이해에 좋을 그림을 가져왔다 3

그 외의 연산방법들은 위에 첨부된 pdf를 참고하자

📌 3. 모델 트레이닝

딥러닝에서 모델 트레이닝은 Trial-Error 방식으로 이루어지는데

말 그대로 일단해봄 ☞ 오차 계산 ☞ 오차만큼 파라미터 값 보정하는 방식이라 볼 수 있다.

여기서 파라미터 값을 보정하는데 미분&적분의 개념이 이용된다.

가장 일반적으로 사용되는 보정은 **Gradient Descent 방법**이다.

오차가 최소가 되는 W값을 찾기 위해 미분을 통해 구현한 Gradient값에 따라 W값을 변화시키는 방법이다.

1차 근삿값 발견용 최적화 알고리즘이다.

함수의 기울기를 구한 후 기울기가 낮은쪽으로 계속 이동시켜 극값에 이를 때까지 반복시키는 것이다.

이런느낌임

이런느낌…2 3차원 그리다 실패한거 맞다

📌

경사법, 수치 미분

파이썬 구현

간단히 아주 작은 간격의 구간의 기울기를 구하는것이다.

학교에서 배우는 정적분과 부정적분 개념이다.

이러한 미분하는 과정을 파이썬으로 구현해 보자 (파이선 def함수 맞습니다. 티스토리 코드블럭이 익숙치 않아서 들여쓰기가 안맞을뿐)

def numerical_diff(f,x): h = 1e-4 #h값을 가급적 작은 값을 대입하고자 e를 이용했다 -> 0.0001 return (f(x+h)-f(x-h))/2*h # 오차를 줄이기 위한 중심차분을 이용함 # 고등학교에서 x+h-(x-h) =2h로 계산하던 그 과정 맞다

간단히 2차함수 (y = 0.01x^2 + 0.1x) 를 그리고 미분한 값을 확인해 보자

#coding:utf-8 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def numerical_diff(f,x): h = 1e-4 return(f(x+h)-f(x-h))/2*h def function(x): return 0.01*x**2 + 0.1 * x #그래프로 x = np.arange(0.0,20.0,0.1) y = function(x) plt.xlable(“x”) plt.ylable(“f(x)”) plt.plot(x,y) plt.show()

print(numerical\_diff(function,5)) 를 찍어보면 x가 5일때의 미분값을 구할 수 있다.

1.9999999999908982e-09로 나오는데 미분했을 때 값이 0.2인걸 보면 거의 오차가 없을 정도이다

미분이 되는걸 확인 했으니 실제 딥러닝에서 쓰이는 편미분(변수가 여럿)을 해보자

여기부터는 https://m.blog.naver.com/ssdyka/221299637545을 참고했습니다

변수가 x0, x1로 두개이다

def function_2(x): return x[0]**2 + x[1]**2

편미분을 동시에 계산 (각 변수별로 따로 계산하는게 아니라 동시에)하고자 하면

모든 변수의 편미분의 벡터로 정리해 계산하고 이것을 기울기(gradient)라 한다.

(x0,x1)의 각 점에서 기울기를 동시에 얻을 수 있다

# coding: utf-8 import numpy as np def numerucal_gradient(f,x): h = 1e-4 #0.0001 # x와 형상이 같은 배열에 모두0인 값 grad = np.zeros_like(x) for idx in range(x.size): tmp_val = x[idx] # f(x+h) 계산 x[idx] = tmp_val+h fxh1 = f(x) # f(x-h) 계산 x[idx] = tmp_val-h fxh2 = f(x) grad[idx] = (fxh1-fxh2)/(2*h) x[idx] = tmp_val return grad def function_2(x): # return x[0]**2 + x[1]**2 return np.sum(x**2) print(numerucal_gradient(function_2, np.array([3.0,4.0]))) print(numerucal_gradient(function_2, np.array([0.0,2.0]))) print(numerucal_gradient(function_2, np.array([3.0,0.0]))) # [6. 8.] # [0. 4.] # [6. 0.]
기울기를 그림으로 그려 화살표로 알아볼 수 있다 (벡터값)

# coding: utf-8 # cf.http://d.hatena.ne.jp/white_wheels/20100327/p3 import numpy as np import matplotlib.pylab as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D def _numerical_gradient_no_batch(f, x): h = 1e-4 # 0.0001 grad = np.zeros_like(x) # x와 형상이 같은 배열을 생성 for idx in range(x.size): tmp_val = x[idx] # f(x+h) 계산 x[idx] = float(tmp_val) + h fxh1 = f(x) # f(x-h) 계산 x[idx] = tmp_val – h fxh2 = f(x) grad[idx] = (fxh1 – fxh2) / (2*h) x[idx] = tmp_val # 값 복원 return grad def numerical_gradient(f, X): if X.ndim == 1: return _numerical_gradient_no_batch(f, X) else: grad = np.zeros_like(X) for idx, x in enumerate(X): grad[idx] = _numerical_gradient_no_batch(f, x) return grad def function_2(x): if x.ndim == 1: return np.sum(x**2) else: return np.sum(x**2, axis=1) def tangent_line(f, x): d = numerical_gradient(f, x) print(d) y = f(x) – d*x return lambda t: d*t + y if __name__ == ‘__main__’: x0 = np.arange(-2, 2.5, 0.25) x1 = np.arange(-2, 2.5, 0.25) X, Y = np.meshgrid(x0, x1) X = X.flatten() Y = Y.flatten() grad = numerical_gradient(function_2, np.array([X, Y]) ) plt.figure() plt.quiver(X, Y, -grad[0], -grad[1], angles=”xy”,color=”#666666″)#,headwidth=10,scale=40,color=”#444444″) plt.xlim([-2, 2]) plt.ylim([-2, 2]) plt.xlabel(‘x0’) plt.ylabel(‘x1’) plt.grid() plt.legend() plt.draw() plt.show()

가장 낮은 장소를 가리키게 되어있으며

가장 낮은곳과의 거리가 멀어짐에 따라 화살표의 크기도 따라 커진다.

가장 낮은곳을 가리키고 있는 화살표의 방향처럼 딥러닝의 모델 트레이닝 과정은 j(w)의 가장 낮은 값을 찾아가는 과정이다.

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5.0 미분(derivative)을 알아야 한다.

Deep Learning 에 대해 그 원리, 개념을 알기 위해서는

미분은 마치 현대인에 있어서의 스마트폰처럼 피할수 없는 존재이다.

하지만 하다보면 고등학교때 왜 배워야 하나 생각했던 지루하고 재미없는 존재가 아니라

미운오리새끼처럼 백조로 거듭나는 개념이라고 할 수 있을만큼 재밌어 진다.

그리고 그 개념을 알면 응용할 수 있는 분야도 좀더 많아질거 같다.

그렇다면 이 미분은 왜 알아야 하나 딥러닝의 원리 파악을 위해서.

이전장에서 얘기했던 오차의 역전파( Back Propagation), 즉 오차를 통해 가중치와 Bias 들을 업데이트 할때

이 미분의 방식으로 가중치( Weight)와 Bias등을 업데이트 하기 때문이다.

여기서는 미분에 대해 반드시 알아야 할 개념과 중요 부분에 대해서만 간략히 설명하겠고

미분에 대해 더 자세히 알고 싶으신 분들은 유튜브나 도서를 접하시면 되겠습니다.

개념적으로 설명하자면

Back Propagation을 할 때 미분을 사용하는 이유는

각 노드에 미치는 Weight, Bias의 영향을 알아야 하고, 이 영향력 만큼 오차를 적용해 주어야 하기 때문이다.

미분이란 간단히 특정 변수가 변했을 때 그 변수로 인해 변수의 영향을 받는 결과가 얼마만큼 변화하나

그 변화량을 알수 있는 공식이다.

실생활의 예를 들자면

사과의 가격은 사과자체의 생산에 드는 비용, 유통비용, 세금 등 여러가지 요소(변수)들이 그 가격을 결정한다.

이때 사과의 가격을 여러 노드로 구성해 보면 아래와 같다.

생산비용 = 100

유통비용 = 30

세율 = 1.1%

사과 소비자 가격 = (100 + 30 ) x 1.1

이럴때 생산비용이 100에서 120으 늘어날때 사과 소비자 가격은 얼마가 늘어날까?

다른 말로 하자면 사과생산비용이 100에서 120으로 20만큼 늘어날때 이것이 사과 소비자가격에 미치는 영향은 얼마가 될까?

이것은 사과생산비용으로 소비자가격을 미분하면 알수 있다.

이런것을 미분을 통해 알수 있는 것이다.

딥러닝을 이해하려고 할때 알아야 할 미분중 중요한 부분들은 아래 내용이 된다.

미분

편미분

체인룰

< Deep Learning에서의 미분 >

신경망에서 미분이 필요한 이유 1 : 미분, 순간 변화율, 기울기

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[케라스 창시자에게 배우는 딥러닝], [모두의 딥러닝] 참고

1. 미분, 순간 변화율, 기울기

실수 x를 새로운 실수 y로 매핑하는 연속적이고 매끄러운 함수(미분가능한) f(x)=y 가 있다.

예를 들어 아래 2차함수 그래프가 있다고 가정해보자.

*미분가능하다 : 변화율을 유도할 수 있다는 의미로 연속적이고 매끄러운 함수.

2차함수 그래프 y=ax^2+b

x축에 있는 한 점 a에 대응하는 y값은 $a^{2}+b$가 된다. 이때 a가 오른쪽이나 왼쪽으로 조금씩 이동한다고 생각해보자. 그러면 y도 조금씩 변화할 것이다.

좀 더 상상력을 발휘해 이번엔 a가 아주아주 미세하게 “0에 가까울 만큼” 움직였다고 생각해보자. 그러면 y값도 역시 매우 미세하게 변화를 할 텐데, 이번엔 너무 미세해서 실제로 움직이는게 아니라 방향만 드러내는 정도의 순간적인 변화만 있을 것이다.

이 순간의 변화를 놓고 순간 변화율이라는 이름을 붙였다.

순간 변화율은 어느 쪽을 향하는 방향성 을 지니고 있으므로, 이 방향을 따라 직선을 길게 그려주면 그래프와 맞닿는 접선이 그려진다. 이 선이 바로 이 점에서의 기울기가 된다.

미분을 한다는 것은 쉽게 말해 이 “순간 변화율”을 구한다는 것이다.

어느 순간에 어떤 변화가 일어나고 있는지를 숫자로 나타낸 것을 미분 계수라고 하며, 이 미분 계수는 곧 그래프에서의 기울기를 의미한다.

이 기울기는 앞으로 그래디언트(gradient)를 이해하는데 중요하다.

바로 기울기가 0일 때 ( 즉, x축과 평행한 직선으로 그어질 때) 가 바로 그래프에서 최솟값인 지점이 되기 때문이다.

그리고 딥러닝을 할 때 이 최솟값을 찾아내는 과정이 매우 중요함!

직선 AB의 기울기를 A와 B 사이의 ‘평균 변화율’이라고도 부른다. 하지만 우리에게 필요한 것은 ‘순간 변화율’이다.

순간 변화율은 x의 증가율이 0에 가까울 만큼 아주 작을 때의 순간적인 기울기를 말하므로 평균 변화율에 극한(limit)기호를 사용해 아래와 같이 나타낸다.

https://www.youtube.com/watch?v=VNwTmjYMJ7A / https://thebook.io/080228/part01/ch02/03-03/

딥러닝 공부 과정 중 자주 만나게 되는 중요한 미분의 성질 식 조건 미분 값 f`(x) f(x) = a a가 상수 일 때 0 f(x) = x 1 f(x) = ax a가 상수 일 때 a f(x) = $$x^a$$ a가 자연수일 때 $$ax^{a-1}$$

미분 값은 x가 바뀜에 따라 f(x)가 어떻게 바뀔지 설명해준다.

f(x)의 값을 감소시키고 싶다면 x를 변화율의 방향과 반대로 조금 이동해야 한다.

딥러닝 역전파 미분 수식에는 편미분, 합성함수의 미분법 등의 이해가 필요하다.

유튜브 수악공식님의 미분법 공식 설명 – 합성함수의 미분법 (16분 부터)

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