Top 18 Floyd 알고리즘 C++ Top Answer Update

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26강 – 플로이드 와샬 알고리즘(Floyd Warshall Algorithm) [ 실전 알고리즘 강좌(Algorithm Programming Tutorial) #26 ]

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【코딩】 C 언어로 최단경로 알고리즘 (Floyd Algorithm)

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[알고리즘] 플로이드-와샬 (Floyd-Warshall) 로 최단거리 구하기 (C++로 구현하기)

플로이드-와샬 알고리즘이란

동작 원리

구현 (C++)

[알고리즘] 플로이드-와샬 (Floyd-Warshall) 로 최단거리 구하기 (C++로 구현하기)

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[알고리즘] 플로이드 와샬(Floyd Warshall) 알고리즘이란 C++

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How Floyd-Warshall Algorithm Works

Floyd-Warshall Algorithm

Python Java and CC++ Examples

Floyd Warshall Algorithm Complexity

Floyd Warshall Algorithm Applications

Floyd-Warshall Algorithm

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👩🏼 플로이드 와샬 알고리즘

👱‍♀️ 최단 경로 찾는 알고리즘 비교 (BFS 다익스트라 벨만포드 플로이드 와샬)

(C++) 플로이드 와샬 Floyd Warshall (+ 최단 경로 알고리즘 비교) - 평생 공부 블로그 : Today I Learned‍ 🌙 — (C++) 플로이드 와샬 Floyd Warshall (+ 최단 경로 알고리즘 비교) – 평생 공부 블로그 : Today I Learned‍ 🌙

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C 언어로 최단경로 알고리즘 (Floyd Algorithm)

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문제상황. 예를 들면 0번 → 5번으로 가는 경로는 6만큼의 비용이 든다.

#include #include #define Count_Vertice 6 #define Far_Distance 2000 int W[Count_Vertice][Count_Vertice] = { // W[i][j]는 i에서 j까지의 직행거리, Far_distance란 큰 수는 바로 갈 수 없는 경우를 표시 {0, Far_Distance, 2, 3, 3, 6}, {Far_Distance, 0, Far_Distance, 4, 2, Far_Distance}, {10, 2, 0, 5, 1, Far_Distance}, {Far_Distance, Far_Distance, 4, 0, Far_Distance, 2}, {5, 9, Far_Distance, 4, 0, 3}, {Far_Distance, Far_Distance, Far_Distance, 4, Far_Distance, 0}, }; int D[Count_Vertice][Count_Vertice]; // D[i][j]는 i에서 j까지 가는 최소 거리를 저장 int P[Count_Vertice][Count_Vertice]; // P[i][j]는 i에서 j까지 가는 데 거치는 최고 차수 정점을 저장 void Floyd(){ int i, j, k; for(i=0; i < Count_Vertice; i++) // 배열 초기화 for(j=0; j < Count_Vertice; j++){ P[i][j] = -1; D[i][j] = W[i][j]; } for(k=0; k < Count_Vertice; k++) for(i=0; i < Count_Vertice; i++) for(j=0; j < Count_Vertice; j++) if(D[i][j] > D[i][k] + D[k][j]){ /* k를 거칠 시 D[i][j]가 더 짧아지는 경우 */ D[i][j] = D[i][k] + D[k][j]; P[i][j] = k; } } void Print_Path(int a, int b){ // Print_Path[i][j]에서 i와 j는 출력하지 않음을 주의 if(P[a][b] != -1) { // P[a][b] = -1 “=” a에서 바로 b로 가는 것이 최단거리 Print_Path(a, P[a][b]); printf(“%d “, P[a][b]); Print_Path(P[a][b], b); } } int main(int argc, char *argv[]){ Floyd(); int a, b; printf(“출발점과 도착점을 입력하시오. (0 ~ %d)

“, Count_Vertice – 1); scanf(“%d %d”, &a, &b); printf(“최단거리 : %d

“, D[a][b]); printf(“최단경로 : “); printf(“%d “, a); Print_Path(a, b); if(D[a][b] != 0) printf(“%d”, b); // D[a][b] = 0 “=” a = b return 0; }

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[알고리즘] 플로이드-와샬 (Floyd-Warshall) 로 최단거리 구하기 (C++로 구현하기)

플로이드-와샬 알고리즘이란?

다익스트라, 벨만포드 알고리즘과 더불어 대표적인 최단거리 찾기 알고리즘이다.

플로이드-와샬 알고리즘은 그 중에서도 모든 정점끼리의 최단거리를 한번에 계산할 때 사용한다.

즉, 다익스트라 알고리즘은 어떤 정점 A에서 다른 정점들까지의 최단거리를 계산한다면,

플로이드-와샬 알고리즘은 전체 정점에서 다른 정점들까지의 최단거리를 한번에 계산한다는 것이다.

다익스트라 알고리즘은 특정 정점을 중심으로 식을 계산시켜 나간다면,

플로이드-와샬 알고리즘은 계산을 위해 거쳐가는 정점을 중심으로 계산해나간다는 것이다.

또한, 플로이드-와샬 알고리즘의 중요한 특징 중 하나는

동적 계획법을 이용하여 최단 거리를 계산해나간다는 것이다.

동작 원리

위와 같은 초기 상황이 주어졌다고 가정하자.

일반적인 배열을 사용하여 주어진 노드와 에지를 표현한다면 다음과 같을 것이다.

이제 거쳐가는 정점을 중심으로 거리를 계산시켜 나갈 수 있다.

가장 먼저 노드 0 을 거쳐갈 때를 생각해보자.

위의 (1 → 2) 로 갈때의 최단거리를 생각해보자.

노드 0 을 거쳐간다고 했으므로, 우리는

(1 → 0) → (0 → 2) 와 (1 → 2) 의 값을 비교하면 된다.

의 경우를 보면 된다.

여기에서는

(1 → 0) → (0 → 2) : 7 + (무한)

(1 → 2) : 9 (기존값)

이므로, 거쳐가는 거리인 7 + (무한) 의 값이 더 크므로 갱신되지 않는다.

그렇다면 다음의 경우를 보자.

여기에서는

(1 → 0) → (0 → 3) 과 (1 → 3) 을 비교해보면

(1 → 0) → (0 → 3) : 7 + 8

(1 → 2) : (무한) (기본값)

이므로, 거쳐가는 거리가 더 짦음을 알 수 있으므로, 다음과 같이 갱신된다.

이와 같은 방식으로, 모든 지점에 대해서 갱신해주면 된다.

각각의 거쳐가는 정점들에 대해서, 그래프를 전체적으로 갱신하므로

O(N ^ 3)의 시간복잡도를 가지게 된다.

구현 (C++)

#include #define INF 1000000000 #define NODE 4 using namespace std; int graph[NODE][NODE] = { {0, 5, INF, 8}, {7, 0, 9, INF}, {2, INF, 0, 4}, {INF, INF, 3, 0} }; void floyd_washall() { int dp[NODE][NODE]; for (int i = 0; i < NODE; i++) for (int j = 0; j < NODE; j++) dp[i][j] = graph[i][j]; // k : 거쳐가는 노드 for (int k = 0; k < NODE; k++) // i : 출발지 노드 for (int i = 0; i < NODE; i++) // j : 도착지 노드 for (int j = 0; j < NODE; j++) if (dp[i][k] + dp[k][j] < dp[i][j]) dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k][j]; for (int i = 0; i < NODE; i++) { for (int j = 0; j < NODE; j++) { if (dp[i][j] == INF) cout << "-1 "; else cout << dp[i][j] << " "; } cout << ' '; } } int main(void) { floyd_washall(); return 0; }

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다익스트라 알고리즘과 비교

다익스트라 알고리즘은 하나의 정점에서 출발해서, 출발한 정점을 제외한 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로를 구하는 알고리즘이다.

하지만, 모든 정점에서 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로를 구하는 플로이드 와샬 알고리즘이 있다.

다익스트라 알고리즘은 가장 적은 비용을 하나씩 선택해야 했다면,

플로이드 와샬 알고리즘은 기본적으로 ‘거쳐가는 정점’ 기준으로로 알고리즘을 수행한다는 점이 특징이다.

플로이드 와샬 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍(DP) 기법에 의거한다.

아래와 같은 그래프 노드 와 가중치 간선이 있다고 하자,

노란색 글자 번호 노드에서 빨간색 번호 노드로 가는 비용을 나타내는 테이블도 있다.

자기 자신은 0이고 갈수 없다면 무한으로 적은 테이블은 ‘현재까지 계산된 최소비용’을 나타낸다.

우선 노드 1을 거쳐가는 경우부터 확인해보자

그럼 이제 초록색 표시 된 부분들을 아래와 같은 식으로 계산 해보아야 한다.

A에서 B로 가는 최소 비용 vs (A에서 노드 1로 가는 비용 + 노드 1에서 노드 B로 가는 비용)

2에서 3 가는 비용 확인

원래비용은 12 이다. 1을 거쳐 가려고 했을 때, 2에서 1까지는 4이고, 1에서 3까지는 7이다. 4+7=11이고,

원래비용 12 vs 1노드 경유 11이다. 1노드 경유 값이 더 작으므로 11로 갱신된다.

2에서 4로 가는 비용 확인

원래 비용은 13이고, 1을 경유하면, 2에서 1은 4이고, 1에서 4로 가는 비용은 무한이다.

원래 비용 13 vs 1노드 경유 4+무한이다. 더 적은 13을 그대로 둔다.

3에서 2로 가는 비용 확인

원래 무한의 비용이고, 1을 경유한다면, 6과 5가 든다. 총 11이고 무한과 11이므로 더 적은 11로 갱신된다.

3에서 4로 가는 비용 확인

원래 20이고, 1을 거쳐간다면 6+무한이다. 20vs무한+6 이므로 20을 그대로 둔다.

4에서 2로 가는 비용 확인

4에서 3로 가는 비용 확인

위 2가지 경우는 4에서 1로 가는 경우가 무한이므로 원래의 값이 낮거나 똑같이 무한이므로 그대로 두어준다.

이렇게 노드 1를 거치는 비용을 계산해보고 테이블을 갱신해준다.

원래 테이블 갱신 된 테이블

2. 노드 2를 거쳐갈때

위의 초록색 부분이 갱신되어야 한다.

A에서 B로 가는 최소 비용 vs (A에서 노드 2로 가는 비용 + 노드 2에서 노드 B로 가는 비용)

이전과 같이 갱신해주면,

노란색 부분만 최소값으로 갱신되고 나머지 초록색 값은 그대로 유지되었다.

그렇게 노드 3과 노드 4의 갱신도 마찬가지로 해주게 되면 최종적인 테이블 나온다

그 결과를 비교해보면,

이렇게 모든 정점 노드에서 다른 모든 정점 노드에 대한 데이터를 확인할 수 있게 된다.

코드로 작성해보았다.

#include #define NUMBER 4 #define INFINITE 200000000 using namespace std; int table[NUMBER][NUMBER] = { {0,5,7,INFINITE} ,{4,0,12,13} ,{6,INFINITE,0,20} ,{INFINITE,9,8,0} }; void FloydFunction() { for (int k = 0; k < NUMBER; k++) { for (int i = 0; i < NUMBER; i++) { for (int j = 0; j < NUMBER; j++) { int temp = table[i][k] + table[k][j]; if (temp < table[i][j]) table[i][j] = temp; } } } } void printTable() { for (int i = 0; i < NUMBER; i++) { for (int j = 0; j < NUMBER; j++) { cout << table[i][j]<<" "; } cout << endl; } } int main() { FloydFunction(); printTable(); return 0; } 결과 갱신 후랑 같은 결과를 볼 수 있다.

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