Top 14 기저 구하기 Top 105 Best Answers

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기저의 개념 (basis)

기저와 차원, 계수(basis & dimension, rank)

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Summary of article content: Articles about 기저와 차원, 계수(basis & dimension, rank) 주어진 벡터들의 부분공간에 대한 기저를 구하는법. 1) 각 벡터들을 행 벡터 성분삼아 행렬로 만든다. 2) 행 변환을 통해 기약 행사다리꼴로 만든다. …
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기저와 차원 계수(basis & dimension rank) 본문

기저(basis)

차원(dimension)

계수(rank)

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Summary of article content: Articles about [수학의 기초] 기저와 기저변환 행렬 :: 더플러스수학 선형대수학 또는 고등학교 과정의 기하와 벡터 단원에서 기저(basis)란 용어가 … 이 말이 위의 기저변환행렬을 구하는 과정에서 왜 역행렬을 구하는 … …
Most searched keywords: Whether you are looking for [수학의 기초] 기저와 기저변환 행렬 :: 더플러스수학 선형대수학 또는 고등학교 과정의 기하와 벡터 단원에서 기저(basis)란 용어가 … 이 말이 위의 기저변환행렬을 구하는 과정에서 왜 역행렬을 구하는 … 기저와 기저변환행렬이란? 선형대수학 또는 고등학교 과정의 기하와 벡터 단원에서 기저(basis)란 용어가 등장한다. 중$\cdot$고등과정에서 좌표를 말할 때, 그 속에서는 기저라는 내용이 암묵적으로 들어가 있다…수능, 교육청모의고사, 삼사, 경찰대 등의기출문제 풀이 동영상, 서울대 등 명문대 심층면접문제, 수리논술문제 풀이 동영상을 제공하여 자기주도적 인 수학을 공부할 수 있게 한다.
수학문제를 어떻게 풀 수 있는지 수학문제를 통해 제시한다.
또, 과학고 학생들이 공부하는 심화수학1,2, 고급수학1,2 선형대수학, AP Calculus 를 공부하는 참고자료와 학교 보충 print를 풀 수 있게 한다.
여기에서 링크된 동영상은 유투브 채널 더플러스수학에 있다.
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기저와 차원, 계수(basis & dimension, rank)

기저(basis)

$\mathbb R^n$의 부분공간 $S$에 대하여, $S$에 속하는 벡터들이

1) $S$를 생성한다.

2) 일차독립 이다.

위 조건을 만족하면, 이런 벡터들의 집합 을 부분공간 $S$에 대한 기저(basis) 라고 한다.

$\bullet$ 부분공간은 $\mathbb R^3$에서 원점을 지나는 평면의 일반화 라는 직관적인 사고로부터 많은것을 얻을 수 있다.

$\bullet$ 원점을 지나는 평면은 그 평면에 평행하면서 서로 평행하지 않은 두 벡터에 의해 생성된다. 대수적인 용어로, 그런 두 벡터는 평면을 생성하고 일차독립이다.

$\bullet$ 평면을 생성하기 위한 조건을 만족한 최소한의 갯수만큼 있는 두 벡터의 집합을 기저라고 한다.

$\bullet$ 두 벡터보다 더 적은 개수로는 그런 역할을 할 수 없고 더 많이 필요하지도 않다. 이것이 부분공간에 대한 기저의 이론이다.

$\mathbb R^n$의 기본단위벡터 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$은 일차독립이고 $\mathbb R^n$을 생성한다는 것을 알고있다. 따라서 이들은 $\mathbb R^n$에 대한 기저인데 이것을 표준기저(standard basis)라 한다.

예제 3.43 펼치기

예제 3.43 접기 예제 3.43 접기

예제 3.45 펼치기 예제 3.45 접기 예제 3.45 접기

주어진 벡터들의 부분공간에 대한 기저를 구하는법

1) 각 벡터들을 행 벡터 성분삼아 행렬로 만든다.

2) 행 변환을 통해 기약 행사다리꼴로 만든다.

3) 영 벡터를 제외한 나머지 벡터들의 집합이 기저이다.

$U$가 $A$의 행 사다리꼴이면, $U$의 영이아닌 행벡터는 $row(A)$에 대한 기저이다.

참고로 항상 기약 행사다리꼴을 구할 필요는 없다. 행사다리꼴이면 충분하며 이 접근법은 분수를 피할 수 있다는 장점이 있다.

예제 3.44 펼치기 예제 3.44 접기 예제 3.44 접기

행렬 $A$의 행공간(row space)에 대한 기저 구하기

1. 행렬 $A$의 기약 행 사다리꼴(reduced row echelon form)인 행렬 $R$을 구한다.

2. 행렬 $R$의 행벡터중 영벡터가 아닌 행벡터의 집합이 $row(A)$에 대한 기저가 된다.

행렬 $A$의 열공간(col space)에 대한 기저 구하기.

1. 행렬 $A$의 기약 행 사다리꼴(reduced row echelon form)인 행렬 $R$을 구한다.

2. 행렬 $R$의 열벡터에서 최우선 원소가 $1$이 되는 위치에 있는 행렬 $A$의 열벡터가 $row(A)$에 대한 기저가 된다.

이때 선행성분이 $1$인 성분과 같은 열에 있는 다른 모든 원소는 $0$이 되는 기약 행 사다리꼴의 특성에 의해 $R$의 열공간에 대한 기저는 단위벡터이다.

행렬 $A$의 영공간(null space)에 대한 기저 구하기

1. 행렬 $A$의 기약 행 사다리꼴(reduced row echelon form)인 행렬 $R$을 구한다.

2. $RX=0$을 첨가계수행렬로 표현하고 ‘독립변수의 수 = 행렬의 계수 – 미지수의 갯수’ 임을 생각하며 벡터 $X$에 대한 식을 구한다.

3. 미지수벡터 $X$를 독립변수 벡터의 생성으로 표현하면 이때 각 벡터들이 $null(A)$에 대한 기저가 된다.

영공간에 대한 기저가 아닌 열공간이나 행공간에 대한 기저를 구하는거라면 기약 행 사다리꼴이 아닌 평범한 행 사다리꼴로 변형시켜도 된다.

행렬 $A$의 열공간이나 행공간에 대한 기저의 갯수 = $A$의 기약 행 사다리꼴의 계수(rank)

행렬 A의 열공간에 대한 기저 구하기

$\bullet$ 행렬을 전치시켜서 앞선 과정을 진행한 후 나온 벡터에 다시한번 전치 하면 열공간에 대한 벡터를 얻을 수 있다. 하지만 이는 전치를 해야하며 $A$와 $A^T$에 대한 기약 행사다리꼴 2개를 각기 따로 진행해야 $A$의 행공간과 열공간을 구할 수 있으므로 자원의 손실이 심하다.

$\bullet$ 대신에 다음과 같은 방법을 쓰면 이미 계산한 $A$의 기약행사다리꼴을 사용할 수 있다.

행렬 $A$와 벡터$X$는 $X$의 성분을 계수로 갖는 $A$의 열의 일차결합에 대응된다.

$$A=\begin{bmatrix}

\uparrow &\uparrow & & \uparrow \\

A_1 & A_2 & \cdots & A_k\\

\downarrow &\downarrow & & \downarrow \\

\end{bmatrix},\;\;\;\;\;\;

X= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_k \end{bmatrix}$$

$$AX=A_1X_1 + A_2X_2 + \cdots A_kX_k$$

그러므로 $AX=0$의 영이 아닌 해는 $A$의 열들 사이에서 종속관계를 표현한다.

기본 행변환은 해집합에 영향을 미치지 않기 때문에 만일 $A$가 기약 행사다리꼴$R$과 행동치이면 $A$의 열은 $R$의 열과 같은 종속관계를 갖는다.

가령 아래의 예를 보자

$A=\begin{bmatrix}

1 & 1 & 3 & 1 & 6 \\

2 & -1 & 0 & 1 & -1 \\

-3 & 2 & 1 & -2 & 1 \\

4 & 1 & 6 & 1 & 3

\end{bmatrix}

,\;\;\;\;\;

X=\begin{bmatrix}

a \\ b\\ c\\ d\\ e

\end{bmatrix}$

행렬 $A$의 종속관계를 알아보기 위해 선형 결합을 계산해보겠다.

$a \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix} +

b \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} +

c \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ 6 \end{bmatrix} +

d \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}+

e \begin{bmatrix} 6 \\ -1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}=0$

위 식을 첨가 계수 행렬로 나타내면

$A= \left[ \begin{matrix}

1 & 1 & 3 & 1 & 6 \\

2 & -1 & 0 & 1 & -1 \\

-3 & 2 & 1 & -2 & 1 \\

4 & 1 & 6 & 1 & 3

\end{matrix} \right|

\left. \begin{matrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right ]$

행소거를 통해 기약행사다리꼴로 나타내면

$R= \left[ \begin{matrix}

1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\

0 & 1 & 2 & 0 & 3 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{matrix} \right|

\left. \begin{matrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right ]$

$R$에서 영벡터가 아닌 행벡터 중 처음 1이 나오는 열이 $1,2,4$이다.

그러므로 미지수벡터 $X$의 $a,b,d$는 선행변수가 되며 $c,e$가 독립변수가 된다.

즉, $a,b,d$는 $c,e$의 생성으로 표현 가능해짐을 미리 알 수 있다.

$rank(R)=3$, 미지수의 갯수 = $5$ 이므로

독립변수의 수 = $5-3$ = $2$개

$\begin{cases}

a+c-e=0\\

b+2c+3e=0\\

d+4e=0

\end{cases} \rightarrow

\begin{cases}

a=-c+e\\

b=-2c-3e\\

d=-4e

\end{cases}$

$A$와 $R$은 위 식과 같은 종속관계 를 지닌다.

그렇기에 $R$의 열공간의 기저가 되는 열벡터의 위치와 $A$의 열공간의 기저가 되는 열벡터의 위치는 같다.

예제 3.47 펼치기 예제 3.47 접기 예제 3.47 접기

예제 3.48 펼치기 예제 3.48 접기 예제 3.48 접기

$\blacksquare$

기저정리(The Basis Theorem)

$S$가 $\mathbb R^n$의 부분공간이라 하자. 그러면 $S$에 대한 임의의 두 기저는 같은 수의 벡터를 같는다.

즉, 한 부분공간이 여러가지 다른 기저를 가지더라도, 각 기저는 같은 개수의 벡터를 갖는다.

증명

$\mathcal B=\{u_1,u_2,\cdots,u_r\}, \; \mathcal C=\{ v_1, v_2, \cdots, v_s \}$가 $S$에 대한 기저라고 하자.

여기서 $r=s$임을 보이면된다. 즉, $rs$가 어느경우에도 가능하자 않음을 보여야한다.

우선 $rs$도 모순이 된다.

따라서 $r=s$ 만이 참이된다.

$\blacksquare$

차원(dimension)

기저정리에 의하면 주어진 부분공간에 대한 모든 기저는 같은 수의 벡터를 가져야 한다. 이 숫자에 대한 다음의 정의를 할 수 있다.

$S$가 $\mathbb R^n$의 부분공간일 때, $S$에 대한 한 기저에 속하는 벡터의 개수를 $S$의 차원(dimension)이라고 하고 $\dim S$ 라고 표기한다.

주의

영벡터 $0$은 그 자체만으로 $\mathbb R^n$의 부분공간을 이룬다. 특히 영벡터에는 어떤 상수를 곱하더라도 무조건 영벡터 이므로 영벡터를 포함하는 임의의 집합은 무조건 일차종속이다. 그러므로 $\{0\}$은 기저가 될 수 없다.

따라서 $\{0\}$은 기저를 가질 수 없으므로 $\dim \{0\} = 0$으로 정의한다.

$\mathbb R^n$에 대한 표준기저는 $n$개의 벡터를 가지므로 $\dim \mathbb R^n = n$ 이다.

($n \leq 3$ 인 경우에는 직관적으로 알고 있는 차원과 일치한다.)

행렬 $A$의 행공간(row space)와 열공간(col space)는 같은 차원을 갖는다.

즉, 기저(basis)에 속하는 벡터의 갯수가 같다.

$A$의 행벡터는 $A^T$의 열벡터 이므로 임의의 행렬 $A$에 대해서

$$rank(A^T) = rank(A)$$

증명

$R$이 $A$의 기약 행 사다리꼴(reduced row echelon form) 이면, $R$은 $A$의 행동치(row equivalence) 이므로 $row(A) = row(R)$ 이고 다음을 만족한다.

$$\begin{align*}

dim(row(A)) &= dim(row(R))\\

&=R의\;영\;아닌\;행의\;수\\

&=R의\;선행성분\;1의\;수

\end{align*}$$

위 수를 $c$라 하자.

한편, $col(A)

eq col(R)$ 이지만 $A$와 $R$의 행은 동일한 종속관계를 갖는다. 그러므로 $dim(col(A)) = dim(col(R))$이다. 행벡터중 선행성분이 1인 성분이 $r$개 있으며 기약행사다리꼴의 특성에 의해서 $R$은 $r$개의 열이 기본 단위벡터 $e_1, e_2, \cdots, e_r$이다. $A$와 $R$이 $m \times n$ 행렬이면 이들은 $\mathbb R^m$의 벡터가 될것이다. 이들 $r$개의 벡터는 일차독립이고 $R$의 나머지 열은 이들의 일차 결합이다. 그러므로 $\dim(col(R)) = r$ 이고 $dim(col(R)) = r = dim(col(A))$ 이다.

$\blacksquare$

계수(rank)

행공간(row space)과 열공간(col space)의 차원을 행렬 $A$의 계수(rank)라 하고, $rank(A)$로 표기한다.

$$rank(A) = \dim(col(A)) = \dim(row(A^T)) = rank(A^T)$$

$rank(A)=dim(row(A))$

행렬 $A$의 rank는 행렬 $A$를 기약 행 사다리꼴(reduced row echelon form)로 표현했을때 영벡터가 아닌 행벡터들의 갯수임을 안다. 그리고 이는 $dim(row(AA)$와 일치함을 안다.

이는 기약 행사다리꼴로 표현시 0이 되는 행은 다른 행들의 일차 결합으로 표현 가능하다는 의미가 되며 남은 행들끼리는 그러지 못하기에 일차독립을 이루며 행공간의 기저가 되며 $row(A) = row(R)$이라는 개념과 일치한다.

$\blacksquare$

영공간의 차원을 행렬 $A$의 퇴화차수(nullity) 이라고 하고, $nullity(A)$ 라고 표기한다.

$nullity(A)=dim(null(A))$

즉, $nullity(A)$는 $AX=0$의 해공간의 차원이며 해에서 자유변수의 수와 같다.

$AX=0$의 해집합은 독립변수의 갯수$(n-r)$ 만크읨 벡터들의 생성으로 표현이 가능함을 안다.

행렬 $A$가 $m \times n$의 행렬이라면 $nullity(A) = n – rank(A)$이다.

이제 계수정리를 아래와 같이 새로 표현 할 수 있다.

계수정리

$A$가 $m \times n$행렬이면

$$rank(A) + nullity(A) = n$$

증명

$R$이 $A$의 기약 행 사다리꼴(reduced row echelon form)이라 하고 $rank(A) = r$ 이라 하자. 기존의 계수정리에 의해 $Ax=0$에서 $r$개의 선행변수와 $(n-r)$개의 자유변수가 존재한다. 즉, $\dim(null(A)) = n-r$ 이므로

$$rank(A) + nullity(A) = r + (n-r) = n$$

계수 정리를 통해 행렬 $A$의 영공간의 차원을 알기 위해 $Ax=0$의 해를 알 필요는 없다.

예제 3.51 펼치기

예제 3.51 접기 예제 3.51 접기

$\blacksquare$

가역행렬의 기본정리: 버전 $II$

$A$가 $n \times n$ 행렬이라고 하자. 다음 명제들은 동치이다.

a. $A$는 가역이다.

b. $\mathbb R^n$의 모든 $b$에 대하여, $Ax=b$는 유일한 해를 갖는다.

c. $Ax=0$의 해는 자명해 뿐이다.

d. $A$의 기약 행 사다리꼴은 $I_n$이다.

e. $A$는 기본행렬의 곱으로 표현된다.

f. $rank(A) = n$

g. $nullity(A)=0$

h. $A$의 열벡터들은 일차독립이다.

i. $A$의 열벡터들은 $\mathbb R^n$을 생성한다.

j. $A$의 열벡터들은 $\mathbb R^n$에 대한 기저이다.

k. $A$의 행벡터들은 일차독립이다.

l. $A$의 행벡터들은 $\mathbb R^n$을 생성한다.

m. $A$의 행벡터들은 $\mathbb R^n$에 대한 기저이다.

증명 펼치기

증명 접기 증명 접기

예제 3.52 펼치기

예제 3.52 접기 예제 3.52 접기

$A$가 $m \times n$ 행렬이라고 한다. 그러면

a. $rank(A^TA) = rank(A)$

b. $n \times n$ 행렬 $A^TA$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $rank(A)=n$이다.

증명 펼치기

증명 접기 증명 접기

[수학의 기초] 기저와 기저변환 행렬

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기저와 기저변환행렬이란?

선형대수학 또는 고등학교 과정의 기하와 벡터 단원에서 기저(basis)란 용어가 등장한다.

중$\cdot$고등과정에서 좌표를 말할 때, 그 속에서는 기저라는 내용이 암묵적으로 들어가 있다. 예를 들어 $\mathrm P(2,~3)$이란 좌표를 말할 때는 다음과정이 진행된다.

먼저 원점(Origin)을 먼저 생각하고 원점을 지나는 서로 수직인 두 개의 축 을 생각했을 때, 흔히 우리는 $x$축, $y$축을 말한다. $\mathrm P$의 좌표가 $(2,~3)$이란 말은 점 $\mathrm P$에서 $x$축에 내린 수선의 발의 눈금을 읽으면 $2$이고 $y$축에 내린 수선의 발의 눈금이 $3$이란 말이다. 이 눈금을 순서로 읽어서 $(2,~3)$으로 적는다. 여기서 순서로 쌍을 괄로로 묶는다는 말이 순서쌍(ordered pair)이란 말이다. 무엇을 먼저 읽느냐의 순서가 정해졌다는 말이다.

여기서 말한 눈금 $2,~3$을 읽기 위해서는 먼저 읽는 단위를 먼저 결정해야 한다. 이 단위를 결정하는 것이 기저-basis라는 말이다. 위의 그림에서 좌표평면에서 원점 $\mathrm O$에서 $(1,~0)$으로 가는 벡터를 $\overrightarrow {e_1}$, $(0,~1)$로 가는 벡터를 $\overrightarrow {e_1} $를 기저(basis)라고 정하고 이것을 기준으로 해서 좌표 $(2,~3)$을 $\overrightarrow{p}=2\overrightarrow{e_1}+ 3 \overrightarrow{e_2}$로 표시한다.

크기가 $1$이고 $x$축, $y$축의 양의 방향으로 향하는 벡터 $\overrightarrow {e_1} $, $\overrightarrow {e_2} $를 basis로 하면 우리가 알고 있는 좌표가 벡터와 일대일 대응된다. 이 때의 두 벡터를 표준기저(Standard basis vector)라고 한다.

물론 기저를 $\overrightarrow {e_1} $, $\overrightarrow {e_2} $로 잡을 필요는 없다. 좌표평면에서는 평행하지 않고 $\overrightarrow 0$가 아닌 두 벡터를 잡아도 기저가 된다. 왜 기저가 되는지 또 기저가 무엇이고 차원이 무엇인지는 다음 기회에 설명하겠다.

만약 위의 벡터를 표현할 때, 기저를 $\overrightarrow {a}=(1,~0)$과 $\overrightarrow b =(1,~3)$으로 잡으면 $\overrightarrow{p}=2\overrightarrow{e_1}+ 3 \overrightarrow{e_2}$는 $1\overrightarrow{a}+1 \overrightarrow{b}$로 된다. 이 때의 $(1,~1)$은 기저를 $\overrightarrow {a}=(1,~0)$와 $\overrightarrow b =(1,~2)$에 대한 상대적 좌표이다. 즉

$$\overrightarrow{p}=2\overrightarrow{e_1}+ 3 \overrightarrow{e_2}= 1\overrightarrow{a}+ 1 \overrightarrow{b}$$

기저에 따른 좌표표현 방법에 대해 알아보자.

$2$차의 유클리드 벡터공간-보통 우리가 사용하는 좌표평면-에서 표준기저 집합을 $S=\left\{ \overrightarrow{e_1}= \left[ \matrix{1\\0}\right],~\overrightarrow{e_2}=\left[\matrix{0\\1} \right] \right\}$이라 했을 때,

$$\overrightarrow{p}=2\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}= 2 \left[\matrix{1\\0}\right]+3 \left[\matrix{0\\1}\right]$$

로 나타낼 때,

$$ \left[\overrightarrow{p}\right]_S=\left[\matrix{2\\3}\right]$$

마찬가지로 기저 집합을 $B=\left\{ \overrightarrow a=\left[ \matrix{1\\0}\right],~\overrightarrow b=\left[\matrix{1\\3} \right] \right\}$이라 했을 때,

$$\overrightarrow{p}=1\overrightarrow{a}+1\overrightarrow{b}= 1 \left[\matrix{1\\0}\right]+1 \left[\matrix{1\\3}\right]$$

로 나타낼 때,

$$ \left[\overrightarrow{p}\right]_B=\left[\matrix{1\\1}\right]$$

동일한 벡터 $\overrightarrow {p}$가 기저가 다름에 따라 좌표가 달라진다. 즉 $(2,~3)$에서 $(1,~1)$로!!

기저변환행렬에 대해 알아보자. 처음 이 용어를 접했을 때, 기저를 바꾸는 행렬이 무엇인지 애매했다. $\mathbb{R^2}$에서 생각하자. 기저변환행렬이란 기저를 $\overrightarrow{a},~\overrightarrow{b}$로 했을 때 임의의 벡터 $\overrightarrow {p}$의 상대적 좌표 $(x,~y)$를 $\overrightarrow{a’},~\overrightarrow{b’}$로 했을 때의 상대적 좌표 $(x’,~y’)$로 바꾸는 행렬을 의미한다. 즉

$$ \overrightarrow{p}=x \overrightarrow a +y \overrightarrow{b} =x’ \overrightarrow {c}+y’ \overrightarrow {d} $$

처음의 기저 $\overrightarrow a ,~\overrightarrow b$가 나중의 기저 $\overrightarrow {a’} ,~\overrightarrow {b’}$로 각각

$$ \begin{align} \overrightarrow{a}=p \overrightarrow {a’} +r \overrightarrow{b’} \\ \overrightarrow {b} =q \overrightarrow {a’}+s \overrightarrow {b’} \end{align} $$

로 표현되었을 때, 기저변환행렬은

$$\left[ \matrix{p&q\\r&s} \right]$$

예를 들어 위의 경우를 생각하면 표준기저에서의 좌표를 $(x,~y)$라 하고 기저집합 $B=\left\{ \overrightarrow a=\left[ \matrix{1\\0}\right],~\overrightarrow b=\left[\matrix{1\\3} \right] \right\}$에서의 좌표를 $(x’,~y’)$이라 하면 동일한 벡터가 기저에 따라 다르게 표현되므로

$$x \left[\matrix{1\\0}\right]+ y \left[\matrix{0\\1}\right]=x’ \left[\matrix{1\\0}\right]+ y’ \left[\matrix{1\\3}\right] $$

이것을 연립방정식의 형태로 쓰면

$$\begin{align} x&=x’+y’\\y&=3y’\end{align}$$

$$\left[ \matrix{1&0\\0&1} \right] \left[ \matrix{x\\y } \right] = \left[\matrix{1&1\\0&3} \right] \left[ \matrix{x’\\y’} \right]$$

따라서

$$ \begin{align} \left[ \matrix{x’\\y’ } \right] &= \left[\matrix{1&1\\0&3} \right]^{-1} \left[ \matrix{x\\y} \right] \\ &=\frac{1}{3} \left[\matrix{3&-1\\0&1} \right] \left[ \matrix{x\\y} \right] \end{align} $$

이다. 이 때, 행렬 $\frac{1}{3} \left[\matrix{3&-1\\0&1} \right]$을 기저변환행렬이라 하고 $ \left[ P \right]_{E}^{B}$로 나타낸다. 즉 기저집합 $E$에서의 좌표를 기저 $B$에서의 좌표로 바꾸는 행렬을 의미한다.

위에서 본 표준기저 $E$에서의 $\overrightarrow p$의 좌표 $(2,~3)$을 기저집합 $B=\left\{ \overrightarrow a=\left[ \matrix{1\\0}\right],~\overrightarrow b=\left[\matrix{1\\3} \right] \right\}$에서의 좌표로 표현하려면 기저변환행렬 $ \left[ P \right]_{E}^{B}$에 좌표 $(2,~3)$을 곱하면 기저 $B$에서의 좌표로 표현된다. 즉

$$ \begin{align} \left[ P \right]_{E}^{B} \left[\matrix{2\\3}\right] &= \frac{1}{3} \left[\matrix{3&-1\\0&1} \right]\left[\matrix{2\\3}\right] \\&= \left[\matrix{1\\1}\right] \end{align}$$

기저를 바꾼다는 말은 축을 바꾼다는 말과 같다. 비슷한 예로 고등학교 과정에서 “좌표축을 옮기는 과정은, 축을 놓아두고 좌표를 거꾸러 옮기는 과정과 같다.” 는 것을 들어 본적이 있을 것이다. 이 말이 위의 기저변환행렬을 구하는 과정에서 왜 역행렬을 구하는 것이 표준기저에서 기저 B로 옮길 때 일어나는 지 설명해보자. 예를 들어

기저 벡터 $\overrightarrow a =(2,~3),~\overrightarrow b =(1,~2)$를 표준기저 $\overrightarrow e_1 =(1,0),~\overrightarrow e_2 =(0,~1)$로 바꾼다는 말의 의미는

$\overrightarrow a =(2,~3)$의 좌표가 $(1,~0)$에서 $(2,~3)$으로 옮겨졌다는 것이다.

이것의 이해가 핵심이다. 기저변환 역시 일차변환의 한 종류이고 일차변환에서는 $(1,~0)$과 $(0,~1)$이 옮겨진 좌표를 알면 곧바로 행렬을 구할 수 있다. 여기서 $\overrightarrow a =(2,~3)$가 기저를 $\overrightarrow a =(2,~3),~\overrightarrow b =(1,~2)$로 했을 때의 $(1,~0)$이기 때문이다. 정말 햇갈린다.

기저를 벡터 $\overrightarrow a =(2,~3),~\overrightarrow b =(1,~2)$로 했을 때, 좌표 $(1,~0),~(0,~1)$이 표준기저 $\overrightarrow{e_1},~\overrightarrow{e_2}$로 했을 때의 각각의 좌표는 다음과 같이 바뀐다. 즉

$$\begin{align} (1,~0) ~\Rightarrow~ (2,~3)\\(0,~1)~\Rightarrow ~(1,~2) \end{align}$$

따라서

$$\begin{align} \left[ \matrix{2\\3}\right]= Q \left[ \matrix{1\\0} \right] \\ \left[ \matrix{1\\2}\right]= Q \left[ \matrix{0\\1} \right] \end{align}$$

$$\therefore ~Q= \left[ \matrix{2&1\\3&2} \right] $$

즉 행렬 $Q$는 기저를 벡터 $\overrightarrow a =(2,~3),~\overrightarrow b =(1,~2)$로 했을 때의 좌표 표현을 좌표 $(1,~0),~(0,~1)$이 표준기저 $\overrightarrow{e_1},~\overrightarrow{e_2}$로 했을 때의 좌표표현으로 바꾸는 행렬이다.

보통 일차변환에서 $(1,~0)$이 $(a,~c)$로, $(0,~1)$이 $(b,~d)$로 옮겨진다면 일차변환의 행렬표현은 $$ \left[ \matrix{a&b\\c&d} \right] $$이지만 기저 벡터 $ (a,~c),~ (d,~d)$를 표준기저 $(1,0),~(0,~1)$로 바꿀 때의 행렬표현은 $$ \left[ \matrix{a&b\\c&d} \right] $$이다. 그 반대이다. 이해가 되었기를 바란다.

기저를 구성하는 벡터내부의 좌표에 신경쓰지 말고 기저의 표현에 신경쓰면 된다. ㅠㅠ

$$\textcolor{red}{p} (\textcolor{blue}{1,~3})+\textcolor{red}{q} (\textcolor{blue}{4,~2})$$

파란색으로 표시된 좌표는 신경쓰지 말고 빨간색으로 표시된 좌표 $\textcolor{red}{(p,~q)}$가 어떻게 바뀌는지 신경쓰자.
[수학의 기초] 기저변환행렬 (2) [더플러스수학]
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