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기계계나 전기계 등의 물리계가 정상상태에 있을 때, 이 계에 대한 입력신호 또는 외부로부터의 자극이 가해지면 정상상태가 무너져 계의 출력신호가 변화한다. 이 출력신호가 다시 정상상태로 되돌아올 때까지의 시간적 경과를 과도응답이라고 한다.

제어공학 05강 30~32p 시간영역해석 과도응답1

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정상상태응답 vs 과도응답 : 네이버 블로그

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[제어공학] 시스템의 과도응답(transient response) – 1차 시스템

과도응답(transient response)

임펄스(impulse) 입력에 의한 시스템의 응답

스텝입력(step function)에 의한 시스템의 응답

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[제어공학] 시스템의 과도응답(transient response) - 1차 시스템 — [제어공학] 시스템의 과도응답(transient response) – 1차 시스템

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과도응답과 시간응답 본문

1 자동제어계의 과도 응답

2 시간 응답

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Most searched keywords: Whether you are looking for 스위칭 레귤레이터의 평가 : 부하 과도 응답의 검토, 측정 방법 ｜ TechWeb 부하 과도 응답이란, 급격한 부하 변동에 대한 출력의 응답 특성, 즉 강하 또는 상승한 출력전압이 설정치로 되돌아올 때까지의 시간 및 파형을 뜻 … 「스위칭 레귤레이터의 평가」의 세번째 항목으로, 「부하 과도 응답의 검토, 측정 방법」에 대해 설명하겠습니다.
부하 과도 응답이란?

부하 과도 응답이란, 급격한 부하 변…ROHM,AC/DC,DC/DC,SiC,Si
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스위칭 레귤레이터의 평가 : 부하 과도 응답의 검토, 측정 방법 ｜ TechWeb

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전기기사 필기 핵심이론 및 기출문제: 2022 전기기사 필기 시험대비 - 정용걸 - Google Sách — 전기기사 필기 핵심이론 및 기출문제: 2022 전기기사 필기 시험대비 – 정용걸 – Google Sách

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[제어공학] 7 과도응답의 시간특성 및 정상편차

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[제어공학] 시스템의 과도응답(transient response)

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이번 포스팅에서는 시스템의 과도응답에 대해 알아보겠습니다.

과도응답(transient response)

과도응답이란 출력이 정상상태(steady state)가 되기전까지 걸리는 시간에 나타나는 응답을 말합니다.

과도응답이 나타나는 중에는 일반적으로 출력신호가 파형을 그리며 변하게 되죠.

만약 시스템이 안정하다면 특정 입력신호에 대한 시간응답을 가지고

시스템의 성능을 평가할 수 있는데요.

일반적으로

– 임펄스함수(impulse function)

– 스텝함수 (step function)

– 램프함수 (ramp function)

등에 대한 응답을 분석함으로써 시스템의 성능을 평가합니다.

본 포스팅에서는 스텝함수의 입력에 대한 응답을 아래에서 좀 더 세밀히 다뤄보겠습니다.

임펄스(impulse) 입력에 의한 시스템의 응답

아래와 같은 함수를 정의합니다.

$$f_\epsilon(t) = \begin{cases}1/\epsilon & 0\leq t \leq \epsilon\\0 & t>\epsilon\end{cases}$$

여기서 $\epsilon$이 0으로 접근할 때의 함수를 단위임펄스 함수 $\delta (t)$라 하며,

단위임펄스 함수는 아래와 같은 성질을 가지고 있습니다.

$$\int_0^\infty \delta (\tau) d\tau = 1$$

$$\int_0^\infty \delta (t-\tau)g(\tau)d\tau = \int_0^infty g(t-\tau)\delta(\tau)d\tau = g(t)$$

시스템의 입력에 대한 출력에 대해서 위와 같은 성질을 이용하여 나타낼 수 있는데요.

시스템의 출력 $y(s) = G(s)u(s)$이므로, 출력 $y(t)는

$$y(t) = \int_0^t g(t-\tau)u(\tau)d\tau$$

이 때, 입력 $u(t)$가 단위 임펄스 함수이므로,

$$y(t) = \int_0^t g(t-\tau)\delta(\tau)d\tau = g(t)$$

즉, 시스템 $G(s)$에 대한 단위 임펄스응답은 곧 $y(s)$가 됩니다.

스텝입력(step function)에 의한 시스템의 응답

스텝입력에 대한 시스템의 응답은 시스템의 시간역 성능을 평가하기 위해

가장 많이 사용되고 있기 때문에 잘 알아둘 필요가 있습니다.

아이패드로 그려서 깔끔하지 못한 점… 양해부탁드려요 (__)

시간역 성능을 나타낼 때에 필요한 내용을 위 그림에 담았습니다.

1. 최대값시간 $t_p$

– 시간응답이 최대값 $y_p$까지 도달하는 시간을 말합니다.

2. 지연시간 $t_d$

– 정상상태응답 $y_ss$의 50%에 도달하는데 까지 걸린 시간을 말합니다.

3. 상승시간 $t_r$

– underdamped system의 경우 응답이 $y_ss$의 0%에서 100%까지 도달하는 시간을 말하지만,

overdamped system에서는 $y_ss$의 10%에서 90%까지 도달하는 시간을 말합니다.

4. 정착시간 $t_s$

– 출력의 크기가 정상상태 응답 $y_ss$에 수렴하기 시작하는 값을 말합니다.

마진을 $\delta$로 표시하였으며, 일반적으로 사용되는 값은 2%입니다.

5. 최대 오버슈트 $M_p$, 퍼센트 오버슈트 $P.O.$

– 최대 오버슈트는 시간응답의 최대값 $y_p$에서 정상상태응답 $y_ss$를 뺀 값을 말합니다.

– 최대 오버슈트를 정상상태 응답으로 나눠 백분율로 나타낸 값을 퍼센트 오버슈트라고 합니다.

$$P.O. = \frac{y_p-y_ss}{y_ss}\times 100 (%)$$

6. 시정수($T$, time constant)

시스템의 과도응답 성능을 나타내는 사양 중 가장 중요한 것이 시정수(time constant)입니다.

정의는 1차 시스템의 응답이 정상상태 응답의 63.2%에 도달하는 시간을 말합니다.

이게 무슨 말인지, 왜 63.2%인지도 잘 모르시겠다구요?

시정수를 설명하기 위하여 단순한 아래와 같은 전달함수 $G(s)$를 가지는

1차시스템을 예로 들어봅시다.

$$G(s) = \frac{1}{Ts+1} \tag{1}$$

위 시스템에 단위스텝입력 $u(s) = \frac{1}{s}$를 가했을때의 응답은 아래와 같습니다.

$$y(s) = \frac{1}{s(Ts+1)} \tag{2}$$

그리고 위 응답을 역라플라스 변환하여 시간역 응답을 나타내면 아래와 같습니다.

$$y(t) = 1-e^{t/T} \tag{3}$$

식 (3)의 시간응답은 $e^{t/T}$에 의해 감소하는 경향을 나타냅니다.

즉 시정수 $T$에 의해 시스템이 감쇠되며 시정수 $T$값이 클수록

과도응답이 감쇠하는 정도는 작아집니다.

여기서 1차 시스템이 가지는 중요한 특징이 있습니다.

시간 $t=T$일 때, 출력 $y(t)$가 최종값 $y(\infty)$의 63.2%가 된다는 것입니다.

즉,

$$y(T) = 1-e^{-1} \tag{4}$$

또 하나의 특징은 $t=0$에서 접선의 기울기가 $1/T$가 되는 것입니다.

$$\frac{dy}{dt}_{t=0} = \frac{1}{T}e^{-t/T} _{t=0} = \frac{1}{T} \tag{5}$$

그리고 $t=2T, 3T, 4T$와 같이 시간이 지남에 따라 응답이 $y(\infty)$의

86.5%, 95%, 98.2%에 도달하게 됩니다. (식(4)를 통해 계산할 수 있습니다.)

여기서 또 하나의 중요한 사실.

$t\geq 4T$이면 응답이 정상상태 응답 $y_ss$의 98%를 넘어서므로,

$4T = t_ss$가 됩니다.

매우 중요한 사실이니 암기해두면 좋습니다!!

시스템의 과도응답을 설명하다보니 1차시스템의 예시까지는 들었는데,

내용이 너무 길어졌네요. 다음 포스팅에서 2차 시스템의 예시를 알아봅시다.

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정정상태 응답과 과도 응답

영어로 steady-state response를 정정상태 응답, transient response를 과도 응답이라고 번역한다.

정정상태는 시스템의 출력이 안정되어서 시간이 흘러도 같은 값을 유지하거나 같은 패턴의 출력이 나오는 상태를 말한다. 과도 응답이란 출력이 $0$부터 시작하여 정정상태 응답으로 가는 동안의 과도기 응답을 말한다. 영어를 한자로 번역하고 표기는 한글로만 하기 때문에 오해하기 쉬운 용어가 됐다.

정정 행렬이라는 용어도 있는데 이 때 ‘정정’ 은 영어로 positive-definite이다. ‘양의 값으로 규정된’ 이라는 뜻이다. 아무튼 둘 다 정정이라고 번역한다. ‘과도’는 일상 용어로는 과일 깍는 칼을 말한다. 응답은 response를 번역한 것인데 ‘반응’ 이라고 하기도 한다. 상황에 따라서 적당히 골라 쓰면 된다. 그림에서 빨간 박스 부분이 과도 응답 구간이고 그 뒤가 정정상태 구간이다.

정정상태 응답과 과도 응답을 분석하면 시스템의 특성을 동적 특성을 알 수 있다. 정정상태나 과도 응답은 입력을 아무렇게 준다고 나오는 것이 아니다. 입력을 랜덤하게 마구잡이로 준다면 정정상태 응답이 나올 리 만무하다. 시스템 출력의 값이나 패턴 등이 계속 변하기 때문이다. 그래서 시스템의 정정상태 응답과 과도 응답을 분석하기 위해서는 정해진 기준 입력을 사용한다. 기준 입력으로는 임펄스, 스텝(일정한 상수 값), 그리고 일정한 주파수를 갖는 싸인 또는 코사인 파형(sinusoid)이 사용된다. 위 그림은 기준 입력으로 크기가 1인 스텝 입력을 임펄스 응답이 $h(t)=e^{-t}$인 시스템에 가했을 때의 반응이다.

정정상태 응답은 불안정한(unstable) 시스템에서는 존재하지 않는다. 불안정한 시스템은 출력의 크기가 무한대로 커지는 시스템이므로 시간이 흘러도 같은 값이 유지되지 않기 때문이다. 또한 정정상태 응답은 입력이 가해지는 시점을 기준으로 무한대의 시간이 경과했을 때의 시스템 반응이다. 따라서 위 시뮬레이션 그림에서 정정상태 응답으로 표시한 부분은 엄밀한 의미로는 잘못된 것이다. 그림을 확대해 보면 정확히 1이 아니라 시간이 갈수록 계속 1로 수렴되고 있음을 알 수 있다.

하지만 시스템 응답이 $1$이 되어 그 값을 유지하기까지 천년 만년 기다릴 수 없기 때문에, 최종적으로 수렴할 값을 기준으로 어느 정도 오차 범위로 들어오면 정정상태에 돌입했다고 간주한다.

입력 $u(\tau)$가 시스템에 가해지는 시간이 $\tau= -\infty$이라면 인과(causal) LTI 시스템의 출력은 다음과 같다.

\[ y(t) = \int_{-\infty}^t u(\tau) h(t-\tau) \ d\tau \]
위 식에 의하면 시스템에 입력이 가해진지 이미 무한대의 시간이 경과했으므로 시스템이 안정하다면 시간 $t$ 에서의 반응은 이미 정정상태에 도달했다고 볼 수 있다.

만약, 입력이 $t=0$ 에서 시작되면 어떨까, 즉 $u(t)=0, \ t \lt 0$ 이라면? 이 경우, 인과(causal) LTI 시스템의 입출력 관계식은 다음과 같다.

\[ y(t) = \int_0^t u(\tau) h(t-\tau) \ d\tau \]
위 식은 입력이 $\tau = -\infty $에서 시작됐다고 보고, $- \infty \lt \tau \lt 0$에서의 입력에 대한 출력의 영향분을 빼서 시간 $t$에서의 출력을 계산한 것과 같다. 즉,

\[ y(t) = \int_{-\infty}^t u(\tau) h(t-\tau) \ d\tau – \int_{-\infty}^0 u(\tau) h(t-\tau) \ d\tau \]
앞서 언급했듯이 위 식에서 첫번째 항이 정정상태 응답이므로, 두번째 항은 과도 응답이 된다. 결국 과도 응답은 입력이 $t=0$에서 시작돼서 나타나는 (달리 말하면, 입력이 가해진 후 유한한 시간이 경과했을 때 나타나는) 반응이다.

예로서 임펄스 응답이 $h(t)=e^{-t}$인 시스템에 크기가 $1$인 스텝 입력을 가했을 때, 즉 $u(t)=1, \ t\ge 0$ 인 경우, 시스템의 반응을 구해보자.

\[ \begin{align} y(t) &= \int_0^t u(\tau) h(t-\tau) \ d\tau \\ \\ &= \int_0^t e^{-(t-\tau) } d\tau \\ \\ &= 1-e^{-t} \end{align} \]
여기서 정정상태 응답은 $1$이고 과도 응답은 $-e^{-t}$임을 알 수 있다. $t=\infty$ 이면 과도 응답은 사라진다.

이번에는 정정상태 응답만을 구해보자. 이 경우 입력이 $t=-\infty$에서 시작됐다고 본다.

\[ \begin{align} y_{ss} (t) &= \int_{-\infty}^t u(\tau) h(t-\tau) \ d\tau \\ \\ &= \int_{-\infty}^t e^{-(t-\tau) } d\tau \\ \\ &= 1 \end{align} \]
이 됨을 알 수 있다. 이번에는 과도 응답만을 구해보자.

\[ \begin{align} y_{tr} (t) &= -\int_{-\infty}^0 u(\tau) h(t-\tau) \ d\tau \\ \\ &= -\int_{-\infty}^0 e^{-(t-\tau) } d\tau \\ \\ &= -e^{-t} \end{align} \]
따라서, 위 결과와 일치함을 알 수 있다.

과도응답과 시간응답

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1. 자동제어계의 과도 응답

과도 응답이란 어떤 제어계에서 정상입력 신호를 가한 후 출력 신호가 정상상태에 도달하기까지 과정의 응답을 말한다. 과도응답을 구하기 위해 정상입력신호는 계단입력신호, 등속입력신호, 등가속입력신호를 사용한다. 입력의 임의의 시간적 변화에 대하여 계의 출력이 정상 상태에 이르기까지의 시간적흐름을 말한다. 자동 제어계에서는 입력의 단위 계단상 변화에 대한 출력의 시간적 경과(스텝 응답 또는 인디셜 응답이라 한다)를 가지고 그 계의 과도 응답을 대표하는 경우가 많다.

또한, 기계계나 전기계 등의 물리계가 정상상태에 있을 때, 이 계에 대한 입력신호 또는 외부로부터의 자극이 가해지면 정상상태가 무너져 계의 출력신호가 변화한다. 이 출력신호가 다시 정상상태로 되돌아올 때까지의 시간적 경과를 과도 응답이라고 한다.

자동제어계에서 입력 신호를 가하면 이에 대한 응답으로, 임펄스 응답, 램프 응답 등이 있다. 램프 응답이란 어떤 시각까지는 일정하고, 그 이후는 일정 속도로 계속 변화하는 입력 신호에 대한 응답을 말한다. 과도 응답을 살피면 계의 신호전달 특성을 알 수 있다.

1) 계단 입력

계단 입력은 기준 입력이 정상상태에서 순간적으로 변화한 후 일정한 상태를 유지하면서 입력을 가하는 것을 말하며, 인디셜 입력이라고도 하며, 자동 제어계에 있어서 응답의 하나인데 단위의 크기를 가진 계단 상태 입력에 의해 생기는 응답을 말한다. 실험적으로는 대상으로 되는 계에 계단 상태 입력을 가하고 출력의 시간적 변화를 기록하여 얻어진다

2) 등속 입력

기준입력 신호의 값이 시간에 따라 일정한 비율로 변하는 입력으로서, 램프 함수에 해당한다.

3) 등가속 입력

기준 입력 신호 값이나 위치가 시간의 경과에 따라 시간의 제곱에 비례하여 변화하는 입력으로 포물선 함수에 해당한다.

2. 시간 응답

1) 정상 응답

정상응 답에서 오차는 자동 제어계의 정확도를 표시하는 지표로 사용된다. 정상응답 특성은 시험 입력에 대한 정상 오차의 값을 측정하여 판단한다.

2) 과도 응답

제어 시스템의 과도 응답 특성의 평가는 속응성과 안정성에 의한다. 속응성은 제어시스템이 어느 정도 빨리 목표치에 도달하는가를 나타내는 것이다. 안정성은 제어량이 정상치에 도달할 때까지의 감쇠 특성을 나타낸 것이다.

가) 지연시간이란 자동제어계에서 응답이 최초로 목표값의 50%에 도달하는 시간을 말한다.

나) 감쇠비는 자동제어계에서 과도 응답의 소멸되는 속도를 나타내는 양으로써 최대 오버슈트와 다음 주기에 오는 오버슈트와의 비를 말한다.

다) 상승 시간이란 자동제어계에서 응답이 처음으로 목표값에 도달하는 데 필요한 시간으로 응답이 목표값의 10%~90%까지 도달하는 데 필요한 시간을 말한다.

라) 응답 시간이란 제어 계통 또는 제어 요소에서 입력 신호를 주었을 때 출력량이 새로운 정상 값의 어떤 비율로 변화할 때까지 소요되는 시간을 말한다. 과도 응답 특성을 표시하는 양은 이들 외에도 제동 비, 제동 계수, 고유 진동수, 주기 등이 있다.

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