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관성 모멘트 측정 실험
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관성 모멘트 측정 실험 : 네이버 블로그
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Lab Reports: [서울대 물리학실험 1-2] 관성모멘트 측정
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2019년 2월 21일 목요일
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![Lab Reports: [서울대 물리학실험 1-2] 관성모멘트 측정](https://lh4.googleusercontent.com/EHU-Pueo9XQF2puQsOZcojV7Ie-UBWuK64-Ssy9kCI0Q8H4_GIET73Xoxdg5n_xExeuJMeg6ZFTDbNPCZ8Zex6iywogumSJnIGGE2Yg1uIQpr7Ws6_leaWJMjzt_XTrVa4ffp-iFBvrXiuhGOw=w1200-h630-p-k-no-nu)
물리학실험1 관성 모멘트 측정 | Gyojun Youn’s PS Blog
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관성 모멘트와 회전 운동 그리고 토크
관성 모멘트 측정 실험
1 서론
2 본론
3 결론
4 참고 문헌
【물리학 실험】 3강. 관성모멘트 실험
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¿¬¼¼´ëÇб³ ¹°¸®ÇнÇÇè½Ç(Yonsei Phylab)
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Lab Reports: [서울대 물리학실험 1-2] 관성모멘트 측정
물리학 실험 1-2
1-2. 관성모멘트 측정
*본 보고서는 이미 제출된 적 있는 보고서로 이를 표절해서 제출하면 무조건 F를 받을 것입니다. 참고용으로만 쓰십시오.
1. Introduction
1.1. 실험 목적
① 물체를 회전 장치를 통한 중력의 일정한 힘으로 회전시키고, 낙하하는 추의 가속도를 이용하여 물체의 관성모멘트를 구한다.
② 회전 반경과 관성모멘트, 평행축 정리 등의 이론을 실험을 통해 확인하고, 회전 운동과 토크의 관계를 실험적으로 확인한다.
1.2. 배경 지식
1.2.1 강체
그 계에 속하는 입자가 항상 상호 간 같은 상대적 위치를 유지한 물체를 말한다.
강체가 직선 운동을 할 경우, 물체의 질량이 관성의 역할을 하고, 강체가 회전 운동을 할 경우, 관성 모멘트가 관성의 역할을 한다.
1.2.2 강체의 관성모멘트
강체의 각속도가 일 때, 총 운동에너지 는,
이때, 를 관성 모멘트라고 한다. ( 는 회전축으로부터의 거리) 강체에서 연속적 질량 분포가 이뤄질 경우,
1.2.3 구체적인 상황에 대하여
그림 1 과 같은 실험 장치를 구성한다고 하자. 이때, 추는 가속도 로 자유낙하하고 있고, 를 회전 장치의 각가속도라고 하며, 회전 장치의 시간에 따른 회전각을 라고 하자. (단, 일 때
그림 1: 관성모멘트를 측정하는 실험 장치
추의 운동에 대해 다음과 같이 기술할 수 있다.
회전 장치에 작용하는 토크와 와 에 대해,
(이때, )
1.2.4 여러 가지 경우의 관성모멘트
가로, 세로가 각각 인 직사각형 판의 경우,
반경이 , 높이가 인 원기둥의 경우,
두루마리 휴지처럼 구멍 뚫린 기둥의 경우,
반지름이 R인 구의 경우,
1.3. 실험 안내
1.3.1 실험 1
버니어캘리퍼스를 이용하여 실험 장치 중 실이 감긴 기둥의 회전 반경을 재고, 시료 중 원판의 반경과, 원환의 내부 반경 (구멍의 반경)과 외부 반경 (전체 반경)을 측정한다. 그리고 전자저울로 추와 시료들의 무게를 잰다.
1.2.3의 그림 1처럼 실험 장치를 테이블에 설치하고, 추에 묶인 실이 회전판과 평행이 되도록 조정하여 고정한다. 실의 길이는 바닥에 닿지 않도록 한다.
스탠드를 이용하여 카메라가 추가 낙하하는 모습을 캡처할 수 있도록 한다. 이때, 추가 낙하하는 배경을 위해 테이블의 가장자리에 흰 종이를 부착한다. I-CA로 좌표계 설정 등을 마치고, 추가 낙하하는 모습을 캡처한다. 그리고 프로그램을 통해 캡처 자료를 분석한다. 이때, 분석 시작점은 실험 회전판이 막 회전하기 시작하는 시점으로 설정하도록 한다. 그리고 추의 가속도를 이용해서 실험 장치 중 회전판 자체의 관성모멘트를 산출한다.
1.3.2 실험 2
회전판에 원판 시료를 올리고, 실험 1 그대로 동일하게 진행한다. 그리고 원판을 올린 상태의 관성모멘트를 산출한다.
1.3.3 실험 3
회전판에 구멍 뚫린 원판 시료를 올리고, 실험 1 그대로 동일하게 진행한다. 그리고 원환을 올린 상태의 관성모멘트를 산출한다.
2. Data & Result
2.1. 실험 1의 결과
회전 장치에 관한 실험을 3번 진행하였다. 다음 그림은 이 추가 떨어지는 것을 그래프로 나타낸 것이다. 손의 진동이나 프로그램의 색 인식 문제로 일어나는 데이터의 오염이 어디서 일어나는지 확인하는 작업을 위해서 그렸다.
그림 2: 추의 낙하에 대한 시간-높이 그래프
어느 정도 시간 이후로 데이터의 오염도가 높아지는 모습을 볼 수 있었다.
이를 고려하여 추의 낙하운동에 대한 가속도를 산출할 수 있다. 첫 번째로, 각 프레임 사이에서 일어난 운동의 평균 가속도를 구해서 그 값들의 평균을 냈고, 두 번째로, 처음부터 각 프레임까지 전체 운동에서의 평균 가속도를 구해서 그 값들의 평균을 냈다. 그 결과는 다음과 같다. (단위는 이다.)
1번 2번 3번 종합 평균 0.1456 0.1114 0.1360 0.131 표준편차 0.270 0.0568 0.0708
표 1: 첫 번째 방법
1번 2번 3번 종합 평균 0.1451 0.1199 0.1619 0.1423 표준편차 0.059 0.0172 0.0377
표 2: 두 번째 방법
이 자료를 통해 관성 모멘트를 산출하면 다음과 같은 결과가 나온다. (단위:
1번 2번 3번 종합 방법 1 0.0097 0.0127 0.0104 0.01093 방법 2 0.0097 0.0118 0.0087 0.01001
표 3: 표1과 표2에서 산출한 관성 모멘트
전체 종합 평균은 약 0.0105 ( 이다.
2.2. 실험 2의 결과
회전 장치 위에 원판을 올리고 실험을 3번 진행하였다. 마찬가지로 추의 낙하를 그래프로 나타냈다.
그림 3: 추의 낙하에 대한 시간-높이 그래프
이를 통해 확인한 오염된 데이터를 고려하여, 추의 낙하운동에 대한 가속도를 산출할 수 있다. 2.1에서 사용한 것과 같은 두 가지 방법을 사용하여 다음을 얻어냈다. (단위: )
1번 2번 3번 종합 평균 0.1092 0.1 0.1152 0.1081 표준편차 0.084 0.085 0.2082
표 4: 첫 번째 방법
1번 2번 3번 종합 평균 0.1093 0.1137 0.1029 0.1086 표준편차 0.0206 0.0283 0.0307
표 5: 두 번째 방법
이 자료를 통해 관성 모멘트를 산출하면 다음과 같은 결과가 나온다.
(이때, 관성 모멘트는 회전 장치를 제외한 원판만의 관성 모멘트이다. 단위: )
1번 2번 3번 종합 방법 1 0.0028 0.0036 0.0018 0.0027 방법 2 0.0024 0.0019 0.0032 0.0025
표 6: 표4와 표5에서 산출한 관성 모멘트
전체 종합 평균은 약 0.0026 ( 이다.
2.3. 실험 3의 결과
회전 장치 위에 구멍 뚫린 원판을 올리고 실험을 3번 진행하였다. 마찬가지로 추의 낙하를 그래프로 나타냈다.
그림 4: 추의 낙하에 대한 시간-높이 그래프
이를 통해 확인한 오염된 데이터를 고려하여, 추의 낙하운동에 대한 가속도를 산출할 수 있다. 2.1에서 사용한 것과 같은 두 가지 방법을 사용하여 다음을 얻어냈다. (단위: )
1번 2번 3번 종합 평균 0.095 0.0906 0.0945 0.0934 표준편차 0.0854 0.0242 0.1282
표 7: 첫 번째 방법
1번 2번 3번 종합 평균 0.0976 0.0844 0.0945 0.0922 표준편차 0.0697 0.0215 0.0231
표 8: 두 번째 방법
이 자료를 통해 관성 모멘트를 산출하면 다음과 같은 결과가 나온다.
(이때, 관성 모멘트는 회전 장치를 제외한 구멍 뚫린 원판만의 관성 모멘트이다. 단위: )
1번 2번 3번 종합 방법 1 0.0044 0.0051 0.0045 0.0046 방법 2 0.004 0.0062 0.0045 0.0049
표 9: 표7과 표8에서 산출한 관성 모멘트
전체 종합 평균은 약 0.0048 ( )이다.
3. Discussion
실험 데이터에서 오차가 일어난 원인으로 여러 가지를 들 수 있었다. 그 원인으로는 정확하지 않은 길이 측정과, 공기 저항 및 마찰, 카메라 성능의 한계 등등을 들 수 있었다.
3.1. 정확하지 않은 길이 측정
좌표계 설정 당시에 자를 이용하여 길이를 설정하였는데, 자의 위치와 추의 낙하 지점 위치에 차이가 있었다. 이로 인해 추의 높이 (y좌표) 데이터에 오차가 생길 수 있었다.
위에서 진행된 실험 환경과 동일한 실험 환경에서 자와 카메라 사이의 거리가 , 추와 카메라 사이의 거리가 라고 가정하자. 그리고 추가 로 20cm만큼 등가속도로 낙하한 거리를 카메라가 캡처한다고 하고, 이 캡처 자료를 통해 회전장치의 관성 모멘트를 산출한다고 하자.
(초기 속도는 0이라고 가정)
그림 5: 가정된 상황
이때, 라고 하자. 에 대한 회전 장치의 관성 모멘트의 값을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
그림 6: 오차에 대한 그래프
그래프에서 볼 수 있듯이, a값이 작아지면, 즉 추와 자 사이의 거리가 상대적으로 멀어질수록 회전장치의 관성모멘트의 값이 작게 산출되는 것을 확인할 수 있었다.
위 실험에서는, a값이 상대적으로 1에 가까웠으나, 오차를 일으킬 만한 요소가 될 수는 있었다.
3.2. 공기 저항 및 마찰
추가 떨어지면서 공기 저항과 공기에 대한 마찰력을 받는 등, 여러 가지 부가적인 힘을 받아 데이터에 오차를 일으킬 수 있었다.
3.3. 카메라와 프로그램 성능의 한계
카메라가 오작동을 일으켜 같은 프레임을 중복해서 촬영하는 일이 일어나는 것을 확인할 수 있었으며, 프로그램이 캡처 자료를 분석하는 도중 색 인식을 잘못하는 모습도 확인할 수 있었다. 이는 특히 촬영 배경으로 설정한 흰 종이에서 추가 벗어났을 때 자주 일어났으며, 그때의 데이터 오염도는 지나치게 심각한 관계로 그 부분을 제거해서 분석을 진행할 수밖에 없었다.
3.4. 카메라의 평형
좌표계를 설정할 때, 카메라가 기울지 않은 상태에서 이를 진행해야 하나, 카메라를 완벽하게 똑바로 세운 상태에서 좌표계를 설정하는 것은 불가능했다.
기울어진 카메라 또한 데이터에 크고 작은 오차를 일으키기에는 충분하다고 판단했다.
4. Conclusion
실험을 통해 관성 모멘트에 대한 이론을 확인하였다. 실험 1에서는 회전 장치와 도르래, 그리고 추를 이용하여 회전 장치 자체의 관성 모멘트를 구해냈다. 실험 2에서는 회전 장치 위에 원판 시료를 설치하여 원판 시료의 관성 모멘트를 구해냈다. 실험 3에서는 회전 장치 위에 구멍이 뚫린 원판 시료를 설치하여, 그 시료의 관성 모멘트를 구해냈다.
원판 시료와 구멍 뚫린 원판 시료에 대한 이론적인 관성 모멘트 값은 다음과 같다.
① 원판 시료: 질량- 608g, 반경- 9cm
② 구멍 뚫린 원판 시료:
질량-610g, 전체 반경 – 9cm, 구멍 반경 – 8cm
이는 실험을 통해 얻은 값인 0.0026, 그리고 0.0048과 유사한 값이었다.
하지만 이론값과 어느 정도 차이를 보였는데, 이를 유발한 오차의 원인을 분석하였다.
우선, 추와 자 사이의 거리를 꼽을 수 있었다. 프로그램이 추의 높이 (또는 y좌표)를 측정할 때, 추와 자 사이의 거리가 원근의 차이에 의한 오차를 일으킬 수 있었다고 결론을 내렸다.
또, 추에 대한 공기 저항과 마찰력의 영향을 꼽을 수 있었다.
카메라와 프로그램의 성능 한계에 대해서도 논의할 수밖에 없었다. 실험 도중, 카메라가 중복된 프레임을 촬영하는 일을 목격하였고, 프로그램이 색 인식을 잘못하여 엉뚱한 지점을 물체의 위치로 인식하는 것 또한 목격했다. 이는 데이터에 어느 정도 오차를 일으키기 충분할 수 있었을 것이라고 판단하였다.
마지막으로, 카메라의 평형 상태 또한 오차의 원인으로 지목할 수 있었다. 좌표계 설정 당시 카메라가 기울어진 채 설정이 이뤄진 것이 오차를 일으킬 수 있었을 것이라고 판단하였다.
이러한 오차에도 불구하고 실험을 통해 얻어낸 관성 모멘트 값은 이론에 의해 계산된 값과 어느 정도 유사하다는 것을 확인할 수 있었으므로, 평행축 정리나 토크에 관한 이론 등을 확인하기에는 충분하였다고 판단하였다.
* Reference
1 서울대학교 물리천문학부, 『실험 1-2. 관성모멘트 측정』, 2015, 4
물리학실험1 관성 모멘트 측정
Prelab
관성 모멘트와 회전 운동, 그리고 토크
1. 실험 목적
제자리에서 빠르게 회전하는 팽이를 관찰하자. 이 팽이는 빠른 회전 운동을 하고 있음에도 불구하고, 질량 중심이 움직이고 있지 않기 때문에, 팽이의 운동 에너지는 0이다. 이와 같은 모순을 해결하고, 회전 운동을 좀 더 명확하게 설명하기 위하여 ‘관성 모멘트’와 ‘토크’라는 개념이 등장하였다.
본 실험을 통하여 회전 운동과 관성 모멘트, 토크 간의 연관관계를 알아보고, 평행축 정리 등 이와 관련된 이론을 확인하고자 한다.
2. 배경 지식
2-1. 관성 모멘트
뉴턴 법칙 $F=ma$에서 $m$을 “직선으로 운동하는 물체가 자신의 운동을 계속 유지하려는 정도”로 해석한다면, 관성 모멘트는 회전 운동에서의 $m$과 같은 개념이라고 이해할 수 있다.
하나의 고정된 축에 대하여 회전하는 강체를 생각할 때, 그 물체의 입자의 총 운동 에너지 $K$는 $\displaystyle K = \int \frac{1}{2} v^2 \mathrm{d} m = \frac{1}{2} \int \left( \omega r \right)^2 \mathrm{d} m = \frac{1}{2} \omega^2 \int r^2 \rho \mathrm{d} V$과 같이 식으로써 쓸 수 있다. 여기서 적분 안의 식 $\displaystyle \int r^2 \rho \mathrm{d} V$을 관성 모멘트 $I$라고 하며, 회전 운동 에너지 $\displaystyle K = \frac{1}{2} \omega^2 I$를 운동 에너지 식 $\displaystyle K = \frac{1}{2} v^2 m$과 유사한 형태로 적을 수 있게 한다. 질량 $m$과 관성 모멘트 $I$가 식에서 서로 대응됨을 확인할 수 있다.
2-2. 평행축 정리
질량이 $M$인 강체의 질량 중심을 지나는 회전 축 $l_0$에 대하여 그 관성 모멘트가 $I_0$라 하자. 축 $l_0$와 평행하고, 이와 거리가 $\delta$인 임의의 축 $l$에 대하여, 회전축 $l$에 대한 강체의 회전 모멘트가 $I = I_0 + M \delta^2$라는 것이 평행축 정리이다.
이 정리는 관성 모멘트 정의의 적분 식을 조작함으로써 증명할 수 있다. 축 $l_0$를 $z$축으로 하는 3차원 좌표계를 생각하자. 강체의 질량 중심을 원점 $O$라 한다면, $\displaystyle I_0 = \int \left( x^2 + y^2 \right) \mathrm{d} m$다. 축 $l$이 점 $\left( x_l, y_l, 0 \right)$을 지난다면,
\[I = \int \left( \left( x – x_l \right)^2 + \left( y – y_l \right)^2 \right) \mathrm{d} m = \int \left( x^2 + y^2 \right) \mathrm{d} m – 2 x_l \int x \mathrm{d} m – 2 y_l \int y \mathrm{d} m + \int \left( x_l^2 + y_l^2 \right) \mathrm{d} m\]
다. 여기서 원점이 질량 중심이므로, $\displaystyle \int x \mathrm{d} m = \int y \mathrm{d} m = 0$다. 따라서, $I = I_0 + M \delta^2$가 성립한다.
이 정리는, 임의의 축에 대하여 강체의 관성 모멘트를 알기 위해서는, 질량 중심을 지나는 평행한 축에 대한 관성 모멘트만 알아도 충분하다는 것을 암시한다. 또한, 평행한 축이라면, 질량 중심으로부터 멀어질수록 관성 모멘트는 거리의 제곱에 비례하게 커짐을 의미한다.
2-3. 토크
토크는 회전 중심에 대하여 물체를 얼마나 회전시켰는지에 관한 물리량이다. 점 $O$에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{r}$에 위치한 입자에 힘 $\displaystyle \overrightarrow{F}$를 가한다면, 고정점 $O$에 대한 입자의 토크 $\displaystyle \overrightarrow{ \tau }$는 $\displaystyle \overrightarrow{ \tau } = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$로 정의한다. 토크의 단위는 $\text{N} \cdot \text{m}$으로 일의 단위와 같지만, $\text{J}$은 사용하지 않는다.
3. 실험 방법
다양한 모양의 강체 시료를 다양한 위치에 두었을 때의 관성 모멘트를 측정하여 보면서, 실험의 측정값이 이론과 일치하는지 확인할 것이다.
3-1. 시료 물리량 측정
시료는 정사각형, 원형, 원환형 등 다양한 모양을 가지고 있다. 버니어 캘리퍼스를 이용하여 변의 길이나 직경, 내경, 두께 등을 꼼꼼하게 측정한다. 또한 시료의 총질량이 얼마인지 전자 저울을 이용하여 측정한다. 이러한 측정 과정을 세 번 반복하여 측정 오차를 줄인다.
3-2. 관성 모멘트 측정
본 세부절에서는 고정된 축에 대하여 특정 시료의 관성 모멘트를 측정하는 방법에 대하여 다룬다.
카메라와 컴퓨터를 서로 연결하여, 문제없이 연결되는지 확인한다. 또한 I-CA 프로그램에서 카메라를 정상적으로 인식할 수 있는지 확인한다.관성 모멘트 측정 실험장치를 설치한다. 이 장치는 수평인 상태에서 단단하게 고정하여 사용하여야 하기 때문에, 실험 테이블 위에 놓아 클램프로 고정하여 사용하도록 한다.
실험장치에 추를 매단 긴 실을 연결한다. 실이고정 도르레 위에 얹어지고, 실험장치 회전축에 수평으로 감길 수 있도록 한다. 실을 적당량 감았다면, 고정 도르레의 높이를 조절하여 실이 실험 테이블과 평행을 이루도록 한다.
카메라를 세팅하여, 회전판의 회전 운동을 녹화할 수 있도록 한다. 카메라 렌즈 면이 회전면과 평행하고, 회전판 중심이 카메라 화면의 정중앙에 들어오도록, 카메라의 위치를 잡는다. 이후 스텐드로 카메라를 견고하게 고정한다.
회전판의 회전 운동은 영상으로 촬영하여 다음과 같이 분석할 수 있다. 먼저, ‘카메라분석 – 분석’에서 영상의 시작과 끝 프레임을 지정한다. 회전판 중앙과 테두리에 붙여진 스티커를 피사체로 지정하고, 기준 거리는 둘 사이의 거리로써 실제로 자로 측정하여 그 값을 사용한다. I-CA 프로그램으로 움직이는 테두리 스티커의 $x$, $y$ 좌표를 얻었다면, 이를 $r$-$\theta$ 좌표계로 변환하여, 회전 시간에 따른 회전각 $\theta ( t )$을 구한다.
$\displaystyle \theta(t) = \frac{1}{2} \alpha t^2 = \frac{mgr}{2 \left( I + mr^2 \right)} t^2$이므로, $t$-$\theta$ 그래프의 이차 추세선의 식의 이차항의 계수 $A$를 이용하여, 관성 모멘트 $\displaystyle I = \frac{mgr}{2A} – mr^2$를 계산할 수 있다.
관성 모멘트를 측정할 때, 위와 같은 과정을 세 번 반복함으로써, 실험 데이터의 오차를 줄이도록 한다.
3-3. 시료의 관성 모멘트 측정
먼저 실험장치에 어떠한 시료도 올려두지 않은 상태에서, 실험장치의 회전판의 관성 모멘트 $I_0$를 측정한다. 이후 시료의 관성 모멘트를 측정할 때에는, 측정값에서 $I_0$을 뺌으로써 계산할 수 있다.
다양한 시료를 다양한 위치에 설치해보면서, 각각의 관성 모멘트를 측정한다. 이후, 이론적인 값과 측정 값을 비교한다. 이론적인 관성 모멘트 값은 관성 모멘트의 적분 식 정의와 평행축 정리 등을 적용하여 계산할 수 있다.
4. 실험 장비
3절에 서술한 실험을 진행하기 위하여 다음 물품이 필요하다. 카메라와 I-CA 프로그램, 50g 추 한 개, 실, 전자 저울과 자, 버니어 캘리퍼스, 다양한 모양의 시료, 관성 모멘트 측정 실험장치가 필요하다.
전자 저울과 버니어 캘리퍼스, 자는 시료의 물리량을 정밀하게 측정할 때 사용된다. 실험에 사용되는 물건들이 무겁기 때문에, 측정하면서 손 등을 다치지 않도록 안전에 유의하여야 한다.
이외의 모든 준비물은 시료의 관성 모멘트를 측정할 때에 사용된다. 떨어지는 추에 의하여 다치거나 물건이 파손되는 것에 유의하여야 한다. 또한 회전하는 판이나 시료에 손이나 머리카락 등이 끼이지 않도록 주의하여야 한다. 실험에 사용되는 모든 장비는 완전하게 고정되어야 하며, 회전판 위의 시료는 되도록이면 무게 중심이 정가운데에 오도록 하여야 한다. 회전판이 너무 빠르게 회전한다면, 추를 더 가벼운 것으로 교체한다.
Prelab 원본
보고서
관성 모멘트 측정 실험
회전 운동과 관성 모멘트 및 토크
Abstract
본 실험에서는 고정된 회전축을 기준으로 회전 운동을 하는 강체의 관성 모멘트를 측정한다. 다양한 모양의 시료와 시료들의 배치 방법에 대하여, 관성 모멘트 값을 이론적인 수식을 이용하여 예상하고, 이를 관성 모멘트 측정 장치를 이용하여 직접 측정함으로써 확인하였다. 이론과 다르게 실험에서는 관성 모멘트 값이 이론 값보다 크게 계산되는 오차가 발생하였다. 이러한 오차의 원인으로 ‘시료의 물리량 측정에서 발생한 부정확성’, ‘실의 꼬임과 낙하하는 추의 진동’ 등을 제시하였다.
1. 서론
1-1. 실험 목적
본 실험에서는 자유 낙하하는 추와 회전 장치를 이용하여, 다양한 모양의 시료가 가지는 관성 모멘트를 측정한다. 실험을 통하여 측정한 값과 이론적 값을 비교함으로써, 회전 운동과 관성 모멘트, 토크 간의 연관 관계를 알아보고, 평행축 정리와 회전에 관한 뉴턴 제2법칙 등 이에 대한 여러 이론을 확인하고자 한다.
1-2. 이론적 배경
1-2-1. 관성 모멘트
고정된 축 $l$을 기준으로 각속도 의 회전 운동을 하는 강체의 총 운동 에너지는
\[K = \sum_i \frac{1}{2} m_i v_i^2 = \frac{\omega^2}{2} \int r^2 \mathrm{d}m = \frac{\omega^2}{2} \int r^2 \rho \mathrm{d}V\]
다. 마지막 항의 적분식 $\displaystyle \int r^2 \rho \mathrm{d} V$을 강체의 관성 모멘트 $I$로 정의한다. 직선 운동 에너지 $\displaystyle K = \frac{1}{2} mv^2$과 회전 운동 에너지 $\displaystyle K = \frac{1}{2} I \omega^2$은 비슷한 식 형태를 가지며, ‘직선 운동을 하는 강체의 관성에 관한 항’을 질량 $m$으로 생각한다면, 관성 모멘트 $I$는 ‘회전 운동에서 강체의 관성’으로 해석할 수 있다.
균일한 밀도 $\rho$를 가지는 질량 $m$의 강체를 중심축에 대하여 회전시킬 때의 관성 모멘트 $I$는, 그 물체의 모양에 따라서 서로 다른 값을 가진다. 가로 $a$, 세로 $b$인 직육면체의 관성 모멘트는
\[I_\text{cuboid} = \int _0^h \int _{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \int _{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \left( x^2+y^2 \right) \rho \mathrm{d}y\mathrm{d}x\mathrm{d}z = \frac{ a b h \rho \left( a^2 + b^2 \right)}{12} = \frac{m}{12} \left( a^2 + b^2 \right)\]
, 반지름 $r$인 원기둥의 관성 모멘트는
\[I_\text{cylinder} = \int _0^h \int _0^r \int _0^{2\pi} \gamma^2 \rho \left( \gamma \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\gamma \right) \mathrm{d}z = \frac{ \pi r^4 h \rho^2 }{2} = \left( \pi r^2 h \rho \right) \frac{r^2}{2} = \frac{m}{2} r^2\]
, 겉반지름 $r _\text{out}$, 속반지름 $r _\text{in}$인 두께 있는 원통의 관성 모멘트는
\[I _\text{tube} = \int _0^h \int _{r _\text{in}}^{r _\text{out}} \int _0^{2\pi} \gamma^2 \rho \left( \gamma \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\gamma \right) \mathrm{d}z = \frac{ \pi h \rho \left( r _\text{out}^4 – r _\text{in}^4 \right)}{2} = \left( \pi \left( r _\text{out}^2 – r _\text{in}^2 \right) h \rho \right) \frac{ r _\text{in}^2 + r _\text{out}^2 }{2} = \frac{m}{2} \left( r _\text{in}^2 + r _\text{out}^2 \right)\]
임을 유도할 수 있다.
1-2-2. 평행축 정리
질량 $m$의 강체가 축 $l_O$을 기준으로 회전할 때의 관성 모멘트가 $I_O$고, 축 $l_O$가 강체의 질량 심을 지난다면, $l_O$와 평행한 모든 축에 대한 관성 모멘트를 추가적인 적분 계산 없이 계산할 수 있다. $l_O$와 평행하고 $\delta$만큼 떨어진 회전축 $l$에 대한 관성 모멘트는
\[I_l = \int \int \int \left( \left( x – x_l \right)^2 + \left( y – y_l \right)^2 \right) \rho \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z\] \[= \left( \int \int \int \left( x^2 + y^2 \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z \right) – 2 x_l \left( \int x \mathrm{d}m \right) – 2 y_l \left( \int y \mathrm{d}m \right) + \left(x_l^2 + y_l^2 \right) \int \mathrm{d}m\] \[= I_O + m \delta^2\]
이다. 축이 질량 중심에서 멀어질수록 관성 모멘트가 증가함을 확인할 수 있다.
1-2-3. 토크
토크 $\displaystyle \overrightarrow{r}$는 힘 $\displaystyle \overrightarrow{F}$로 물체를 회전시키는 작용에 관한 모멘트다. 고정점 $O$에 대하여, 위치 $\displaystyle \overrightarrow{r}$의 입자에 힘 $\displaystyle \overrightarrow{F}$을 가할 때의 토크는 $\displaystyle \overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r}\overrightarrow{F}$로 정의되고, 거리 $r$의 위치에서 수직 방향으로 $F \sin \theta$의 힘을 받으며 회전하였다고 해석할 수 있다.
회전에 관한 뉴턴 제2법칙에 의하면, 강체에 토크 $\tau _\text{net}$을 가할 때, 회전축에 대한 강체의 관성 모멘트가 $I$, 각가속도가 $\alpha$라면, $\tau _\text{net} = I \alpha$가 성립한다. 이는 뉴턴 제2법칙, $F=ma$에서 $a=\alpha r$을 대입하여 증명할 수 있다. [1]
1-2-4. 실험 장치의 측정 원리
그림 1은 본 실험에서 사용할 관성 모멘트 측정 장치를 모식화한 것이다. $m$, $g$, $R$의 값을 알고 있을 때, 낙하하는 추의 가속도 $a$의 값을 통하여 회전 장치의 관성 모멘트 $I_0$를 측정하는 것이 목적이다.
추에 대하여 뉴턴 제2법칙을 적용하면,
\[ma = mg – T\]
임을 안다. 또한, 각가속도의 정의에 의하여
\[a = \alpha R\]
가 성립한다. 회전 장치에 가해지는 토크 $\tau$를 회전에 관한 뉴턴 제2법칙으로 풀어 쓰면
\[\tau = RT = I_0 \alpha\]
이다. 따라서 관성 모멘트는
\[I_0 = \frac{RT}{ \alpha } = m R^2 \left( \frac{g}{a} – 1 \right)\]
임을 알 수 있다. 고로, 등가속도 낙하 운동을 하는 추의 가속도 $a$를 측정하여 회전 장치의 관성 모멘트 $I_0$를 계산할 수 있다.
그림 1: 관성 모멘트 측정 장치의 모식도 [2]
2. 본론
2-1. 실험 방법
원기둥, 직육면체, 원판, 직사각판, 고리 모양의 시료와 낙하용 추의 물리량을 측정한다. 전자 저울을 이용하여 질량을 측정하고, 시료의 변의 길이와 두께, 직경과 내경을 버니어 캘리퍼스로 측정한다.
수평한 실험 테이블 위에 관성 모멘트 측정 실험 장치를 설치하고, 클램프로 강하게 고정한다. 긴 실의 한쪽 끝에 낙하용 추를 매단 후, 반대쪽 끝을 장치의 회전축에 수평으로 감는다. 고정 도르레 위에 실을 얹고, 높이를 조정하여 실이 지면과 평행하도록 한다. 추의 낙하 운동을 기록하기 위하여 카메라를 설치한다. 스탠드를 이용하여 카메라를 고정하고, 추가 지면으로 낙하하는 과정을 모두 영상으로 담을 수 있도록 위치를 잡는다.
장치에 시료를 고정하고, 추를 놓아, 낙하하는 추의 가속도를 구한다. 이는 촬영한 영상을 I-CA 프로그램으로 분석하여 구할 수 있다. 얻은 가속도 값을 이용하여 관성 모멘트를 계산하고, 이론적 값과 비교한다.
시료는 다음과 같이 총 여섯 가지 방법으로 설치하고, 각 방법을 세 번씩 반복하여 관성 모멘트를 측정한다.
두 원통형 추를 중심에서 4cm 떨어진 곳에 설치 두 원통형 추를 중심에서 7cm 떨어진 곳에 설치 두 직육면체 추를 중심에서 7cm 떨어진 곳에 설치 원판형 추를 중심에 설치 직사각판 추를 중심에 설치 고리형 추를 중심에 설치
2-2. 실험 결과 및 데이터
본 보고서의 모든 실험은 조교님이 진행하였고, 데이터 또한 모두 조교님의 측정 결과임을 밝힌다.
2-2-1. 실험 장비의 물리량
$e=1 \text{g}$의 전자저울로 낙하용 추의 질량을 두 번 측정하였고, 측정 결과는 표 1과 같다. 회전 장치의 반지름은 $R=3\text{cm}$다. 시료의 측정값은 표 2와 같다.
표 1: 낙하용 추의 질량 측정 결과 ($e=1\text{g}$)
질량 1차 측정 40.0g 2차 측정 39.9g 평균 $m_\text{weight}=39.95\text{g}$
표 2: 시료의 길이 및 질량 측정 결과 ($e_\text{mass}=1\text{g}$)
추의 모양 길이 1 (cm) 길이 2 (cm) 질량 (g) 원통형 1.5 — 233.7 직육면체 2 6 233.4 원판형 9 — 610.9 직사각판 9 17.8 640.5 고리형 8 9 609.7
2-2-2. 실험 장치의 관성 모멘트
회전 장치에 아무것도 설치하지 않았을 때, 회전 장치 자체의 관성 모멘트 $I_0$를 계산하였고, $I_0=3.34325\times 10^{-3} \text{N} \cdot \text{m}$을 얻었다. 세 번의 실험에서 측정한 추의 가속도와 관성 모멘트는 표 3와 같다.
표 3: 아무것도 설치하지 않았을 때 가속도와 관성 모멘트
가속도 (㎨) 관성 모멘트 ($10^{-3} \text{N} \cdot \text{m}$) 1차 측정 0.1018 3.42768 2차 측정 0.1020 3.42089 3차 측정 0.1096 3.18118 평균 0.1045 3.34325
2-2-3. 다양한 시료의 관성 모멘트
2-1절의 여섯 가지 방법으로 시료를 설치하여, 추의 가속도와 시료 자체의 관성 모멘트를 측정하였다. 이때 시료의 관성 모멘트는 실험 장치 전체의 관성 모멘트에서 $I_0$을 뺌으로써 계산하였다. 표 4는 모든 측정값을 정리한 것이다.
표 4: 각 방법에 대한 가속도와 관성 모멘트
가속도 (㎨) 관성 모멘트 ($10^{-3} \text{N} \cdot \text{m}$) i 1차
2차
3차 0.0868
0.0792
0.0846 0.68298
1.07279
0.78862 ii 1차
2차
3차 0.0598
0.0624
0.0610 2.51708
2.27141
2.40109 iii 1차
2차
3차 0.0598
0.0608
0.0518 2.51708
2.42011
3.42771 iv 1차
2차 0.0646
0.0540 2.07897
3.15039 v 1차
2차
3차 0.0628
0.0634
0.0626 2.23541
2.18228
2.25335 vi 1차
2차
3차 0.0448
0.0482
0.0452 4.49129
3.93611
4.42164
각 방법에 대하여, 관성 모멘트의 실험적 측정 값의 평균과 실제로 구해져야 하는 이론 값은 표 5와 같다.
표 5: 관성 모멘트의 측정 값과 이론 값 및 오차율
(단위: $10^{-3}\text{N} \cdot \text{m}$)
$I_\text{avg}$ $I_\text{theoretic}$ 오차율 (%) i 0.84813 0.80042 5.96 ii 2.39653 2.34284 2.29 iii 2.78830 2.44292 14.14 iv 2.61468 2.47415 5.68 v 2.22352 2.12347 4.71 vi 4.28301 4.42033 3.11
일반적으로 실험 값과 이론 값은 5% 정도의 정확도를 가졌다. 방법 (vi)을 제외하고 모두 실험 값이 이론 값보다 약간 더 크다는 것을 관찰할 수 있다. 방법 (iii)의 오차율은 약 14%로 상대적으로 큰 값을 가지나, (iii)의 3차 실험 결과를 제외한다면, 오차율이 1.05%로 줄어든다. 이렇듯 오차로 인하여 발생한 결과의 원인에 대해서는 3절에서 다룬다.
2-3. 오차 분석
본 절에서는 실험에서 얻은 측정 값에서 발생한 오차에 대하여 다룬다. 오차 발생 원인을 분석하고, 이러한 오차를 줄이는 방법 및 개선 방안에 대하여 논의한다.
2-3-1. 측정한 물리량의 오차
전자 저울을 이용하여 질량을 측정하고, 버니어 캘리퍼스를 이용하여 길이를 측정하는 과정에서, 사람에 의한 오차나 측정 장비의 한계에 의한 오차가 발생할 수 있다. 본 실험의 계산에 사용된 중력 가속도 $g$ 또한 장소에 따라 그 값이 달라진다. 이러한 오차들이 계산 과정에서 누적될 경우, 큰 오차로 증폭되어 결과 값에 반영될 수 있다. [3]
예를 들어, 방법 (i)의 이론적 관성 모멘트를 $8.004225 \times 10^{-4} \text{N} \cdot \text{m}$로 계산하였다. 그러나, 만일 길이의 오차가 $\pm 0.1 \text{cm}$, 질량의 오차가 $\pm 1 \text{g}$만 발생하더라도, 관성 모멘트는 $7.534826 \times 10^{-4} \text{N} \cdot \text{m}$부터 $8.491446 \times 10^{-4} \text{N} \cdot \text{m}$까지의 값을 가질 수 있다. 이 정도 범위의 오차는 실험의 오차율을 최대 10%까지 발생시킬 수 있으며, 실제 실험 결과에서 발생하였던 5% 내외의 오차를 설명할 수 있다. 측정 장비의 한계에서 발생하는 오차는 더 정밀한 장비를 사용함으로써 충분히 해결할 수 있다. 사람이 장비를 사용함으로써 발생하는 오차는, 동일한 측정 작업을 여러 번 반복하여 측정 값의 평균을 사용함으로써 오차 범위를 줄일 수 있다.
2-3-2. 실과 낙하 추에 의한 오차
본 실험에서 사용한 관성 모멘트 측정 장치는 실의 장력으로 회전 장치에 토크를 발생시킨다. 고로, 실의 장력이 균일하고 온전하게 회전판에 작용하여 $\tau = RT$ 크기의 토크를 일정하게 발생시키는 것은 아주 중요하다.
만일 실이 지면과 평행하게 감기지 않으면, $a= \alpha R$가 성립하지 않을 뿐만 아니라, 토크의 크기가 $RT$보다 작아진다. 실이 꼬여 있거나 엉켜 있을 경우에는, 실이 풀릴 때 발생하는 힘이 일정하지 않아, 회전판의 토크 $\tau$의 크기가 진동할 수 있다. 추가 낙하하면서 흔들리는 경우에는, 실이 추를 따라 진동하게 되면서 장력 $T$가 불규칙하게 변화한다.
이러한 현상은 측정 장치의 기본 가정에 어긋나며, 뜻하지 않은 오차를 불러 일으킬 수 있다. 실을 최대한 팽팽하고 평행하게 하고, 실의 꼬임에 유의하면서 실을 감으며, 추와 회전판을 최대한 정적인 상태에서 놓는다면, 위와 같은 현상에서 발생하는 오차를 줄일 수 있을 것이다.
3. 결론
본 실험에서는 다양한 모양의 시료의 관성 모멘트를 측정함으로써 중심축 정리와 ‘회전에 관한 뉴턴 제2법칙’ 등, 관성 모멘트와 관련된 여러 이론을 실험적으로 검증하였다. 비슷한 질량의 추라도 그 모양에 따라 관성 모멘트가 달랐으며, 동일한 추라도 회전축에서 떨어진 거리가 멀어질 수록 관성 모멘트도 커짐을 확인하였다.
실험을 통하여 얻은 관성 모멘트 값은 이론적인 값과 정확하게 일치하지는 않았다. 일반적으로 이론 값은 측정 결과보다 다소 작게 계산되었다. 이러한 결과의 원인으로 ‘측정 과정에서 발생한 물리량의 부정확성’, ‘실이나 추에 의하여 발생하는 오차’를 제시하였다. 특히 첫 번째 원인은 실험 결과에서 발생한 오차율 5%를 충분히 설명할 수 있을 정도로 강력하였다. 제시한 오차 원인은 모두 명확한 해결 방안이 있기 때문에, 이를 보정하여 더욱 정확한 실험을 시행할 수 있을 것으로 기대된다.
4. 참고 문헌
[1] Halliday. et al, “일반물리학”, 개정10판, John Wiley & Sons, Inc. p.319. [2] 서울대학교 물리학실험 매뉴얼, “실험 1-2. 관성모멘트 측정”. Retrieved 16 April 2020. [3] Berkeley Seismology Laboratory. University of California. “Data Analysis Toolkit #5: Uncertainty Analysis and Error Propagation”, Kirchner, James. Retrieved 22 April 2016.보고서 원본
관성모멘트 측정
구성품
특징
실험 이론
τ=Iα
실험 목록
• 관성모멘트 측정 실험을 통해 물체의 관성모멘트를 효과적으로 학습할 수 있다.• 관성모멘트가 다른 3가지 종류의 디스크가 포함되어 있어 다양한 실험이 가능하다.• 슬롯 추를 이용하여 토크의 변화를 주며 실험할 수 있다.• 토크를 주는 도르래의 각도를 조절할 수 있도록 설계되었다.• Vernier MBL 센서를 이용하여 정밀한 측정이 가능하다.관성 모멘트란 물체가 회전 운동을 하는 상태를 계속 유지하려는 성질을 의미한다. 동일한 물체라도 회전 축의 위치에 따라 관성 모멘트 값은 얼마든지 달라질 수 있다. 이는 회전계에서 힘에 저항하는 요소가 단순히 질량만 있지 않다는 것을 의미한다. 즉, 관성모멘트를 결정하는 요소에는 질량 중심과 회전 축 간의 거리가 포함된다.회전 계에서는 힘과 각가속도의 관계식을 아래와 같이 정의한다.위 식을 관성모멘트에 관한 식으로 바꾸어 쓰면 아래와 같다.수식을 통해 알 수 있듯 물체에 작용하는 토크와 각가속도만 알면 회전하는 물체의 관성 모멘트를 구할 수 있다. 본 실험에서 물체에 작용하는 토크는 추의 무게이며, MBL센서를 통해 각가속도를 측정하여 관성 모멘트를 확인할 수 있다.각가속도(α)란 회전계에서 단위 시간당 각속도의 변화량을 나타내는 벡터량이다. 각속도(ω)는 단위 시간당 회전한 각도를 말한다.• 구심가속도 측정 실험• 관성모멘트 측정 실험• 회전 운동의 이해
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