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행렬의 랭크는 행렬이 나타낼 수 있는 벡터 공간에서 기저의 개수를 의미하고, 이 기저는 서로 독립인 행또는 열의 벡터의 개수에 의해서 결정된다.

랭크1

[기초 선형대수] 행렬에서 Rank (랭크) 란? : 네이버 블로그

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[기초 선형대수] 행렬에서 Rank (랭크) 란?

여기서 보면, 임의의 행렬 A가 있을 때, 이 행렬의 Rank 라는 것은 이 행렬의 열들로 생성될 수 있는 벡터 공간의 차원을 의미한다고 한다. 선형 대수에 익숙하다면 이글만 봤을 때, 바로 이해가 될 것이지만, 그렇지 않은 경우도 있으니, 좀 더 구체화 시켜보자.

위키에서 또 말하길, 행렬 A의 열들 중에서 선형 독립인 열들의 최대의 개수를 Rank라고 하고, 이것은 행에 대해서 나타내어 지는 공간의 차원과도 같다고 한다. 결국 차원이라고 하면 벡터 공간 상에서 기저(Basis)의 개수에 의해서 결정이 되고, 이것은 행렬의 행이라고 봐도 되겠다. 그래서 각각의 선형 독립인 행의 개수에 의해서 차원이 결정 된다고 하니, 각각의 기저로 본다고 볼 수 있겠다. 벡터의 기저의 정의를 봐도, 서로 독립인 벡터들이 기저가 되고, 이것에 의해서 벡터 공간이 정의 된다.

좀 더 많은 Rank에 관한 정의를 살펴보자.

A라는 행렬의 Column rank는 Column space의 차원을 의미하고 Row rank는 Row space의 차원을 의미한다. 결국 행에서 선형 독립인 벡터의 개수와 열에서 선형 독립인 벡터의 개수를 구분해서 정의하겠다는 소리다.

그리고 여기서 중요한 사실 하나를 인식하자.

선형 대수에서는 이렇게 따로 계산할 수 있는 행과 열의 Rank는 항상 동일하다는 것이다. 따라서, 구지 따로 계산할 필요 없이 한쪽만 계산해서 A의 Rank라고 일반적으로 말해도 되는 것이다.

다음으로는 Full rank에 대해서 알아보자.

Full Rank는 다름이 아니라, 해당 행렬이 가질 수 있는 최대로 가능한 Rank의 값이 되겠다. 그런데 앞서 말했듯이, 행과 열의 각각의 Rank는 서로 같은 값을 가진다고 하였으므로, 아래와 같이 어느 한 쪽에서 작은 값의 사이즈가 Full Rank의 값이 되겠다.

Rank(A) = Min(m,n)

즉, Full Rank는 한 행에서 전부 다 선형 독립이거나, 또는 한 열에서 전부 다 선형 독립인 벡터 기저들을 가진 경우라고 볼 수 있겠다.

이제는 예제를 통해서 보다 자세히 Rank의 개념에 대해서 확인해보자.

먼저 정방 행렬의 경우로 예를 들어보자.

행렬의 계수, 랭크(The Rank of matrix)

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어떤 한 행렬의 여러가지 특성을 보여주는 지표로서 ‘랭크(rank)’는 단언컨데 가장 막강한 위력을 발휘합니다. 행렬의 랭크를 알면 행과 열의 독립성, 행공간의 차원, 차원정리, 가역성, 기본행연산 등등에 관한 내용을 완벽히 파악할 수 있습니다. 랭크는 몇몇 전공서적에서는 행렬의 ‘계수’라 번역해 두었는데, 혼동의 여지가 있으니 본 블로그에서는 그렇게 쓰지 않을 것입니다. 오늘은 랭크를 구하는 방법을 알아볼 것인데, 랭크는 피벗을 설명했을 때 처럼, 랭크 역시 한 줄의 정의로는 개념에 대한 정확한 체득이 어렵고 정의가 다양하기 때문에, 기초부터 천천히 그 뜻을 헤아려 봅시다.

1. 랭크의 정의(Definition of Rank)

1) 행과 열의 기본적 특성으로 정의

랭크에 대한 정의는 크게 4가지로 분류할 수 있습니다. 2개는 선형변환(Linear transform)과 관련된 정의이고 나머지 2개는 행렬과 관련된 것으로 생각하면 될 것 같습니다. 선형변환에 대해서는 아직 블로그에서 다룬 적이 없어서, 이에 대한 2가지 정리는 본 글의 마지막에서 간단히 언급하겠습니다. 참고로 선형변환을 곁들어 정의한 랭크의 뜻이 더 어렵습니다. 우리가 할 것은 순수 행렬에 관한 지식으로 랭크를 정의하는 것이고, 그 내용은 다음과 같습니다.
[랭크의 정의]
행렬 $A$의 ‘랭크(rank)’는 $\mathrm{rank}(A)$ 로 표기하고 다음이 가리키는 것과 같다.

① 행렬의 일차독립인 행 또는 열의 최대 개수

② 행렬 $A$의 pivots 의 개수

③ 행렬의 랭크(rank)는 그 행렬의 열벡터들에 의해 생성된 벡터공간의 차원(dimension)이다.

①은 행렬의 랭크를 구할 때 가장 많이 애용하는 방법입니다. $m \times n$ 행렬은 $m$개의 행과 $n$개의 열이 있습니다. 행렬의 랭크는 $m$개의 행 중에서 일차독립인 행의 최대 개수 또는 $n$개의 열 중 일차독립인 열의 최대 개수와 같습니다. 모든 열이 서로 일차독립이라면, 행렬의 랭크는 $n$이 됩니다. 모든 행이 서로 일차독립이라면, 행렬의 랭크는 $m$이 됩니다. 아니, 그렇다면 $m \times n$ 행렬에서 모든 행끼리, 모든 열끼리 서로 일차독립이면 어떻게 되는지 궁금하지 않나요? 결론부터 말하지만 그럴 일은 없습니다. 행 관점에서 보든, 열 관점에서 보든 항상 최대 일차독립인 행 또는 열의 개수는 한 행렬에서 동일하게 나옵니다. 이 특징은 좀 더 전문적인 말로 ‘한 행렬의 열공간의 차원과 행공간의 차원은 같다’고 표현합니다.

반면 ②를 보면 한 행렬의 랭크는 그 행렬의 피벗의 개수라고 했습니다. 피벗을 구하는 방법은 전 포스팅에서 다루었었고 그 원리는 승수(multipler)라는 것을 곱하여 미지수를 소거해 계수행렬을 상삼각행렬로 바꾸는 것이었습니다. 때때로 소거를 진행했을 때 부정이나 불능이 발생하면 피벗이 있어야 할 자리에 0이 생기고 피벗을 구할 수 없게 되었습니다. 부정이나 불능이 아니라면, 소거법을 사용해 미지수의 개수만큼 피벗을 구할 수 있었지요. 그러나, 이 방법은 종종 ①에 비해서는 복잡한 경우가 있습니다. (예제 참조) 그리고 $\mathrm{pivot}$ 을 구하는 주된 까닭은, 랭크를 찾기 위해서도 있지만 행렬의 가역성이나 연립일차방정식의 해를 구하는 등의 상황을 만나기 때문이기에, ②는 ‘②를 써서 랭크를 구하세요!’ 때문이 아니라 ‘만약 어떤 행렬의 $\mathrm{pivot}$ 개수를 알고 있다면, 그것은 랭크와도 같아요’ 를 써먹으라는 의도에서 알려드리는 것임을 꼭꼭 명심하시기 바랍니다.

또한 벡터공간에 대한 글에서, 차원을 언급한 적이 있습니다. 서로 독립인 $n$개의 벡터는 선형결합을 통해 $n$차원의 모든 점을 나타낼 수 있었다고 하였지요. 이 원리를 이용하면, 행렬의 랭크를 ③처럼 규정할 수도 있습니다.

몇가지 행렬들로 예제를 풀어봅시다.

예제 1) 행렬 $A$의 랭크를 구하여라.

$$ A=\begin{pmatrix}

1 & 2 & 1 &1 \\

1 &1 & -1 & 1

\end{pmatrix}$$

$n$차 정사각행렬이 아니라면, 피벗에 관한 포스팅에서 설명한 방법으로 $A$를 피벗만 남긴 상삼각행렬 꼴로 바꿀 수가 없겠지요. 그래서, 굳이 피벗보다는 행이나 열들의 독립, 종속관계를 파악하는 ①로 접근하는 것이 수월합니다. $2 \times 4$ 행렬인데, 1열과 4열이 이미 같으니 열 관점에서 보면, 1열과 4열은 같고 3열은 이 두 열과 종속입니다. $(1,1)$과 $(1,-1)$은 종속인 벡터지요. 그 뒤 2열은 1,3열이 만든 공간 안에 들어오므로 $A$의 독립인 최대 열의 개수는 2이므로 $\mathrm{rank}(A)=2$ 입니다.

답을 구하기는 했지만 행 관점에서도 똑같이 랭크가 구해지는지 봅시다. 1행과 2행은 독립일까요? 맞습니다. 이것을 어떻게 확인할까요? 사실 쉽게 가는 방법은 1열과 4열은 이미 같으니 1행과 2행에서 각각 2,3열만 조사하면 됩니다. 즉 $(2,1)$과 $(1,-1)$은 일직선에 있지 않으니 독립이므로, 1행과 2행은 독립입니다. 이 원리가 이해가지 않는다면 2,3차원이면 몰라도 4차원 벡터는 그림을 그릴 수는 없으니까 독립과 종속의 정의대로 가야 합니다. 어떤 상수 $a,b$에 대하여 $a(1,2,1,1)+b(1,1,-1,1)=0$ 이 성립한다면 $a+b=0\;,\;2a+b=0\;,\;a-b=0$ 이어야 하므로, 이를 만족하는 유일해는 $a=b=0$ 이기 때문에 행 관점에서 두 벡터가 독립이라 $\mathrm{rank}(A)=2$ 가 됩니다.

예제 2) 행렬 $A=\begin{pmatrix}

5 & 6 &1 &2 \\

5 & 7 & 1 & 4\\

5 & 8 & 1 & 7

\end{pmatrix}$ 의 랭크를 구하여라.

어떤 방법을 쓸지 고민해야 하는데, 1열과 3열을 딱 보니 서로 종속이므로 독립인 최대 열의 개수를 찾는게 좋아 보입니다. 2열의 $(6,7,8)$ 벡터와 4열의 $(2,4,7)$이 $(1,1,1)$과 같은 방향에 놓여 있지 않음을 알 수 있습니다. 이는 계수를 설정해 벡터의 종속 및 독립성 판단을 하면 알 수 있습니다. 그리하여 $A$의 독립인 최대 열 개수가 3이라 판단하고 $\mathrm{rank}(A)=3$ 입니다.

예제 3) 행렬 $B$의 랭크를 구하여라.

$$B=\begin{pmatrix}

1 &4 \\

-3 & -12

\end{pmatrix}$$

$2 \times 2$ 행렬은 랭크를 구하기 쉽습니다. 2차원 벡터 두개만 좌표평면에 그려보면 바로 독립성을 알 수 있기 때문이죠. 행 관점에서 보면 $(1,4)$를 $-3$배하면 2행 $(-3,-12)$가 얻어지니 두 벡터는 종속입니다. 열 관점에서는 1열 $(1,-3)$을 $4$배 하면 $(4,-12)$가 되니 역시 종속입니다. 따라서 $\mathrm{rank}(B)=1$ 입니다.

추가로 ②의 방법을 사용해 pivot 의 개수를 구해봅시다. 1개가 나와야 정답입니다. 2행의 1열 자리를 0으로 바꿔 상삼각행렬을 만드는 것이 목표겠지요? 1행에 $-(-3)/1=3$을 곱하고 두 행을 더해 2행을 대체합니다. 대체된 2행은 $0y$가 생성되었으니, 2번째 $\mathrm{pivot}$ 은 존재하지 않습니다. 행렬 $B$의 $\mathrm{pivot}$ 개수는 $1$이므로 랭크도 $1$입니다.

$$B’=\begin{pmatrix}

1 &4 \\

0 & 0

\end{pmatrix}$$

예제 4) 아래 연립방정식에서 계수행렬의 랭크를 구하여라.

$$ \left\{\begin{matrix}

x-2y=1\\

3x+2y=11

\end{matrix}\right. $$

2열을 딱 보니, 부호만 다르므로 열 관점으로 보는 것이 좋습니다. $(1,3)$과 $(-2,2)$는 일직선에 놓여있지 않으므로 두 벡터는 독립이라, 계수행렬의 랭크는 2입니다.

2) 선형변환으로 정의

선형변환에 관한 내용도 포스팅을 해 두었으니 카테고리에서 찾으시면 됩니다. 행렬과 선형변환은 동형(isomorphic)이므로 랭크는 선형변환으로도 정의할 수 있습니다.

벡터공간 $V,W$ 와 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 에 대하여 $T$ 의 상(image, range) $R(T)$ 의 차원을 랭크(rank)라 하고, $\mathrm{rank}(T)$ 라 표기한다.

행렬 $A\in M_{m,n}(F)$ 에 대하여 $A$ 의 랭크(rank)는 선형변환 $L_A:F^n \rightarrow F^m$ 의 랭크로 정의하고 $\mathrm{rank}(A)$ 로 표기한다.

2. 랭크에 관한 중요한 정리

1) 랭크의 전치, 행공간과 열공간

정리($L.A$) 2.1

임의의 $A\in M_{m.n}(F)$ 에 대하여 행렬 $A$의 랭크(rank)는 $A$의 행랭크(=열랭크)로 정의되고, 다음이 항상 성립한다.

$$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{dim}(R(A))=\mathrm{dim}(C(A))=\mathrm{rank}(A^T)$$

$R(A)$와 $C(A)$는 각각 행공간과 열공간입니다. 이는 행렬의 행벡터와 열벡터들이 선형결합을 통해 만든 벡터공간에 해당합니다. 그런데 임의의 행렬에서 랭크를 구할 땐 선형독립인 행 또는 열의 최대 개수를 세게 되는데, 행을 선택하든, 열을 선택하든 그 결과가 항상 똑같기 때문에(위 예제들에서 설명했죠) 행벡터로 선형결합을 만들던, 열벡터로 선형결합을 만들던 생성되는 도형도 같고, 도형의 차원도 당연히 같습니다.

고로 행공간의 차원(=행랭크=행계수)과 열공간의 차원(=열랭크=열계수)는 항상 같으며 이 값을 행렬의 랭크(rank)로 정의하기도 합니다. 행과 열 둘 중 무엇을 선택하든 행렬의 랭크가 같으니, 임의의 행렬 행렬 $A\in M_{m,n}(F)$의 전치행렬 $A^T$의 랭크 역시 행렬 $A$의 랭크와 똑같습니다. 이것은 매우 중요한 랭크의 성질입니다.

2) 계수-퇴화차수 정리(The rank-nullity Theorem) = 차원정리(dimension Theorem)

원래 이 정리는 선형변환에서 즐겨 쓰는 정리인데, 지금으로선 까마득히 먼 미래에 설명하겠지만, 선형변환과 행렬은 ‘동형(isomorphic)’의 관계에 놓여있습니다. 이것은 동치(equivalent)라 생각하면 됩니다. 뭐랄까… 자연현상을 수식으로 써서 표현할 수 있을 때, 그 둘은 동치라고 하지 않습니까? 그런 관계입니다. 입고 있는 옷만 다른데 같은 사람인.. 그런걸 동형이라고 합니다. 외형은 같지만 저쪽(선형변환)에서 이쪽(행렬)로 자유롭게 왔다 갔다 할 수 있는.. 그런 관계를 말합니다. 그리하여, 행렬에서도 이 정리는

정리($L.A$) 2.2

벡터공간 $V,W$ 와 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 에 대하여 $V$의 차원이 $n$으로 유한차원이면 다음이 성립한다.

$$\mathrm{rank}(T)+\mathrm{nullity}(T)=\mathrm{dim}(V)\;\;\Rightarrow\;\; r + (n-r) = n$$

으로 성립합니다. $\mathrm{nullity}(A)$는 행렬 $A$의 영공간의 차원입니다. 이 정리에 대한 자세한 설명은 영공간을 설명하면서 진행할 것입니다. 이 정리는 주로 정사각행렬이 아닌 행렬의 연립방정식의 해를 구할 때 이 정리가 매우 요긴하게 쓰입니다.

3. 특이한 행렬의 랭크

수학이나 공학, 과학에선 대부분 정사각행렬을 활용하고 가역성에 대한 논의 역시 정사각행렬에 대해서 합니다. 상대적으로 행벡터나 열벡터, 직사각형 행렬은 드물게 등장하지만 그래도 연립방정식 이론에선 이들이 중요하기에 랭크를 찾는 방법을 연구해 봅시다.

1) 직사각형 행렬

직사각형 행렬은 행의 개수와 열의 개수가 일치하지 않아 정사각행렬은 아닌 직사각형 모양의 행렬을 말합니다. 이것에 대해서는 랭크를 구할 때 독립인 행 또는 열의 최대 개수를 세는 방법으로 가도 되고, 소거법을 써서 pivot의 개수를 세는 것도 좋습니다. 예제 1), 예제 2)에서 이미 연습을 한 바 있습니다.

2) 행벡터와 열벡터

행벡터와 열벡터의 경우, 영행렬 즉 모든 성분이 0이 아니라면 랭크는 $1$입니다. 예컨대 $m$개의 행을 가진 열벡터 $C$에 대하여, $m$개의 성분 중 $k

[선형대수] 랭크(rank), 차원(dimension)의 의미

랭크(rank), 차원(dimension)의 의미

안녕하세요, 오늘은 선형대수에서 아주 중요한 개념인 랭크(Rank)와 차원(Dimension)에 대해 알아보겠습니다. 그 전에 우선 벡터공간, 부분공간의 설명이 선행되어야 하므로 벡터공간에 대한 설명으로 시작하겠습니다.

벡터공간(Vector Spaces)

지난 시간에 설명드렸던 기저(basis)에서 알 수 있듯, 기저는 벡터 공간을 생성하는 선형독립인 벡터들이라고 했습니다. 반대로 말하면 벡터공간은 기저 벡터로 생성 가능한 공간 이라고 생각할 수 있겠네요. 좀 더 간단히 말하면 어떤 벡터 집합이 있을때, 그 벡터들로 구성할 수 있는 공간을 벡터 공간이라고 하면 이해하기 쉬우실 것 같아요. 혹시 지금까지 설명이 어려우시다면 기저(basis)를 참고해주세요.

부분공간(Subspaces)

부분공간은 이름 그대로 전체 공간의 일부분을 의미합니다. 즉, 어떤 벡터집합의 일부분으로 만든 공간을 전체 공간의 부분 공간이라고 합니다. 예를들어 기저벡터 3개가 있다고 하면, 그 3개의 벡터로 만들수 있는 공간을 전체 벡터공간이라고 하며, 기저벡터 3개 중 일부인 2개나 1개만 사용해서 만들수 있는 공간이 부분공간입니다. 예를 들어, 전체 공간을 3차원 공간이라 했을때 전체 공간의 일부인 선(line)이나 면(plane)은 3차원 공간의 부분공간이라고 할 수 있죠.

Span

편의상 전체 벡터공간 V가 10차원이고, 2개의 기저 벡터 집합을 S라고 하고, 집합 S에 속하는 기저 벡터들로 구성되는 2차원 부분 공간을 W라고 했을 때 S는 부분 공간 W를 span한다고 말하고 W = span(S) 라고 표현합니다. 위의 예에서는 전체가 10차원 공간이지만 기저벡터가 2차원까지만 표현 가능하므로, span되는 공간은 2차원이라고 할 수 있죠. span은 자주 쓰이기도 하고 중요한 개념이므로 확실히 알아두시면 좋습니다.

열공간(column spaces), 행공간(row spaces)

행렬을 바라보는 방식에는 두 가지가 있습니다.

전자와 같이 행기준으로 표현했을때는 행렬의 행벡터라고 부르고, 후자와 같이 표현했을때는 열벡터라고 부릅니다. 마찬가지로 벡터가 주어졌을때, 그들로 행렬을 구성하는 방식에도 두가지가 있습니다.

벡터공간의 정의를 응용하면 행벡터로 span 할 수 있는 공간을 행공간이라고 부르고, 열벡터로 span 할 수 있는 공간을 열공간이라고 부릅니다. 다른 말로는 어떤 행렬의 행(열)벡터들이 나타낼 수 있는 선형결합의 집합이라고 할 수 있습니다.

영공간(null spaces)

영공간은 Ax = 0 을 만족시키는 벡터 x의 모임을 뜻합니다. 앞서 내적의 정의를 연관지어 생각하면, x를 기저벡터라고 놓고 Ax를 행렬 A를 기저 x에 정사영 시킨다고 생각해 봅시다. 그러면 Ax=0이라고 했으니 A와 x의 내적의 결과가 영벡터라는 것을 알 수 있습니다. 이해가 잘 안되신다면 아무 것도 없는 공간이라고 생각하실 수 있을 거같아요. 정리하면 주어진 행렬 A가 있을때 행렬 A는 열공간, 행공간, 영공간으로 구성 됩니다.

차원(dimension)

차원을 설명하기 위해선 기저(basis)에 대한 이해가 선행 되어야 하는데요. 기저 포스팅에서 알 수 있듯, 기저는 한 공간을 구성 할 수 있는 벡터 집합입니다. 그리고 기저 벡터의 갯수를 차원(dimension)이라고 부르는데요. 쉽게 말해서 3차원 공간을 구성하는데는 3개의 기저벡터가 필요하다는 뜻이지요. 그럼 10차원 공간을 구성하는데는 몇개의 기저벡터가 필요할까요? 네, 10개가 필요합니다. 참고로 영공간의 차원은 nullity라고 부릅니다.

열공간과 행공간의 차원

그렇다면 열공간의 차원과 행공간의 차원은 같을까요, 다를까요? 직관적으로 생각해본다면, 행공간이나 열공간이나 결국 같은 행렬을 바라보는 관점의 차이일 뿐이므로 행공간의 차원과 열공간의 차원은 같습니다.

위 행렬을 전자와 같이 보았을땐 행렬 2개로 만드는 공간이라고 볼 수 있죠. 반면 후자와 같이 바라본다면 행렬 3개로 만드는 공간이라고 볼 수 있습니다. 이런 경우 행공간의 차원과 열공간의 차원을 무엇일까요? 얼핏 보면 행공간은 벡터 2개이니 2차원, 열공간은 벡터 3개이니 3차원이라고 생각할 수 있지만, 열공간의 차원 사실 2입니다. 벡터는 3개이지만 3개 모두 선형 독립은 아니거든요. 기저 <- 참고 랭크(Rank) 자, 드디어 랭크까지 왔습니다. 위에서 여러가지 설명을 했던건 다 지금부터 설명할 랭크를 설명하기 위함이었습니다. 아마 지금까지 잘 따라오셨다면 랭크도 이해하실 수 있을 것입니다. 사실 이 부분은 수식없이 설명하기 좀 어려운 부분이 있지만…음…우선 위키백과 정의부터 보겠습니다. In linear algebra, the rank of a matrix A is the dimension of the vector space generated (or spanned) by its columns. 위키백과 정의에 의하면 어떤 행렬 A의 랭크는 해당 행렬의 열벡터에 의해 span된 벡터공간의 차원 이라고 합니다. 따라서 위 행렬의 랭크는 2 입니다. 랭크의 성질 앞에서 행공간과 열공간의 차원은 같다고 했죠. 이와 연관된 랭크의 중요한 성질 중 하나는 아래와 같습니다. $ rank(A) = rank(A^{T}) $ 즉, 어떤 행렬 A의 랭크와 A의 전치행렬의 랭크는 같다는 것입니다. 또한 A가 m by n 행렬이라고 했을 때, 앞서 말한 차원을 랭크의 개념을 이용해서 설명하면 아래와 같이 표현할 수 있습니다. $ n = rank(A) + nullity(A) $ $ m = rank(A^{T}) + nullity(A^{T}) $ 여기서 n은 열수, m은 행수를 의미합니다. 또한, $n = rank(A)$, 혹은 $m = rank(A^{T})$일때 풀 랭크(full rank)라고 합니다. 잠깐! 선형대수, 머신러닝에 대해 좀 더 자세히 알고 싶다면? 선형대수와 통계학으로 배우는 머신러닝 with 파이썬 알고리즘 구현으로 배우는 선형대수 with 파이썬

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