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어떤 조건을 만족시키는 점들이 도형을 이룰 때, 이 도형을 주어진 조건을 만족시키는 점들의 자취라 한다. 이 때 특정한 조건을 만족시키는 자취 위의 임의의 점 P(x,y)에 대하여 x, y 사이의 조건을 x, y로 나타낸 식 f(x,y)=0을 자취의 방정식이라 한다.

84. 자취의 방정식 – 개념정리

자취의 방정식 – JW MATHidea

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자취의 방정식 (6)

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자취의 방정식에 대하여 알아보자

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Summary of article content: Articles about 자취의 방정식 – 점의 자취 고등수학, 고등물리의 개념 및 기본예제풀이와 기출문제 풀이 있습니다. pc로 작성되었기 때문에 pc로 보시는게 편합니다. …
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유형 12 자취의 방정식 점의 자취 개념 09-12 1024 직선 ... | 콴다(QANDA)에서 풀이 방법 보기 — 유형 12 자취의 방정식 점의 자취 개념 09-12 1024 직선 … | 콴다(QANDA)에서 풀이 방법 보기

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수학 – 수학(상) – 도형의 방정식- 오누이

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자취의 방정식

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자취의 방정식

어떤 조건을 만족시키는 점들이 도형을 이룰 때, 이 도형을 주어진 조건을 만족시키는 점들의 자취라 한다.

이 때 특정한 조건을 만족시키는 자취 위의 임의의 점 P(x,y)에 대하여 x, y 사이의 조건을 x, y로 나타낸 식 f(x,y)=0을 자취의 방정식이라 한다.

자취의 방정식을 구한는 순서는 다음과 같이 한다.

(1) 좌표축위에 적당한 점 P(x,y)를 잡는다.

(2) 주어진 조건을 이용하여 x, y사이의 관계식을 만든다.

(3) 식을 정리하여 x, y이외의 문자는 소거하고 간단히 하여 제한된 범위를 따진다.

자취의 방정식은 주어진 조건을 만족하는 x와 y의 관계식이라 생각하면 된다. 관계식은 직선이 될 수도 있고 원이 될 수도 있고 또 다른 도형 이차 도형이 될 수 있다. 조건에 맞는 식을 만들어 관계식을 끌어 낼 수 만 있다면 자취의 방정식은 쉽게 세울 수 있을 것이다.

예) 원은 정점 C(a,b)에서 떨어진 거리가 r인 점의 자취의 방정식이다.

구하고자 하는 점을 P(x, y)로 놓는다.

C(a,b)와 P(x,y) 사이의 거리가 r이므로 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 구하면 된다.

양변을 제곱하면 이라는 원의 방정식을 구할 수 있다.

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자취의 방정식 (6)

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문제)

점 P를 (a, b)

점 Q를 (x, y)로 놓고 시작합니다.

점 Q는 선분 AP를 2:1로 내분하는 점이므로

a와 b에 대한 식으로 각각 정리하면

이 식에

위에서 구한 a, b를 대입하고

정리하면

식을 바꿔보면

이 놈이 바로

우리가 구하려는 자취의 방정식입니다.

그런데 이 문제를

대칭시킨 자취의 방정식을 구할 때처럼 (자취의 방정식 (3))

주어진 원의 중심의 좌표를 구하고 (-1, 3)

(3, 2)와 (-1, 3)을 2:1로 내분하는 점을 구해서

이렇게 구하면 안돼욧..!!

대칭시킬 때는

처음 그래프와 자취의 그래프의 반지름이 같지만

내분할 때는

처음 그래프와 자취의 그래프의 반지름이 달라지거든요..!!

다시 말해

처음 주어진 원의 반지름이 2라고 해서

우리가 구하려는

자취(원)의 반지름도 2라는 보장이 없다는 말씀..!!

위에서 구한 답(자취의 방정식)을 보면

반지름의 길이가

2가 아니라 4/3인 걸 확인할 수 있습니다.

이것저것 헷갈리면

대칭시킨 자취의 방정식이든

내분한 자취의 방정식이든

그냥

자취의 방정식을 구하는 순서대로 구하면 됩니다.

괜히 조금 편하려다가

틀리는 것보단 낫잖아요… ;;;;;

그래도 난 곧 죽어도

다른 방법으로 구해야겠다면

원 위에 아무 점이나 하나잡고

내분점을 구합니다.

(1, 3)을 잡으니 (5/3, 8/3) 이 나오네요

그럼

우리가 구하려는 자취의 방정식은

따라서

우리가 구하려는 자취의 방정식은

처음에 구한 자취의 방정식과 같습니다..!!

뭐… 지금까지 설명을 하긴했지만

여기까지 하나하나 이해하면서 따라오신 분이 계실라나..? ;;;;;

사실 자취의 방정식을

이렇게까지 자세히 이해할 필요는 전혀(?) 없습니다.

여러분은

기본개념과 풀이만 정확히 이해하고 문제를 풀면 됩니다.

이런 잔머리를 동원한 편법적인(?) 풀이는

나중에요~ ^-^//

요기로 가면 → www.gajok.co.kr/math.html

다른 글들도 편리하게 볼 수 있습니다.

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자취의 방정식에 대하여 알아보자.

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자취의 방정식이란?

점의 자취란 일정한 조건에서 점이 움직일 때, 그 점의 집합 전체가 이루는 도형을 말한다. 그렇다면 자취의 방정식은 이 점의 자취를 표현한 방정식이라고 말할 수 있겠다.

x의 좌표가 1인 점들의 자취

위 좌표평면에 그어진 선의 방정식은 x=1이다. 이 선은 x의 좌표가 1인 선들의 집합이라고 말할 수 있다. 다시 말하면 이 선을 나타내는 방정식 x=1은 x의 좌표가 1인 점들의 자취라고 말할 수 있는 것이다.

자취의 방정식을 구하는 방법

자취의 방정식은 특정한 조건을 만족하는 점의 자취를 구하는 식이다.

대부분의 자취의 방정식을 구하는 방법은 다음 과정에 따른다.

어떤 조건을 만족하는 점의 자취를 구한다면…..

① 조건을 만족하는 점의 좌표를 P(x, y)로 둔다.

② 주어진 조건을 이용하여 x와 y의 관계식을 세운다. 가장 중요한 과정이다. 주어진 조건이 어떤건지에 따라 관계식을 세우는 방법은 다소 차이가 있기 때문에…. 주어진 조건을 보고 여기서 뭘 알 수 있는지 잘 생각해야 한다.

③ x, y외의 문자가 있다면 그 문자를 소거하자.

자취의 방정식의 예시

우리가 접할 수 있는 모든 직선, 도형 등이 어떠한 조건을 만족하는 자취의 방정식이라고 말할 수 있다. 그렇기 때문에 자취의 방정식의 예시를 들자면 정말 셀 수도 없는 수많은 도형, 직선, 곡선 등등이 예시가 된다. 그중에서도 대표적인 자취의 방정식 예시가 될 수 있는 것들에 대해 알아보겠다.

① 원의 방정식

가장 대표적인 자취의 방정식의 예시라고 할 수 있다. 원의 정의는 평면에서 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점의 자취를 말한다. 이 때, 정점은 원의 중심, 그 정점에서의 일정한 거리는 반지름의 길이가 된다.

정리하면 점(a, b)를 중심으로 같은 거리(r)에 있는 점의 자취다.

이것을 자취의 방정식을 구하는 과정으로 살펴보자.

① 조건을 만족하는 점의 좌표를 P(x, y)로 둔다.

② 주어진 조건을 이용하여 x와 y의 관계식을 세운다.

주어진 조건을 보면 관계식을 어떻게 세워야 하는지 감이 온다. 점(a, b)을 중심으로 같은 거리(r)에 있는 점의 자취니까 점(a, b)과 점(x, y)의 거리가 r이 나오는 식을 세우면 된다. 점과 점 사이의 거리를 구하는 공식을 사용하면 쉽게 x와 y의 관계식을 세울 수 있다.

이렇게 하면 중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식이 만들어진다.

③ x, y외의 문자가 있다면 그 문자를 소거하자.

해당 예시는 자취를 이루는 점에서는 x, y 외의 문자는 없기 때문에 따로 소거하는 과정 없이 ②에서 마무리가 된다.

(a, b)는 점의 자취를 나타내는 점이 아니니 착각하지 말자.

두 점으로 부터 같은 거리에 있는 점의 자취의 방정식

두 점 A(1,2), B(-2,4)로 부터 같은 거리에 있는 점의 자취의 방정식을 구한다면….

임의의 점 P(x, y)를 두고 각 두 점과의 거리가 같다는 조건이 있기 때문에 이 것을 이용하여 관계식을 세우면 된다.

점과 직선 위의 점을 연결한 선분의 중점의 자취의 방정식

직선 3x-4y=5 위의 점과 점 A(2, 4)을 연결한 선분의 중점의 자취의 방정식을 구하면….

직선 3x-4y=5 위의 점을 B(a, b)로 두면……

예시를 익혀두는 것도 좋지만 자취의 방정식을 구하는 과정을 잘 깨우쳐야 한다.

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자취의 방정식 – JW MATHidea

[보충] 자취의 방정식

자취의 방정식 (6) :: 수학공부

자취의 방정식에 대하여 알아보자.

자취의 방정식 – 점의 자취

유형 12 자취의 방정식 점의 자취 개념 09-12 1024 직선 … | 콴다(QANDA)에서 풀이 방법 보기

수학 – 수학(상) – 도형의 방정식- 오누이

자취의 방정식

자취의 방정식 (6)

자취의 방정식에 대하여 알아보자.

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