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상미분방정식 기초 미분방정식 공식 정리 미분방정식 실생활 계산기
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미분 방정식 공식 정리
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[MATH/공수] 1계 상미분방정식 푸는 법 – 경호의 개발일지
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변수분리
완전상미분방정식과 적분인자
선형상미분방정식
Bernoulli 방정식
진로설정과 앞으로의 계획
[MATH공수] 고계 선형상미분방정식 푸는 법 [MATH공수] 2계 선형상미분방정식 푸는 법 [백준Python] 최단경로자꾸 생각나는 체리쥬빌레 :: 미분방정식 | 1계 선형 미분방정식과 풀이법 | 해 구하기 | “적분 인자”란?
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미분방정식 1계 선형 미분방정식과 풀이법 해 구하기 적분 인자란
1계 선형 미분방정식 형태
1계 선형 미분방정식 해 구하는 방법 – 두가지
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1차 선형 미분방정식::::수학과 사는 이야기
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1차 선형 미분방정식
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미분방정식의 풀이 정리
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- Summary of article content: Articles about 미분방정식의 풀이 정리 미분방정식의 풀이 정리. DimenErno 2019. 9. 26. 13:10. Exact Equation. Exact Differential: ∂M∂y=∂N∂x ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x 일 때 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 M … …
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상미분방정식 기초 미분방정식 공식 정리 미분방정식 실생활 계산기
– 상미분방정식 기초
계수order 미분방정식에 포함되는 최고계의 도. 함수의 계수. 차수degree 최고계의 도함수의 차수. 계order of 상미분방정식. 변수 에 관한 의 계도 1.1 미분방정식의 기초와 응용
상미분 방정식常微分方程式, 영어 ordinary differential equation, 약자 ODE은 미분 방정식의 일종으로, 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 경우를 누락된 검색어 기초정의 · 선형 상미분 방정식 · 제차 선형 상미분 방정식 · 비제차 선형 상미분 방정식 상미분방정식
1차 미분방정식의 개요. 이전 포스팅에서 다룬것을 요약하면 미분방정식이란 하나 또는 그 이상의 도함수가 포함된 방정식을 뜻하며 y를 구하는 1계 상미분방정식first
미분방정식을 함수론적으로 연구하였고, I.L.푹스는 1965년 선형상미분 방정식의 이론적 기초를 확립하였다. A.M.르장드르는 타원함수를, J.H.푸앵카레는 보형함수保形 미분방정식微分方程式, differential equation
– 상미분방정식 미분방정식 공식 정리
1차 미분방정식의 개요. 이전 포스팅에서 다룬것을 요약하면 미분방정식이란 하나 또는 그 이상의 도함수가 포함된 방정식을 뜻하며 y를 구하는 1계 상미분방정식first
미지함수가 일변수이면 상미분항만을 포함한 상미분방정식常微分 . 여기서 만약에 한 걸음 더 나아가서 코사인 방정식을 사용하여 식을 정리한다면, 참고로 라플라스 역변환은 공식이나 복소적분을 이용하면 쉽게 구할 수 있다. 미분방정식
상미분방정식을 유도, 표준화된 방법으로 방정식을 풀고, 주어진 문제의 견지에서 그래. 프와 해를 모델화. ○ 계Order 미분방정식에 포함된 도함수 중 제일 많이 미분된 숫자 1단계 물리적 상황물리적 시스템에서 수학적 공식수학적 모델을 도출 . +. ∫. ∫ tan arctan. 1. 1. 1. 1. 1. /. 1. 1. 2. 2. 2. 2. 변수분리형. 적분. 정리 Ch. 1 1계 상미분방정식
완전 상미분방정식이 아니기 때문에, 이제 적분인자 를 이용해봅시다 ^^ 저번에적분인자를 구하는 공식의 증명을 해볼게요! 위의 미분방정식이 불완전한 상황일 미분방정식 ③2 완전 미분방정식 적분인자
– 상미분방정식 미분방정식 실생활
상미분 방정식常微分方程式, 영어 ordinary differential equation, 약자 ODE은 미분 방정식의 일종으로, 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 경우를 정의 · 선형 상미분 방정식 · 제차 선형 상미분 방정식 · 비제차 선형 상미분 방정식 상미분방정식
수학미분의 실생활 응용 레포트 소개글 미분 방정식이 실생활에 어떻게 이용이 개념을 소개하고 1계 상미분방정식, 고계 미분방정식, 선형 상미분방정식, 급수해법, 미분 방정식의 미분 방정식 시스템
식 1과 같은 1차 상미분 방정식the first order ordinary differential equation은 해의 그래서, 식 3에 대한 미분 방정식의 해를 일반해general solution yg라고 한다. . 상미분방정식의 실생활 속의 예로는 어떤 것들이 있나요? 선형 상미분 방정식線形 常微分方程式
공학과는 실생활에서 필요한 기계의 설계와 생산부터 자동차, 로봇, 인공위성, 초고속 열차, 인공 장기, 나노기술 등 미래의 첨단 기술에 대해서 배우는 전공입니다 학점은행제 기계공학과 기계과 그리고 일반기계기사 합격률까지 알아보자
– 상미분방정식 계산기
공학수학 카테고리에서 처음 쓰는 이 글은, 2계 상미분방정식 second order ordinary differential equation의 일반적인 풀이법에 대해서 소개하고, 2계 상미분방정식의 풀이 Naver Blog
적분 미분 방정식을 풉니다. 클립보드에 복사하기. In1=. Click for copyable input 램프 강제 함수를 사용한 상미분 방정식 해결. 제품; WolframOne · Mathematica 적분 미분 방정식
현대적인 계산기를 만든 Babbage는 유럽대륙 중심의 당시 수학계와는 거리가 있는 영국의 수학자였다는 것이다. 또, 2차 세계대전 후에 현대적인 컴퓨터의 발전과 퍼온글 행렬 이론의 과거와 현재 2. 선형대수학의 르네상스
가감승제로까지 최소제곱법·분산분석법·수치적분법·상미분방정식 등 고도까지 계산이 전자계산기로 행하고, 그 계산결과까지 음성으로서는 회답이 받게 됩니다. 판매 서비스는 단추식 자동전화기
[MATH/공수] 1계 상미분방정식 푸는 법
미분방정식
도함수를 포함하는 방정식을 미분방정식이라 한다
미분방정식에도 종류가 많은데 기준을 독립변수의 수라고 하면 1개인 경우가 상미분방정식, 여러 개인 경우가 편미분방정식이다.
미분방정식의 차수
미분방정식안에 들어있는 도함수 중에 최고로 높은 차수, 그러니까 제일 많이 미분했는 항이 몇 번 미분한 건지가 그 미분방정식의 차수가 된다.
1계 상미분방정식
독립변수 하나에 최고차수가 1차, 그러니까 한번 미분한 함수가 최고인 미분방정식이다.
아래에 나오는 미분방정식은 전부 1차임을 가정하고 푼다.
이런 미분방정식을 푸는 법에는 여러가지가 있다.
변수분리 풀이법 완전미분방정식 풀이법 선형상미분방정식 풀이법 베르누이 방정식 풀이법
변수분리
가장 쉽게 떠올릴 수 있는 방법으로, 같은 것끼리 묶어둔 꼴(독립변수는 전부 우변, 종속변수는 전부 좌변 이런 식)로 정리를 한 뒤에 독립변수에 대해 적분을 하면 된다. \(\frac{y}{x}\) 꼴로 정리되는 미분방정식도 있는데 그 때는 그 분수 통째로 치환해서 정리하면 변수분리가 가능해진다.
\(g(y)\dot{y}=f(x)\)
\({\int_{}{}g(y)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\text{d}x}={\int_{}{}f(x)\text{d}x} + c\)
여기서 골때리는게 나는 미분법이라던가 적분법을 모른다.
걱정하지 말자, 군대갔다오면 전부 그렇다. 나도 \(x^{n}\) 미분못해서 충격받고 한참 울었다.
어쩔 수 없지. 자주 나오는 미분법과 적분법을 외워 보자.
자주나오는 미분
미분할 때 규칙이다.
상수 미분하면 0 분배법칙 성립 두 종속변수의 곱을 미분하면 각각을 따로 미분해서 더하면 됨 두 종속변수의 분수꼴을 미분하면 분모는 제곱, 분자는 따로 미분해서 빼면됨 체인 룰 성립
다항함수는 이렇게 미분한다.
지수를 아래로 내리고 지수에 1을 빼면 된다.
\({(x^{n})}^\prime = nx^{n – 1}\)
지수함수, 삼각함수, 쌍곡함수는 이렇게 미분한다.
\({(e^{x})}^\prime = e^{x}\)
\({(a^{x})}^\prime = {a^{x}}\ln(a)\)
\((\sin(x))^\prime = \cos(x)\)
\(\cos(x)^\prime = -\sin(x)\)
\(\tan(x)^\prime = \sec^2(x)\)
\(\cot(x)^\prime = -\csc^2(x)\)
\(\sinh(x)^\prime = \cosh(x)\)
\(\cosh(x)^\prime = \sinh(x)\)
이상한 내 친구처럼 고등학교 졸업하고 대학교 1학년에 미적보다 공수1을 먼저 듣거나 군대를 갔다온 사람이라면 쌍곡함수는 몰라야 정상이다. 어차피 미적분수업아니니까 자세히 알 필요는 없고 분자에 자연상수로 이상한 짓거리를 한 분수 정도로 알면 된다. 삼각함수랑 아무짝에도 관련없다. 자연상수 미분하면 똑같이 나오니까 -1이 안붙는다고 이해하면 된다.
로그함수, 역삼각함수는 이렇게 미분한다.
\((\ln{x})^\prime = \frac{1}{x}\)
\((\log_{a}{x})^\prime = \frac{1}{x\ln{a}}\)
\((\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\)
\((\arccos{x})^\prime = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\)
\((\arctan{x})^\prime = \frac{1}{1 + x^2}\)
\((\arccot{x})^\prime = -\frac{1}{1 + x^2}\)
자주 나오는 적분
적분은 미분의 역연산이다.
타자치기가 귀찮다.
완전상미분방정식과 적분인자
첫번째,
어떤 함수가 독립변수 두 개를 가지고 있다고 하자. 그 때 각각의 독립변수에 대해 편미분한 함수가 모두 연속이면 그것의 전미분이
\(du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy\) 이다.
기억은 안나지만 군대가기 전에 이 사실을 배웠다고 한다. 받아들이자.
두번째,
상수를 미분하면 0이 나온다.
어떤 미분방정식을 정리해보았더니 좌변이 완전미분이고 우변이 0나오면 이걸 완전미분방정식이라고 부르고 위 두 사실을 이용해서 원래 함수를 찾을 수 있다.
완전미분의 꼴임을 어떻게 알 수 있는가
\(y^\prime = \frac{dy}{dx}\) 이다.
양 변에 dx를 곱하고 dx와 dy에 대한 항으로만 묶이는 꼴로 정리가 가능하면 일단 완전미분일 가능성이 있다.
\[M(x,y)dx + N(x, y)dy = 0\]
이렇게 정리를 해두었을 텐데 M과 N이 각각 우리가 구하려는 함수의 x에 대한 편미분, y에 대한 편미분이어야 한다.
만약 위 식이 완전미분방정식이라면 M을 y에 대해 편미분한 값과 N을 x에 대해 편미분한 값이 같아야 한다(연속성의 가정).
\[\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\]
만약에 같다?
그러면 둘 중에 적분하기 쉬운거 하나 골라서 적분하고 미분하고 물고 빨다보면 풀린다. 자세한 과정은 laTex문법을 잘 몰라서 안적겠다. 여기까지 읽을 정도의 깡과 집중력이라면 이 정도는 스스로 찾아볼 수 있다고 생각한다. 잠깐 구글에 first order exact ODE라고 검색해서 읽어보자.
적분인자
\[P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0\]
문제를 막 풀다가 결국 위 꼴로 방정식이 정리가 된다면
교수님이 이 문제를 완전미분방정식 풀이법으로 풀라고 만들었다는 뜻이다. 근데 좌변이 완전미분이 아닐 때가 있다.
이럴 때는 특정한 함수를 양 변에 곱해서 완전미분방정식으로 만들어보라는 뜻이다.
그 특정함수를 적분인자라고 부르고 적어도 내가 공수1 시험에서 봤던 문제들에서는 적분인자가 하나의 변수만의 함수였다. 그러므로 적분인자 F함수가 x 또는 y만의 함수임을 가정하고 정리하면 최종적으로
\(F(x) = e^{\int_{}^{}R(x)dx }, R(x) = \frac{1}{Q}(\frac{\partial P}{\partial y} – \frac{\partial Q}{\partial x})\)
또는
\(F(y) = e^{\int_{}^{}R(y)dy }, R(x) = \frac{1}{P}(\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y})\)
이렇게 된다. 나는 x변수일때 큐피큐, y변수일때 피큐피 이렇게 외웠다.
적분인자를 구했으면 원래 정리된 미분방정식의 양 변에 곱하고 적분하고 미분하고 물고 빨다보면 답나온다.
선형상미분방정식
선형이 무엇인가에 대해 고민할 필요가 있다. 이게 고차 선형상미분방정식을 선형대수학적으로 이해하는데에 열쇠가 된다. 이거 이해하려고 개고생했다. 그러니 이 글을 읽는 사람들은 한방에 이해하길 바란다. 이거 진짜 중요하다.
여기서 또 골때리는게 군대를 갔다온 우리 친구들은 선형대수학을 문서상으로는 이수했는데 머릿속에는 없다라는 특징을 가지고 있다.
여기서 잠깐 끊고 유튜브에 3Blue1Brown이라고 검색하고 그 채널에서 “Essence of linear algebra” 시리즈 6강까지 보고 다시 돌아오자. 영상이 꽤 많긴한데 이거 안보면 내가 밟은 길을 여러분도 그대로 밟게된다. 한마디로 개고생한다. 일단 보고 오자.
선형성을 만족하는 방정식은 중첩의 원리가 적용된다.
책에는 무슨무슨 꼴의 대수적 형태로 정리가 되면 선형이다! 이런식으로 설명이 되어있는데 우리가 이해해야 하는건 이런게 아니고 이 미분방정식은 중첩의 원리가 적용된다는 것이다.
즉, 선형상미분방정식의 해는 기저들의 linear combination으로 나타낼 수 있다는 것이고 이는 고차 선형미분방정식의 풀이의 핵심이다. 미리 설명하면, 고차 항들 각각을 독립적으로 한번만 미분한 변수로 생각하고 그것들로 1차 선형미분방정식들의 선형연립방정식을 세운다. 그 연립방정식을 행렬곱으로 표현하고 거기서 나온 기저해들의 linear combination이 고차 미분방정식의 해 space(일반해)가 된다는 것이다. 여기서 나온 기저해들은 지수에 행렬을 달고 있는데 이러면 불편하니까 기저변환행렬에 해당하는 행렬의 고윳값을 구해서 행렬을 상수로 바꿔버린다. 그말은 곧 고차 미방을 풀려면 1차 선형미방의 해를 구할 줄 알아야 한다는 것이다.
어쨋든 저렇게 중첩의 원리가 적용되는 1계 상미분방정식은 대수적으로
\[y^\prime + p(x)y = r(x)\]
꼴이다.
여기서 r(x)가 해당 구간에서 0이면 제차, 0이 아니면 비제차이다.
제차의 경우, 변수분리 후 적분하면
\(y = ce^{-\int_{}{}pdx}\)
여기서, c가 0일 때 \(y = 0\)인 trivial solution이므로 모든 제차 선형미분방정식은 \(y = 0\)인 trivial solution을 포함한다고 할 수 있다.
비제차의 경우는
\(e^{\int_{}{}pdx}\)
라는 적분인자가 존재함이 이미 알려져 있고 이를 양변에 곱해서 변수분리 후 적분하면
Bernoulli 방정식
\[y = e^{-h}(\int_{}{}e^{h}rdx + c),h = \int_{}{}p(x)dx\]
비선형상미분방정식은 풀기 어렵다. 근데 그 중, Bernoulli 방정식의 꼴을 한 비선형상미분방정식의 경우는 적절한 치환을 통해 선형상미분방정식으로 변형할 수가 있다.
\[y^\prime + p(x)y = g(x)y^a\]
에서 \(u = y^{1 – a}\) 치환하면 선형상미분방정식의 꼴이 나오고 바로 위에서 정리한 공식을 이용할 수 있다.
끝
자꾸 생각나는 체리쥬빌레 :: 미분방정식
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일반적인 선형 상미분방정식은 일반적인 해법이 존재하지 않는다. 풀이가 매번 다르다. 하지만 1차 선형 상미분방정식은 ‘일반적 해법’이 존재한다.
1차 선형 상미분방정식을 풀어내기 위해 이 ‘일반적 해법’만 익히면 문제 없을 것이다. 포스팅을 끝까지 읽으면 어느새 1차 선형 미방 풀이의 고수가 되어있을 것..
먼저 1계 선형 미분방정식의 형태에 대한 이야기를 시작하겠다.
1계 선형 미분방정식 “형태”
여기서 알아야 할 것은 표준형이 어떤 형태인가이다.
(1계 선형 미방을 풀기 위해서는 표준형을 잘 알아둬야 한다!)
표준형으로 바꿔주기
보통 알고있는 1차 선형방정식 형태에는 dy/dx의 계수 a1(x)가 붙어있다. 이 선형계수가 1이 아니라면 양변을 선형계수로 나눠서 dy/dx의 계수가 1이 되도록 만들어준다. 그럼 1계 선형 미분방정식에서 y의 계수인 P(x)를 찾을 수 있을 것이고, 이어서 f(x)부분도 찾을 수 있다. (위 이미지 참고)
이때 P(x)와 f(x)를 계수함수라고 부르는데, 이 계수함수 P와 f가 모두 연속이 되는 어떤 구간 I에서 해를 구하게 된다.
자 그럼이제 ‘해를 구하는 방법’에 대해 이야기할 차례다.
1계 선형 미분방정식 해 구하는 방법 – 두가지
만약에 미분방정식의 형태가 표준형인 dy/dx+P(x)y=f(x)가
ㅇ변수분리형이면 변수분리로 풀면 되고 – 방법 링크
ㅇ변수분리형이 아니라면 ‘적분 인자’라는 것을 이용한다. – 오늘 포스팅 내용이다.
참고:
선형이고 변수분리형인 미방: dy/dx + 2xy = 0
선형이고 변수분리 불가인 미방: dy/dx + y = x
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그럼 적분 인자가 뭘까? – 적분 인자 이해하기
1계 선형 미분 방정식을 푸는 방법 중에는 ‘양변에 특수한 함수 μ(x)를 곱해서’ 푸는 방법이 있다. 먼저 말하자면 μ(x)가 적분 인자다. 아무튼 이 방법을 통해 식을 전개해나가면 어떻게 되느냐? 적분의 과정을 거쳐서 미분방정식의 해 y(x)를 찾아낼 수 있다. 아직 무슨 얘긴가 싶을 수 있다. 이 얘기를 받아들이려면 다음 과정을 슥 보면 된다.
일단 앞서 배운 미분방정식의 형태인 ‘표준형 dy/dx+P(x)y=f(x)’을 기억하고 다음 내용을 읽어야 한다.
위 과정을 읽고나서 아하! 했으면 이걸 기억하자!!
ㅡ 1계 선미방 dy/dx+P(x)y=f(x)의 양변에 적분인자를 곱한 방정식의 좌변은 “적분인자 곱하기 y”의 도함수 꼴이다.
이걸 알아야 문제에 적용가능하다. 어떻게 적용가능하느냐? 이따가 예제로 볼 거긴 하지만, 말로 대충 설명해보겠다. step1 ~ step4
step1)
표준형으로 변형한, 또는 이미 표준형으로 주어진 1계 선미방 dy/dx+P(x)y=f(x)에서 P(x)를 파악가능하다.
step2)
P(x)를 아니까, 적분인자 m(x) = e^integral P(x) dx 를 얻는다.
미분방정식에서 P(x)만 파악하면 바로 적분인자를 얻어낼 수 있는 것이다.
step3)
주어진 미분방정식의 양변에 적분인자를 곱해야 한다. 그러면
이런 꼴이 나올텐데, 여기서 아까 말한 것을 기억해야 한다!! 좌변이 뭐였는가?
좌변은 d/dx [적분인자 y] 꼴이 자동적으로 된다! 이 말은 즉,
“적분인자를 곱한 방정식의 좌변을
형태로 다시 써줄 수 있다는 것이다!”
이렇게 다시 써줘야 양변을 적분하여 전개가 가능하다.
step4)
이제 양변을 적분하여 y에 관하여 풀면
y(x)를 찾아낼 수 있다!
사실 이렇게 보는 것보다는.. 펜 직접 들고 예제 한두번 풀어보는 게 이해에 훨씬 도움이 된다.
그래서 예제를 하나 안내하겠다.
유의점: x의 범위 설정 : 계수함수 P,f가 모두 연속이 되는 구간 I에서 해를 구하게 되는 거라고 했다.
혹시 읽는 사람 있으면 흔적 하나 남기구 가주세요~~ ㅠㅅㅠ
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