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내분점과 외분점

[수학(상/하)] 내분점과 외분점 공식 유도; 내분 정의, 외분 정의; 내분 개념, 외분 개념; 내분점, 외분점 예제; 내분하는 방법, 외분하는 방법 : 네이버 블로그

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[수학(상/하)] 내분점과 외분점 공식 유도; 내분 정의, 외분 정의; 내분 개념, 외분 개념; 내분점, 외분점 예제; 내분하는 방법, 외분하는 방법 : 네이버 블로그

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| 수직선 위의 내분점과 외분점

수직선 위의 선분을 이루는 두 점을 기준으로 거리가 m:n의 비를 가질 때,

선분 안에 있다면 내분점

선분 밖에 있다면 외분점이라고 부릅니다.

(1) 내분점

선분 AB를 내분하는 내분점 P에 대하여

점 P는 선분 AB 안에 있고,

(선분 AP의 길이):(선분 BP의 길이) = m:n을 만족합니다.

이 때 점 P의 좌표는

입니다.

예) 점 A(-3), 점 B(5)를 1:3으로 내분하는 점 P의 좌표는

{(-3)×3 + 5×1}÷(1+3)

= (-4)÷4

= -1

따라서 점 P의 좌표는 P(-1)

(2) 외분점

선분 AB를 외분하는 점 P에 대하여

점 P는 선분 AB 밖에 있습니다.

선분 위에 위치한 내분점과는 다른 특징을 보입니다.

하지만

(선분 AP의 길이):(선분 BP의 길이) = m:n을 만족한다는 점은

공통점입니다.

이 때 외분점 P의 좌표는

로, 내분점 공식에서 덧셈기호(+)를 뺄셈기호(-)로 바꾼 모습입니다.

예) 점 A(1), 점 B(7)을 2:5로 외분하는 점 P의 좌표는

{(2×7)-(5×1)}÷(2-5)

=(14-5)÷(-3)

=9÷(-3)

=-3

따라서 점 P의 좌표는 P(-3)

| 좌표평면 위의 내분점과 외분점

좌표평면 위의 내분점과 외분점은 수직선의 것과 같은 방법으로 구합니다.

다만 좌표평면은 두 축을 갖기 때문에

x좌표와 y좌표를 각각 구해야 합니다.

좌표평면 위의 내분점

좌표평면 위의 외분점

예)

좌표평면 위의 점 A(4, -1), B(0,9)를 이은 선분 AB를 1:3으로 외분하는 점 P의 좌표는

i) x좌표 : {(1×0)-(3×4)}÷(1-3)

=(-12)÷(-2)

=6

ii) y좌표 : {(1×9)-(3×(-1))}÷(1-3)

=12÷(-2)

=-6

따라서 점 P의 좌표는 P(6,-6)

| 학습지 미리보기

| 첨부파일

2020SP H1-21.pdf 0.13MB

| 닫는 말

내분점과 외분점은 수직선이나 좌표평면에서 선분을 통해 좌표를 구할 때 필요한 개념입니다.

공식이 복잡한 편이기 때문에 무엇을 이야기하고 있는지 숙지한 후,

내분점과 외분점의 좌표를 구해봅시다.

이번 학습지는 좌표평면 위의 선분을 내분 또는 외분하는 점의 좌표를 구하는 문제

20문항으로 준비했습니다.

x좌표와 y좌표를 차례대로 구한 후,

내분점과 외분점을 찾아봅시다.

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외분점으로 고치는 방법 (선분의 내분점,외분점 활용)

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오늘은 선분의 내분점/외분점 문제 중 가장 많이들 헷갈려하는 선분의 길이비를 다룰까 합니다.

내분, 외분에 대한 정확한 정의와 개념이 없으면 풀기가 힘든 유형이죠. 공식보다는 선분을 m:n으로 내분/외분 한다는 의미를 먼저 복습하셔야 합니다.

1. 주어진 식을 비례식으로 표현합니다.

이 때 필요한 선행지식은

a:b=c:d이면 bc=ad라는

기본적인 것이죠 🙂

2. 좌표를 알고 있는 점을 찍고

등분점으로 나타냅니다.

3. 남은 점을 좌/우로 나누어

해당 길이비에 맞게 찍어준다.

4. 내/외분점으로 해석하여,

공식을 적용한다.

문제1

A(5,-2), B(-1,4)를 지나는 직선 AB위에 있고,

를 만족시키는 점 C의 좌표를 모두 구하시오.

해설

1. 주어진 식을 비례식으로 표현합니다.

를 비례식으로 나타낸다면,

2. 좌표를 알고 있는 점을 기준으로

등분점으로 나타냅니다.

여기서는 A와 B의 좌표를 알고 있으니

A,B를 표기해보도록 할게요.

비례식에서 AB의 길이비가 3이므로

수직선에 세 칸(등분점)을

표기하여 줍니다.

3. 다시 식을 살펴볼까요?

AB의 길이가 3칸일 때,

BC의 길이는 1칸이죠.

그러니, B로부터 한칸에 해당하는 길이만큼

왼쪽/오른쪽으로 가서 점을 나타내면 됩니다.

완성!

4. 내/외분점으로 해석하여,

공식을 적용합니다.

문제2

A(-3,-2), B(1,4)를 지나는 직선 AB위의 점

C(a,b)에 대하여 3AB=2BC일 때,

b-a의 값을 구하여라. (단, a>0)

해설

1. 주어진 식을 비례식으로 표현합니다.

를 비례식으로 나타낸다면,

2. 좌표를 알고 있는 점을 기준으로

등분점으로 나타냅니다.

여기서는 A와 B의 좌표를 알고 있으니

AB의 길이비가 2이라고 보고

수직선에 등분점과 함께 나타냅니다.

3. 남은 하나의 점을

왼쪽/오른쪽으로 나누어

해당 길이비에 맞게 찍어줍니다.

그러니까 B로부터 세칸에 해당하는 길이만큼

왼쪽/오른쪽으로 가서 점을 나타내면 됩니다.

4. 내/외분점으로 해석하여,

공식을 적용합니다.

문제3

두 점 A(-4,3), B(2,6)을 잇는

직선 AB위의 점 C(a,b)에 대하여

삼각형 OAC의 넓이가

삼각형 OBC의 넓이의 2배일 때,

a+b의 값은?

(단, O는 원점이고 a>0이다.)

이것 역시 그림으로 그려서 해석하면,

점 C가 AB의 2:1 외분점입니다.

그럼 화이팅!

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사다리꼴 선분 길이 내분 공식

여기서 $c$는 얼마일까?

결론부터 말하면,

\[c=\frac{y}{x+y}a+\frac{x}{x+y}b\]
즉 $c$는 $a,b$의 가중합으로 나타내어지는데, 특히 그 가중치는 해당 선분에서 반대편에 있는 $y,x$의 비율에 따라 나타내어진다.

이유

직선 AC와 직선 BD가, 말 그대로 “직선”이므로(만약 곡선이거나 했다면 결과가 달랐을 것) 선분 AB에서 $x^\prime$만큼 이동하면, $kx^\prime$만큼 선분 길이가 줄어든다. (FG 선분 길이와 AB 선분 길이를 비교해보자)

다시 말해, AB에서 이동한 거리와 선분 길이의 변화량이 비례한다.

AB에 대해 사다리꼴 안에서 가장 멀리 이동하면 CD가 되고, $a-b$만큼 선분 길이가 줄어든다. 만약 AB에서 CD 거리의 절반만큼 AB에서 이동하면 $\frac{a-b}{2}$만큼 선분 길이가 줄어든다. ($c=\frac{a+b}{2}$라는 나름 잘 알려진 공식이 나온다) 만약 AB에서 CD 거리의 1/3만큼 AB에서 이동하면 $\frac{a-b}{3}$만큼 선분 길이가 줄어든다.

이런 식으로 생각하면 $a,b$의 가중합으로 $c$를 나타낼 수 있다고 파악할 수 있다.

극단적인 경우로 AB에서 0만큼 이동하면 $c=a \cdot \frac{1}{1}+b \cdot\frac{0}{1}=a$, AB에서 CD까지 이동하면 $c=a \cdot \frac{0}{1}+b \cdot\frac{1}{1}=b$가 된다.

사다리꼴 외부로 벗어나서도 공식이 성립할 것이라 파악할 수 있다. 또한, 특히 직선 AC와 BD가 평행하다면 $k=0$이 되어 선분 AB에서 멀어져도 선분 길이가 변하지 않을 것이다.

이유 보충설명

위에 적은 논리가 좀 직관적인 면이 있어 보충설명하자면

x축(대충 EH를 연장한 직선을 x축으로 삼자)을 따라 이동한 거리 $x^\prime$에 따라, $x=x^\prime$에 수직한, 사다리꼴을 이루는 선분의 길이는 $ax^\prime+b$ 꼴로 나타내어진다.

$y=ax+b$ 그래프를 좌표평면에 그려보면 좀 더 이해가 잘 갈지 모르겠는데, 사다리꼴 양옆 선분 길이를 안다는 것은 $y=ax+b$ 그래프의 두 점을 알고 있다는 말(=직선이 하나로 확정됨)이다. 그리고 $y=ax+b$ 직선 위의 한 점은 두 점을 잇는 선분 내의 내분점(또는 외분점)으로 표현이 된다.

그래서 사다리꼴 양옆 선분 길이의 내분(또는 외분) 꼴로 중간 선분 길이를 나타낼 수 있다.

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내분점과 외분점 (개념+공식+수학문제)

길이비를 내/외분점으로 고치는 방법 (선분의 내분점,외분점 활용)

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사다리꼴 선분 길이 내분 공식

내분점과 외분점 (개념+공식+수학문제)

외분점으로 고치는 방법 (선분의 내분점,외분점 활용)

사다리꼴 선분 길이 내분 공식

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