Top 22 뉴턴 의 냉각 법칙 미적분 The 102 Latest Answer

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미적분 심화탐구(뉴턴의 냉각법칙)

[공업수학] 뉴턴의 냉각법칙과 치환형 변수분리 미분방정식 :: Crush on Study

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[공업수학] 뉴턴의 냉각법칙과 치환형 변수분리 미분방정식

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뉴턴의 냉각법칙을 이용한사체의 사망시각 추정 :: MADE FOR ALL

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간단한 예시

뉴턴의 냉각법칙

시간에 따른 소금 농도 변화

변수분리법 – 공돌이의 수학정리노트

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뉴턴의 냉각 법칙에 의하면 어떤 물체의 처음 온도를 fleft(tr... | 콴다(QANDA)에서 풀이 방법 보기 — 뉴턴의 냉각 법칙에 의하면 어떤 물체의 처음 온도를 fleft(tr… | 콴다(QANDA)에서 풀이 방법 보기

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뉴턴의 냉각법칙을 이용한 사체의 사망시각 추정 – ppt download

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[공업수학] 뉴턴의 냉각법칙과 치환형 변수분리 미분방정식

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▶ 뉴턴의 냉각법칙

뉴턴의 냉각법칙은 별거 없습니다. 시간에 따른 온도의 변화율을 개념으로 하는데요.

다음과 같이 표현합니다. T_0는 실내 온도 혹은 우리가 관심을 두는 물체를 둘러싼 주위의 온도정도로 알아두시면 됩니다. 고정된 값입니다! 우리가 열역학을 배울때보면, 서로 다른 온도를 가진 두 물체 혹은 공간이 존재하면 열평형을 향해 달려가지 않습니까? 그걸 표현하는 식이 뉴턴의 냉각법칙입니다. k는 비례식을 방정식으로 표현하기 위한 상수에요.

그러면 dT와 dt를 분리시켜서 공식을 세울 수 있겠죠?

이게 일반적인 식입니다. 뭐 여기서 크게 벗어나는 것 같지는 않습니다. 문제를 하나 풀어보도록 합시다.

크레이직 공업수학 10판에서 인용

이럴 때는 먼저 조건을 봅시다. 고정된 값은 22도 (방의 온도)죠? 얘는 T_0에 대입하면 됩니다. 그리고 초기의 온도계가 가리키는 눈금은 5도이므로 t=0일 때, T=5 , T_0=22이므로 적분상수 c의 값을 구할 수 있습니다.

잘 따라오셨으면 c=-17인 것을 알 수 있을겁니다.

그 다음 1분 후에 변화된 온도를 봅시다. 뭐 t를 1분으로 둬도 되고 나는 초 단위로 하고싶다하시면 60초로 둬도 상관없습니다. 자유에요 이건. 저는 계산 간단히하기 위해 1분으로 하겠습니다. 그러면 이제 상수 k값이 ln(10/17)라는 것을 알 수 있습니다.

자, 그러면 마지막으로 21.9도를 T에 대입해서 t값을 알아보도록 합시다. 21.9=22-17e^(ln(10/17))t 이렇게 식을 세울 수 있죠? 공학용 계산기를 통해서 구해보면 t=9.678…로 나옵니다. 대략 9.7분 (9분42초)정도 걸린다고 보시면 되겠습니다.

처음에 방안에 들어오는 시점으로부터 9분 42초! 라고하면 정확한 답변이 되겠죠?

크레이직 해설지에서는 580초 (대략 9.67분)으로 나온걸 보니 맞게 푼듯합니다.

▶ 치환형 변수분리 미분방정식

치환형 변수분리 미분방정식은 한눈에 봤을때는 변수분리가 되기 힘들것 같은데..? 하는 모습이지만 치환을 사용하면 눈에 확 보이는 유형입니다.

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수학-미분방정식의 모델 2

<뉴턴의 냉각법칙>

뉴턴의 냉각법칙(Law of Cooling)이라는 물리 법칙에 대해

이야기하자면 다음과 같다.

만약 뜨거운 물체를 차가운 환경에 넣는다면

(혹은 차가운 물체를 따뜻한 환경에 넣는다면)

그 물체가 차가워지는(혹은 뜨거워지는) 비율은

물체의 온도와 비례하지 않고

오히려 물체와 그 주변의 온도차에 비례한다.

수식으로 표현하면,

시간 t일 때 물체의 온도를 y(t)라 놓고

T a 를 주변 온도라고 하면

다음과 같은 미분방정식이 성립한다.

y'(t)=k{y(t)-T a }

이 식은 지수적 증가 혹은 감소 미분방정식과 같지 않다.

비록 차이가 있다 하더라도

해를 구하는 방법은 같음을 알 수 있다.

냉각의 경우 T a 0이므로

따라서 정리하면

A=ec로 놓으면

여기서 A와 k는 상수이다.

다음 예제로 뉴턴의 냉각법칙을 살펴보자.

갓 뽑아낸 커피의 온도가 190˚F라고 하자.

온도가 65˚F인 방 안에서

5분 후 커피의 온도는 160˚F로 변하였다.

임의의 시간 t일 때 커피의 온도를 구하고

커피가 135˚F가 될 때까지 걸린 시간을 구하자.

함수 y(t)를 시간 t일 때 커피 온도라 하면

y'(t)=k{y(t)-65}

일반해를 구하면

처음 온도 y(0)=190을 이용하면

190=y(0)=A e0 +65=A+65

A=125

A의 값을 구했으므로

상수 k를 구하기 위하여

두 번째 측정 온도를 이용하면

160=y(5)=125e5k+65

양변에서 65를 빼고 125로 나누면

양변에 ln를 취하면

따라서 임의의 시간 t에 대하여

커피의 온도는

커피의 온도가 135˚F가 될 때의 시간을 구하자.

<복리>

연이율 7%로 8000달러를 은행에 예금하면

연말에 받게 되는 돈은 다음과 같다.

$8000+0.07·$8000=%8000(1+0.07)=$8560

반면에 만약 은행에서 연 7%로

이자를 일 년에 두 번 지급한다면

3.5%의 이자율로 일 년에 두 번 받게 될 것이다.

따라서 연말에 받게 되는 돈은 다음과 같다.

이러한 방식으로

매달 복리와 매일 복리로 계산하면

연말에 받게 되는 돈은 각각 다음과 같다.

매 순간마다 지불되는 연속 복리를 생각해 보자.

이 경우 연수익율(APY)은 다음의 극한값이 될 것이다.

이 극한을 계산하기 위해서

다음 개념을 이용하자.

n=0.07m으로 놓으면

따라서 연속 복리로 계산하면

이율이 거의 7.3%이 되고

이자는 다음과 같다.

$8000(e0.07-1)≒580.07

따라서 총액 8580.07달러를 받게 된다.

일반적으로 연이율 r로 원금 P달러를

일 년에 n번의 복리로 투자한다고 가정하자.

그러면 t년 후의 총액은

연속 복리로 투자하면(즉 n→∞의 극한을 취하면)

$Pert

역으로, 연속 복리로 투자한 원금의

t년 후의 합을 y(t)라 하면

y(t)의 변화율은

y'(t)=ry(t)

r은 연이율이다.

원금 P달러는

$P=y(0)=Ae0=A

따라서 다음과 같이 정리된다.

y(t)=Pert달러

뉴턴의 냉각법칙을 이용한사체의 사망시각 추정

뉴턴의냉각법칙을이용한사체의사망시각추정뉴턴의냉각법칙을이용한사체의사망시각추정 냉각 속도에 관한 경험적 법칙 주변과의 온도 차가 클수록 빨리 식는다 . )(rTTkdtdT … ( T : 온도, t : 시간, k: 비례상수, Tr : 주변온도 ) 이를 ‘뉴턴의 냉각법칙’이라고 한다 . Crime Scene Investigation Crime Scene Investigation .호텔로부터신고를받고출동-사체확인시각은0시 .이때사체의온도는30℃(현장상태유지중요!) .새벽1시사체의온도는28℃ .생존시체온은37℃(라고가정) .방안의온도는20℃로일정(현장상태변화는금기!) .Q: 사체의사망시각은? Setup of the Problem )(rTTkdtdT … 20.rT(뉴턴의 냉각법칙 ) (방의 온도 ) (초기조건) (비례상수 k의 결정을 위해 필요 ) 30)0()(00…TtTT 28)1(.T 풀이 (#1/4) )(rTTkdtdT … 30)0(.T28)1(.T20.rT변수분리 dtkTdT .. .20적분구간 …. . ttTTdtkTdT0020적분공식 )ln( 1baxabaxdx .. .. 적분 ktTT … 30)20ln( 풀이 (#2/4) ktTT … 30)20ln(ktT….)10ln()20ln(ktT…)21.0ln( 로그공식 .. . .. . ..BABAlnlnln지수-로그변환 )exp(lnyxxy…)exp(21.0ktT… 풀이 (#3/4) )exp(21.0ktT…kteT…21.0kteT…1020 비례상수 k의 결정을 위해 추가 조건을 적용해야 한다 . 281020)1(….keT8.0..ke)8.02(10)(1020ttkeT…..abbaxx.)( 풀이 (#4/4) )8.02(10tT.. 이제 마지막으로 T=37℃인 시간을 구해야 한다 . )8.02(1037t..t8.027.3..t8.07.1.)8.0log()7.1log(t. ) 232(378.2)8.0log( )7.1log( 전분시간….t Temperature In Time 20.rT300.Tt)8.02(10tT.. 최종적으로 방의 온도에 수렴 Conclusion .사망시각= 밤9시37분경 .피의자들을수배하여이시간의알리바이를추궁! Conclusion .사망시각= 밤9시37분경 .피의자들을수배하여이시간의알리바이를추궁! Summary .뉴턴의냉각법칙을이용하여미분방정식setup .일반해의상수들을결정하기위한정보의측정 .방정식을풀어특수해를구함 .사망추정시각을구함Summary .뉴턴의냉각법칙을이용하여미분방정식setup .일반해의상수들을결정하기위한정보의측정 .방정식을풀어특수해를구함 .사망추정시각을구함 Used Math. Formulas Integration Formula )ln( 1baxabaxdx .. .. Log-Exp Conversion )exp(lnyxxy… Log Formula ..BABA/lnlnln.. Exp. Formula abbaxx.)(

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