Top 14 파이썬 적분 The 19 Detailed Answer

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Python으로 적분하는 코드 직접 짜보기

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[미적분] 파이썬으로 적분하기(Integration)

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4.3 적분 — 데이터 사이언스 스쿨

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부정적분¶

편미분의 부정적분¶

다차 도함수와 다중적분¶

심파이를 이용한 부정적분¶

정적분¶

수치적분¶

다변수 정적분¶

다차원 함수의 단일 정적분¶

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[파이썬] sympy를 활용한 수학계산 : 적분

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[ sympy를 활용한 수학계산 적분 ]

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(파이썬) 부정적분과 정적분 – 코딩 연습

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코딩 연습

(파이썬) 부정적분과 정적분 본문

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[파이썬] 적분 – 그래프 ( sympy 모듈 ) – 수학

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파이썬 적분 구현, 면적 구하기 예제(부정적분, 정적분, 구분구적법)

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파이썬 적분 구현 면적 구하기 예제(부정적분 정적분 구분구적법)

Python 적분 면적 계산하기

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19. Integral 클래스를 이용한 적분(부정적분, 정적분) : 네이버 블로그

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파이썬을 활용한 금융 분석(2판): 파이썬의 기초부터 금융공학, 머신러닝, 퀀트 … – 이브 힐피시 – Google Sách

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[미적분] 파이썬으로 적분하기(Integration)

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파이썬으로 적분을 하는 방법입니다.

적분에 대해 간단히 소개하면 적분은 면적을 구하는 방법으로 고대부터 연구된 분야입니다.

사각형이나 삼각형은 넓이를 구하는 방법은 잘 알려져 있습니다.

그리고 이를 활용해 직선으로 이루어진 도형에 대한 넓이를 구하는 방법을 알아낼 수 있습니다.

그런데 직선이 아닌 곡선으로 이루어진 도형은 사각형의 넓이를 구하는 방식으로는 구하기가 어렵습니다.

그럼에도 곡선으로 이루어진 도형을 구하기 위해 초반에는 직사각형의 넓이를 이용해 구분구적법이라는 방법으로 사용했습니다.

직사각형의 넓이가 밑변 x 높이 인 것을 알고 있었고 구하기 쉽기 때문에 곡선이 덮고 있는 면적을 수많은 직사각형으로 잘게 쪼개서 근사하는 방식으로 접근하는 방식입니다. 당연히 오차가 발생하고 계산량은 어마무시합니다.

이런 한계를 현대에 와서는 미적분의 기본정리를 바탕으로 구분구적법을 적분형식으로 변환해 계산방법도 다르게 되어 보다 정밀하면서도 쉬운 계산으로 면적을 구하는 것이 가능해졌습니다.

또한, 좌표평면에서 곡선을 그릴 수 있게 되어서 적분을 구하면 얻게되는 면적은 곡선과 x축까지의 면적으로 표준화되었습니다.

서론은 이쯤하고 바로 예제를 통해 파이썬으로 어떻게 그려지는지와 계산하는지 살펴보겠습니다.

수학적인 구체적인 설명은 따로 포스팅을 하도록 하겠습니다.

예는 $$ \int_{0.5}^{9.5} f(x) dx = \int_{0.5}^{9.5} sin(x) +x dx $$ 입니다.

이 예는 python for finance 라는 책에서 약간 변형했습니다.

적분영역 그리기

적분영역을 그려보는 작업을 해보겠습니다.

위 그림처럼 그려내는게 목표입니다.

먼저 셋팅을 해야겠죠.

import scipy.integrate as sci import numpy as np def f(x): return np.sin(x)+x x = np.linspace(0,10) # x의 범위 y = f(x) a = 0.5 b = 9.5 Inte_x = np.linspace(a,b) #적분할 x 범위 Inte_y = f(Inte_x) #적분할 y 범위

위 그림처럼 한다면 두개의 플롯을 하나에 그려낸다 생각하면 되겠습니다.

하나는 f(x)를 그려야 하고 다른 하나는 적분영역을 그려내야 합니다.

그래서 범위도 두개가 됩니다. f(x)의 영역과 적분영역이 되겠습니다.

그려보겠습니다!!

from matplotlib.patches import Polygon from pylab import plt,mpl plt.style.use(‘seaborn’) mpl.rcParams[‘font.family’] = ‘serif’ %matplotlib inline fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,6)) # f(x) 그리기 plt.plot(x,y,’b’,linewidth=2) plt.ylim(bottom=0) # 적분영역 그리기 verts = [(a,0)]+list(zip(Inte_x,Inte_y))+[(b,0)] #리스트로 적분영역 범위지정 poly = Polygon(verts, facecolor=’0.7′, edgecolor=’0.5′) # polygon을 이용해 적분영역 ax.add_patch(poly) # poly 그리기 # 글자 삽입 plt.text(0.75*(a+b),1.5, r”$\int_a^b f(x)dx$”, horizontalalignment=’center’,fontsize=20) plt.figtext(0.9,0.075,’$x$’) plt.figtext(0.075,0.9,’$f(x)$’) ax.set_xticks((a,b)) ax.set_xticklabels((‘$a$’,’$b$’)) ax.set_yticks([f(a),f(b)]);

Polygon 를 이용해 적분영역을 그려냈습니다.

(x,y)로써 표현해서 데이터를 올려주어야 해서 verts라는 리스트를 만들었고 ax에 붙여주었습니다.

쥬피터에서는 latex 지원이 가능해서 수학기호는 latex로 처리하였습니다.

축 글자는 figtext(x,y,글자) 로 하였고 파라미터 x,y는 좌표가 되겠습니다.

내가 원하는 좌표를 넣으면 위와 같이 x와 f(x) 을 지정된 좌표에 나오게 할 수 있습니다.

a,b는 set_xticks로 설정하였고 f(a),f(b) 값을 set_yticks에 넣어 나오게 했습니다.

적분 계산하기

이번에는 적분을 계산하는 방법입니다.

sympy를 써서 해보겠습니다.

sympy는 실제 수학하듯이 x를 미지수로 실제로 잡아서 진행하는 라이브러리인데

구체적인 방법은 따로 포스팅을 하겠습니다.

기초가 필요한 라이브러리는 아니니 금방 따라할 수 있을 겁니다.

위의 그림을 보면 알겠지만 숫자가 딱 떨어져 나오지 않을 거라는 건 짐작하실 것입니다.

정확하게 계산할 수 있는 것 하나를 놓고 다른게 맞는지 확인해보고 짧고 간결하게 코딩할 수 있는 것을 쓰면 되지 않나 싶어서 직관적인 것으로 결과를 구한 후 간결한 걸로 같은 값이 나오는지 비교를 해보겠습니다.

일단 미적분의 기본정리에 의해 정적분을 하면 $$ \int_{0.5}^{9.5} f(x) dx = F(9.5)- F(0.5) $$ 이 됩니다.

먼저 이걸 이용해 적분을 해보겠습니다. 계산 과정을 하나씩 보는거니깐 그나마 믿음이 갈 것 같습니다.

일단 셋팅을 해보겠습니다. 각 문자를 symbols() 를 이용해 변수로 인식하게 했습니다.

symbol 지정은 각각 가능하고 언패킹으로도 가능합니다.

import sympy as sy a, b = sy.symbols(‘a b’) x = sy.symbols(‘x’) y = sy.symbols(‘y’) I = sy.Integral(sy.sin(x)+x,(x,a,b)) print(sy.pretty(I))

잘 되었다면 이런 형식 비슷한게 프린트됩니다.

명령어를 보면 하나도 pretty 하지 않은데 pretty하게 나오겠다고 하는 것 같아 좀 그렇지만

변수가 잘 지정된 것을 볼 수 있습니다. 컴퓨터에서 적분식으로써 받아들인다는 정도로 알고 계시면 될 것 같습니다.

적분을 해서 Fb-Fa 를 시행하겠습니다.

int_func = sy.integrate(sy.sin(x)+x,x) #부정적분 생성(적분상수는 0) # 값 넣어 계산 Fb = int_func.subs(x,9.5).evalf() Fa = int_func.subs(x,0.5).evalf() #적분 계산 Fb-Fa

약 46.87 의 값이 나왔습니다.

다른 방법도 같은 값이 나오는지 확인해보겠습니다.

이 방법은 Fb-Fa로 하는 방법은 맞으나 Fb, Fa를 따로 구하지 않고 대입하는 형태입니다.

이것도 식으로써 표현이 가능하다는 것입니다.

식이 따로 필요할 수 있으니까요.

int_func_limits = sy.integrate(sy.sin(x)+x,(x,a,b)) print(sy.pretty(int_func_limits))

pretty를 하면 다음과 같이 Fb-Fa 형태로 구성된 것을 볼 수 있습니다.

a,b 에 값을 넣으면 적분값을 얻게 됩니다.

int_func_limits.subs({a:0.5,b:9.5}).evalf()

이런 거 모르겠고 한방에 적분시행하려고 한다면 다음과 같이 합니다.

sy.integrate(sy.sin(x)+x,(x,0.5,9.5))

기본적인 내용을 포스팅을 하고 연결하는 형식으로 블로그를 쓰다보니 너무 느린 것 같아서 일단 모르더라도 따라할 수 있는 정도라 생각하고 마구 넣었습니다.

이전 포스팅에도 없는데 되어 있는 코딩의 자세한 사항과 내용은 추후에 차차 포스팅하도록 하겠습니다.

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(파이썬) 부정적분과 정적분

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(파이썬 & 수학) 미분계수 구하기 를 먼저 보고 오세요.

파이썬에서 부정적분과 정적분을 하는 방법은 간단한다.

다음과 같이 sympy 패키지에서 Integral 클래스를 이용하여 부정적분 \(\displaystyle \int x^2 +x+1 \; dx\) 를 구해보자.

>>> from sympy import Integral, Symbol >>> x = Symbol(‘x’) >>> f = x**2 + x + 1 >>> Integral(f, x).doit() x**3/3 + x**2/2 + x

이쁘게 보고 싶다면 pprint 를 사용한다.

>>> from sympy import pprint >>> pprint(Integral(f, x).doit()) 3 2 x x ── + ── + x 3 2

늘 그렇듯이 하나도 안 이쁘다.

여하튼 도함수를 얻는 것과 부정적분을 얻는 방법은 Integral을 사용하는 것만 제외하면 동일하다.

정적분의 방법도 마찬가지다. 다음과 같이 정적분의 아랫끝과 윗끝만 지정해 주면 정적분 \( \displaystyle \int _0^5 x^2+x+1 \; dx\) 의 값을 쉽게 얻을 수 있다.

>>> Integral(f, (x, 0, 5)).doit() 355/6

조심해야 할 것은 \((x, \;0, \;5)\) 처럼 괄호 안에 (적분변수, 아랫끝, 윗끝) 을 적어줘야 한다. 어때 쉽지?

이제 우리는 지긋지긋한 표준정규분포표로부터 벗어날 수 있게 되었다. 정규분포의 확률밀도함수가 \[f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e ^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}\] 이므로 파이썬의 정적분을 이용하여 확률값을 쉽게 구해낼 수 있는 것이다.

확률변수 \(X\)가 정규분포 \({\rm N} \left (5,\; 2^2 \right )\) 를 따를 때, 확률 \({\rm P}(3 \le X \le 7)\) 의 값을 구해보자.

>>> from sympy import exp, sqrt, pi, Integral >>> f = exp(-(x-5)**2/(2*2**2))/(2*sqrt(2*pi)) >>> Integral(f, (x, 3, 7)).doit().evalf() 0.682689492137086

시간이 좀 걸리긴 하지만 정확하게 확률값을 구해내는 것을 볼 수 있다.

(평균으로부터 원시그마 아래에서 원시그마 위 까지의 확률이 약 0.68 이라는 것을 이미 알고 있지 않은가?)

파이썬을 통하여 참 여러 가지 계산을 할 수 있다는 것이 어쩌면 당연하면서도 한 편으로는 신기하기까지 하다.

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파이썬 적분 구현, 면적 구하기 예제(부정적분, 정적분, 구분구적법)

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Python 적분, 면적 계산하기

파이썬에서 부정적분, 정적분 및 구분구적법을 계산하는 방법을 살펴보고

그래프 아래의 면적을 적분을 통해서 구하는 방법까지 다루어 보겠습니다.

부정적분 계산

예시로, 아래와 같은 간단한 함수를 적분하는 예시를 살펴보겠습니다.

$$\ f(x) = e^x + 2 x^2 + 3x + 4$$

적분 계산은 sympy 모듈을 통하여 진행되는데, 먼저 식 표현은 아래와 같이 해주시면 됩니다.

import sympy as sy x = sy.symbols(‘x’) # x를 변수로 사용함을 선언 f = sy.exp(x) + 2 * x ** 2 + 3 * x + 4 f

이제 표현해둔 식에서 다음과 같은 부정적분의 계산을 해보겠습니다.

$$\ \int e^x + 2 x^2 + 3x + 4\; dx$$

sympy 모듈의 integrate 함수에 (함수, 변수) 형태로 넣어주시면 부정적분 계산이 완료됩니다.

sy.integrate(f, x)

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정적분 계산

부정적분 계산 결과를 이용하여 주어진 그래프 아래의 면적에 해당하는

정적분 값도 계산이 가능합니다.

예시로, 위의 함수에서 2에서 5까지 정적분을 진행한 다음과 같은 값을 계산해 보겠습니다.

$$\ \int_{2}^{5} e^x + 2 x^2 + 3x + 4\; dx$$

값의 대입은 선언한 함수의 subs 메소드에서 subs(변수, 값) 형태로 지정해주시면 됩니다.

F = sy.integrate(f, x) # x에 대하여 2~5 범위에서 정적분 값 계산 F.subs(x, 5) – F.subs(x, 2)

만일, 소수점 형태로 결과를 반환받고 싶다면 evalf() 메소드를 추가 실행해주시면 됩니다.

(F.subs(x, 5) – F.subs(x, 2)).evalf()

구분구적법 계산

구분구적법은 원하는 정적분의 범위를 n등분 하여

각 눈금 사이에서의 직사각형 넓이의 합으로 전체 면적을 근사하는 방법입니다.

위에서 계산했던 함수와 정적분을 numpy 모듈을 통하여 아래와 같이

구분구적법으로 다시 계산해볼 수 있습니다.

import numpy as np numbers = 10000 # 등분할 눈금의 숫자 x_lin = np.linspace(2, 5, numbers) # 2 ~ 5범위를 10000등분한 x좌표 def f(x): # 함수 선언 return 2 * x ** 2 + 3 * x + 4 + np.exp(x) area = 0 # 면적을 저장할 변수 for i in range(numbers – 1): # 눈금 수 – 1까지임에 유의 x_1 = x_lin[i] # 눈금 앞쪽 x좌표 x_2 = x_lin[i+1] # 눈금 뒤쪽 x좌표 area += (x_2 – x_1) * f(x_2) # 각 눈금 사이의 직사각형 넓이 print(area) # 262.5529106476566

정적분으로 계산한 결과와 거의 유사한 값이 반환된 것을 볼 수 있었습니다.

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