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#162 파이썬강의 : 선형대수, 역행렬, 단위행렬, SciPy에서 연립방정식, 행렬식, NumPy에서 행렬곱하기

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[Python] 행렬 만들고 연산까지 해보기2

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## 행렬식 (Determinant)

## 역행렬

## 전치행렬

## 단위행렬

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numpylinalginv()의 구문

예제 코드numpylinalginv()메서드

예제 코드 matrix 입력이있는numpylinalginv()메서드

예제 코드 matrix 어레이 포함 numpylinalginv()

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[numpy(넘파이)] 행렬곱(내적) 역행렬 구하기 (+ 역행렬 검증하기) 본문

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[Numpy] 파이썬 단위행렬 함수 npeye() 역행렬 함수 LAinv()

파이썬 넘파이 단위행렬 역행렬 함수

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[Numpy] 파이썬 단위행렬 함수 np.eye(), 역행렬 함수 LA.inv()

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선형 연립방정식¶

역행렬¶

역행렬의 성질¶

역행렬의 계산¶

역행렬에 대한 정리¶

넘파이를 사용한 역행렬 계산¶

역행렬과 선형 연립방정식의 해¶

선형 연립방정식과 선형 예측모형¶

미지수의 수와 방정식의 수¶

최소자승문제¶

2.4 선형 연립방정식과 역행렬 — 데이터 사이언스 스쿨

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Python numpy T (전치 행렬 Transpose) 본문

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Summary of article content: Articles about 파이썬으로 다시 배우는 핵심 고등 수학: 수포자 프로그래머를 위한 손에 잡히는 … – 타니지리 카오리 – Google Sách Updating …
Most searched keywords: Whether you are looking for 파이썬으로 다시 배우는 핵심 고등 수학: 수포자 프로그래머를 위한 손에 잡히는 … – 타니지리 카오리 – Google Sách Updating 수학과 파이썬을 동시에 배울 수 있는 일석이조의 기회! 수학을 알면 프로그램을 만드는 데에 도움이 된다는 사실은 알고 있지만, 고등학교 때 일찌감치 수포자의 길을 걷기 시작했기 때문에 수학 지식 없이 프로그램을 만들어 보려는 사람이 많습니다. 데이터 과학이나 기계학습, 블록체인 등등 이 시대에는 수학 이론을 배경으로 한 시스템들이 전성기를 이루고 있습니다. 이제까지는 수학에 담을 쌓은 채로 프로그램을 만들며 지낼 수 있었지만, 이제는 프로그래밍에 수학이 필수가 돼 가고 있습니다. 하지만 프로그래머가 읽을 만한 수학책은 고등학교 수준을 넘어 난이도가 높은 책뿐입니다. 이 책은 수학에 자신이 없는 사람을 대상으로 고등학교 수학부터 제대로 기초를 다질 수 있게 도와줍니다. 단순히 수학 이론을 설명할 뿐만 아니라 계산하고 증명하고 이론을 검증하는 데에 파이썬을 사용합니다. 이론을 배우고 파이썬으로 검증하는 방식으로 진행합니다. 그냥 눈으로 읽기만 하는 것이 아니라 손을 움직이면서 수치계산을 코딩하는 힘을 기를 수 있습니다. 이 책은 수학과 파이썬의 기초를 확실히 다질 수 있는 일석이조의 기회를 제공합니다. 수학에 약한 문과생 프로그래머가 제대로 배울 수 있음은 물론이며 수학을 잊은 공과생 프로그래머가 자신감을 되찾을 기회가 될 것입니다.
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파이썬으로 다시 배우는 핵심 고등 수학: 수포자 프로그래머를 위한 손에 잡히는 ... - 타니지리 카오리 - Google Sách — 파이썬으로 다시 배우는 핵심 고등 수학: 수포자 프로그래머를 위한 손에 잡히는 … – 타니지리 카오리 – Google Sách

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[Python] 행렬 만들고 연산까지 해보기2

Project : Py_EX

Python file : EX03_arraycal.py (이어서)

Module : Numpy (as np)

IDE : PyCharm [설치방법]
이전 글 참조

이전 글에 이어서 Python에서 행렬을 다루는 법을 조금 더 공부해보자. 나중에 꼭 필요하다. 그러한 차원에서 numpy.array (사용은 np.array 로 한다)의 능력을 조금 더 알아보려 한다.

여기서는 “행렬” 하면 생각나는

행렬식 (Determinant)

역행렬 (Inverse matrix)

전치행렬 (Transpose matrix)

단위행렬 (Identity matrix)

을 생성 및 계산 해보자.

## 행렬식 (Determinant)

# np.linalg.det()

선형대수학에서, 행렬식(行列式, 영어: determinant 디터미넌트)은 정사각 행렬에 스칼라를 대응시키는 함수의 하나 이다. 실수 정사각 행렬의 행렬식의 절댓값은 그 행렬이 나타내는 선형 변환이 초부피를 확대시키는 배수를 나타내며, 행렬식의 부호는 방향 보존 여부를 나타낸다. * 위키백과

실습을 해보기 위해 정사각 행렬을 만들어 보자.

2X2 정사각 행렬

2×2 행렬 정도는 암산으로 계산이 가능하다.

determinant 계산

Python의 NumPy에서 이 계산을 하기 위해서는 선형대수(Linear Algebra) 함수 numpy.linalg 를 사용해야 한다. NumPy의 linalg 함수에는 행렬식을 비롯해서 행렬 및 벡터의 곱, 고유값, 조금 후 해볼 역행렬 등의 많은 선형대수 함수가 내장되어 있다. 여기서는 행렬식 함수인 np.linalg.det 를 사용해보자.

import numpy as np d_array = np.array([[2, 5], [1, 3]]) # numpy.array를 사용하여 2×2 행렬 생성 d_array_det = np.linalg.det(d_array) # d_array 행렬의 determinant 연산 print(d_array_det) # determinant 연산 결과 출력

결과창

1.0

결과는 위에서 계산한 결과와 동일한 결과를 출력해 준다. 2×2 행렬정도는 손계산으로 쉽게 계산 되겠지만 더 고차원의 행렬이 되면 Python의 힘을 빌리자.

그리고 numpy.linalg 의 함수들이 어떤 것들이 있는지 더 알고싶다면 링크(numpy.linalg 매뉴얼)를 참고하자. 필요할 때 그때그때 찾아서 사용해 보면 되겠다.

## 역행렬

# np.linalg.inv()

선형대수학에서, 가역 행렬(可逆行列, 영어: invertible matrix) 또는 정칙 행렬(正則行列, 영어: regular matrix) 또는 비특이 행렬(非特異行列, 영어: non-singular matrix)은 그와 곱한 결과가 단위 행렬인 행렬을 갖는 행렬 이다. 이를 그 행렬의 역행렬(逆行列, 영어: inverse matrix)이라고 한다. * 위키백과

위에서 만들었던 2×2 정사각 행렬의 역행렬을 구해보자. 공식을 모르겠으면 바로 위의 위키백과 링크를 타고들어가서 살짝 보고오자.

2×2 행렬의 역행렬 계산

이번에는 Python에서 해보자.

import numpy as np d_array = np.array([[2, 5], [1, 3]]) # numpy.array를 사용하여 2×2 행렬 생성 d_array_inv = np.linalg.inv(d_array) # d_array 행렬의 역행렬 연산 print(d_array_inv) # 역행렬 연산 결과 출력

결과창
[[ 3. -5.] [-1. 2.]]
당연히 동일한 결과를 출력해 준다.

## 전치행렬

# np.transpose() or a.transpose() or a.T

선형대수학에서, 전치 행렬(轉置行列, 영어: transposed matrix)은 행과 열을 교환하여 얻는 행렬이다. * 위키백과

전치행렬

Python에서 전치행렬은 아주 쉽게 구할 수 있는데, 세 가지 방법이나 있다.

import numpy as np d_array = np.array([[2, 5], [1, 3]]) # numpy.array를 사용하여 2×2 행렬 생성 print(np.transpose(d_array)) # np.transpose()를 이용한 전치행렬 출력 print(d_array.transpose()) # a.transpose()를 이용한 전치행렬 출력 print(d_array.T) # a.T 를 이용한 전치행렬 출력

결과창
[[2 1] [5 3]] [[2 1] [5 3]] [[2 1] [5 3]]
세 방법 모두 같은 결과를 출력해준다. NumPy의 함수인데 앞에 앞에 모듈이름 np를 안붙여도 작동한다. 신기하다.

## 단위행렬

# np.eye()

선형대수학에서, 단위 행렬(영어: identity matrix)은 주대각선의 원소가 모두 1이며 나머지 원소는 모두 0인 정사각 행렬이다. * 위키백과

3×3의 단위행렬을 만들어 보자.

3×3 단위행렬

Python에서는 np.eye() 를 사용하면 된다.

import numpy as np print(np.eye(3)) # 3×3 단위행렬 생성

결과창
[[1. 0. 0.] [0. 1. 0.] [0. 0. 1.]]
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Python Numpy.linalg.inv()-역행렬

Numpy.linalg.inv() 은 주어진 행렬의 역을 계산합니다.

numpy.linalg.inv() 의 구문

numpy.linalg.inverse(arr)

매개 변수

arr 입력 배열

반환

주어진 행렬의 역을 반환합니다.

주어진 행렬이 정사각형이 아니거나 반전이 실패하면 오류가 발생합니다.

예제 코드: numpy.linalg.inv() 메서드

import numpy as np arr = np.array([[1, 3], [5, 7]]) arr_inv = np.linalg.inv(arr) print(arr_inv)

출력:
[[-0.875 0.375] [ 0.625 -0.125]]
예제 코드: matrix 입력이있는 numpy.linalg.inv() 메서드

주어진 입력이 numpy matrix 이면 inv() 는 matrix 도 반환합니다.

import numpy as np arr = np.matrix([[1, 3], [5, 7]]) arr_inv = np.linalg.inv(arr) print(arr_inv, type(arr_inv))

출력:
[[-0.875 0.375] [ 0.625 -0.125]]

예제 코드: matrix 어레이 포함 numpy.linalg.inv()

import numpy as np arr = np.array([ [[1, 3], [5, 7]], [[2, 5], [4, 6]]]) arr_inv = np.linalg.inv(arr) print(arr_inv)

출력:

Please enable JavaScript Doc Translator: 문서 번역기는 어떻게 사용합니까?
[[[-0.875 0.375] [ 0.625 -0.125]] [[-0.75 0.625] [ 0.5 -0.25 ]]]

[numpy(넘파이)] 행렬곱(내적), 역행렬 구하기 (+ 역행렬 검증하기)

내적: 행렬곱

행렬곱은 아래와 같은 형식을 사용합니다.

np.dot(x,y) # x.dot(y) 를 사용해도 된다.

x와 y에는 행렬이 들어가야만 행렬 곱을 할 수 있습니다.

다음과 같이 행렬을 지정해줍시다.

import numpy as np x= np.arange(1,7).reshape(2,3) # 1,6까지 2행3열 y= np.array([[6,23],[-1,7],[8,9]]) # 2개의 배열 3개를 2행3열로 만들기

그리고 행렬곱을 실행해줍니다.

np.dot(x,y)

결과는 다음과 같이 나옵니다.

array([[ 28, 64], [ 67, 181]])

역행렬

역행렬은 아래와 같은 코드를 사용합니다.

np.linalg.inv()

일단 역행렬을 하기위해 행렬을 하나 만들어줍니다.

np.random.seed(0) # 랜덤으로 뽑은 수 고정시키기 mt1= np.random.randint(1,4,size=(3,3)) # 1~3의 수 중에서 9개를 뽑아 3행 3열로 만들기

행렬을 만든 후에 역행렬 코드를 실행시켜주면 됩니다.

mt2= np.linalg.inv(mt1) mt2

결과는 아래와 같이 나옵니다.

array([[ 7., -1., -4.], [-1., 0., 1.], [-4., 1., 2.]])

#############

한가지 알아두어야 할 점은 np.random.seed(0) 를 하지 않거나, np.random.seed(1)로 지정해주게되면

값은 거의 같지만 값이 조금 더 복잡하게 나오게 됩니다.

아래는 똑같은 코드를 np.random.seed(1)을 했을 경우의 값입니다.

np.random.seed(1) mt1= np.random.randint(1,4,size=(3,3)) mt2= np.linalg.inv(mt1) mt2

array([[-1.11022302e-16, 1.00000000e+00, -1.00000000e+00], [-1.00000000e+00, 1.00000000e+00, 0.00000000e+00], [ 2.00000000e+00, -3.00000000e+00, 2.00000000e+00]])

정확한 값은 위와 같습니다. 하지만 저는 값을 조금 더 깔끔하게 사용하기 위해 np.random.seed(0)을 사용합니다.

즉 np.random.seed(0)을 하면 근사값 정수가 나오게 됩니다.

###############

역행렬 검증하기

역행렬을 만들기위해 만들어둔 mt1과 mt1을 역행렬로 만든 mt2가 있습니다.

역행렬을 검증하기에 앞서, 다들 알다시피 행렬X와 행렬X의 역행렬을 내적할 경우에는 단위행렬이 나오게됩니다.

즉, mt1과 mt1의 역행렬을 내적(행렬곱)을 할 경우 단위행렬이 나오게 된다는 의미입니다.

단위행렬은 아래와 같습니다.

array([[1., 0., 0.], [0., 1., 0.], [0., 0., 1.]])

그럼 mt2가 mt1의 역행렬이 맞는지 검증하기 위해서는 mt1과 mt2의 내적(행렬곱)을 구해보면 됩니다.

실행해보도록 하겠습니다.

np.dot(mt1,mt2)

결과:

array([[1., 0., 0.], [0., 1., 0.], [0., 0., 1.]])

mt1과 mt2의 내적(행렬곱)이 단위행렬인 것을 보니 mt1과 mt2의 관계는 역행렬이 맞다는 것을 확인할 수 있습니다.

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[Python] 행렬 만들고 연산까지 해보기2

Python Numpy.linalg.inv()-역행렬 | Delft Stack

[numpy(넘파이)] 행렬곱(내적), 역행렬 구하기 (+ 역행렬 검증하기)

[Numpy] 파이썬 단위행렬 함수 np.eye(), 역행렬 함수 LA.inv()

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2.4 선형 연립방정식과 역행렬 — 데이터 사이언스 스쿨

[Python] 선형 연립방정식과 역행렬 — 나의 개발 공부 일지

[numpy] np.linalg

Python numpy : T (전치 행렬, Transpose)

파이썬으로 다시 배우는 핵심 고등 수학: 수포자 프로그래머를 위한 손에 잡히는 … – 타니지리 카오리 – Google Sách

[Python] 행렬 만들고 연산까지 해보기2

Python Numpy.linalg.inv()-역행렬

[numpy(넘파이)] 행렬곱(내적), 역행렬 구하기 (+ 역행렬 검증하기)

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