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고등 수학1 34강 사인함수 코사인함수의 주기, 최댓값, 최솟값 구하기

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삼각함수와 주기 :: winner

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삼각함수와 주기

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삼각함수 그래프의 이동 평행이동 주기 최대 최소

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삼각함수 그래프의 이동, 평행이동, 주기, 최대, 최소

삼각함수 그래프의 이동은 조금 어렵습니다. 자세히 하나씩 천천히 읽어보세요. sin 그래프, cos 그래프, tan 그래프의 특징을 아주 제대로 이해하고 있어야 해요. 원래 그래프와 이동한 후의 그래프의 특징을 잘 비교해서 이해해야 하죠.

그래프의 이동이기 때문에 중학교 때 공부했던 이차함수 그래프의 평행이동, y = (x – p)2 + q와 함께 연결지어서 공부하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

그래프를 직접 그린 후에 특징을 잘 찾아서 어떻게 바뀌는지 그림을 통해서 이해하도록 노력해보세요.

먼저 y = sinx의 그래프의 이동을 설명한 후에 이를 바탕으로 해서 y = cosx, y = tanx의 그래프의 이동을 설명할게요.

삼각함수 그래프의 이동

y = sinx 그래프의 이동

y = 2sinx 그래프를 그려보죠. y = 2 × sinx 이므로 y = sinx에서 y가 두 배에요. (x, y)의 좌표를 (x, 2y)로 바꾸면 쉽게 그릴 수 있어요.

그래프를 그려봤더니 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 길어졌죠? 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요. 치역이 바뀌었지만 주기라든가 정의역 등 다른 특징은 그대로예요. y = -2sinx의 그래프였다면 어떻게 될까요? y = -2sinx의 그래프는 y = 2sinx의 그래프와 x축 대칭이므로 위 그래프의 위아래를 바꾸면 돼요. 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요. 만약에 y = 2sinx가 아니라 y = sinx를 그렸다면 어떻게 될까요? (x, 2y)가 아니라 (x, y)가 될 거고 그렇다면 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 줄어든 그래프가 될 거예요. 주기는 마찬가지로 2π일 거고, 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 이고 최솟값은 x = 일 때, - 에요. sinx 앞에 어떤 숫자가 있더라도 주기는 바뀌지 않고 2π라는 걸 알 수 있어요. 앞에 있는 숫자에 따라 최대, 최소는 바뀌죠. 최대, 최소가 달라지기 때문에 그래프는 위아래로 늘어나거나 줄어드는 형태예요. 그리고 바뀐 최댓값과 최솟값은 부호는 반대지만 절댓값이 같아요. 이걸 확장해서 y = asinx의 그래프의 특징으로 바꿔보죠. y = sinx와 y = asinx의 그래프 비교 y = sinx y = asinx 주기 2 π 2 π 최댓값 1 |a| 최솟값 -1 -|a| 이번에는 y = sin(bx)의 그래프를 그려보죠. y = sin(2x)의 그래프를 그려볼까요? y = sinx에서 x가 2x로 바뀌었고, y는 그대로예요. 따라서 (x, y) 대신에 (x/2, y)의 좌표를 연결하면 되죠. 그래프가 y = sinx의 그래프보다 폭이 더 좁아졌어요. 최대, 최소는 바뀌지 않았어요. 그대로 1, -1이에요. 주기는 π고요. x앞에 숫자가 있을 때는 최대, 최소는 바뀌지 않고 주기가 바뀐다는 걸 알 수 있어요. 단순히 주기가 줄어든 게 아니고 원래 주기인 2π를 x앞의 숫자로 나눠준 게 주기예요. 주기는 양수로 나타내기 때문에 b에 절댓값을 씌워서 나눠야 합니다. y = sinx와 y = sin(bx)의 그래프 비교 y = sinx y = sin(bx) 주기 2 π 최댓값 1 1 최솟값 -1 -1 이번에는 y = sin(x + c) 형태의 그래프를 보죠. 이건 이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x - p)2을 생각해보면 쉬워요. y = (x - p)2은 y = ax2의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 평행이동한 그래프에요. x대신 x - p를 대입하면 되죠. 그럼 y = sin(x + c)는 어떨까요? y = sin(x + c) y = sin{x - (-c)} x 대신 x - (-c)가 들어가 있죠? 따라서 y = sin(x + c)는 y = sinx의 그래프를 x축 방향으로 -c만큼 평행이동한 그래프에요. 이차함수의 그래프에서 x축 방향으로 평행이동을 하더라도 그래프의 폭이나 방향, 최대, 최소 등은 바뀌지 않았어요. y = sinx의 그래프에서도 주기와 최대, 최소는 바뀌지 않아요. y = sinx + d의 그래프를 보죠. 마찬가지로 이차함수 그래프의 평행이동, y = ax2 + q의 그래프를 생각해보세요. y = ax+ q의 그래프는 y = ax의 그래프를 y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프에요. 같은 이유로 y = sinx + d는 y = sinx의 그래프를 y축 방향으로 d만큼 평행이동한 그래프에요. 이차함수의 그래프를 y축 방향으로 평행이동하면 폭과 방향은 그대로지만 최대, 최소는 바뀌죠? y = sinx의 그래프에서도 y축 방향으로 d만큼 평행이동하면 처음의 최대, 최소보다 d만큼 더해줘야 해요. 주기는 바뀌지 않아요. y = sinx의 그래프와 y = sin(x + c)의 그래프, y = sinx + d 비교 y = sinx y = sin(x + c) y = sinx + d 주기 2 π 2 π 2 π 최댓값 1 1 1 + d 최솟값 -1 -1 -1 + d 위 내용을 한 번에 정리해보죠. y = asin(bx + c) + d의 그래프와 원래 y = sinx의 그래프와 비교해보죠. y = sinx와 y = asin(bx + c) + d의 그래프 비교 y = sinx y = asin(bx + c) + d 주기 2 π 최댓값 1 |a| + d 최솟값 -1 -|a| + d a와 d는 최대, 최소에 영향을 줘요. 특히 a는 그래프를 위, 아래로 늘리거나 줄인 형태로 모양을 바꿔서 최대, 최소에 영향을 주고요. d는 그래프의 모양을 그대로 두고 그래프를 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 줍니다. b는 그래프를 좌우로 늘이거나 줄이는 모양으로 바꿔서 주기에 영향을 줘요. c는 전체적인 그래프의 모양은 바꾸지 않고 좌우로 움직이기만 합니다. y = cosx 그래프의 이동 y = sinx의 그래프와 y = cosx의 그래프는 주기가 2π로 같고, 최대가 1, 최소가 -1로 같아요. 물론 최대, 최소가 생기는 x는 다르지만요. 삼각함수의 그래프에서 가장 중요한 것은 주기, 최대, 최소에요. y = sinx와 y = cosx의 그래프는 특징이 같으니까 이동 후에 바뀌는 특징도 같아요. 한꺼번에 적용할 수 있다는 뜻이에요. y = tanx의 그래프의 이동 하지만 y = tanx의 그래프의 이동은 달라요. 주기는 π이고, 최대, 최소는 없어요. 게다가 점근선이라는 것까지 있지요. 그러니까 서로 다른 방법으로 이해해야 합니다. y = atan(bx + c) + d꼴을 보죠. a는 그래프의 모양을 위아래로 늘리거나 줄여서 최대, 최소에 영향을 줘요. 그래프의 모양을 위아래 늘이거나 줄일 수는 있지만, 최대, 최소는 원래부터 구할 수 없으니까 이동한 결과도 최대, 최소를 구할 수 없어요. b는 그래프를 좌우로 늘리거나 줄여서 주기에 영향을 줘요. y = tanx의 주기는 π니까 이동한 그래프의 주기는 입니다. 또 점근선에 영향을 줘요. c는 그래프의 모양은 그대로 두고 좌우로 움직이기만 하죠. 이때 점근선도 함께 움직입니다. 점근선과 관련된 내용은 굳이 외울 필요는 없어요. 그냥 바뀌는구나 정도로만 이해하고 있으면 돼요. d는 그래프의 모양은 그대로 두고 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 주죠. 하지만 최대, 최소는 구할 수 없어요. 삼각함수 그래프의 이동 y = asin(bx + c) + d y = acos(bx + c) + d y = atan(bx + c) + d 최댓값 |a| + d 없음 최솟값 -|a| + d 없음 주기 점근선 없음. (n은 정수) 위에서 한 내용이 어려운 내용이에요. 원래 처음의 그래프의 특징을 잘 이해해야 하고, 이동할 때 숫자가 어디에 붙는지에 따라 어떤 특징이 어떻게 달라지는지 잘 기억해두세요. 함께 보면 좋은 글 삼각함수 그래프 그리는 법 - sin 그래프, 주기함수 삼각함수의 그래프 - cos 그래프 삼각함수의 그래프 - tan 그래프 그리드형(광고전용)

[수학I] 16. 삼각함수(sin,cos,tan)의 그래프, 사인 코사인 탄젠트 개형(개념+수학문제)

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📄 [ 수학I] 삼각함수의 뜻, 삼각비

📄 [수학I] 삼각함수 사이의 관계

| y= sinx의 그래프 (사인함수)
[정리] 사인함수 (y=sinx)의 특징

사인함수 y=sinx

1. 정의역과 치역

– 정의역 : 실수 전체의 집합

– 치역 : { y | -1 ≤ y ≤ 1 }

2. 주기가 2π

sin(x) = sin(2nπ+x) (단 n은 정수)

3. 원점에 대하여 대칭

sin(x) = -sin(-x)

먼저 사인함수는 원점에 대하여 대칭인 함수로, 실수 전체에 대하여 2π마다 함숫값을 같이 합니다.

원점 (0,0), (π/2, 1), (π,0), (3π/2,-1)을지납니다.

| y= cosx의 그래프 (코사인함수)
[정리] 코사인함수 (y=cosx)의 특징

코사인함수 y=cosx

1. 정의역과 치역

– 정의역 : 실수 전체의 집합

– 치역 : { y | -1 ≤ y ≤ 1 }

2. 주기가 2π

cos(x) = cos(2nπ+x) (단 n은 정수)

3. y축에 대하여 대칭

cos(x) = cos(-x)

4. y=sinx를 x축의 방향으로 -π/2만큼 이동하면 y=cosx와 겹쳐짐

sin(x-π/2)=cosx

코사인함수는 사인함수를 x축의 방향으로 평행이동한 함수로, 정의역과 치역, 주기가 사인함수와 서로 같습니다.

다만, y=cosx는 (0,1), (π/2, 0), (π,-1),(3π/2,0)을 지납니다.

| y= tanx의 그래프 (탄젠트함수)
[정리] 탄젠트함수 (y=tanx)의 특징

탄젠트함수 y=tanx

1. 정의역과 치역

– 정의역 : { x | x≠nπ+π/2인 모든 실수 (단, n은 정수) }

– 치역 : 실수 전체의 집합

2. 주기가 π

tan(x) = tan(nπ+x) (단 n은 정수)

3. 원점에 대하여 대칭

tan(x) = -tan(-x)

4. x=nπ+π/2를 점근선으로 가짐 (단, n은 정수)

탄젠트함수는 사인함수를 코사인함수로 나눈 값으로, 앞서 살펴본 두 함수와 다르게 주기가 π입니다.

그리고 정의역이 모든 실수가 아니며 오히려 치역이 모든 실수라는 특징을 가지고 있습니다.

탄젠트함수는 (0,0) (π/4, 1), (π/3,√3)등을

지납니다.

| 삼각함수의 응용형 y=asinbx+c꼴

삼각함수 y=asinbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다.

1. 최댓값을 |a|+c, 최솟값을 -|a|+c로 갖습니다.

2. 주기는 2π/b

삼각함수 y=acosbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다.

1. 최댓값을 |a|+c, 최솟값을 -|a|+c로 갖습니다.

2. 주기는 2π/b

삼각함수 y=atanbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다.

1. 점근선은 x= (nπ+π/2)/b

2. 주기는 π/b

| 학습지 미리보기

| 첨부파일

2020SP H2-16.pdf 0.18MB

| 닫는 말

이번 학습지는 한 장에 다섯 문제로, 왼쪽에는 주기,치역,점근선을 써보고, 오른쪽에는 그래프를 그려볼 수 있습니다.

정답은 주기/치역/점근선만 제공하며, 그래프는 제공하지 않는다는 점 양해바랍니다.

감사합니다.

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사인 함수와 코사인 함수

수학에서, 삼각함수(三角函數, 영어: trigonometric functions, angle functions, circular functions 또는 goniometric functions)는 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다. 예각 삼각함수는 직각 삼각형의 예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각함수 역시 정의할 수 있다. 삼각함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.

삼각함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은 사인(영어: sine, 문화어: 시누스, 기호 sin {\displaystyle \sin } ) · 코사인(영어: cosine, 문화어: 코시누스, 기호 cos {\displaystyle \cos } ) · 탄젠트(영어: tangent, 문화어: 탕겐스, 기호 tan {\displaystyle \tan } )라고 한다. 이들의 역수는 각각 코시컨트(영어: cosecant, 기호 csc {\displaystyle \csc } ) · 시컨트(영어: secant, 기호 sec {\displaystyle \sec } ) · 코탄젠트(영어: cotangent, 기호 cot {\displaystyle \cot } )라고 한다.

정의 [ 편집 ]
직각 삼각형을 통한 정의 [ 편집 ]
직각 삼각형

C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 a , b , h {\displaystyle a,b,h} 라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다.

사인: sin ⁡ A = a h {\displaystyle \sin A={\frac {a}{h}}} 코사인: cos ⁡ A = b h {\displaystyle \cos A={\frac {b}{h}}} 탄젠트: tan ⁡ A = a b {\displaystyle \tan A={\frac {a}{b}}}

또한, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

코시컨트: csc ⁡ A = h a = 1 sin ⁡ A {\displaystyle \csc A={\frac {h}{a}}={\frac {1}{\sin A}}} 시컨트: sec ⁡ A = h b = 1 cos ⁡ A {\displaystyle \sec A={\frac {h}{b}}={\frac {1}{\cos A}}} 코탄젠트: cot ⁡ A = b a = 1 tan ⁡ A {\displaystyle \cot A={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\tan A}}}

단위원을 통한 정의 [ 편집 ]
삼각 함수

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 에 대해, x {\displaystyle x} 축과 점 A와 원점을 잇는 직선간의 각을 θ {\displaystyle \theta } 라고 하면, 다음과 같이 정의한다

sin ⁡ θ = y r {\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{r}}} cos ⁡ θ = x r {\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}} tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ = y x {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {y}{x}}} sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}} csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ {\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}} cot ⁡ θ = 1 tan ⁡ θ = cos ⁡ θ sin ⁡ θ {\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}

복소 삼각함수 [ 편집 ]
오일러의 공식 e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle \,e^{ix}=\cos x+i\sin x} 에 x = b i {\displaystyle \,x=bi} 를 대입하면,

e − b = cos ⁡ b i + i sin ⁡ b i {\displaystyle \,e^{-b}=\cos bi+i\sin bi}

x = − b i {\displaystyle \,x=-bi} 를 대입하면,

e b = cos ⁡ ( − b i ) + i sin ⁡ ( − b i ) = cos ⁡ b i − i sin ⁡ b i {\displaystyle \,e^{b}=\cos(-bi)+i\sin(-bi)=\cos bi-i\sin bi}

연립하여 풀면, 쌍곡선함수,

cos ⁡ b i = e b + e − b 2 = cosh ⁡ b {\displaystyle \cos bi={\frac {e^{b}+e^{-b}}{2}}=\cosh b} i sin ⁡ b i = − e b + e − b 2 , {\displaystyle i\sin bi={{-e^{b}+e^{-b}} \over 2}\;,} − i sin ⁡ b i = e b − e − b 2 = sinh ⁡ b {\displaystyle -i\sin bi={{e^{b}-e^{-b}} \over 2}=\sinh b}

성질 [ 편집 ]
주기성과 특이점 [ 편집 ]
사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 2 π {\displaystyle 2\pi } 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } 에 대하여,

sin ⁡ z = sin ⁡ ( z + 2 π ) {\displaystyle \sin z=\sin(z+2\pi )} cos ⁡ z = cos ⁡ ( z + 2 π ) {\displaystyle \cos z=\cos(z+2\pi )} csc ⁡ z = csc ⁡ ( z + 2 π ) {\displaystyle \csc z=\csc(z+2\pi )} sec ⁡ z = sec ⁡ ( z + 2 π ) {\displaystyle \sec z=\sec(z+2\pi )}

탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 π {\displaystyle \pi } 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } 에 대하여,

tan ⁡ z = tan ⁡ ( z + π ) {\displaystyle \tan z=\tan(z+\pi )} cot ⁡ z = cot ⁡ ( z + π ) {\displaystyle \cot z=\cot(z+\pi )}

사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대 ∞ ^ {\displaystyle {\hat {\infty }}} 에서 본질적 특이점을 갖는다.[1][2]
탄젠트는 실수선의 π / 2 + n π {\displaystyle \pi /2+n\pi } ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } )에서 정의되지 않는다.

사인과 코사인의 그래프

탄젠트 그래프

코시컨트 그래프

특별한 값 [ 편집 ]
단위원 위의 각 점의 좌표

특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.

180 ∘ = π r a d {\displaystyle {180^{\circ }}={\pi }\;\mathrm {rad} } 라디안)

특수각 sin cos tan 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} π / 6 {\displaystyle \pi /6} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 3 / 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}/2} 1 / 3 {\displaystyle 1/{\sqrt {3}}} π / 4 {\displaystyle \pi /4} 2 / 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}/2} 2 / 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}/2} 1 {\displaystyle 1} π / 3 {\displaystyle \pi /3} 3 / 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}/2} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} π / 2 {\displaystyle \pi /2} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} 정의되지 않음

0º , 90º sin, cos, tan

부호 [ 편집 ]
각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 다음과 같다.

사분면 sin과 csc cos과 sec tan와 cot I + + + II + − − III − − + IV − + −

항등식 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 삼각함수 항등식 입니다.

삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 r {\displaystyle r} 인 빗변이고 밑변이 b , {\displaystyle b,} 각 x {\displaystyle x} 의 대변인 높이 a {\displaystyle a} 에 대하여 a 2 + b 2 r 2 = r 2 r 2 = 1 {\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{r^{2}}}={\frac {r^{2}}{r^{2}}}=1} 를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 {\displaystyle \,\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}

이것은 다음과 같다.

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1} ( a r ) 2 + ( b r ) 2 = 1 {\displaystyle \left({a \over r}\right)^{2}+\left({b \over r}\right)^{2}=1} ( a 2 r 2 ) + ( b 2 r 2 ) = 1 {\displaystyle \left({a^{2} \over r^{2}}\right)+\left({b^{2} \over r^{2}}\right)=1} a 2 + b 2 r 2 = r 2 r 2 = 1 {\displaystyle {a^{2}+b^{2} \over r^{2}}={r^{2} \over r^{2}}=1} a 2 + b 2 = r 2 = 1 ∵ r = 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=r^{2}=1\;\because \;r=1}

따라서, 이것은 또한 단위원에서 다음과 같다.

( 3 2 ) 2 + ( 1 2 ) 2 = 1 {\displaystyle \left({{\sqrt {3}} \over 2}\right)^{2}+\left({1 \over 2}\right)^{2}=1}

삼각함수의 덧셈정리 [ 편집 ]
서로 다른 삼각함수의 관계는 삼각함수의 덧셈정리이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제2 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제1 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.

sin ⁡ ( x ± y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y ± cos ⁡ x sin ⁡ y , {\displaystyle \sin \left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y,} cos ⁡ ( x ± y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y ∓ sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cos \left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}

두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.

모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

sin cos tan cot sec csc sin sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} 1 − cos 2 ⁡ x {\displaystyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} ( tan ⁡ x ) / 1 + tan 2 ⁡ x {\displaystyle (\tan x)/{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}} 1 / cot 2 ⁡ x + 1 {\displaystyle 1/{\sqrt {\cot ^{2}x+1}}} sec 2 ⁡ ( x ) − 1 / ( sec ⁡ x ) {\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}/(\sec x)} 1 / ( csc ⁡ x ) {\displaystyle 1/(\csc x)} cos 1 − sin 2 ⁡ x {\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} 1 / 1 + tan 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle 1/{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}} ( cot ⁡ x ) / cot 2 ⁡ x + 1 {\displaystyle (\cot x)/{\sqrt {\cot ^{2}x+1}}} 1 / ( sec ⁡ x ) {\displaystyle 1/(\sec x)} csc 2 ⁡ x − 1 / ( csc ⁡ x ) {\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}x-1}}/(\csc x)} tan ( sin ⁡ x ) / 1 − sin 2 ⁡ x {\displaystyle (\sin x)/{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} 1 − cos 2 ⁡ x / ( cos ⁡ x ) {\displaystyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}/(\cos x)} tan ⁡ x {\displaystyle \tan x} 1 / ( cot ⁡ x ) {\displaystyle 1/(\cot x)} sec 2 ⁡ x − 1 {\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}x-1}}} 1 / csc 2 ⁡ x − 1 {\displaystyle 1/{\sqrt {\csc ^{2}x-1}}} cot 1 − sin 2 ⁡ x / ( sin ⁡ x ) {\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}/(\sin x)} ( cos ⁡ x ) / 1 − cos 2 ⁡ x {\displaystyle (\cos x)/{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} 1 / ( tan ⁡ x ) {\displaystyle 1/(\tan x)} cot ⁡ ( x ) {\displaystyle \cot(x)} 1 / sec 2 ⁡ x − 1 {\displaystyle 1/{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}} csc 2 ⁡ x − 1 {\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}x-1}}} sec 1 / 1 − sin 2 ⁡ x {\displaystyle 1/{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} 1 / ( cos ⁡ x ) {\displaystyle 1/(\cos x)} 1 + tan 2 ⁡ x {\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}x}}} cot 2 ⁡ x + 1 / ( cot ⁡ x ) {\displaystyle {\sqrt {\cot ^{2}x+1}}/(\cot x)} sec ⁡ x {\displaystyle \sec x} ( csc ⁡ x ) / csc 2 ⁡ ( x ) − 1 {\displaystyle (\csc x)/{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}} csc 1 / ( sin ⁡ x ) {\displaystyle 1/(\sin x)} 1 / 1 − cos 2 ⁡ x {\displaystyle 1/{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} 1 + tan 2 ⁡ x / ( tan ⁡ x ) {\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}x}}/(\tan x)} cot 2 ⁡ x + 1 {\displaystyle {\sqrt {\cot ^{2}x+1}}} ( sec ⁡ x ) / sec 2 ⁡ x − 1 {\displaystyle (\sec x)/{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}} csc ⁡ x {\displaystyle \csc x}

미분과 적분 [ 편집 ]
다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다.

함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 도함수 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 부정적분 ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int f(x)\,dx} sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} − cos ⁡ x + C {\displaystyle -\cos x+C} cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} − sin ⁡ x {\displaystyle -\sin x} sin ⁡ x + C {\displaystyle \sin x+C} tan ⁡ x {\displaystyle \tan x} sec 2 ⁡ x {\displaystyle \sec ^{2}x} − ln ⁡ | cos ⁡ x | + C {\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C} cot ⁡ x {\displaystyle \cot x} − csc 2 ⁡ x {\displaystyle -\csc ^{2}x} ln ⁡ | sin ⁡ x | + C {\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C} sec ⁡ x {\displaystyle \sec x} sec ⁡ x tan ⁡ x {\displaystyle \sec {x}\tan {x}} ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | + C {\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C} csc ⁡ x {\displaystyle \csc x} − csc ⁡ x cot ⁡ x {\displaystyle -\csc {x}\cot {x}} ln ⁡ | csc ⁡ x − cot ⁡ x | + C {\displaystyle \ln \left|\csc x-\cot x\right|+C}

응용 [ 편집 ]
사인 법칙 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 사인 법칙 입니다.

사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변 a, b, c에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.

sin ⁡ A a = sin ⁡ B b = sin ⁡ C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}

마찬가지로,

a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}

도 성립한다. 여기서 R은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.

코사인 법칙 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 코사인 법칙 입니다.

코사인 법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.

코사인 제 1 법칙에 따르면,

c = b cos ⁡ A + a cos ⁡ B {\displaystyle c=b\cos A+a\cos B}

양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.

코사인 제 2 법칙은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}

가 성립하고, 위의 식을 변형하면

cos ⁡ C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b {\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}

와 같이 나타낼 수 있다.

코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.

탄젠트 법칙 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 탄젠트 법칙 입니다.

탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B의 대변 a, b에 다음과 같은 식을 만족시킨다.

a + b a − b = tan ⁡ 1 2 ( A + B ) tan ⁡ 1 2 ( A − B ) {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {{1 \over 2}(A+B)}}{\tan {{1 \over 2}(A-B)}}}}

역사 [ 편집 ]
기원전 2~1세기 그리스의 히파르코스와 프톨레마이오스 등은 각도에 대해 달라지는 현의 길이를 다룬 적이 있다.

현재 쓰는 것과 같은 삼각함수의 원형은 굽타 시대 인도 천문학에서 찾아볼 수 있다. 기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다. 5세기 초 발간된 인도의 천문학 서적 『수우르야 싯단타(Sūrya Siddhānt, 태양에 관한 지식)』에는 세계 최초로 삼각함수에 관해 정확하고 자세하게 표현된 설명이 기록되어 있다.[3]
삼각함수가 동아시아에 전해진 것은 16~17세기 때이다.

어원 [ 편집 ]
영어 ‘사인(sine)’은 라틴어 sinus에서 왔는데, 이는 12세기의 유럽 번역가들이 아랍어 جَيْب(jayb)를 ‘옷의 목부분, 옷깃’으로 보고 라틴어로 번역한 것이다. 하지만 이 단어는 실제로는 ‘활시위’를 뜻하는 산스크리트어 ज्या(jyā, 베다 jiyā́)를 음차한 것이다.

‘탄젠트(tangent)’는 ‘접한다’는 뜻의 라틴어 tangens에서 왔고, ‘시컨트(secant)’는 ‘자른다’는 뜻의 라틴어 secans에서 왔다. 각각 원에 접하는 선과 자르는 선에 빗대어 붙인 이름이다.

코사인, 코탄젠트, 코시컨트의 ‘코(co-)’가 처음 쓰인 책으로는 에드먼드 건터(영어판)의 Canon triangulorum(1620년)이 있는데, ‘여각의 사인’(sinus complementi)을 ‘코사인(cosinus)’으로 줄여 부른 것이다.

한자 문화권에서는 독일의 선교사·과학자인 요한 슈렉(영어판)이 명나라에서 저술한 《대측(大測)》(1631) 등의 책에서 사인·코사인·탄젠트를 각각 정현(正弦)·여현(餘弦)·정절(正切)이라고 번역했다. 코탄젠트·시컨트·코시컨트는 각각 여절(餘切)·정할(正割)·여할(餘割)이라 한다. 이 이름은 근대화되기 전의 조선·일본에서 쓰였고, 지금도 중국에서 쓰인다.

같이 보기 [ 편집 ]
외부 링크 [ 편집 ]

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