Top 15 삼각형 의 넓이 The 55 Top Answers

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중요 개념: 삼각형은 직사각형 넓이의 절반입니다. 그렇기 때문에, 삼각형의 넓이는 밑변과 높이를 곱한 것의 절반이 되는 것입니다.

수학1 23강 삼각형의 넓이

삼각형의 넓이 (초등5학년 1학기 5단원) (개념 이해하기) | 기하학 | Khan Academy

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삼각형의 넓이 (초등5학년 1학기 5단원)

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Most searched keywords: Whether you are looking for 삼각형의 넓이 구하는 법 – wikiHow Updating 삼각형의 넓이 구하는 법. 흔히 삼각형의 넓이는 밑변에 높이를 곱해 2로 나눠서 구한다. 물론 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 여러 가지가 있으나 이는 결국 문제에서 주어지는 정보에 따라 달라진다. 삼각형의 변의 길이와 각도만 주어졌거나, 심지어 높이를 모른다 하더라도 충분히 넓이를 구할 수 있다. 삼각형의 밑변과 높이 찾기. 밑변은 삼각형의 한 변의 길이와 같다. 높이는 밑변에서 마주보는 꼭짓점까지 수직인 선을 그었을 때 그…
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단계

팁

삼각비의 활용 – 삼각형의 넓이

삼각비를 이용해서 삼각형의 넓이를 구하는 방법이에요.

삼각형의 넓이 공식 모르는 사람 없죠? ½ × (밑변) × (높이)에요.

물론 이건 높이를 알고 있을 때 쓰는 공식이에요. 예각삼각형의 높이, 둔각삼각형의 높이에서도 해봤지만, 삼각비에는 변의 길이와 내각의 크기를 알려주지, 삼각형의 높이는 알려주지 않거든요. 주어진 내용을 가지고 삼각형의 높이를 구해서 위 공식에 대입해야 합니다.

두 변의 길이와 끼인각을 알려줬을 때 높이를 구하는 것부터 넓이를 구하는 것까지 해보고 공식으로 정리해보죠.

예각삼각형의 넓이

아래 △ABC에서 b, c와 ∠A의 크기를 알려줬다고 해보죠. 넓이를 구하려면 높이 h를 구해야 해요.

예각삼각형의 높이에서 예각삼각형의 높이를 구할 때는 길이를 알고 있는 한 변과 크기를 알고 있는 각이 같은 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내린다고 했어요.

△ACH에서

높이 h를 구했으니까 삼각형 넓이 공식에 대입해보죠.

문제에서 알려준 걸 다 곱하면 되는 겁니다. 두 변의 길이를 곱하고, 거기에 크기를 알려준 각의 sin값을 곱해요. 삼각형의 넓이니까 그 절반으로 하는 거죠.

다음 그림에서 △ABC의 넓이를 구하여라.

두 변의 길이가 b, c이고 끼인각의 크기가 A인 예각삼각형의 넓이는 에요.

둔각삼각형의 넓이

아래 △ABC에서 b, c와 ∠A의 크기를 알려줬다고 해보죠. 넓이를 구하려면 높이 h를 구해야 해요

둔각삼각형의 높이에서는 크기를 모르는 각에서 길이를 아는 변의 연장선에 수선을 내려서 높이를 구한다고 했어요.

△ACH만 보세요. sin을 이용해서 높이를 구해야 하는데, 기준각인 CAH는 180° – ∠A에요. 따라서 높이는 아래처럼 구할 수 있어요.

높이 h를 구했으니까 삼각형 넓이 공식에 대입해보죠.

예각삼각형의 넓이 구하는 공식과 같아요. 차이가 있다면 A가 아니라 180° – ∠A라는 거지요.

삼각형의 넓이는 알려준 길이 두 개와 각을 곱해요. 각은 그대로 곱하지 않고 sin값을 곱하죠. 그런데 우리는 0° ~ 90°까지의 삼각비밖에 안 배웠어요. 그러니까 sin을 구할 각의 크기는 예각이어야 해요. 예각이 아니라면(둔각이면) 180°에서 각을 빼서 예각을 만들어서 공식에 넣으면 돼요.

다음 그림에서 △ABC의 넓이를 구하여라.

두 변의 길이가 b, c이고 끼인각의 크기가 A인 둔각삼각형의 넓이는 에요.

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정리해볼까요 두 변의 길이가 b, c이고, 끼인각이 A인 삼각형의 넓이 A < 90°일 때: A > 90°일 때:

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삼각형의 넓이를 구하는 8가지 방법

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삼각형은 평면 기하에서 매우 기본적인 도형이다. 그만큼 많은 정리들이 있기도 하다. 이 글에서는 이 삼각형의 넓이를 구하는 여러 방법과, 그 증명에 대해 알아본다.

1. 밑변과 높이를 알 때

$S=\frac{1}{2}ah$

밑변과 높이를 알 때

가장 일반적인 삼각형의 넓이 구하는 방법이다. 증명은 생략한다.

2. 두 변과 끼인 각을 알 때

$S=\frac{1}{2}ab \sin\theta$

두 변과 끼인 각을 알 때

이때 높이는 $b\sin\theta$이기 때문에 삼각형의 넓이는 (1)의 방법에 따라 $\frac{1}{2}ab\sin\theta$이다.

3. 정삼각형의 한 변의 길이를 알 때

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

정삼각형 한 변의 길이를 알 때

$\triangle ACH$가 $\angle AHC=90^{\circ}$, $\angle ACH=60^{\circ}$, $\angle CAH=30^{\circ}$이므로 삼각형의 특수각에 따라 $\overline{AH}=\frac{\sqrt3}{2}a$이다.

따라서 (1)의 방법에 따라 넓이는 $\frac{\sqrt3}{4}a^2$이다.

4. 세 변의 길이와 외접원의 반지름을 알 때

$S=\frac{abc}{4R}$

세 변의 길이와 반지름을 알 때

사인 법칙에 따라 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$이다.

따라서 $\sin A=\frac{a}{2R}$이므로 (2)의 방법에 따라 넓이는 $\frac{1}{2}cb \times \frac{a}{2R}$$=\frac{abc}{4R}$이다.

5. 세 변의 길이와 내접원의 반지름을 알 때

$S=\frac{r}{2}(a+b+c)$

세 변의 길이와 내접원의 반지름을 알 때

원 O는 내접원이므로 선분 AB, BC, CA는 원 O의 접점이다. 따라서 (1)에 따라 다음과 같이 각 삼각형의 넓이를 표현할 수 있다.

$\triangle ABO=\frac{1}{2}rc$

$\triangle BCO=\frac{1}{2}ra$

$\triangle CAO=\frac{1}{2}rb$

또한 $\triangle ABO+\triangle BCO + \triangle CAO=\triangle ABC$이므로 위의 식을 모두 더하고, 정리하여 전체 삼각형의 넓이를 구하면 다음과 같다.

$\triangle ABC=\frac{r}{2}(a+b+c)$

6. 세 변의 길이를 알 때(헤론의 공식)

$s=\frac{a+b+c}{2}$일때 넓이 $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

세 변의 길이를 알 때

$\sin^2 C=(1-\cos^2 C)$ ($\because$ 삼각함수의 특징 $\sin^2 A+\cos^2 A=1$에서)

$\sin^2 C=(1+\cos C)(1-\cos C)$

$\sin^2 C=\left(1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\left(1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$ ($\because$ 제2 코사인 법칙에 따라 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$)

$\sin^2 C=\left(\frac{2ab+(a^2+b^2-c^2)}{2ab}\right)\left(\frac{2ab-(a^2+b^2-c^2)}{2ab}\right)$

$\sin^2 C=\left(\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}\right)\left(\frac{c^2-(a-b)^2}{2ab}\right)$

$\sin^2 C=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{(2ab)^2}$

$\sin C=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{2ab}$

$2s=a+b+c$로 치환하면

$\sin C=\frac{\sqrt{16(s)(s-c)(s-b)(s-a)}}{2ab}$

$\sin C=\frac{4\sqrt{(s)(s-c)(s-b)(s-a)}}{2ab}$

$\sin C=\frac{2\sqrt{(s)(s-c)(s-b)(s-a)}}{ab}$

이 식을 (2)번 방법에 이용하면

$\frac{1}{2}ab\sin C$$=\frac{1}{2}ab \frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{ab}$

따라서 삼각형의 넓이는 $s=\frac{a+b+c}{2}$일 때 $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$이다.

참고로 네 변의 길이가 $a,b,c,d$인 원에 내접하는 사각형에 대해 $s=\frac{a+b+c+d}{2}$라고 하면 사각형의 넓이 $S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$이다. 이 공식을 브라마굽타 공식이라고 하며, 헤론의 공식을 브라마굽타 공식의 특수한 경우로 생각할 수 있다.

7. 세 꼭짓점의 좌표를 알 때(가우스의 면적 공식)

꼭짓점이 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$인 삼각형의 넓이는

$\begin{vmatrix}x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_1\end{vmatrix}$에서 왼쪽 사선으로 곱한 값을 더하고, 오른쪽 사선으로 곱한 값을 빼면 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}\left| (x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)-(x_2y_1+x_3y_2+x_1y_3)\right|$이다.

세 꼭짓점의 좌표를 알 때

이 공식의 유도에는 벡터 연산이 포함되며, 이는 이 블로그의 범위에서 벗어난다. 따라서 증명은 생략한다.

참고로 이 공식은 변끼리 교차하지 않는 모든 좌표평면상의 다각형에 대해 성립한다.

8. 세 꼭짓점이 모두 정수점일 때(픽의 정리)

도형 내부에 있는 격자점의 개수를 $A$, 둘레 위에 있는 격자점의 개수를 $B$라고 하면 삼각형의 넓이 $S=A+\frac{B}{2}-1$이다.

이는 꼭 삼각형이 아니라 꼭짓점의 좌표가 정수점인 모든 다각형에 대해 성립한다.

세 꼭짓점의 좌표가 모두 정수인 경우

우선 다음과 같이 문자를 잡자.

종류 내부에 있는 둘레 위에 있는 전체 꼭짓점(Vertex) $v_i$ $v_o$ $v$ 변(Edge) $e_i$ $e_o$ $e$ 면(Face) – – $f$

이때 다음 두 식은 참이다.

$3f=v_o+3v_i$

: 주어진 도형을 정수점을 이용해 삼각형으로 쪼갤 때 전체 꼭짓점의 개수는 $v_o+3v_i$이다. 이때 도형 안에 점에 3을 곱한 것은 도형 안의 점은 세 삼각형이 공유하기 때문에 세 번 세야 하기 때문이다. 전체 꼭짓점의 개수를 3으로 나누면 전체 분할된 삼각형의 개수가 된다.

$3f=e_o+2e_i$

: 주어진 도형을 정수점을 이용해 삼각형으로 쪼갤 때 전체 변의 개수는 $e_o+2e_i$이다. 이때 도형 안에 변에 2을 곱한 것은 도형 안의 변은 두 삼각형이 공유하기 때문에 두 번 세야 하기 때문이다. 전체 변의 개수를 3으로 나누면 전체 분할된 삼각형의 개수가 된다.

여기서 $3f=e_0+2e_i$를 $e=e_i+e_o$를 이용하여 정리하면 다음과 같다.

$3f=2(e-e_o)+e_o=2e-e_o$

$2e-3f-e_o=0$

$2(e-f)-f-e_o=0$

이제 평면 기하에서 Euler characteristic(이걸 한국어로 뭐라 하는지 모르겠다)인 $v-e+f=1$를 조금 변형한 $e-f=v-1$을 대입하여 정리하면 다음과 같다.

$2(v-1)-f-e_o=0$

여기서 $e_o=v_o$임을 대입하면(둘레이므로 당연하다)

$2v-2-f-v_o=0$

이때 도형 내부에 있는 격자점의 개수 $A=v_i$, 둘레 위에 있는 격자점의 개수 $B=v_o$이므로 이를 대입하면

$2(A+B)-2-B=f$

$f=2A+B-2$

즉, 다각형의 삼각형 개수는 $2A+B-2$이다.

정수점 3개를 이어 만든 최소 단위의 삼각형의 넓이는 자명히 $\frac{1}{2}$이므로 다각형의 전체 넓이는 $\frac{1}{2}f$이다. 따라서 다각형의 넓이는 다음과 같다.

$S=A+\frac{B}{2}-1$

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삼각형 넓이 구하는 공식 (with 헤론의 공식)

안녕하세요. 오늘은 삼각형 구하는 공식에 대해서 이야기하도록 하겠습니다. 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 중학교때 배우지만, 시간이 많이 지나가 기억이 안나는 경우가 있어서 정리를 해보도록 하겠습니다.

1. 밑변 x 높이 (가장 기본방법)

일반적인 삼각형의 경우 밑변(a) x 높이(h) / 2 를 하면 넓이를 구할 수 있습니다. 이 공식의 경우 밑변인 a 와 높이인 h가 서로 수직으로 만나기 때문에 직사각형의 넓이를 생각하면 a * h 가 되고, 이의 절반인 a * h / 2가 삼각형의 넓이가 되는 것입니다.

2. 삼각함수를 이용한 방법

삼각함수를 이용한 방법으로 두변의 길이를 알고 그 사이 각도를 알때 구하는 방법입니다. 각 변의 길이를 a, b라고 하고 사이의 각도를 A라고 한다면 삼각형의 넓이는 a * b * sin(A) / 2 입니다.

a * sin(A) 가 삼각형의 높이가 되는 것입니다. 즉 1번 공식에서 h 가 a * sin(A)가 되는 것입니다.

3. 헤론의 공식

헤론의 공식은 중학교 수학시간에 배웠지만, 대부분 기억을 못하고 있는 공식입니다. 삼각형의 3변의 길이가 각각 a,b,c 라고 할 경우 다음과 같은 공식이 성립하게 됩니다.

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Top 15 삼각형 의 넓이 The 55 Top Answers

삼각형의 넓이 (초등5학년 1학기 5단원) (개념 이해하기) | 기하학 | Khan Academy

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