Top 29 원 의 방정식 문제 The 142 New Answer

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96. 원의 방정식 – 기본문제대표유형01전반부

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원의 방정식 (개념+수학문제)

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좌표평면 위의 원
[정리] 원의 중심이 (a,b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은 다음과 같습니다.

원의 방정식을 구하는 유형은 크게 세 가지입니다.

i) 원의 중심과 반지름을 주는 경우

ii) 지름의 양 끝 점을 주는 경우

iii) 세 점의 좌표를 주는 경우

i) 원의 중심과 반지름을 주는 경우

예) 원의 중심이 (3,-1)이고 반지름의 길이가 2인 원의 방정식을 구하면,

ii) 지름의 양 끝 점을 주는 경우

예) 두 점 (4,-2), (-2, 6)이 원의 지름의 양 끝 점일 때, 원의 방정식을 구하면,

두 점을 잇는 선분의 중점은 (1,2)이므로,

원의 중심은 (1,2)입니다.

원의 반지름 r은 원의 중심과 양 끝점 사이의 거리와 같으므로,

따라서 원의 방정식은

iii) 세 점을 주는 경우

예) 원의 중심이 x축 위에 있고, 두 점 (0,3), (-1,-2)을 지나는 원의 방정식을 구하면,

원의 중심은 (a,0), 반지름을 r로 놓으면,

두 점 (0,3), (-1,-2)를 원의 방정식에 각각 대입하면,

a=2를 원의 방정식에 대입하면,

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원은 좌표평면 위에 나타낼 수 있습니다. 그리고 x와 y에 대한 식으로도 나타낼 수 있습니다. 원의 방정식은 원을 수식으로 나타낼 수 있어 여러 가지 방정식을 풀거나 도형 사이의 관계를 분석할 때 필요합니다.

이번 문제는 원의 방정식을 구하는 문제 20문항으로 구성했습니다. 문제를 풀어보면서 원의 방정식으로 나타내는 연습을 해보시길 바랍니다.

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원의 방정식, 원의 방정식 표준형

원의 방정식은 그리 어려운 내용이 아니에요. 간단하게 두 점 사이의 거리를 이용해서 구할 수 있으니까요. 원과 관련된 기본적인 용어의 정의와 특징만 이해하고 있으면 돼요. 오히려 중학교 때 공부했던 원주각, 중심각 등보다 쉽다고 할 수 있죠.

직선의 방정식에서 표준형과 일반형을 공부했어요. 원의 방정식에도 표준형과 일반형이 있는데, 이 글에서는 원의 방정식 표준형을 알아볼 거예요.

원의 방정식 공식을 유도하는 방법과 여러 문제에서 어떻게 원의 방정식을 구하는 지를 유형별로 알아보죠.

원의 방정식

원은 한 점(정점)에서 같은 거리에 있는 점들의 집합이에요. 이때 한 정점을 원의 중심이라고 하고, 같은 거리를 반지름이라고 하죠.

좌표평면에서 한 점 C에서 같은 거리(반지름. r)에 점을 그리고 임의의 점의 좌표를 P라고 해보죠. 반지름 r은 의 길이와 같아요. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 C와 P 사이의 거리를 구해볼까요?

P는 임의의 점이니까 원 위에 있는 모든 점은 위 방정식을 만족해요. 이 방정식이 바로 원의 방정식입니다.

원의 중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식

⇔ (x – a)2 + (y – b)2 = r2

만약에 원의 중심이 원점(0, 0)이면 x2 + y2 = r2이겠죠?

위와 같은 형태를 원의 방정식의 표준형이라고 해요. 이차함수에서도 직선의 방정식에서도 표준형이라는 용어를 사용했었죠? 표준형을 보면 반지름과 원의 중심을 쉽게 구할 수 있는 장점이 있어요.

다음을 보고 원의 방정식을 구하여라.

(1) 중심이 (3, 2)이고 반지름이 9인 원

(2) 중심이 (-1, 2)이고 (2, 6)을 지나는 원

(3) (-3, -5)와 (5, 9)을 지름의 양 끝점으로 하는 원

원의 중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x – a)2 + (y – b)2 = r2이에요.

(1) 공식에 그대로 대입해보죠.

(x – 3)2 + (y – 2)2 = 92

(2) 공식에 넣어보면 (x + 1)2 + (y – 2)2 = r2에요.

원의 방정식이 (2, 6)을 지나니까 이걸 식에 대입하면 r을 구할 수 있어요. 대입해보죠.

(x + 1)2 + (y – 2)2 = r2

(2 + 1)2 + (6 – 2)2 = r2

32 + 42 = r2

r2 = 9 + 16

r2 = 25

구하는 원의 방정식은 (x + 1)2 + (y – 2)2 = 25

(3) 중심과 반지름이 아니라 지나는 두 점을 알려줬네요. 그런데 두 점이 지름의 양 끝점이라고 했어요. 지름은 원의 중심을 지나는 직선으로 지름의 중점이 원의 중심이에요. 원의 중심을 구하면 (2) 번에서 했던 방법을 이용해서 r2을 구할 수 있어요.

원의 중심의 좌표를 (a, b)라고 한다면

원의 중심은 (1, 2)이니까 (x – 1)2 + (y – 2)2 = r2이네요. (5, 9)를 대입해보죠.

(x – 1)2 + (y – 2)2 = r2

(5 – 1)2 + (9 – 2)2 = r2

42 + 72 = r2

r2 = 16 + 49

r2 = 65

따라서 원의 방정식은 (x – 1)2 + (y – 2)2 = 65

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정리해볼까요 원의 방정식 원: 한 정점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합

원의 중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식

(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2

+ (y – b) = r 원의 방정식 표준형: 원의 중심, 반지름을 쉽게 구할 수 있다.

그리드형(광고전용)

고1 원의 방정식 단원 연습문제 (4)

(1)

(2)

(3)

(4)

(가) O Q ⋅ O P   (나) 직선 O Q 의 기울기는 직선 O P 의 기울기와 같다. 20. 20)점 P 가 직선      위를 움직이고, 원점 O 에 대하여 O P ⋅ O Q  을 만족하는 점 Q 를 O P 또는  O P 의 점 P 쪽 방향의 연장선 위에 잡았을 때, 점 Q 의 자취의 방정식은?                                     21. 21)원 C 는 중심이 직선     의 제 사분면 위에 있고,  축에 접한다. 원 C 가 축에 의하여 잘린 현의 길이가 일 때, 원 C 의 반지름의 길이는?               22. 22)좌표평면에서 원             에 내접하는 임의의 정삼각형 ABC 의 세 꼭짓점을 각각 A  B  C 라 할 때,   의 값은?      23. 23)네 점 A   B   C   D   을 꼭짓점으로 하는 사각형 ABCD 를 원점을 중심으로  회전시켰을 때, 사각형 ABCD 가 지나간 도형의 넓이를 구하면?                   24. 24)다음 그림과 같이 반지름의 길이가 같은 두 원 C C ′이 있다. 원 C 는   에서 직선     에 접하고 원 C ′은   에서 직선     에 접한다. 원 C 의 방정식이      일 때, 원 C ′의 중심은  이다. 이 때,    의 값은?      25. 25)원 C           위의 점 P 에 대하여 좌표평면 위의 점 Q 가 다음 조건을 만족한다. 점 Q 의 자취의 방정식을 구하여라. 26. 26)좌표평면에서 직선       가 원 C 와 점 P 에서 접하고, 직선 과 평행한 직선 ′이 원 C 와 점 Q 에서 접한다. 점 Q 는 축 위에 있고, 삼각형 P O Q 는 O P  O Q 인 이등변삼각형일 때, 원점과 직선 P Q 사이의 거리는 



 이다. 유리수 의 값은? (단,











O 는 원점이고, 점 Q 의 좌표는 양수이다.)     

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